Дробові рівняння із модулем. Модуль числа (абсолютна величина числа), визначення, приклади, властивості

А обчислюється відповідно до таких правил:

Для стислості запису застосовують |а|. Так, |10| = 10; - 1/3 = | 1/3 |; | -100 | =100 і т.д.

Будь-якій величині хвідповідає досить точна величина х|. І значить тотожність у= |х| встановлює уяк деяку функцію аргументу х.

Графікцією функціїпредставлений нижче.

Для x > 0 |x| = x, а для x< 0 |x|= -x; у зв'язку з цим лінія у = | x| при x> 0 поєднана з прямою у = х(бісектриса першого координатного кута), а при х< 0 - с прямой у = -х(бісектриса другого координатного кута).

Окремі рівняннявключають невідомі під знаком модуля.

Довільні приклади таких рівнянь – | х— 1| = 2, |6 — 2х| =3х+ 1 і т.д.

Розв'язання рівняньмістять невідому під знаком модуля базується на тому, що якщо абсолютна величина невідомого числа х дорівнює позитивному числу а, то саме це число х дорівнює або а, або -а.

Наприклад:, якщо | х| = 10, або х=10, або х = -10.

Розглянемо вирішення окремих рівнянь.

Проаналізуємо рішення рівняння х- 1| = 2.

Розкриємо модультоді різниця х- 1 може дорівнювати або + 2, або - 2. Якщо х - 1 = 2, то х= 3; якщо ж х- 1 = - 2, то х= - 1. Робимо підставку і отримуємо, що ці значення задовольняють рівнянню.

Відповідь.Зазначене рівняння має два корені: x 1 = 3, x 2 = - 1.

Проаналізуємо вирішення рівняння | 6 — 2х| = 3х+ 1.

Після розкриття модуляотримуємо: або 6 - 2 х= 3х+ 1, або 6 - 2 х= - (3х+ 1).

В першому випадку х= 1, а в другому х= - 7.

Перевірка.При х= 1 |6 — 2х| = |4| = 4, 3x+ 1 = 4; від суду випливає, х = 1 - коріньданого рівняння.

При x = - 7 |6 — 2x| = |20| = 20, 3x+ 1 = - 20; оскільки 20 ≠ -20, то х= - 7 перестав бути коренем даного рівняння.

Відповідь. Урівняння єдиний корінь: х = 1.

Рівняння такого типу можна вирішувати та графічно.

Так вирішимо, наприклад, графічне рівняння | х- 1| = 2.

Спочатку виконаємо побудову графіка функції у = |x- 1 |. Першим накреслимо графік функції у=х- 1:

Ту частину цього графіка, яка розташована вище за осю хміняти не будемо. Для неї х- 1 > 0 і тому | х-1|=х-1.

Частина графіка, розташована під віссю х, зобразимо симетричнощодо цієї осі. Бо для цієї частини х - 1 < 0 и соответственно |х - 1|= - (х - 1). Утворилася в результаті лінія(суцільна лінія) і буде графіком функціїу = | х—1|.

Ця лінія перетнеться з прямий у= 2 у двох точках: M 1 з абсцисою -1 та М 2 з абсцисою 3. І, відповідно, у рівняння | х- 1 | =2 буде два корені: х 1 = - 1, х 2 = 3.

Не ми вибираємо математикусвоєю професією, а вона нас обирає.

Російський математик Ю.І. Манін

Рівняння з модулем

Найбільш складними завданнями шкільної математики є рівняння, що містять змінні під знаком модуля. Для успішного розв'язання таких рівнянь необхідно знати визначення та основні властивості модуля. Звичайно, що учні повинні мати навички розв'язання рівнянь такого типу.

Основні поняття та властивості

Модуль (абсолютна величина) дійсного числапозначається і визначається так:

До простих властивостей модуля належать такі співвідношення:

Зазначимо, що останні дві властивості справедливі для будь-якого парного ступеня.

Крім того, якщо, де, то і

Більш складні властивості модуля, які можна ефективно використовувати при вирішенні рівнянь із модулями, формулюються за допомогою наступних теорем:

Теорема 1.Для будь-яких аналітичних функційі справедлива нерівність

Теорема 2.Рівність рівнозначна нерівності.

Теорема 3.Рівність рівносильно нерівності.

Розглянемо типові приклади розв'язання задач на тему «Рівняння, що містять змінні під знаком модуля».

Розв'язання рівнянь із модулем

Найбільш поширеним у шкільній математиці методом розв'язання рівнянь із модулем є метод, заснований на розкритті модулів. Цей метод є універсальним, однак у загальному випадку його застосування може призвести до громіздких обчислень. У зв'язку з цим учні повинні знати й інші, більш ефективні методи та прийоми розв'язання таких рівнянь. Зокрема, необхідно мати навички застосування теорем, наведених у цій статті.

приклад 1.Вирішити рівняння . (1)

Рішення. Рівняння (1) вирішуватимемо «класичним» методом – методом розкриття модулів. Для цього розіб'ємо числову вісьточками та на інтервали та розглянемо три випадки.

1. Якщо , то , , , і рівняння (1) набуває вигляду . Звідси випливає. Однак тут , тому знайдене значення не є коренем рівняння (1).

2. Якщо , то з рівняння (1) отримуємоабо .

Оскільки , то корінь рівняння (1).

3. Якщо , то рівняння (1) набуває виглядуабо . Відмітимо, що .

Відповідь: , .

При вирішенні наступних рівнянь з модулем активно використовуватимемо властивості модулів з метою підвищення ефективності розв'язання подібних рівнянь.

приклад 2.Вирішити рівняння.

Рішення.Так як і , то з рівняння випливає. В зв'язку з цим , , , і рівняння набуває вигляду. Звідси отримуємо. Однак, тому вихідне рівняння коренів немає.

Відповідь: коріння немає.

приклад 3.Вирішити рівняння.

Рішення.Так як, то. Якщо то , і рівняння набуває вигляду.

Звідси отримуємо.

приклад 4.Вирішити рівняння.

Рішення.Перепишемо рівняння у рівносильному вигляді. (2)

Отримане рівняння відноситься до рівнянь типу.

Беручи до уваги теорему 2, можна стверджувати, що рівняння (2) рівнозначне нерівності. Звідси отримуємо.

Відповідь: .

Приклад 5.Вирішити рівняння .

Рішення. Дане рівняння має вигляд. Тому , згідно з теоремою 3, тут маємо нерівністьабо .

Приклад 6.Вирішити рівняння.

Рішення.Припустимо, що. Так як , то задане рівняння набуває вигляду квадратного рівняння, (3)

де . Оскільки рівняння (3) має єдиний позитивний коріньі то . Звідси отримуємо два корені вихідного рівняння:та .

Приклад 7. Вирішити рівняння. (4)

Рішення. Оскільки рівняннярівносильно сукупності двох рівнянь:і , то при вирішенні рівняння (4) необхідно розглянути два випадки.

1. Якщо , то чи .

Звідси отримуємо , та .

2. Якщо , то чи .

Так як, то.

Відповідь: , , , .

Приклад 8.Вирішити рівняння . (5)

Рішення.Так як і , то . Звідси і з рівняння (5) випливає, як і , тобто. тут маємо систему рівнянь

Однак дана система рівнянь є несумісною.

Відповідь: коріння немає.

Приклад 9. Вирішити рівняння. (6)

Рішення.Якщо позначити, то і з рівняння (6) отримуємо

Або. (7)

Оскільки рівняння (7) має вигляд , це рівняння рівнозначно нерівності . Звідси отримуємо. Так як , то чи .

Відповідь: .

приклад 10.Вирішити рівняння. (8)

Рішення.Відповідно до теореми 1 можна записати

(9)

Беручи до уваги рівняння (8), робимо висновок у тому, що обидві нерівності (9) звертаються до рівності, тобто. має місце система рівнянь

Однак за теоремою 3 наведена вище система рівнянь рівносильна системі нерівностей

(10)

Вирішуючи систему нерівностей (10) отримуємо . Оскільки система нерівностей (10) дорівнює рівнянню (8), то вихідне рівняння має єдиний корінь .

Відповідь: .

Приклад 11. Вирішити рівняння. (11)

Рішення.Нехай і тоді з рівняння (11) випливає рівність .

Звідси випливає, що . Таким чином, тут маємо систему нерівностей

Розв'язанням даної системи нерівностей єта .

Відповідь: , .

приклад 12.Вирішити рівняння. (12)

Рішення. Рівняння (12) вирішуватимемо методом послідовного розкриття модулів. Для цього розглянемо кілька випадків.

1. Якщо, то.

1.1. Якщо , то , .

1.2. Якщо то . Однак, тому у разі рівняння (12) коренів немає.

2. Якщо, то.

2.1. Якщо , то , .

2.2. Якщо, то й.

Відповідь: , , , , .

приклад 13.Вирішити рівняння. (13)

Рішення.Оскільки ліва частина рівняння (13) невід'ємна, то і . У цьому зв'язку і рівняння (13)

набуває вигляду або .

Відомо, що рівняння рівносильно сукупності двох рівняньі , вирішуючи які отримуємо, . Так як , то рівняння (13) має один корінь.

Відповідь: .

приклад 14. Розв'язати систему рівнянь (14)

Рішення.Так як і , то і . Отже, із системи рівнянь (14) отримуємо чотири системи рівнянь:

Коріння наведених вище систем рівнянь є корінням системи рівнянь (14).

Відповідь: ,, , , , , , .

приклад 15. Розв'язати систему рівнянь (15)

Рішення.Так як, то. У цьому зв'язку із системи рівнянь (15) отримуємо дві системи рівнянь

Корінням першої системи рівнянь є і , та якщо з другої системи рівнянь отримуємо і .

Відповідь: , , , .

Приклад 16 Розв'язати систему рівнянь (16)

Рішення.З першого рівняння системи (16) випливає, що .

Оскільки , то . Розглянемо друге рівняння системи. Оскільки, то , і рівняння набуває вигляду, , або .

Якщо підставити значенняу перше рівняння системи (16), то або .

Відповідь: , .

Для більш глибокого вивчення методів розв'язання задач, пов'язаних із розв'язанням рівнянь, містять змінні під знаком модуля, можна порадити навчальні посібники зі списку літератури, що рекомендується.

1. Збірник завдань з математики для вступників у втузи / За ред. М.І. Сканаві. - М.: Світ та Освіта, 2013. - 608 с.

2. Супрун В.П. Математика для старшокласників: завдання підвищеної складності. - М.: КД "Ліброком" / URSS, 2017. - 200 с.

3. Супрун В.П. Математика для старшокласників: нестандартні методи розв'язання задач. - М.: КД "Ліброком" / URSS, 2017. - 296 с.

Залишились питання?

Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Не ми вибираємо математикусвоєю професією, а вона нас обирає.

Російський математик Ю.І. Манін

Рівняння з модулем

Основні поняття та властивості

Модуль (абсолютна величина) дійсного числапозначається і визначається так:

До простих властивостей модуля належать такі співвідношення:

Зазначимо, що останні дві властивості справедливі для будь-якого парного ступеня.

Крім того, якщо, де, то і

Теорема 1.Для будь-яких аналітичних функційі справедлива нерівність

Теорема 2.Рівність рівнозначна нерівності.

Теорема 3.Рівність рівносильно нерівності.

Розглянемо типові приклади розв'язання задач на тему «Рівняння, що містять змінні під знаком модуля».

Розв'язання рівнянь із модулем

приклад 1.Вирішити рівняння . (1)

2. Якщо , то з рівняння (1) отримуємоабо .

Оскільки , то корінь рівняння (1).

3. Якщо , то рівняння (1) набуває виглядуабо . Відмітимо, що .

Відповідь: , .

приклад 2.Вирішити рівняння.

Відповідь: коріння немає.

приклад 3.Вирішити рівняння.

Рішення.Так як, то. Якщо то , і рівняння набуває вигляду.

Звідси отримуємо.

приклад 4.Вирішити рівняння.

Рішення.Перепишемо рівняння у рівносильному вигляді. (2)

Отримане рівняння відноситься до рівнянь типу.

Беручи до уваги теорему 2, можна стверджувати, що рівняння (2) рівнозначне нерівності. Звідси отримуємо.

Відповідь: .

Приклад 5.Вирішити рівняння .

Рішення. Дане рівняння має вигляд. Тому , згідно з теоремою 3, тут маємо нерівністьабо .

Приклад 6.Вирішити рівняння.

Рішення.Припустимо, що. Так як , то задане рівняння набуває вигляду квадратного рівняння, (3)

Приклад 7. Вирішити рівняння. (4)

1. Якщо , то чи .

Звідси отримуємо , та .

2. Якщо , то чи .

Так як, то.

Відповідь: , , , .

Приклад 8.Вирішити рівняння . (5)

Рішення.Так як і , то . Звідси і з рівняння (5) випливає, як і , тобто. тут маємо систему рівнянь

Однак дана система рівнянь є несумісною.

Відповідь: коріння немає.

Приклад 9. Вирішити рівняння. (6)

Рішення.Якщо позначити, то і з рівняння (6) отримуємо

Або. (7)

Оскільки рівняння (7) має вигляд , це рівняння рівнозначно нерівності . Звідси отримуємо. Так як , то чи .

Відповідь: .

приклад 10.Вирішити рівняння. (8)

Рішення.Відповідно до теореми 1 можна записати

(9)

Однак за теоремою 3 наведена вище система рівнянь рівносильна системі нерівностей

(10)

Відповідь: .

Приклад 11. Вирішити рівняння. (11)

Рішення.Нехай і тоді з рівняння (11) випливає рівність .

Звідси випливає, що . Таким чином, тут маємо систему нерівностей

Розв'язанням даної системи нерівностей єта .

Відповідь: , .

приклад 12.Вирішити рівняння. (12)

1. Якщо, то.

1.1. Якщо , то , .

1.2. Якщо то . Однак, тому у разі рівняння (12) коренів немає.

2. Якщо, то.

2.1. Якщо , то , .

2.2. Якщо, то й.

Відповідь: , , , , .

приклад 13.Вирішити рівняння. (13)

Рішення.Оскільки ліва частина рівняння (13) невід'ємна, то і . У цьому зв'язку і рівняння (13)

набуває вигляду або .

Відповідь: .

приклад 14. Розв'язати систему рівнянь (14)

Рішення.Так як і , то і . Отже, із системи рівнянь (14) отримуємо чотири системи рівнянь:

Коріння наведених вище систем рівнянь є корінням системи рівнянь (14).

Відповідь: ,, , , , , , .

приклад 15. Розв'язати систему рівнянь (15)

Рішення.Так як, то. У цьому зв'язку із системи рівнянь (15) отримуємо дві системи рівнянь

Корінням першої системи рівнянь є і , та якщо з другої системи рівнянь отримуємо і .

Відповідь: , , , .

Приклад 16 Розв'язати систему рівнянь (16)

Рішення.З першого рівняння системи (16) випливає, що .

Оскільки , то . Розглянемо друге рівняння системи. Оскільки, то , і рівняння набуває вигляду, , або .

Якщо підставити значенняу перше рівняння системи (16), то або .

Відповідь: , .

1. Збірник завдань з математики для вступників у втузи / За ред. М.І. Сканаві. - М.: Світ та Освіта, 2013. - 608 с.

2. Супрун В.П. Математика для старшокласників: завдання підвищеної складності. - М.: КД "Ліброком" / URSS, 2017. - 200 с.

Залишились питання?

Щоб отримати допомогу репетитора – .

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Одна з найскладніших тем для учнів – це вирішення рівнянь, які містять змінну під знаком модуля. Давайте розберемося для початку з чим це пов'язано? Чому, наприклад, квадратні рівняння більшість дітей клацає як горішки, а з таким далеко не найскладнішим поняттям, як модуль, має стільки проблем?

На мою думку, всі ці складності пов'язані з відсутністю чітко сформульованих правил для вирішення рівнянь із модулем. Так, вирішуючи квадратне рівняння, учень точно знає, що йому потрібно спочатку застосовувати формулу дискримінанта, а потім формули коріння квадратного рівняння. А що робити, якщо на рівнянні зустрівся модуль? Постараємося чітко описати необхідний план дій у разі, коли рівняння містить невідому під знаком модуля. До кожного випадку наведемо кілька прикладів.

Але для початку згадаємо визначення модуля. Отже, модулем числа aназивається саме це число, якщо aневід'ємно та -a, якщо число aменьше нуля. Записати це можна так:

|a| = a, якщо a ≥ 0 та |a| = -a, якщо a< 0

Говорячи про геометричний сенс модуля, слід пам'ятати, що кожному дійсному числу відповідає певна точка на числовій осі - її до оординату. Так ось, модулем або абсолютною величиною числа називається відстань від цієї точки до початку відліку числової осі. Відстань завжди задається позитивним числом. Таким чином, модуль будь-якого від'ємного числа є позитивним. До речі, навіть на цьому етапі багато учнів починають плутатися. У модулі може стояти будь-яке число, а ось результат застосування модуля завжди число позитивне.

Тепер перейдемо безпосередньо до розв'язання рівнянь.

1. Розглянемо рівняння виду | = с, де с – дійсне число. Це рівняння можна вирішити за допомогою модуля.

Всі дійсні числа розіб'ємо на три групи: ті, що більше за нуль, ті, що менше за нуль, і третя група – це число 0. Запишемо рішення у вигляді схеми:

(±c, якщо з > 0

Якщо | x | = c, то x = (0, якщо с = 0

(немає коріння, якщо з< 0

1) | = 5, т.к. 5> 0, то x = ±5;

2) | = -5, т.к. -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | = 0 то x = 0.

2. Рівняння виду | f (x) | = b, де b > 0. Для розв'язання цього рівняння необхідно позбутися модуля. Робимо це так: f(x) = b або f(x) = -b. Тепер необхідно вирішити окремо кожне із отриманих рівнянь. Якщо у вихідному рівнянні b< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | = 4, т.к. 4 > 0, то

x + 2 = 4 або x + 2 = -4

2) | x 2 – 5 | = 11, т.к. 11 > 0, то

x 2 - 5 = 11 або x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 немає коренів

3) | x 2 - 5x | = -8, т.к. -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Рівняння виду | f (x) | = g(x). За змістом модуля таке рівняння матиме рішення, якщо його права частина більша чи дорівнює нулю, тобто. g(x) ≥ 0. Тоді матимемо:

f(x) = g(x)або f(x) = -g(x).

1) | 2x - 1 | = 5x – 10. Це рівняння матиме коріння, якщо 5x – 10 ≥ 0. Саме з цього і починають розв'язання таких рівнянь.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

2. Рішення:

2x – 1 = 5x – 10 або 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Об'єднуємо О.Д.З. та рішення, отримуємо:

Корінь x = 11/7 не підходить за О.Д.З., він менше 2, а x = 3 цій умові задовольняє.

Відповідь: x = 3

2) | x - 1 | = 1 - х 2 .

1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Розв'яжемо методом інтервалів дану нерівність:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Рішення:

x – 1 = 1 – x 2 або x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 або x = 1 x = 0 або x = 1

3. Об'єднуємо рішення та О.Д.З.:

Підходять лише коріння x = 1 та x = 0.

Відповідь: x=0, x=1.

4. Рівняння виду | f (x) | = | g (x) |. Таке рівняння рівносильне двом наступним рівнянням f(x) = g(x) або f(x) = -g(x).

1) | x 2 - 5x + 7 | = | 2x - 5 |. Дане рівняння рівносильне двом наступним:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 або x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 або x = 4 x = 2 або x = 1

Відповідь: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Рівняння, які вирішуються методом підстановки (заміни змінної). Даний метод рішення найпростіше пояснити на конкретному прикладі. Так, нехай дано квадратне рівняння з модулем:

x 2 - 6 | x | + 5 = 0. За якістю модуля x 2 = |x| 2 , тому рівняння можна переписати так:

|х| 2 - 6 | x | + 5 = 0. Зробимо заміну | x | = t ≥ 0, тоді матимемо:

t 2 – 6t + 5 = 0. Вирішуючи дане рівняння, отримуємо, що t = 1 або t = 5. Повернемося до заміни:

|х| = 1 чи |x| = 5

x = ±1 x = ± 5

Відповідь: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Розглянемо ще один приклад:

x 2 + | x | – 2 = 0. За якістю модуля x 2 = |x| 2 , тому

|х| 2 + | x | - 2 = 0. Зробимо заміну | x | = t ≥ 0 тоді:

t 2 + t – 2 = 0. Вирішуючи дане рівняння, отримуємо, t = -2 або t = 1. Повернемося до заміни:

|х| = -2 чи |x| = 1

Немає коріння x = ± 1

Відповідь: x=-1, x=1.

6. Ще один вид рівнянь - рівняння зі "складним" модулем. До таких рівнянь відносяться рівняння, в яких є модулі в модулі. Рівняння цього виду можна вирішувати, застосовуючи властивості модуля.

1) |3 – |x|| = 4. Діятимемо так само, як і в рівняннях другого типу. Т.к. 4 > 0, то отримаємо два рівняння:

3 - | x | = 4 чи 3 – |x| = -4.

Тепер виразимо у кожному рівнянні модуль х, тоді |x| = -1 чи |x| = 7.

Вирішуємо кожне з отриманих рівнянь. У першому рівнянні немає коріння, т.к. -1< 0, а во втором x = ±7.

Відповідь x=-7, x=7.

2) | 3 + | x + 1 | | = 5. Вирішуємо це рівняння аналогічним чином:

3 + | x + 1 | = 5 чи 3 + |x + 1| = -5

|х + 1| = 2 | x + 1 | = -8

x + 1 = 2 або x + 1 = -2. Нема коріння.

Відповідь: x=-3, x=1.

Існує ще й універсальний метод розв'язання рівнянь із модулем. Це спосіб інтервалів. Але ми його розглянемо надалі.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.