Рух по колу. Рівняння руху по колу

Теми кодифікатора ЄДІ: рух по колу з постійною за модулем швидкістю, доцентрове прискорення.

Рівномірний рух по колу - це досить простий приклад руху з вектором прискорення, що залежить від часу.

Нехай точка обертається по колу радіусу. Швидкість точки постійна за модулем і дорівнює. Швидкість називається лінійною швидкістюточки.

Період звернення - Це час одного повного обороту. Для періоду маємо очевидну формулу:

. (1)

Частота звернення - це величина, обернена до періоду:

Частота показує, скільки повних обертів точка здійснює за секунду. Вимірюється частота об/с (обороти в секунду).

Нехай, наприклад, . Це означає, що за час точка робить один повний
оборот. Частота у своїй виходить дорівнює: про/с; за секунду точка здійснює 10 повних обертів.

Кутова швидкість.

Розглянемо рівномірне обертання точки декартової системі координат. Помістимо початок координат у центрі кола (рис. 1).

Рис. 1. Рівномірний рух по колу

Нехай – початкове положення точки; інакше кажучи, при точка мала координати . Нехай за час точка повернулася на кут і зайняла становище.

Відношення кута повороту до часу називається кутовий швидкістю обертання точки:

. (2)

Кут зазвичай вимірюється в радіанах, тому кутова швидкість вимірюється в рад/с. За час, що дорівнює періоду обертання, точка повертається на кут . Тому

. (3)

Зіставляючи формули (1) і (3) , отримуємо зв'язок лінійної та кутової швидкостей:

. (4)

Закон руху.

Знайдемо тепер залежність координат точки, що обертається від часу. Бачимо із рис. 1 , що

Але з формули (2) маємо: . Отже,

. (5)

Формули (5) є рішенням основного завдання механіки для рівномірного руху точки по колу.

Центрошвидке прискорення.

Тепер нас цікавить прискорення точки, що обертається. Його можна знайти, двічі продиференціювавши співвідношення (5) :

З урахуванням формул (5) маємо:

(6)

Отримані формули (6) можна записати у вигляді однієї векторної рівності:

(7)

де - радіус-вектор точки, що обертається.

Ми, що вектор прискорення спрямований протилежно радіус-вектору, т. е. до центру окружності (див. рис. 1 ). Тому прискорення точки, що рівномірно рухається по колу, називається доцентровим.

Крім того, з формули (7) ми отримуємо вираз для модуля доцентрового прискорення:

(8)

Виразимо кутову швидкість (4)

і підставимо (8) . Отримаємо ще одну формулу для доцентрового прискорення.

На цьому уроці ми розглянемо криволінійний рух, саме рівномірний рух тіла по колу. Ми дізнаємося, що таке лінійна швидкість, доцентрове прискорення при русі тіла по колу. Також введемо величини, які характеризують обертальний рух (період обертання, частота обертання, кутова швидкість) і зв'яжемо ці величини між собою.

Під рівномірним рухом по колу розуміють, що за будь-який однаковий проміжок часу тіло повертається на однаковий кут (див. рис. 6).

Рис. 6. Рівномірний рух по колу

Тобто модуль миттєвої швидкості не змінюється:

Таку швидкість називають лінійної.

Хоча модуль швидкості не змінюється, напрямок швидкості змінюється безперервно. Розглянемо вектори швидкості у точках Aі B(див. мал. 7). Вони спрямовані у різні боки, тому не рівні. Якщо відняти від швидкості в точці Bшвидкість у точці A, отримуємо вектор.

Рис. 7. Вектори швидкості

Відношення зміни швидкості () до часу, протягом якого ця зміна відбулася (), є прискоренням.

Отже, будь-який криволінійний рух є прискореним.

Якщо розглянути трикутник швидкостей, отриманий малюнку 7, то за дуже близькому розташуванні точок Aі Bодин до одного кут (α) між векторами швидкості буде близьким до нуля:

Також відомо, що цей трикутник рівнобедрений, тому модулі швидкостей рівні (рівномірний рух):

Отже, обидва кути при підставі цього трикутника необмежено близькі до:

Це означає, що прискорення, яке спрямоване вздовж вектора фактично перпендикулярно дотичної. Відомо, що лінія в колі, перпендикулярна дотичній, є радіусом, тому прискорення спрямоване вздовж радіусу до центру кола. Називається таке прискорення доцентровим.

На малюнку 8 зображено розглянутий раніше трикутник швидкостей і рівнобедрений трикутник (дві сторони є радіусами кола). Ці трикутники є подібними, так як у них рівні кути, утворені взаємно перпендикулярними прямими (радіус, як і вектор, перпендикулярні до дотичної).

Рис. 8. Ілюстрація до висновку формули доцентрового прискорення

Відрізок ABє переміщенням (). Ми розглядаємо рівномірний рух по колу, тому:

Підставимо отриманий вираз для ABу формулу подоби трикутників:

Понять «лінійна швидкість», «прискорення», «координата» замало у тому, щоб описати рух кривою траєкторії. Тому необхідно запровадити величини, що характеризують обертальний рух.

1. Періодом обертання (T ) називається час одного повного обороту. Вимірюється у системі СІ в секундах.

Приклади періодів: Земля обертається навколо осі за 24 години (), а навколо Сонця - за 1 рік ().

Формула для обчислення періоду:

де – повний час обертання; - число обертів.

2. Частота обертів (n ) - Число оборотів, яке тіло здійснює в одиницю часу. Вимірюється в системі СІ у зворотних секундах.

Формула для знаходження частоти:

де – повний час обертання; - число обертів

Частота і період - обернено пропорційні величини:

3. Кутовою швидкістю () називають відношення зміни кута, на який повернулося тіло, на час, за який цей поворот відбувся. Вимірюється в системі СІ у радіанах, поділених на секунди.

Формула для знаходження кутової швидкості:

де - Зміна кута; - Час, за який відбувся поворот на кут.

Рух по колу – найпростіший випадок криволінійного руху тіла. Коли тіло рухається навколо деякої точки, поряд з вектором переміщення зручно ввести кутове переміщення ∆ φ (кут повороту щодо центру кола), яке вимірюється в радіанах.

Знаючи кутове переміщення, можна обчислити довжину дуги кола (шлях), що пройшло тіло.

∆ l = R ∆ φ

Якщо кут повороту малий, то ∆ l ≈ ∆ s .

Проілюструємо сказане:

Кутова швидкість

При криволінійному русі вводиться поняття кутової швидкості , тобто швидкості зміни кута повороту.

Визначення. Кутова швидкість

Кутова швидкість в даній точці траєкторії - межа відношення кутового переміщення φ до проміжку часу t , за яке воно відбулося. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Одиниця виміру кутової швидкості - радіан в секунду (ряд).

Існує зв'язок між кутовою та лінійною швидкостями тіла при русі по колу. Формула для знаходження кутової швидкості:

При рівномірному русі по колу, швидкості v і ω залишаються незмінними. Змінюється лише напрямок вектора лінійної швидкості.

При цьому рівномірний рух по колу на тіло діє доцентрове, або нормальне прискорення, спрямоване по радіусу кола до її центру.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Модуль доцентрового прискорення можна обчислити за формулою:

a n = v 2 R = ω 2 R

Доведемо ці співвідношення.

Розглянемо, як змінюється вектор v → за проміжок часу ∆ t . ∆ v → = v B → - v A → .

У точках А і вектор швидкості спрямований по дотичній до кола, при цьому модулі швидкостей в обох точках однакові.

За визначенням прискорення:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Погляньмо на малюнок:

Трикутники OAB та BCD подібні. З цього випливає, що O A A B = B C C D .

Якщо значення кута ∆ φ мало, відстань A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Зважаючи на те, що O A = R і C D = ∆ v для розглянутих вище подібних трикутників отримаємо:

R v ∆ t = v ∆ v або ∆ v ∆ t = v 2 R

При ∆ φ → 0 , напрямок вектора ∆ v → = v B → - v A → наближається до напрямку до центру кола. Приймаючи, що ∆ t → 0 отримуємо:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t; ∆ t → 0; a n → = v 2 R .

При рівномірному русі колом модуль прискорення залишається постійним, а напрям вектора змінюється з часом, зберігаючи орієнтацію на центр кола. Саме тому це прискорення називається доцентровим: вектор у будь-який момент часу спрямований до центру кола.

Запис доцентрового прискорення у векторній формі виглядає наступним чином:

a n → = - ω 2 R → .

Тут R → - радіус векторної точки на колі з початком в її центрі.

У загальному випадку прискорення при русі по колу складається з двох компонентів - нормальне та тангенціальне.

Розглянемо випадок, коли тіло рухається по колу нерівномірно. Введемо поняття тангенціального (дотикового) прискорення. Його напрямок збігається з напрямком лінійної швидкості тіла і в кожній точці кола спрямований по дотичній до неї.

a τ = ∆ v τ ∆ t; ∆ t → 0

Тут ∆ v τ = v 2 - v 1 - зміна модуля швидкості за проміжок ∆ t

Напрямок повного прискорення визначається векторною сумою нормального та тангенційного прискорень.

Рух по колу у площині можна описувати за допомогою двох координат: x та y. У кожний момент часу швидкість тіла можна розкласти на складові v x і v y.

Якщо рух рівномірний, величини v x і v y а також відповідні координати будуть змінюватися в часі за гармонічним законом із періодом T = 2 π R v = 2 π ω

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter