Дробно раціональні рівняння завдання. Дробно-раціональні рівняння

Давайте познайомимося з раціональними та дробовими раціональними рівняннями, дамо їх визначення, наведемо приклади, а також розберемо найпоширеніші типи завдань.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Раціональне рівняння: визначення та приклади

Знайомство з раціональними виразами починається у 8 класі школи. У цей час під час уроків алгебри учні дедалі частіше починають зустрічати завдання з рівняннями, які містять раціональні висловлювання у записах. Давайте освіжимо у пам'яті, що це таке.

Визначення 1

Раціональне рівняння- Це таке рівняння, в обох частинах якого містяться раціональні вирази.

У різних посібниках можна зустріти ще одне формулювання.

Визначення 2

Раціональне рівняння- Це таке рівняння, запис лівої частини якого містить раціональний вираз, а права - нуль.

Визначення, які ми привели для раціональних рівнянь, є рівнозначними, оскільки говорять про те саме. Підтверджує правильність наших слів той факт, що для будь-яких раціональних виразів Pі Qрівняння P = Qі P − Q = 0будуть рівносильними виразами.

А тепер звернемося до прикладів.

Приклад 1

Раціональні рівняння:

x = 1 , 2 · x − 12 · x 2 · y · z 3 = 0 , x x 2 + 3 · x - 1 = 2 + 2 7 · x - a · (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3.

Раціональні рівняння так само, як і рівняння інших видів, можуть містити будь-яку кількість змінних від 1 до декількох. Для початку ми розглянемо прості приклади, в яких рівняння будуть містити лише одну змінну. А потім почнемо поступово ускладнювати завдання.

Раціональні рівняння поділяються на дві великі групи: цілі та дробові. Подивимося, які рівняння ставитимуться до кожної групи.

Визначення 3

Раціональне рівняння буде цілим у тому випадку, якщо в записі лівої та правої його частин містяться цілі раціональні вирази.

Визначення 4

Раціональне рівняння буде дробовим у тому випадку, якщо одна або обидві його частини містять дріб.

Дробно раціональні рівняння обов'язково містять поділ на змінну або змінна є в знаменнику. У записі цілих рівнянь такого поділу немає.

Приклад 2

3 · x + 2 = 0і (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5- Цілі раціональні рівняння. Тут обидві частини рівняння представлені цілими виразами.

1 x - 1 = x 3 та x: (5 · x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5– це дрібно раціональні рівняння.

До цілих раціональних рівнянь можна віднести лінійні та квадратні рівняння.

Вирішення цілих рівнянь

Розв'язання таких рівнянь зазвичай зводиться до перетворення їх на рівносильні рівняння алгебри. Досягти цього можна шляхом проведення рівносильних перетворень рівнянь відповідно до наступного алгоритму:

• спочатку отримаємо нуль у правій частині рівняння, при цьому необхідно перенести вираз, що у правої частини рівняння, у його ліву частину і поміняти знак;
• потім перетворимо вираз у лівій частині рівняння в багаточлен стандартного вигляду.

Ми повинні отримати рівняння алгебри. Це рівняння буде рівносильним по відношенню до вихідного рівняння. Легкі випадки дозволяють нам вирішити завдання звести ціле рівняння з лінійному чи квадратному. У випадку ми вирішуємо алгебраїчне рівняння ступеня n.

Приклад 3

Необхідно знайти коріння цілого рівняння 3 · (x + 1) · (x - 3) = x · (2 ​​· x - 1) - 3.

Рішення

Проведемо перетворення вихідного виразу з метою отримати рівносильне йому рівняння алгебри. Для цього зробимо перенесення виразу, що міститься у правій частині рівняння, в ліву частину та замінимо знак на протилежний. У результаті отримаємо: 3 · (x + 1) · (x - 3) - x · (2 ​​· x - 1) + 3 = 0.

Тепер проведемо перетворення виразу, яке знаходиться в лівій частині в багаточлен стандартного виду і зробимо необхідні дії з цим багаточленом:

3 · (x + 1) · (x - 3) - x · (2 ​​· x - 1) + 3 = (3 · x + 3) · (x - 3) - 2 · x 2 + x + 3 = = 3 · x 2 − 9 · x + 3 · x − 9 − 2 · x 2 + x + 3 = x 2 − 5 · x − 6

У нас вдалося звести рішення вихідного рівняння до розв'язання квадратного рівняння виду x 2 − 5 · x − 6 = 0. Дискримінант цього рівняння позитивний: D = (−5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 .Це означає, дійсних коренів буде два. Знайдемо їх, скориставшись формулою коренів квадратного рівняння:

x = - - 5 ± 49 2 · 1

x 1 = 5 + 7 2 або x 2 = 5 - 7 2

x 1 = 6 або x 2 = - 1

Перевіримо вірність коренів рівняння, що ми знайшли у ході рішення. Для цього числа, які ми отримали, підставимо у вихідне рівняння: 3 · (6 + 1) · (6 - 3) = 6 · (2 ​​· 6 - 1) - 3і 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 ​​· (− 1) − 1) − 3. В першому випадку 63 = 63 , у другому 0 = 0 . Коріння x = 6і x = − 1справді є корінням рівняння, даного за умови прикладу.

Відповідь: 6 , − 1 .

Давайте розберемо, що означає «ступінь цілого рівняння». З цим терміном ми часто зустрічатимемося у тих випадках, коли нам треба буде уявити ціле рівняння у вигляді алгебраїчного. Дамо визначення поняття.

Визначення 5

Ступінь цілого рівняння- Це ступінь рівняння алгебри, рівносильного вихідного цілого рівняння.

Якщо подивитися на рівняння прикладу, наведеного вище, можна встановити: ступінь даного цілого рівняння другий.

Якби наш курс обмежувався рішенням рівнянь другого ступеня, то розгляд теми можна було б закінчити. Але все не так просто. Вирішення рівнянь третього ступеня пов'язане з труднощами. А для рівнянь вище четвертого ступеня і не існує загальних формул коренів. У зв'язку з цим рішення цілих рівнянь третього, четвертого та інших ступенів вимагає від нас застосування цілого ряду інших прийомів та методів.

Найчастіше використовується підхід до вирішення цілих раціональних рівнянь, який ґрунтується на методі розкладання на множники. Алгоритм дій у разі наступний:

• переносимо вираз із правої частини в ліву для того, щоб у правій частині запису залишився нуль;
• представляємо вираз у лівій частині як добуток множників, а потім переходимо до сукупності кількох більш простих рівнянь.

Знайдіть розв'язок рівняння (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .

Рішення

Переносимо вираз із правої частини запису до лівої з протилежним знаком: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Перетворення лівої частини на багаточлен стандартного виду недоцільно у зв'язку з тим, що це дасть нам рівняння алгебри четвертого ступеня: x 4 − 12 · x 3 + 32 · x 2 − 16 · x − 13 = 0. Легкість перетворення не виправдовує всіх труднощів із рішенням такого рівняння.

Набагато простіше піти іншим шляхом: винесемо за дужки спільний множник x 2 − 10 · x + 13 .Так ми прийдемо до рівняння виду (x 2 − 10 · x + 13) · (x 2 − 2 · x − 1) = 0. Тепер замінимо отримане рівняння сукупністю двох квадратних рівнянь x 2 − 10 · x + 13 = 0і x 2 − 2 · x − 1 = 0і знайдемо їх коріння через дискримінант: 5 + 2 · 3, 5 - 2 · 3, 1 + 2, 1 - 2.

Відповідь: 5 + 2 · 3, 5-2 · 3, 1 + 2, 1-2.

Так само ми можемо використовувати метод введення нової змінної. Цей метод дозволяє нам переходити до рівносильних рівнянь зі ступенями нижчими, ніж були ступеня у вихідному цілому рівнянні.

Приклад 5

Чи є коріння у рівняння (x 2 + 3 · x + 1) 2 + 10 = − 2 · (x 2 + 3 · x − 4)?

Рішення

Якщо ми зараз спробуємо звести ціле раціональне рівняння до алгебраїчного, то отримаємо рівняння 4 ступеня, яке не має раціонального коріння. Тому нам буде простіше піти іншим шляхом: ввести нову змінну у, яка замінить у рівнянні вираз x 2 + 3 · x.

Тепер ми працюватимемо з цілим рівнянням (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Перенесемо праву частину рівняння до лівої з протилежним знаком і проведемо необхідні перетворення. Отримаємо: y 2 + 4 · y + 3 = 0. Знайдемо коріння квадратного рівняння: y = − 1і y = − 3.

Тепер проведемо зворотну заміну. Отримаємо два рівняння x 2 + 3 · x = − 1і x 2 + 3 · x = − 3 .Перепишемо їх як x 2 + 3 · x + 1 = 0 x 2 + 3 · x + 3 = 0. Використовуємо формулу коренів квадратного рівняння для того, щоб знайти коріння першого рівняння з одержаних: - 3 ± 5 2 . Дискримінант другого рівняння негативний. Це означає, що справжнього коріння другого рівняння немає.

Відповідь:- 3 ± 5 2

Цілі рівняння високих ступенів трапляються у завданнях досить часто. Лякатися їх не потрібно. Потрібно бути готовим застосувати нестандартний метод їх вирішення, у тому числі ряд штучних перетворень.

Розв'язання дробово раціональних рівнянь

Почнемо розгляд цієї підтеми з алгоритму розв'язання дробово раціональних рівнянь виду p (x) q (x) = 0 , де p(x)і q (x)- Цілі раціональні вирази. Вирішення інших дробово раціональних рівнянь завжди можна звести до розв'язання рівнянь зазначеного виду.

В основу найбільш уживаного методу розв'язання рівнянь p(x) q(x) = 0 покладено таке твердження: числовий дріб u v, де v- Це число, яке відмінно від нуля, дорівнює нулю тільки в тих випадках, коли чисельник дробу дорівнює нулю. Дотримуючись логіки наведеного твердження, ми можемо стверджувати, що рішення рівняння p(x) q(x) = 0 може бути зведене у виконанні двох умов: p(x) = 0і q (x) ≠ 0. На цьому побудовано алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь виду p(x) q(x) = 0:

• знаходимо рішення цілого раціонального рівняння p(x) = 0;
• перевіряємо, чи виконується для коренів, знайдених у ході рішення, умова q (x) ≠ 0.

Якщо ця умова виконується, то знайдений корінь. Якщо ні, то корінь не є рішенням задачі.

Приклад 6

Знайдемо коріння рівняння 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0.

Рішення

Ми маємо справу з дробовим раціональним рівнянням виду p (x) q (x) = 0, в якому p (x) = 3 · x − 2, q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Приступимо до вирішення лінійного рівняння 3 · x − 2 = 0. Коренем цього рівняння буде x = 2 3.

Проведемо перевірку знайденого кореня, чи він задовольняє умові 5 · x 2 − 2 ≠ 0. Для цього підставимо числове значення у вираз. Отримаємо: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0 .

Умова виконується. Це означає що x = 2 3є коренем вихідного рівняння.

Відповідь: 2 3 .

Є ще один варіант розв'язання дробових раціональних рівнянь p(x)q(x)=0. Згадаймо, що це рівняння рівносильне цілому рівнянню p(x) = 0на ділянці допустимих значень змінної x вихідного рівняння. Це дозволяє нам використовувати наступний алгоритм у розв'язанні рівнянь p(x) q(x) = 0:

• вирішуємо рівняння p(x) = 0;
• знаходимо область допустимих значень змінної x;
• беремо коріння, яке лежить в області допустимих значень змінної x , як шукане коріння вихідного дробового раціонального рівняння.

Розв'яжіть рівняння x 2 - 2 · x - 11 x 2 + 3 · x = 0 .

Рішення

Для початку вирішимо квадратне рівняння x 2 − 2 · x − 11 = 0. Для обчислення його коріння ми використовуємо формулу коренів для парного другого коефіцієнта. Отримуємо D 1 = (−1) 2 − 1 · (− 11) = 12і x = 1 ± 2 3 .

Тепер ми можемо знайти ОДЗ змінної x для вихідного рівняння. Це все числа, для яких x 2 + 3 · x ≠ 0. Це те саме, що x · (x + 3) ≠ 0, звідки x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Тепер перевіримо, чи входять отримані першому етапі рішення коріння x = 1 ± 2 3 в область допустимих значень змінної x . Ми бачимо, що входять. Це означає, що вихідне раціональне дробове рівняння має два корені x = 1 ± 2 3 .

Відповідь: x = 1 ± 2 3

Другий описаний метод рішення простіше першого у випадках, коли легко знаходиться область допустимих значень змінної x , а корені рівняння p(x) = 0ірраціональні. Наприклад, 7 ± 4 · 26 9 . Коріння може бути і раціональним, але з великим чисельником або знаменником. Наприклад, 127 1101 і − 31 59 . Це дозволяє заощадити час на проведенні перевірки умови q (x) ≠ 0: набагато простіше виключити коріння, яке не підходить, по ОДЗ

У тих випадках, коли коріння рівняння p(x) = 0цілі, доцільніше використовувати перший із описаних алгоритмів розв'язання рівнянь виду p(x) q(x) = 0 . Швидше одразу знаходити коріння цілого рівняння p(x) = 0, після чого перевіряти, чи виконується для них умова q (x) ≠ 0, а не знаходити ОДЗ, після чого вирішувати рівняння p(x) = 0на цій ОДЗ. Це з тим, що у разі зробити перевірку зазвичай простіше, ніж знайти ОДЗ.

Приклад 8

Знайдіть корені рівняння (2 · x - 1) · (x - 6) · (x 2 - 5 · x + 14) · (x + 1) x 5 - 15 · x 4 + 57 · x 3 - 13 · x 2 + 26 · x + 112 = 0.

Рішення

Почнемо з розгляду цілого рівняння (2 · x - 1) · (x - 6) · (x 2 - 5 · x + 14) · (x + 1) = 0та знаходження його коріння. Для цього застосуємо метод розв'язання рівнянь через розкладання на множники. Виходить, що вихідне рівняння рівносильне сукупності чотирьох рівнянь 2 · x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 · x + 14 = 0, x + 1 = 0, з яких три лінійних і одне квадратне. Знаходимо коріння: з першого рівняння x = 1 2, з другого – x = 6з третього – x = 7 , x = − 2 , з четвертого – x = − 1.

Проведемо перевірку отриманого коріння. Визначити ОДЗ у разі нам складно, оскільки цього доведеться провести рішення алгебраїчного рівняння п'ятого ступеня. Простіше буде перевірити умову, за якою знаменник дробу, що знаходиться в лівій частині рівняння, не повинен звертатися в нуль.

По черзі підставимо коріння на місце змінної х у вираз x 5 − 15 · x 4 + 57 · x 3 − 13 · x 2 + 26 · x + 112і обчислимо його значення:

1 2 5 − 15 · 1 2 4 + 57 · 1 2 3 − 13 · 1 2 2 + 26 · 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 12 + ≠ 0;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0;

(−2) 5−15 · (−2) 4 + 57 · (−2) 3 − 13 · (−2) 2 + 26 · (−2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(−1) 5−15 · (−1) 4 + 57 · (−1) 3−13 · (−1) 2 + 26 · (−1) + 112 = 0 .

Проведена перевірка дозволяє нам встановити, що корінням вихідного дробового рацинального рівняння є 1 2 , 6 − 2 .

Відповідь: 1 2 , 6 , - 2

Приклад 9

Знайдіть коріння дробового раціонального рівняння 5 · x 2 - 7 · x - 1 · x - 2 x 2 + 5 · x - 14 = 0.

Рішення

Почнемо роботу з рівнянням (5 · x 2 − 7 · x − 1) · (x − 2) = 0. Знайдемо його коріння. Нам простіше уявити це рівняння як сукупність квадратного та лінійного рівнянь 5 · x 2 − 7 · x − 1 = 0і x − 2 = 0.

Використовуємо формулу коренів квадратного рівняння для пошуку коренів. Отримуємо з першого рівняння два корені x = 7 ± 69 10 , а з другого x = 2.

Підставляти значення коріння у вихідне рівняння для перевірки умов нам буде досить складно. Простіше буде визначити ОДЗ змінної x. В даному випадку ОДЗ змінної x - це все числа, крім тих, для яких виконується умова x 2 + 5 · x − 14 = 0. Отримуємо: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Тепер перевіримо, чи належать знайдене нами коріння до області допустимих значень змінної x .

Коріння x = 7 ± 69 10 - належать, тому вони є корінням вихідного рівняння, а x = 2– не належить, тому це сторонній корінь.

Відповідь: x = 7 ± 69 10 .

Розберемо окремо випадки, коли у чисельнику дробового раціонального рівняння виду p(x)q(x) = 0 знаходиться число. У таких випадках, якщо в чисельнику знаходиться число, відмінне від нуля, то рівняння не матиме коріння. Якщо це число дорівнюватиме нулю, то коренем рівняння буде будь-яке число з ОДЗ.

Приклад 10

Розв'яжіть дробове раціональне рівняння - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Рішення

Дане рівняння не матиме коренів, тому що в чисельнику дробу з лівої частини рівняння знаходиться відмінне від нуля число. Це означає, що при жодних значеннях x значення наведеного в умові завдання дробу не дорівнюватиме нулю.

Відповідь:немає коріння.

Приклад 11

Розв'яжіть рівняння 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 .

Рішення

Так як в чисельнику дробу знаходиться нуль, розв'язуванням рівняння буде будь-яке значення x з ОДЗ змінної x .

Тепер визначимо ОДЗ. Воно буде включати всі значення x , за яких x 4 + 5 · x 3 ≠ 0. Рішеннями рівняння x 4 + 5 · x 3 = 0є 0 і − 5 , так як це рівняння рівносильне рівнянню x 3 · (x + 5) = 0, а воно у свою чергу рівносильне сукупності двох рівнянь x 3 = 0 x + 5 = 0, звідки і видно це коріння. Ми приходимо до того, що областю допустимих значень є будь-які x , крім x = 0і x = − 5.

Виходить, що дробове раціональне рівняння 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 має безліч рішень, якими є будь-які числа крім нуля і - 5 .

Відповідь: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Тепер поговоримо про дробові раціональні рівняння довільного виду та методи їх вирішення. Їх можна записати як r(x) = s(x), де r(x)і s(x)– раціональні висловлювання, причому хоча б один із них дробовий. Розв'язання таких рівнянь зводиться до розв'язання рівнянь виду p(x) q(x) = 0 .

Ми вже знаємо, що ми можемо отримати рівносильне рівняння при перенесенні виразу з правої частини рівняння до лівого з протилежним знаком. Це означає, що рівняння r(x) = s(x)рівносильне рівняння r(x) − s(x) = 0. Також ми вже розібрали способи перетворення раціонального вираження на раціональний дріб. Завдяки цьому ми легко можемо перетворити рівняння r(x) − s(x) = 0в тотожний йому раціональний дріб виду p (x) q (x) .

Так ми переходимо від вихідного дробового раціонального рівняння r(x) = s(x)до рівняння виду p (x) q (x) = 0, вирішувати які ми вже навчилися.

Слід враховувати, що під час проведення переходів від r(x) − s(x) = 0 p (x) q (x) = 0 , а потім до p(x) = 0ми можемо не враховувати розширення області допустимих значень змінної x.

Цілком реальна ситуація, коли вихідне рівняння r(x) = s(x)та рівняння p(x) = 0внаслідок перетворень перестануть бути рівносильними. Тоді рішення рівняння p(x) = 0може дати нам коріння, яке буде стороннім для r(x) = s(x). У зв'язку з цим у кожному випадку необхідно проводити перевірку будь-яким із описаних вище способів.

Щоб полегшити роботу з вивчення теми, ми узагальнили всю інформацію в алгрітм рішення дробового раціонального рівняння виду r(x) = s(x):

• переносимо вираз із правої частини з протилежним знаком і отримуємо праворуч нуль;
• перетворимо вихідний вираз у раціональний дріб p (x) q (x) , послідовно виконуючи дії з дробами та багаточленами;
• вирішуємо рівняння p(x) = 0;
• виявляємо стороннє коріння шляхом перевірки їх належності ОДЗ або методом підстановки у вихідне рівняння.

Візуально ланцюжок дій виглядатиме так:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → відс і в а н і е п о с т о р о н і х к о р н й

Приклад 12

Розв'яжіть дробове раціональне рівняння x x + 1 = 1 x + 1 .

Рішення

Перейдемо до рівняння x x + 1 – 1 x + 1 = 0 . Перетворимо дробовий раціональний вираз у лівій частині рівняння до виду p(x)q(x).

Для цього нам доведеться привести раціональні дроби до спільного знаменника та спростити вираз:

x x + 1 - 1 x - 1 = x · x - 1 · (x + 1) - 1 · x · (x + 1) x · (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

Для того, щоб знайти коріння рівняння - 2 · x - 1 x · (x + 1) = 0 нам необхідно вирішити рівняння − 2 · x − 1 = 0. Отримуємо один корінь x = - 1 2.

Нам залишилося виконати перевірку будь-яким із методів. Розглянемо їх обоє.

Підставимо отримане значення у вихідне рівняння. Отримаємо - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Ми прийшли до вірної числової рівності − 1 = − 1 . Це означає що x = − 1 2є коренем вихідного рівняння.

Тепер проведемо перевірку через ОДЗ. Визначимо область допустимих значень змінної x. Це буде безліч чисел, за винятком − 1 і 0 (при x = − 1 і x = 0 перетворюються на нуль знаменники дробів). Отриманий нами корінь x = − 1 2належить ОДЗ. Це означає, що він є коренем вихідного рівняння.

Відповідь: − 1 2 .

Приклад 13

Знайдіть корені рівняння x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.

Рішення

Ми маємо справу з дрібним раціональним рівнянням. Отже, діятимемо за алгоритмом.

Перенесемо вираз із правої частини до лівої з протилежним знаком: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = 0

Проведемо необхідні перетворення: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Приходимо до рівняння x = 0. Корінь цього рівняння – нуль.

Перевіримо, чи це корінь стороннім для вихідного рівняння. Підставимо значення вихідне рівняння: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0 . Як бачите, отримане рівняння не має сенсу. Це означає, що 0 – це сторонній корінь, а вихідне дробове раціональне рівняння коренів немає.

Відповідь:немає коріння.

Якщо ми не включили в алгоритм інші рівносильні перетворення, це зовсім не означає, що ними не можна користуватися. Алгоритм універсальний, але він створений для того, щоб допомагати, а не обмежувати.

Приклад 14

Розв'яжіть рівняння 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Рішення

Найпростіше буде вирішити наведене дробове раціональне рівняння згідно з алгоритмом. Але є й інший шлях. Розглянемо його.

Віднімемо від правої та лівої частин 7, отримуємо: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24 .

Звідси можна зробити висновок, що вираз у знаменнику лівої частини має дорівнювати числу, зворотному числу з правої частини, тобто, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Віднімемо з обох частин 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . За аналогією 2 + 1 5 - x 2 = 7 3 , звідки 1 5 - x 2 = 1 3 і далі 5 - x 2 = 3 , x 2 = 2 , x = ± 2

Проведемо перевірку для того, щоб встановити, чи є знайдене коріння корінням вихідного рівняння.

Відповідь: x = ±2

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Простіше кажучи, це рівняння, в яких є хоча б одна зі змінною у знаменнику.

Наприклад:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

приклад недробово-раціональних рівнянь:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Як вирішуються дробові раціональні рівняння?

Головне, що треба запам'ятати про дробові раціональні рівняння - в них треба писати. І після знаходження коріння – обов'язково перевіряти їх на допустимість. Інакше може з'явитися стороннє коріння, і все рішення вважатиметься невірним.

Алгоритм розв'язання дробово-раціонального рівняння:

Випишіть і вирішіть ОДЗ.

Помножте кожен член рівняння на спільний знаменник і скоротить отримані дроби. Знаменники при цьому пропадуть.

Запишіть рівняння, не розкриваючи дужок.

Розв'яжіть отримане рівняння.

Перевірте знайдене коріння з ОДЗ.

Запишіть у відповідь коріння, яке пройшло перевірку в п.7.

Алгоритм не заучуйте, 3-5 вирішених рівнянь - і він запам'ятається сам.

приклад . Розв'яжіть дробово-раціональне рівняння \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Рішення:

Відповідь: \(3\).

приклад . Знайдіть корені дробово-раціонального рівняння \(=0\)

Рішення:

Відповідь: \(\frac(1)(2)\).

Найменший загальний знаменник використовується для спрощення рівняння.Цей метод застосовується в тому випадку, коли ви не можете записати дане рівняння з одним раціональним виразом на кожній стороні рівняння (і скористатися методом множення навхрест). Цей метод використовується, коли вам дано раціональне рівняння з 3 або більше дробами (у разі двох дробів краще застосувати множення навхрест).

Рівняння» ми ввели вище в § 7. Спочатку нагадаємо, що таке раціональне вираження. Це - вираз алгебри, складений з чисел і змінної х за допомогою операцій складання, віднімання, множення, поділу і зведення в ступінь з натуральним показником.

Якщо r(х) – раціональний вираз, то рівняння r(х) = 0 називають раціональним рівнянням.

Втім, практично зручніше користуватися дещо ширшим тлумаченням терміну «раціональне рівняння»: це рівняння виду h(x) = q(x), де h(x) і q(x) - раціональні висловлювання.

Досі ми могли вирішити не будь-яке раціональне рівняння, а тільки таке, яке внаслідок різних перетворень та міркувань зводилося до лінійному рівнянню. Тепер наші можливості значно більші: ми зуміємо вирішити раціональне рівняння, яке зводиться не тільки до лінійно-
му, а й до квадратного рівняння.

Нагадаємо, як ми вирішували раціональні рівняння раніше, і спробуємо сформулювати алгоритм розв'язання.

приклад 1.Вирішити рівняння

Рішення. Перепишемо рівняння у вигляді

При цьому, як завжди, ми користуємося тим, що рівності А = В і А - В = 0 виражають ту саму залежність між А і В. Це і дозволило нам перенести член у ліву частину рівняння з протилежним знаком.

Виконаємо перетворення лівої частини рівняння. Маємо

Згадаймо умови рівності дробинулю: тоді, і тільки тоді, коли одночасно виконуються два співвідношення:

1) чисельник дробу дорівнює нулю (а = 0); 2) знаменник дробу відмінний від нуля).
Прирівнявши нулю чисельник дробу в лівій частині рівняння (1), отримаємо

Залишилося перевірити виконання другої зазначеної вище умови. Співвідношення означає рівняння (1), що . Значення х 1 = 2 і х 2 = 0,6 зазначеним співвідношенням задовольняють і тому є корінням рівняння (1), а разом з тим і корінням заданого рівняння.

1) Перетворимо рівняння до виду

2) Виконаємо перетворення лівої частини цього рівняння:

(одночасно змінили знаки в чисельнику та
дроби).
Таким чином, задане рівняння набуває вигляду

3) Розв'яжемо рівняння х 2 - 6x + 8 = 0. Знаходимо

4) Для знайдених значень перевіримо виконання умови . Число 4 цій умові задовольняє, а число 2 - ні. Значить, 4 – корінь заданого рівняння, а 2 – сторонній корінь.
Відповідь: 4.

2. Вирішення раціональних рівнянь методом введення нової змінної

Метод введення нової змінної вам знайомий, ми не раз ним користувалися. Покажемо на прикладах, як він застосовується під час вирішення раціональних рівнянь.

приклад 3.Розв'язати рівняння х 4 + х 2 – 20 = 0.

Рішення. Введемо нову змінну у = х2. Так як х 4 = (х 2) 2 = у 2 то задане рівняння можна переписати у вигляді

у 2 + у – 20 = 0.

Це – квадратне рівняння, коріння якого знайдемо, використовуючи відомі формули; отримаємо у 1 = 4, у 2 = - 5.
Але у = х 2, отже, завдання звелося вирішення двох рівнянь:
x 2 = 4; х 2 =-5.

З першого рівняння знаходимо друге рівняння немає коренів.
Відповідь: .
Рівняння виду ах 4 + bx 2 +c = 0 називають біквадратним рівнянням («бі» - два, тобто як би «двічі квадратне» рівняння). Щойно вирішене рівняння було саме біквадратним. Будь-яке біквадратне рівняння вирішується так само, як рівняння з прикладу 3: вводять нову змінну у = х 2 вирішують отримане квадратне рівняння щодо змінної у, а потім повертаються до змінної х.

приклад 4.Вирішити рівняння

Рішення. Зауважимо, що тут двічі зустрічається те саме вираз х 2 + Зх. Отже, має сенс запровадити нову змінну у = х 2 + Зх. Це дозволить переписати рівняння у більш простому та приємному вигляді (що, власне кажучи, і становить мету введення нової змінної- і запис спрощення
ється, і структура рівняння стає більш ясною):

А тепер скористаємося алгоритмом розв'язання раціонального рівняння.

1) Перенесемо всі члени рівняння в одну частину:

= 0
2) Перетворимо ліву частину рівняння

Отже, ми перетворили задане рівняння на вигляд

3) З рівняння - 7у 2 + 29у -4 = 0 знаходимо (ми з вами вже вирішили досить багато квадратних рівнянь, тому завжди наводити в підручнику докладні викладки, напевно, не варто).

4) Виконаємо перевірку знайденого коріння за допомогою умови 5 (у - 3) (у + 1). Обидва корені цій умові задовольняють.
Отже, квадратне рівняння щодо нової змінної у вирішено:
Оскільки у = х 2 + Зх, а у, як ми встановили, набуває двох значень: 4 і , - нам ще належить вирішити два рівняння: х 2 + Зх = 4; х 2 + Зх =. Корінням першого рівняння є числа 1 і - 4, корінням другого рівняння - числа

У розглянутих прикладах метод запровадження нової змінної був, як люблять висловлюватися математики, адекватний ситуації, т. е. добре їй відповідав. Чому? Та тому, що один і той же вираз явно зустрічався в записі рівняння кілька разів і був сенс позначити цей вираз новою літерою. Але так буває не завжди, іноді нова змінна «виявляється» лише у процесі перетворень. Саме так буде справа в наступному прикладі.

Приклад 5.Вирішити рівняння
х(х-1)(x-2)(x-3) = 24.
Рішення. Маємо
х(х - 3) = х 2 - 3х;
(х - 1) (x - 2) = x 2-Зx +2.

Отже, задане рівняння можна переписати як

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Ось тепер нова змінна "проявилася": у = х 2 - Зх.

З її допомогою рівняння можна переписати у вигляді у (у + 2) = 24 і далі у 2 + 2у - 24 = 0. Корінням цього рівняння є числа 4 і -6.

Повертаючись до вихідної змінної х, отримуємо два рівняння х 2 - Зх = 4 та х 2 - Зх = - 6. З першого рівняння знаходимо х 1 = 4, х 2 = - 1; друге рівняння не має коріння.

Відповідь: 4, - 1.

Продовжуємо розмову про вирішення рівнянь. У цій статті ми докладно зупинимося на раціональних рівнянняхта принципи розв'язання раціональних рівнянь з однією змінною. Спочатку розберемося, рівняння якого виду називаються раціональними, дамо визначення цілих раціональних та дробових раціональних рівнянь, наведемо приклади. Далі отримаємо алгоритми розв'язання раціональних рівнянь, і, звичайно ж, розглянемо розв'язання характерних прикладів із усіма необхідними поясненнями.

Навігація на сторінці.

Відштовхуючись від озвучених визначень, наведемо кілька прикладів раціональних рівнянь. Наприклад, x = 1, 2 · x-12 · x 2 · y · z 3 = 0, - це все раціональні рівняння.

З наведених прикладів видно, що раціональні рівняння, як, втім, і рівняння інших видів, можуть бути як з однією змінною, так і з двома, трьома і т.д. змінними. У наступних пунктах ми говоритимемо про вирішення раціональних рівнянь із однією змінною. Розв'язання рівнянь із двома зміннимита їх великою кількістю заслуговують на окрему увагу.

Крім поділу раціональних рівнянь за кількістю невідомих змінних, їх поділяють на цілі та дробові. Дамо відповідні визначення.

Визначення.

Раціональне рівняння називають цілим, якщо і ліва, і права його частини є цілими раціональними виразами.

Визначення.

Якщо хоча б одна з частин раціонального рівняння є дрібним виразом, то таке рівняння називається дробово раціональним(або дрібним раціональним).

Зрозуміло, що цілі рівняння не містять поділу на змінну, а дробові раціональні рівняння обов'язково містять поділ на змінну (або змінну в знаменнику). Так 3 x 2 = 0 і (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– це цілі раціональні рівняння, обидві частини є цілими висловлюваннями. А і x: (5 · x 3 + y 2) = 3: (x-1): 5 - приклади дробових раціональних рівнянь.

Завершуючи цей пункт, звернемо увагу, що відомі до цього моменту лінійні рівняння і квадратні рівняння є цілими раціональними рівняннями.

Вирішення цілих рівнянь

Одним із основних підходів до вирішення цілих рівнянь є їх зведення до рівносильних алгебраїчним рівнянням. Це можна зробити завжди, виконавши наступні рівносильні перетворення рівняння:

• спочатку вираз із правої частини вихідного цілого рівняння переносять у ліву частину з протилежним знаком, щоб отримати нуль у правій частині;
• після цього в лівій частині рівняння утворилося стандартного виду.

В результаті виходить алгебраїчне рівняння, яке рівносильне вихідному цілому рівнянню. Так, у найпростіших випадках розв'язання цілих рівнянь зводяться до розв'язання лінійних чи квадратних рівнянь, а загальному випадку – до розв'язання рівня алгебри ступеня n . Для наочності розберемо рішення прикладу.

приклад.

Знайдіть коріння цілого рівняння 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Рішення.

Зведемо розв'язання цього цілого рівняння до рішення рівносильного йому рівняння алгебри. Для цього, по-перше, перенесемо вираз із правої частини до лівої, в результаті приходимо до рівняння 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. І, по-друге, перетворимо вираз, що утворився в лівій частині, в багаточлен стандартного вигляду, виконавши необхідні: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3·x+3)·(x−3)−2·x 2 +x+3= 3·x 2 −9·x+3·x−9−2·x 2 +x+3=x 2 −5·x−6. Таким чином, розв'язок вихідного цілого рівняння зводиться до розв'язання квадратного рівняння x 2 −5·x−6=0 .

Обчислюємо його дискримінант D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, він позитивний, отже, рівняння має два дійсні корені, які знаходимо за формулою коренів квадратного рівняння :

Для повної впевненості виконаємо перевірку знайденого коріння рівняння. Спочатку перевіряємо корінь 6 , підставляємо його замість змінної x вихідне ціле рівняння: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, Що те саме, 63 = 63 . Ця вірна числова рівність, отже, x=6 справді є коренем рівняння. Тепер перевіряємо корінь −1, маємо 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, Звідки, 0 = 0 . При x=−1 вихідне рівняння також звернулося до правильної числову рівність, отже, x=−1 теж є коренем рівняння.

Відповідь:

6 , −1 .

Тут ще слід зауважити, що з уявленням цілого рівняння у вигляді рівняння алгебри пов'язаний термін «ступінь цілого рівняння». Дамо відповідне визначення:

Визначення.

ступенем цілого рівнянняназивають ступінь рівносильного йому рівняння алгебри.

Згідно з цим визначенням, ціле рівняння з попереднього прикладу має другий ступінь.

На цьому можна було б закінчити з вирішенням цілих раціональних рівнянь, якби жодне але…. Як відомо, рішення рівнянь алгебри вище другої пов'язане зі значними складнощами, а для рівнянь ступеня вище четвертої взагалі не існує загальних формул коренів. Тому для вирішення цілих рівнянь третього, четвертого і вищих ступенів часто доводиться вдаватися до інших методів розв'язання.

У таких випадках іноді рятує підхід до вирішення цілих раціональних рівнянь, заснований на методі розкладання на множники. При цьому дотримуються наступного алгоритму:

• спочатку домагаються, щоб у правій частині рівняння був нуль, для цього переносять вираз із правої частини цілого рівняння до лівої;
• потім, отриманий вираз у лівій частині представляють у вигляді добутку кількох множників, що дозволяє перейти до сукупності кількох простіших рівнянь.

Наведений алгоритм розв'язання цілого рівняння через розкладання на множники потребує детального роз'яснення з прикладу.

приклад.

Розв'яжіть ціле рівняння (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2·x·(x 2 −10·x+13) .

Рішення.

Спочатку як зазвичай переносимо вираз із правої частини до лівої частини рівняння, не забувши змінити знак, отримуємо (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2·x·(x 2 −10·x+13)=0 . Тут досить очевидно, що не доцільно перетворювати ліву частину отриманого рівняння в багаточлен стандартного виду, так як це дасть рівняння алгебри четвертого ступеня виду x 4 −12·x 3 +32·x 2 −16·x−13=0, Рішення якого складно.

З іншого боку, очевидно, що в лівій частині отриманого рівняння можна x 2 -10 x 13, тим самим представивши її у вигляді твору. Маємо (x 2 −10·x+13)·(x 2 −2·x−1)=0. Отримане рівняння рівносильне вихідному цілому рівнянню, та її, своєю чергою, можна замінити сукупністю двох квадратних рівнянь x 2 −10·x+13=0 і x 2 −2·x−1=0 . Знаходження їх коренів за відомими формулами коренів через дискримінант не складно, коріння рівні . Вони є шуканим корінням вихідного рівняння.

Відповідь:

Для вирішення цілих раціональних рівнянь також буває корисним метод введення нової змінної. У деяких випадках він дозволяє переходити до рівнянь, ступінь яких нижчий, ніж рівень вихідного цілого рівняння.

приклад.

Знайдіть дійсне коріння раціонального рівняння (x 2 +3 · x +1) 2 +10 = -2 · (x 2 +3 · x-4).

Рішення.

Зведення даного цілого раціонального рівняння до рівня алгебри є, м'яко кажучи, не дуже гарною ідеєю, тому що в цьому випадку ми прийдемо до необхідності вирішення рівняння четвертого ступеня, що не має раціонального коріння. Тому доведеться пошукати інший спосіб рішення.

Тут нескладно помітити, що можна ввести нову змінну y, і замінити нею вираз x 2 +3 x. Така заміна призводить нас до цілого рівняння (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , яке після перенесення виразу −2·(y−4) у ліву частину і подальшого перетворення виразу, що утворився там, зводиться до квадратного рівняння y 2 +4 · y +3 = 0 . Коріння цього рівняння y=−1 та y=−3 легко знаходяться, наприклад, їх можна підібрати, ґрунтуючись на теоремі, зворотній теоремі Вієта.

Тепер переходимо до другої частини методу введення нової змінної, тобто проведення зворотної заміни. Виконавши зворотну заміну, отримуємо два рівняння x 2 +3 x = -1 і x 2 +3 x = -3 , які можна переписати як x 2 +3 x +1 = 0 і x 2 +3 x +3 =0. За формулою коренів квадратного рівняння знаходимо коріння першого рівняння. А друге квадратне рівняння немає дійсних коренів, оскільки його дискримінант негативний (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Відповідь:

Взагалі, коли ми маємо справу з цілими рівняннями високих ступенів, завжди треба бути готовим до пошуку нестандартного методу чи штучного прийому для їх вирішення.

Розв'язання дробово раціональних рівнянь

Спочатку корисно розібратися, як розв'язувати дробово раціональні рівняння виду , де p(x) і q(x) – цілі раціональні висловлювання. А далі ми покажемо, як звести рішення решти дробово раціональних рівнянь до розв'язання рівнянь зазначеного виду.

В основі одного з підходів до вирішення рівняння лежить наступне твердження: числовий дріб u/v , де v - відмінне від нуля число (інакше ми зіткнемося з , яке не визначено), дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли її чисельник дорівнює нулю, то є, і тоді, коли u=0 . В силу цього твердження рішення рівняння зводиться до виконання двох умов p(x)=0 і q(x)≠0 .

Цьому висновку відповідає наступний алгоритм розв'язання дробово раціонального рівняння. Щоб вирішити дробове раціональне рівняння виду, треба

• вирішити ціле раціональне рівняння p (x) = 0;
• та перевірити, чи виконується для кожного знайденого кореня умова q(x)≠0 , при цьому
• якщо виконується, цей корінь є коренем вихідного рівняння;
• якщо не виконується, цей корінь – сторонній, тобто, не є коренем вихідного рівняння.

Розберемо приклад застосування озвученого алгоритму під час вирішення дробового раціонального рівняння.

приклад.

Знайдіть коріння рівняння.

Рішення.

Це дробово раціональне рівняння, причому виду , де p (x) = 3 · x-2, q (x) = 5 · x 2 -2 = 0 .

Відповідно до алгоритму розв'язання дробово раціональних рівнянь цього виду, нам спочатку треба розв'язати рівняння 3·x−2=0 . Це лінійне рівняння, коренем якого є x = 2/3.

Залишилося виконати перевірку для цього кореня, тобто перевірити, чи він задовольняє умові 5·x 2 −2≠0 . Підставляємо у вираз 5 x 2 −2 замість x число 2/3, отримуємо. Умова виконана, тому x=2/3 є коренем вихідного рівняння.

Відповідь:

2/3 .

До розв'язання дробового раціонального рівняння можна підходити з трохи іншої позиції. Це рівняння рівносильне цілому рівнянню p(x)=0 на змінній x вихідного рівняння. Тобто, можна дотримуватись такого алгоритму розв'язання дробово-раціонального рівняння :

• розв'язати рівняння p(x)=0;
• знайти ОДЗ змінної x;
• взяти коріння, що належать області допустимих значень, - вони є шуканим корінням вихідного дробового раціонального рівняння.

Наприклад вирішимо дробове раціональне рівняння з цього алгоритму.

приклад.

Розв'яжіть рівняння.

Рішення.

По-перше, розв'язуємо квадратне рівняння x 2 −2·x−11=0 . Його коріння можна обчислити, використовуючи формулу коренів для парного другого коефіцієнта. D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, та .

По-друге, знаходимо ОДЗ змінної x для вихідного рівняння. Її становлять усі числа, для яких x 2 +3·x≠0 , що те саме x·(x+3)≠0 , звідки x≠0 , x≠−3 .

Залишається перевірити, чи входять знайдене на першому кроці коріння в ОДЗ. Очевидно, що так. Отже, вихідне дробово раціональне рівняння має два корені.

Відповідь:

Зазначимо, що такий підхід вигідніший за перший, якщо легко знаходиться ОДЗ, і особливо вигідний, якщо ще при цьому корені рівняння p(x)=0 ірраціональні, наприклад, або раціональні, але з досить великим чисельником і/або знаменником, наприклад, 127/1101 та −31/59 . Це з тим, що у разі перевірка умови q(x)≠0 вимагатиме значних обчислювальних зусиль, і простіше виключити сторонні коріння по ОДЗ.

В інших випадках при вирішенні рівняння , особливо коли коріння рівняння p (x) = 0 цілі, вигідніше використовувати перший з наведених алгоритмів. Тобто, доцільно відразу знаходити коріння цілого рівняння p(x)=0, після чого перевіряти, чи виконується для них умова q(x)≠0, а не знаходити ОДЗ, після чого вирішувати рівняння p(x)=0 на цій ОДЗ . Це з тим, що у разі зробити перевірку зазвичай простіше, ніж знайти ОДЗ.

Розглянемо рішення двох прикладів для ілюстрації обумовлених нюансів.

приклад.

Знайдіть коріння рівняння.

Рішення.

Спочатку знайдемо коріння цілого рівняння (2·x−1)·(x−6)·(x 2 −5·x+14)·(x+1)=0, складеного з використанням чисельника дробу Ліва частина цього рівняння – твір, а права – нуль, тому, згідно з методом розв'язання рівнянь через розкладання на множники, це рівняння рівносильне сукупності чотирьох рівнянь 2·x−1=0 , x−6=0 , x 2 −5·x+ 14=0, x+1=0. Три з цих рівнянь лінійні і одне квадратне, їх ми вміємо вирішувати. З першого рівняння знаходимо x = 1/2, з другого - x = 6, з третього - x = 7, x = -2, з четвертого - x = -1.

Знайденим корінням досить легко виконати їх перевірку на предмет того, чи не звертається при них в нуль знаменник дробу, що знаходиться в лівій частині вихідного рівняння, а визначити ОДЗ, навпаки, не так просто, так як для цього доведеться вирішувати рівняння алгебри п'ятого ступеня. Тому відмовимося від знаходження ОДЗ на користь перевірки коренів. Для цього по черзі підставляємо їх замість змінної x у вираз x 5 −15·x 4 +57·x 3 −13·x 2 +26·x+112, що виходять після підстановки, і порівнюємо їх з нулем: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Таким чином, 1/2 , 6 і −2 є корінням вихідного дробового раціонального рівняння, а 7 і −1 – сторонні корені.

Відповідь:

1/2 , 6 , −2 .

приклад.

Знайдіть коріння дробового раціонального рівняння.

Рішення.

Спочатку знайдемо коріння рівняння (5·x 2 −7·x−1)·(x−2)=0. Це рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь: квадратного 5 x 2 −7 x 1 = 0 і лінійного x 2 = 0 . За формулою коренів квадратного рівняння знаходимо два корені, та якщо з другого рівняння маємо x=2 .

Перевіряти, чи не звертається в нуль знаменник при знайдених значеннях x досить неприємно. А визначити область допустимих значень змінної x у вихідному рівнянні досить легко. Тому діятимемо через ОДЗ.

У нашому випадку ОДЗ змінної x вихідного дробово раціонального рівняння становлять усі числа, крім тих, для яких виконується умова x 2 +5 x-14 = 0 . Корінням цього квадратного рівняння є x=−7 і x=2 , звідки робимо висновок про ОДЗ: її становлять такі x , що .

Залишається перевірити, чи належать знайдене коріння і x=2 області допустимих значень. Коріння - належать, тому, є корінням вихідного рівняння, а x=2 – не належить, тому, це сторонній корінь.

Відповідь:

Ще корисним буде окремо зупинитися у випадках, як у дробовому раціональному рівнянні виду в чисельнику перебуває число, тобто, коли p(x) представлено якимось числом. При цьому

• якщо це число відмінно від нуля, то рівняння не має коріння, тому що дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли її чисельник дорівнює нулю;
• якщо це число нуль, корінням рівняння є будь-яке число з ОДЗ.

приклад.

Рішення.

Так як в чисельнику дробу, що знаходиться в лівій частині рівняння, відмінне від нуля число, то при яких x значення цього дробу не може дорівнювати нулю. Отже, це рівняння не має коріння.

Відповідь:

немає коріння.

приклад.

Розв'яжіть рівняння.

Рішення.

У чисельнику дробу, що знаходиться в лівій частині даного дробового раціонального рівняння, знаходиться нуль, тому значення цього дробу дорівнює нулю для будь-якого x, при якому вона має сенс. Іншими словами, рішенням цього рівняння є будь-яке значення x з ОДЗ цієї змінної.

Залишилося визначити цю область припустимих значень. Вона включає всі такі значення x , при яких x 4 +5 x 3 ≠0 . Розв'язаннями рівняння x 4 +5·x 3 =0 є 0 і −5 , оскільки це рівняння рівносильне рівнянню x 3 ·(x+5)=0 , а воно у свою чергу рівносильне сукупності двох рівнянь x 3 =0 і x +5=0 , звідки і видно це коріння. Отже, областю допустимих значень є будь-які x , крім x=0 і x=−5 .

Таким чином, дробово раціональне рівняння має безліч рішень, якими є будь-які числа, крім нуля і мінус п'яти.

Відповідь:

Зрештою, настав час поговорити про розв'язання дробових раціональних рівнянь довільного вигляду. Їх можна записати як r(x)=s(x) , де r(x) і s(x) – раціональні вирази, причому хоча б один із них дробовий. Забігаючи вперед, скажемо, що їхнє рішення зводиться до вирішення рівнянь вже знайомого нам виду.

Відомо, що перенесення доданку з однієї частини рівняння до іншої з протилежним знаком призводить до рівносильного рівняння, тому рівняння r(x)=s(x) рівносильне рівняння r(x)−s(x)=0 .

Також ми знаємо, що можна будь-яку, тотожно рівну цьому виразу. Таким чином, раціональний вираз у лівій частині рівняння r(x)−s(x)=0 ми завжди можемо перетворити на тотожно рівний раціональний дріб виду .

Так ми від вихідного дробового раціонального рівняння r(x)=s(x) переходимо до рівняння , яке рішення, як з'ясували вище, зводиться до розв'язання рівняння p(x)=0 .

Але тут обов'язково треба враховувати той факт, що при заміні r(x)−s(x)=0 на , і далі на p(x)=0 може відбутися розширення області допустимих значень змінної x .

Отже, вихідне рівняння r(x)=s(x) і рівняння p(x)=0 , до якого ми прийшли, можуть виявитися нерівносильними, і, вирішивши рівняння p(x)=0 ми можемо отримати коріння, яке буде стороннім корінням вихідного рівняння r(x)=s(x) . Виявити і не включати у відповідь сторонні корені можна, або виконавши перевірку, або перевіривши їх належність ОДЗ вихідного рівняння.

Узагальним цю інформацію в алгоритм розв'язання дробового раціонального рівняння r(x)=s(x). Щоб розв'язати дробове раціональне рівняння r(x)=s(x) треба

• Отримати праворуч нуль за допомогою перенесення виразу з правої частини з протилежним знаком.
• Виконати дії з дробами та багаточленами в лівій частині рівняння, тим самим перетворивши її на раціональний дріб виду .
• Розв'язати рівняння p(x)=0.
• Виявити та виключити сторонні корені, що робиться за допомогою їх підстановки у вихідне рівняння або за допомогою перевірки їх належності ОДЗ вихідного рівняння.

Для більшої наочності покажемо весь ланцюжок розв'язання дробових раціональних рівнянь:
.

Давайте розглянемо рішення кількох прикладів із докладним поясненням ходу рішення, щоб прояснити наведений блок інформації.

приклад.

Розв'яжіть дробове раціональне рівняння.

Рішення.

Діятимемо відповідно до щойно отриманого алгоритму рішення. І спочатку перенесемо доданки з правої частини рівняння до лівої, в результаті переходимо до рівняння .

На другому кроці нам потрібно перетворити дробовий раціональний вираз у лівій частині отриманого рівняння до виду дробу. І тому виконуємо приведення раціональних дробів до спільного знаменника і спрощуємо отримане выражение: . Так ми приходимо до рівняння.

На наступному етапі потрібно вирішити рівняння −2·x−1=0 . Знаходимо x=−1/2.

Залишається перевірити, чи не є знайдене число −1/2 стороннім коренем вихідного рівняння. Для цього можна зробити перевірку або знайти ОДЗ змінною вихідного рівняння x. Продемонструємо обидва підходи.

Почнемо із перевірки. Підставляємо вихідне рівняння замість змінної x число −1/2 , отримуємо , що те саме, −1=−1 . Підстановка дає правильну числову рівність, тому x=−1/2 є коренем вихідного рівняння.

Тепер покажемо, як останній пункт алгоритму виконується через ОДЗ. Областю допустимих значень вихідного рівняння є безліч всіх чисел, крім −1 та 0 (при x=−1 та x=0 перетворюються на нуль знаменники дробів). Знайдений на попередньому етапі корінь x=−1/2 належить ОДЗ, отже, x=−1/2 є коренем вихідного рівняння.

Відповідь:

−1/2 .

Розглянемо ще приклад.

приклад.

Знайдіть коріння рівняння.

Рішення.

Нам потрібно розв'язати дрібно раціональне рівняння, пройдемо всі кроки алгоритму.

По-перше, переносимо доданок з правої частини в ліву, отримуємо .

По-друге, перетворимо вираз, що утворився в лівій частині: . В результаті приходимо до рівняння x = 0.

Його корінь очевидний – це нуль.

На четвертому етапі залишається з'ясувати, чи не є знайдений корінь стороннім для початкового раціонального рівняння. При його підстановці у вихідне рівняння виходить вираз. Вочевидь, воно немає сенсу, оскільки містить розподіл на нуль. Звідки укладаємо, що 0 є стороннім коренем. Отже, вихідне рівняння немає коріння.

7, що призводить до рівняння. Звідси можна зробити висновок, що вираз у знаменнику лівої частини має бути рівним з правої частини, тобто, . Тепер віднімаємо з обох частин трійки: . За аналогією, звідки, і далі.

Перевірка показує, що обидва знайдені корені є корінням вихідного дробового раціонального рівняння.

Відповідь:

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2009. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-021134-5.