Доведіть, що від будь-якої точки можна відкласти вектор рівний даному і тільки один. Вектори Вектори Історична довідка Поняття вектора Рівність векторів Відкладення вектора від цієї точки Сума двох векторів Закони складання Віднімання

Якщо = (̅

- Базис, ̅

= (1, 2, 3) , то існує набір чисел (

…) такий, що

̅ + + ̅̅, де (

…) – координати вектора у базисі.

̅ с̅ = с̅ ̅

= ̅с ̅= − ̅ с̅

= − с̅ ̅= − ̅ ̅с.

20. Сформулювати властивість лінійності змішаного твору.

Для змішаного твору виконується властивість асоціативності щодо

множення векторів на число: (λ ̅ )с̅

= λ(̅ с̅ ).

Для змішаного твору виконується властивість дистрибутивності: (̅̅̅ +̅̅̅ )с̅

= ̅̅̅

̅с + ̅̅̅

̅с.

− 1

− 1

− 1

| 2 −1

2 − 1

2 −1 | = 0

3 − 1

3 − 1

3 − 1

(0 ;0 ;

– координати точки 0 Lв прямо вугільній системі координат, називають

параметричними рівняннями прямої у просторі.

Рівняння

− 0

− 0

− 0

називають канонічними рівняннями прямої

просторі.

27. Записати рівняння прямої, що проходить через дві дані точки у просторі.

Рівняння

− 1

− 1

− 1

називають рівняннями прямою, що проходить через дві точки

паралелограм OA'CB', отже = ′ + ′ . Вектор і ненульовий вектор

колінеарні, а тому перший з них може бути отриманий множенням другого на

дійсне число α: ′ = . Аналогічно = , β R. В результаті отримуємо, що

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

= '+', тобто. вектор є лінійною комбінацією векторів і. Відповідно до теореми

? є лінійно залежними.

2.1 (про лінійну залежність векторів), вектори ,

2. Довести теорему про розкладання вектора за базисом.

Теорема про розкладання вектора за базисом. Якщо = (̅

- Базис, ̅

= (1, 2, 3), то

існує набір чисел (

...) такий, що = = ̅̅̅

̅ + + ̅ ̅, де (

…) – координати

Розглянемо два вектори

та, заданих своїми координатами у правому ортонормованому базисі

̅ = {

). Тоді мають місце розкладання цих векторів = = + +

, ̅, ̅:

= ̅ +̅ +

Виходячи з цих

уявлень

алгебраїчних

векторного множення,

отримуємо

= ̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅ ̅

× ̅+ × ̅+

× = (

)̅+ (

)̅+ (

Нехай вектори a, b, c задані своїми координатами у правому ортонормованому базисі: = ( ;

), = ( ; ; ), ? = ( ; ; ). Щоб знайти їх змішаний твір,

скористаємося формулами для обчислення скалярного та векторного творів:

̅̅= ̅(× ̅)= ̅ (|

Якщо площина π задана у прямокутній системі координат своїм загальним рівнянням

Ax + By + Cz + D = 0, її нормальним вектором є вектор з координатами (A; B; C).

Нехай (0, 0, 0) і (1, 1, 1) - координати точок0

та 1 . Тоді виконано рівність

A 1 +B1 +C1 +D = 0, оскільки точка M1 належить площині, і можна знайти координати

̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅

Вектор 1 0 :

1 0 = (0 - 1; 0 - 1; 0 - 1). Записуючи скалярний твір 1 0

координатної форми та перетворюючи (5.8), отримуємо

| (0 −1 ) + (0 −1 ) + (0 −1 )|

| 0 +0 +0 − (1 +1 +1 )|

2 + 2+ 2

2 + 2+ 2

̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 ,) =

| 0 1 × |

твір. Нехай прямі 1

і 2

канонічними рівняннями. Так як вони

̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 , 2 ) між прямими:

̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 ,2 ) =

| 1 2

1 2|

Вектором називається спрямований відрізок прямої евклідового простору, у якого один кінець (точка A) називається початком вектора, а інший кінець (точка B) кінцем вектора (Рис. 1). Вектори позначаються:

Якщо початок і кінець вектора збігаються, то вектор називається нульовим векторомі позначається 0 .

приклад. Нехай у двомірному просторі початок вектора має координати. A(12,6) , а кінець вектора - координати B(12,6). Тоді вектор є нульовим вектором.

Довжина відрізка ABназивається модулем (довжиною, нормою) вектора та позначається | a|. Вектор довжини, що дорівнює одиниці, називається одиничним вектором. Крім модуля вектор характеризується напрямком: вектор має напрямок від Aдо B. Вектор називається вектор, протилежнимвектору.

Два вектори називаються колінеарнимиякщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Рис. 3 червоні вектори колінеарні, т.к. вони лажать однією прямий, а сині вектори коллинеарны, т.к. вони лежать на паралельних прямих. Два колінеарних вектори називаються однаково спрямованимиякщо їх кінці лежать по одну сторону від прямої, що з'єднує їх початку. Два колінеарних вектори називаються протилежно спрямованимиякщо їх кінці лежать по різні боки від прямої, що з'єднує їх початку. Якщо два колінеарні вектори лежать на одній прямій, то вони називаються однаково спрямованими, якщо один з променів, утвореним одним вектором повністю містить промінь, утвореним іншим вектором. В іншому випадку вектори називаються протилежно спрямованими. На малюнку Рис.3 сині вектори однаково спрямовані, а червоні вектори спрямовані протилежно.

Два вектори називаються рівнимиякщо вони мають рівні модулі та однаково спрямовані. На малюнку Рис.2 Вектори рівні т.к. їх модулі рівні та мають однаковий напрямок.

Вектори називаються компланарнимиякщо вони лежать на одній площині або в паралельних площинах.

У nмірному векторному просторі розглянемо багато всіх векторів, початкова точка яких збігається з початком координат. Тоді вектор можна записати у такому вигляді:

де x 1 , x 2 , ..., x nкоординати кінцевої точки вектора x.

Вектор, записаний у вигляді (1) називається вектор-рядок, а вектор, записаний у вигляді

називається вектор-стовпчик.

Число nназивається розмірністю (порядком) вектор. Якщо то вектор називається нульовим вектором(т.к. початкова точка вектора ). Два вектори xі yрівні тоді і лише тоді, коли рівні відповідні їх елементи.

Вектор – одне із основних геометричних понять. Вектор характеризується числом (довжиною) та напрямком. Наочно його можна уявити у вигляді спрямованого відрізка, хоча, говорячи про вектор, правильніше мати на увазі цілий клас спрямованих відрізків, які всі паралельні між собою, мають однакову довжину та однаковий напрямок (рис. 1). Прикладами фізичних величин, які мають векторний характер, можуть бути швидкість (що поступово рухається тіла), прискорення, сила та ін.

Поняття вектора з'явилося у працях німецького математика ХІХ ст. Г. Грассмана та ірландського математика У. Гамільтона; потім воно було охоче сприйняте багатьма математиками та фізиками. У сучасній математиці та її додатках це поняття відіграє найважливішу роль. Вектори застосовуються в класичній механіці Галілея-Ньютона (у її сучасному викладі), теорії відносності, квантової фізики, математичної економіки та багатьох інших розділах природознавства, не кажучи вже про застосування векторів у різних галузях математики.

Кожен із спрямованих відрізків, що становлять вектор (рис. 1), можна назвати представником цього вектора. Вектор, представником якого є спрямований відрізок, що йде від точки до точки, позначається через . На рис. 1 маємо, тобто. і - це один і той же вектор (представниками якого є обидва спрямовані відрізки, виділені на рис. 1). Іноді вектор позначають малою літерою зі стрілкою: , .

Вектор, що зображується спрямованим відрізком, у якого початок і кінець збігаються, називається нульовим; він позначається через , тобто. . Два паралельні вектори, що мають однакові довжини, але протилежні напрямки, називаються протилежними. Якщо вектор позначений через , то протилежний вектор позначається через .

Назвемо основні операції, пов'язані із векторами.

I. Відкладення вектора від точки. Нехай - деякий вектор та - точка. Серед спрямованих відрізків, які є представниками вектора є спрямований відрізок, що починається в точці . Кінець цього спрямованого відрізка називається точкою, що утворюється в результаті відкладання вектора від точки (рис. 2). Ця операція має наступну властивість:

I1. Для будь-якої точки та будь-якого вектора існує, і до того ж тільки одна, точка , для якої .

Складання векторів. Нехай і – два вектори. Візьмемо довільну точку і відкладемо вектор від точки, тобто. знайдемо таку точку, що (рис. 3). Потім від крапки відкладемо вектор, тобто знайдемо таку точку, що. Вектор називається сумою векторів і позначається через . Можна довести, що сума залежить від вибору точки , тобто. якщо замінити іншою точкою, то вийде вектор, рівний (рис. 3). З визначення суми векторів випливає, що для будь-яких трьох точок справедлива рівність

I2:

(«Правило трьох точок»). Якщо ненульові вектори і паралельні, їх суму зручно знаходити з допомогою правила паралелограмма (рис. 4).

ІІ. Основні властивості суми векторів виражають наступні 4 рівності (справедливі для будь-яких векторів , , ):

II2. .

Зауважимо ще, що кілька векторів перебуває послідовним знаходженням суми двох із них. Наприклад: .

При цьому, як би ми не складали задані вектори, результат (як це випливає з властивостей, названих у пунктах II1, і II2) завжди буде одним і тим же. Наприклад:

Далі геометрично сума кількох векторів може бути отримана наступним чином: треба спрямовані відрізки, які є представниками цих векторів, послідовно відкласти один за одним (тобто так, щоб початок другого спрямованого відрізка збігався з кінцем першого, початок третього - з кінцем другого і тощо); тоді вектор матиме своїм представником «замикаючий» спрямований відрізок, що йде від початку першого до кінця останнього (рис. 5). (Зауважимо, що якщо при такому послідовному відкладанні виходить «замкнена векторна ламана», то .)

ІІІ. Умноження вектора на число. Нехай – ненульовий вектор і – відмінне від нуля число. Через позначається вектор, який визначається наступними двома умовами: а) довжина вектора дорівнює ; б) вектор паралельний вектору , причому його напрямок збігається з напрямком вектора і протилежно йому при (рис. 6). Якщо справедлива хоча б одна з рівностей, то твір вважається рівним. Таким чином, твір визначено для будь-якого вектора та будь-якого числа .

Наступні 4 рівності (справедливі для будь-яких векторів і будь-яких чисел ) виражають основні властивості операції множення вектора на число:

III2. .

III3. .

З цих властивостей випливає ряд подальших фактів, пов'язаних із розглянутими операціями над векторами. Зазначимо деякі з них, які часто застосовуються при вирішенні завдань.

а) Якщо - така точка відрізка , що , то для будь-якої точки справедлива рівність , зокрема якщо - середина відрізка, то .

б) Якщо - точка перетину медіан трикутника, то ; крім того, для будь-якої точки справедлива рівність (Зворотні теореми також справедливі).

в) Нехай - точка прямий і - ненульовий вектор, паралельний цій прямій. Крапка в тому і тільки в тому випадку належить прямий, якщо (де - деяке число).

г) Нехай - точка площини і - ненульові і непаралельні між собою вектори, паралельні цій площині. Крапка у цьому і лише тому випадку належить площині , якщо вектор виражається через і , тобто. .

Зрештою, відзначимо ще властивість розмірності, що виражає той факт, що простір тривимірний.

IV. У просторі існують такі три вектори , , що жоден з них не виражається через два інших; будь-який четвертий вектор виражається через ці три вектори: . визначається рівністю: позначено скалярний добуток вектора (і тоді кут між ними не визначається).

Наведені вище властивості векторних операцій багато в чому схожі на властивості додавання та множення чисел. У той самий час вектор – геометричний об'єкт, й у визначенні векторних операцій використовують такі геометричні поняття, як довжина і кут; цим і пояснюється користь векторів для геометрії (і її додатків до фізики та інших галузей знання). Однак для вирішення геометричних задач за допомогою векторів необхідно передусім навчитися «перекладати» умову геометричної задачі на векторну мову. Після такого перекладу здійснюються алгебраїчні обчислення з векторами, а потім отримане векторне рішення знову перекладається на геометричну мову. У цьому полягає векторне рішення геометричних завдань.

При викладі курсу геометрії у школі вектор дається як поняття (див. Визначення), і тому прийнята в шкільному підручнику аксіоматика геометрії нічого не говорить про властивості векторів, тобто. всі ці властивості мають доводитися як теореми.

Існує, однак, і інший шлях викладу геометрії, при якому початковими (невизначуваними) поняттями вважаються вектор і точка, а зазначені вище властивості I1, I2, II1-II4, III1-III4, IV, V1-V4 приймаються за аксіоми. Такий шлях побудови геометрії було запропоновано у 1917 р. німецьким математиком Г. Вейлем. Тут прямі та площини є визначеними поняттями. Перевага такої побудови в його стислості та в органічному зв'язку із сучасним розумінням геометрії як у самій математиці, так і в інших галузях знання. Зокрема, аксіоми II1-II4, III1-III4 вводять так званий векторний простір, що використовується в сучасній математиці, фізиці, математичній економіці і т.д.

Знання та навички, отримані на даному уроці, стануть у нагоді тим, хто навчається не тільки на уроках геометрії, а й на заняттях з інших наук. Під час уроку школярі навчаться відкладати вектор від заданої точки. Це може бути звичайний урок геометрії, а також позакласне чи факультативне заняття з математики. Ця розробка допоможе вчителю заощадити свій час на підготовку до уроку на тему «Відкладання вектора від цієї точки». Йому достатньо відтворити відеоурок на занятті, а потім закріпити матеріал власною добіркою вправ.

Урок за тривалістю займаємо лише 1:44 хвилини. Але цього достатньо, щоби навчити школярів відкладати вектор від заданої точки.

Урок починається з демонстрації вектора, початок якого знаходиться у певній точці. Говорять, що вектор від неї відкладений. Потім автор пропонує довести разом з ним твердження, згідно з яким від будь-якої точки можна відкласти вектор, рівний даному і єдиний. У результаті докази автор докладно розглядає кожен випадок. По-перше, він бере ситуацію, коли цей вектор нульовий, по-друге, коли вектор - ненульовий. Під час доказу використовуються ілюстрації у вигляді малюнків та побудови, математичний запис, які формують у школярів математичну грамотність. Автор розповідає, не поспішаючи, що дозволяє учням вести записи паралельно, доки йде коментування. Побудова, яку вів автор під час доказу раніше сформульованого твердження, показує, як з певної точки можна побудувати вектор, рівний даному.

Якщо учні уважно дивитися урок і паралельно вести записи, вони легко засвоять матеріал. Тим більше, що автор розповідає докладно, розмірено та досить повно. Якщо з якихось причин щось не почули, можна повернутися і подивитися урок ще раз.

Після перегляду відеоуроку бажано розпочати закріплення матеріалу. Вчителю рекомендується підібрати завдання на цю тему, щоб відпрацювати навичку відкладання вектора від цієї точки.

Цей урок можна використовувати для самостійного вивчення теми школярами. Але для закріплення необхідно звернутися до вчителя, щоб він підібрав відповідні завдання. Адже без закріплення матеріалу складно досягти позитивного результату у навчанні.

Що таке вектор? Поняття вектора виникає там, де доводиться мати справу з об'єктами, що характеризуються величиною та напрямком: наприклад, швидкість, сила, тиск. Такі величини називають векторними величинами або векторами. Поняття вектора виникає там, де доводиться мати справу з об'єктами, що характеризуються величиною та напрямком: наприклад, швидкість, сила, тиск. Такі величини називають векторними величинами або векторами.

Розглянемо довільний відрізок. На ньому можна вказати два напрямки. Щоб вибрати один із напрямків, один кінець відрізка назвемо ПОЧАТКОМ, а інший – КІНЦЕМ і вважатимемо, що відрізок спрямований від початку до кінця. Визначення. Визначення. Відрізок, котрому зазначено, який із його кінців вважається початком, який - кінцем, називається спрямованим відрізком чи вектором. Відрізок, котрому зазначено, який із його кінців вважається початком, який - кінцем, називається спрямованим відрізком чи вектором.

Поняття вектора Вектори часто позначають і однією малою латинською літерою зі стрілкою над нею. Початок нульового вектора збігається з його кінцем: Будь-яка точка площини також є вектором, який називається нульовим. Початок нульового вектора збігається з його кінцем: ММ = 0. ММ = 0. a b c М

Поняття вектора Довжиною або модулем ненульового вектора АВ називається довжина відрізка АВ: Довжиною або модулем ненульового вектора АВ називається довжина відрізка АВ: АВ = а = АВ = 5 АВ = а = АВ = 5 с = 17 с = 17 Довжина нульового вектора вважається рівною нулю : Довжина нульового вектора вважається рівною нулю: ММ = 0. ММ = 0. a М В А с

Колінеарні вектори Ненульові вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать або на одній прямій або на паралельних прямих. Колінеарні вектори можуть бути співспрямованими або протилежно спрямованими. Ненульові вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать або на одній прямій або на паралельних прямих. Колінеарні вектори можуть бути співспрямованими або протилежно спрямованими. Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. аb c d m ns L

Якщо точка А – початок вектора а, то кажуть, що вектор а відкладений від точки А. Якщо точка А – початок вектора а, то кажуть, що вектор а відкладено від точки А. Твердження: Від будь-якої точки М можна відкласти вектор, рівний даному вектору а, і лише один. Твердження: Від будь-якої точки М можна відкласти вектор, рівний даному вектору а, і лише один. Рівні вектори, відкладені від різних точок, часто позначають однією і тією ж літерою.

Розглянемо приклад: Розглянемо приклад: Петя з дому(D) зайшов до Васі(V), а потім поїхав у кінотеатр(К). Петя з дому (D) зайшов до Васі (V), а потім поїхав до кінотеатру (К). У цих двох переміщень, які можна представити векторами DV і VK, Петя перемістився з точки D до, тобто. на вектор DК: Внаслідок цих двох переміщень, які можна представити векторами DV і VK, Петя перемістився з точки D до, тобто. на вектор DC: DK = DB + BK. DK=DB+BK. Вектор DK називається сумою векторів DB та BK. D V K

Сума двох векторів Правило трикутника Нехай а та b – два вектори. Відзначимо довільну точку А та відкладемо від цієї точки АВ = а, потім від точки В відкладемо вектор ВС = b. Нехай а та b – два вектори. Відзначимо довільну точку А та відкладемо від цієї точки АВ = а, потім від точки В відкладемо вектор ВС = b. АС = а + b АС = а + b a b A a b B C
Протилежні вектори Нехай а довільний ненульовий вектор. Нехай а довільний ненульовий вектор. Визначення. Вектор b називається протилежним вектору а якщо а і b мають рівні довжини і протилежно спрямовані. a = АВ, b = BA Вектор, протилежний вектору c, позначається так: -c. Очевидно, з + (-с) = 0 або АВ + ВА = 0 А B a b c -c

Віднімання векторів Визначення. Різницею двох векторів і b називається такий вектор, сума якого з вектором b дорівнює вектору а. Визначення. Різницею двох векторів і b називається такий вектор, сума якого з вектором b дорівнює вектору а. Теорема. Для будь-яких векторів і b справедлива рівність а - b = а + (-b). Завдання. Дано вектори а та b. Побудувати вектор а – b. а а b -b a - b

Останні матеріали розділу: