Довгий логарифм виведення формули. Що таке логарифм? Рішення логарифмів

Таблиця первісних (інтегралів). Таблиця інтегралів. Табличні невизначені інтеграли. (Найпростіші інтеграли та інтеграли з параметром). Формули інтегрування частинами. Формула Ньютона-Лейбніца.

Формули інтегрування частинами. Правила інтегрування.

Таблиця похідних. Табличні похідні. Похідні твори. Похідна приватна. Похідна складна функція.

Якщо x - незалежна змінна, то:

Властивості логарифмів. Основні формули логарифмів. Десяткові (lg) та натуральні логарифми (ln).

Натуральний логарифм ln (логарифм на основі е = 2,718281828459045…) ln(e)=1; ln(1)=0

Ряд Тейлора. Розкладання функції до ряду Тейлора.

Виявляється, більшість практично зустрічаютьсяматематичних функцій можуть бути з будь-якою точністю представлені на околицях деякої точки у вигляді статечних рядів, що містять ступеня змінної в порядку зростання. Наприклад, на околиці точки х=1:

При використанні рядів, які називаються рядами Тейлора,змішані функції, що містять, скажімо, алгебраїчні, тригонометричні та експоненційні функції, можуть бути виражені у вигляді суто алгебраїчних функцій. За допомогою рядів часто можна швидко здійснити диференціювання та інтегрування.

Ряд Тейлора на околиці точки a має види:

1) , Де f (x) - функція, що має при х = а похідні всіх порядків. R n - залишковий член у ряді Тейлора визначається виразом

2)

k-тий коефіцієнт (при х k) ряду визначається формулою

3) Окремим випадком ряду Тейлора є ряд Маклорена (=Макларена) (Розкладання відбувається навколо точки а = 0)

при a=0

члени ряду визначаються за формулою

Умови застосування рядів Тейлора.

1. Для того, щоб функція f(x) могла бути розкладена в ряд Тейлора на інтервалі (-R;R) необхідно і достатньо, щоб залишковий член у формулі Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для даної функції прагнув нуля при k →∞ на вказаному інтервалі (-R;R).

2. Необхідно, щоб існували похідні для цієї функції в точці, в околиці якої ми збираємося будувати ряд Тейлора.

Властивості рядів Тейлора.

Якщо f є аналітична функція, то її ряд Тейлора в будь-якій точці області визначення f сходить до f в деякій околиці а.

Існують нескінченно диференційовані функції, ряд Тейлора яких сходиться, але при цьому відрізняється від функції у будь-якій околиці а. Наприклад:

Ряди Тейлора застосовуються при апроксимації (наближення - науковий метод, що полягає у заміні одних об'єктів іншими, у тому чи іншому сенсі близькими до вихідних, але більш простими) функції багаточленів. Зокрема, лінеаризація ((від linearis - лінійний), один із методів наближеного уявлення замкнутих нелінійних систем, при якому дослідження нелінійної системи замінюється аналізом лінійної системи, в деякому сенсі еквівалентної вихідної.) рівнянь відбувається шляхом розкладання до ряду Тейлора та відсікання всіх членів першого порядку.

Таким чином, практично будь-яку функцію можна подати у вигляді полінома із заданою точністю.

Приклади деяких поширених розкладів статечних функцій у ряди Маклорена (=Макларена, Тейлора на околицях точки 0) і Тейлора на околицях точки 1. Перші члени розкладів основних функцій до рядів Тейлора і Макларена.

Приклади деяких поширених розкладів статечних функцій у ряди Маклорена(=Макларена, Тейлора на околицях точки 0)

Приклади деяких поширених розкладів у ряди Тейлора на околицях точки 1

Що таке логарифм?

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Що таке логарифм? Як вирішувати логарифми? Ці питання багатьох випускників вводять у ступор. Традиційно тема логарифмів вважається складною, незрозумілою та страшною. Особливо – рівняння з логарифмами.

Це зовсім не так. Абсолютно! Не вірите? Добре. Зараз, за ​​якісь 10 – 20 хвилин ви:

1. Зрозумієте, що таке логарифм.

2. Навчіться розв'язувати цілий клас показових рівнянь. Навіть якщо про них нічого не чули.

3. Навчіться обчислювати прості логарифми.

Причому для цього вам потрібно буде знати лише таблицю множення, та як зводиться число до ступеня...

Відчуваю, сумніваєтеся ви... Ну гаразд, засікайте час! Поїхали!

Для початку вирішіть в умі ось таке рівняння:

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Таблиця первісних.

Властивості невизначеного інтеграла дозволяють за відомим диференціалом функції знайти її первісну. Таким чином, використовуючи рівності та можна з таблиці похідних основних елементарних функцій скласти таблицю первісних.

Нагадаємо таблицю похідних, Запише її ще у вигляді диференціалів.

Наприклад знайдемо невизначений інтеграл статечної функції.

Використовуємо таблицю диференціалів отже, за властивостями невизначеного інтеграла маємо . Тому або в іншому записі

Знайдемо безліч первісних статечної функції при p = -1. Маємо . Звертаємось до таблиці диференціалів для натурального логарифму , отже, . Тому .

Сподіваюся, принцип Ви вловили.

Таблиця первісних (невизначених інтегралів).

Формули з лівого стовпця таблиці називають основними первісними. Формули з правого стовпця основними не є, але часто використовуються при знаходженні невизначених інтегралів. Їх можна перевірити диференціюванням.

Безпосереднє інтегрування.

Безпосереднє інтегрування виходить з використання властивостей невизначених інтегралів , , правила інтегрування та таблиці первісних.

Зазвичай, підінтегральний вираз спочатку потрібно трохи перетворити, щоб можна було використовувати таблицю основних інтегралів і властивості інтегралів.

приклад.

Знайти інтеграл .

Рішення.

Коефіцієнт 3 можна винести з під знака інтеграла на підставі властивості:

Перетворимо підінтегральну функцію (за формулами тригонометрії):

Оскільки інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів, то

Настав час звернутися до таблиці первісних:

Відповідь:

.

приклад.

Знайти безліч первісних функцій

Рішення.

Звертаємось до таблиці первісних для показової функції: . Тобто, .

Якщо використовувати правило інтегрування , то маємо:

Таким чином, таблиця первісних разом із властивостями та правилом інтегрування дозволяють знайти масу невизначених інтегралів. Проте, які завжди можна перетворити подинтегральную функцію, щоб використовувати таблицю первообразных.

Наприклад, у таблиці первісних відсутній інтеграл від функції логарифму, функції арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу, функції тангенсу та котангенсу. Для знаходження застосовуються спеціальні методи. Але про це у наступному розділі: