Евклід – коротка біографія. Смерть та спадщина

Першу Книгу "Початок" відкривають численні визначення, за якими йдуть п'ять знаменитих постулатів. Далі, як починає доводити теореми, він наводить список загальних понять. Перші кілька визначень такі:

Визначення 1.1.Крапка це те, частина чого є ніщо.

Визначення 1.2.Лінія – це довжина без ширини.

Визначення 1.3.Кінці ліній це точки.

Визначення 1.4.Пряма лінія лежить рівномірно по відношенню до точок на ній.

Постулати – це конструкції наступного виду:

Можна намалювати пряму лінію, яка з'єднує одну точку з будь-якою іншою.

Загальні поняття – це аксіоми, такі як:

Об'єкти, рівні одному й тому об'єкту, рівні між собою.

Слід зазначити певні моменти.

1. Евклід, здається, визначає точки двічі (визначення 1 та 3) та лінією двічі (визначення 2 та 4). Це досить дивно.

2. Евклід ніколи не використовує визначення і ніколи не посилається на них у решті тексту.

3. Деякі поняття він ніде не визначає. Наприклад, немає визначення порядку точок на прямій. Тому те, що одна точка розташована між двома іншими, також не визначено, але, звичайно, це використовується.

4. У п'ятій Книзі "Початок" розглядаються величини та їх пропорційність. Однак Евклід поняття величини не визначає, і сучасному читачеві здається, що Евклід не вдалося ввести величини з тією суворістю, якою він знаменитий.

5. Коли Евклід вводить величини та числа, він дає кілька визначень, але не постулатів чи загальних понять. Наприклад, можна було б очікувати від Евкліда постулювання, що і т.д., але він цього не робить.

Коли Евклід вводить числа у сьомій Книзі, він дає визначення, дуже схоже на основні визначення на початку першої Книги:

Одиниця — це те, завдяки чому кожна з існуючих речей називається однією.

Протягом двох тисяч років геометрію дізнавалися або з "Початків" Евкліда, або з підручників, написаних на основі цієї книги. Лише професійні математики зверталися до праць інших великих грецьких геометрів: Архімеда, Аполлонія – і геометрів пізнішого часу. Класичну геометрію стали називати евклідовою на відміну від тих, що з'явилися в XIX ст. «Неевклідових геометрій».

Про цю разючу людину історія зберегла настільки мало відомостей, що нерідко висловлюються сумніви у самому її існуванні. Що ж дійшло до нас? Каталог грецьких геометрів Прокла Діадоха Візантійського, який жив у V ст. н.е., - перше серйозне джерело відомостей про грецьку геометрію. З каталогу випливає, що Евклід був сучасником царя Птолемея I, який царював з 306 до 283 р. до н.е.

Евклід має бути старшим за Архімеда, який посилався на «Початки». До наших часів дійшли відомості, що він викладав в Олександрії, столиці Птолемея I, яка починала перетворюватися на один із центрів наукового життя. Евклід був послідовником давньогрецького філософа Платона, і викладав він, мабуть, чотири науки, які, на думку Платона, повинні передувати заняттям філософією: арифметику, геометрію, теорію гармонії, астрономію. Окрім «Початків» до нас дійшли книги Евкліда, присвячені гармонії та астрономії.

Що ж до місця Евкліда у науці, воно визначається й не так власними його науковими дослідженнями, скільки педагогічними заслугами. Евкліду приписується кілька теорем і нових доказів, та їх значення може бути порівняно з досягненнями великих грецьких геометрів: Фалеса і Піфагора (VI в. е.), Евдокса і Теетета (IV в. е.). Найбільша заслуга Евкліда у цьому, що він підбив підсумок побудові геометрії і надав викладу настільки досконалу форму, що у дві тисячі років «Початку» стали енциклопедією геометрії.

Евклід з найбільшим мистецтвом розташував матеріал з 13 книжок те щоб труднощі не виникали передчасно. Пізніше грецькі математики включили до «Початку» ще дві книги – XIV-у та XV-у, написані іншими авторами.

Перша книга Евкліда починається з 23 «визначень», у тому числі такі: точка є те, що немає частин; лінія є довжиною без ширини; лінія обмежена точками; пряма є лінія, однаково розташована щодо всіх своїх точок; нарешті, дві прямі, що лежать в одній площині, називаються паралельними, якщо вони, як завгодно продовжені, не зустрічаються. Це скоріше наочні уявлення про основні об'єкти, і слово «визначення» в сучасному розумінні не точно передає сенс грецького слова «хорой», яким користувався Евклід.

У книзі I розглядаються основні властивості трикутників, прямокутників, паралелограмів, порівнюються їхні площі. Тут з'являється теорема про суму кутів трикутника. Потім слідує п'ять геометричних постулатів: через дві точки можна провести одну пряму; кожна пряма може бути як завгодно продовжена; даним радіусом з цієї точки можна провести коло; усі прямі кути рівні; якщо дві прямі проведені до третьої під кутами, що становлять у сумі менше двох прямих, то вони зустрічаються з тієї ж сторони від цієї прямої. Всі ці постулати, крім одного, увійшли до сучасних курсів основної геометрії. За постулатами наводяться загальні припущення, або аксіоми – вісім загальноматематичних тверджень про рівність та нерівність. Книга закінчується теоремою Піфагора (див. Піфагора теорема).

У книзі II викладається геометрична алгебра, за допомогою геометричних креслень даються розв'язки задач, що зводяться до квадратних рівнянь. Алгебраїчної символіки тоді не існувало.

У книзі III розглядаються властивості кола, властивості дотичних і хорд, у книзі IV – правильні багатокутники, з'являються основи вчення про подобу. У книгах VII-IX викладено початки теорії чисел (див. Чисел теорія), заснованої на алгоритмі знаходження найбільшого загального дільника, наводиться алгоритм Евкліда (див. Евкліда алгоритм), сюди входить теорія ділимості та теорема про нескінченність безлічі простих чисел.

Останні книги присвячені стереометрії. У книзі XI викладаються початки стереометрії, у XII за допомогою методу вичерпання визначаються відношення площ двох кіл та відношення обсягів піраміди та призми, конуса та циліндра. Вершина стереометрії у Евкліда – теорія правильних багатогранників. У «Початки» не потрапило одне з найбільших досягнень грецьких геометрів – теорія конічних перерізів. Про них Евклід написав окрему книгу «Початки конічних перерізів», яка не дійшла до нас, але її цитував у своїх творах Архімед.

«Початки» Евкліда не дійшли до нас у першотворі. Дванадцять століть відокремлюють від Евкліда найстаріші відомі списки, сім століть – докладні відомості про «Початки». У середньовічну епоху інтерес до математики було втрачено, деякі книги «Почав» зникли і потім важко відновлювалися латинськими і арабськими перекладами. А на той час тексти обросли «поліпшеннями» пізніших коментаторів.

У період відродження європейської математики (XVI ст.) «Початки» вивчали та відтворювали заново. Логічну побудову «Початок», аксіоматика Евкліда сприймалися математиками як щось бездоганне до ХІХ ст., коли почався період критичного ставлення до досягнутого, який закінчився новою аксіоматикою евклідової геометрії – аксіоматикою Д. Гільберта. Виклад геометрії в «Початках» вважався зразком, якого прагнули слідувати вчені та за межами математики.

Найважливіша математична праця геніального Евкліда "Початку" має дуже поважний вік - понад два тисячоліття. Йшли століття, мінялися народи, зникали з лиця землі одні держави і виникали інші, руйнувалися міста, горіли в полум'ї пожеж книги та бібліотеки. А "Початки", написані вперше на тендітному папірусі, пройшли крізь час. Створені у ІІІ ст. до зв. е.., "Початки" не втратили свого значення і зараз. Вони займають особливе місце у історії математики. Евклід, один з найбільших геометрів, вирішив знайти закони, яким підпорядковуються всі лінії і тіла в природі, і розташувати ці закони в суворій системі.

Більшу частину життя Евклід провів у Олександрії - місті, закладеному Олександром Македонським на березі Середземного моря, біля гирла Нілу. Цар Птолемей I зробив Олександрію столицею Єгипту; Щоб звеличити свою державу, він залучав у країну вчених і поетів, створивши їм Мусейон - храм муз. Тут були зали для занять, ботанічний та зоологічний сади, анатомічний кабінет, астрономічна вежа, кімнати для самотньої роботи, а головне – велика бібліотека.

У Мусейон стікалися математики, астрономи, історики, поети – Олександрія стала світовим центром науки та літератури. У різний час тут читали лекції і працювали багато видатних вчених: Архімед, Аристарх Самоський, Гіппарх... У Мусейон - основний науковий центр світу еллінізму - був запрошений і знаменитий грецький математик Евклід, який жив у III ст. до зв. е. В Олександрії він заснував математичну школу, для учнів якої і написав свою фундаментальну наукову працю - "Початки". Евклід узагальнив досягнення геометрів, усі знання, накопичені на той час. У цьому йому допомогли книжкові збори Олександрійської бібліотеки. У папірусних сувоях зняли і перші кроки єгиптян, і відкриття "халдейських мудреців" з Вавилону, і досягнення грецьких учених. Евклід завжди міг звернутися до математичних праць своїх попередників.

Єгипетські землеміри (а геометрія і означає "землемірство") вже в давнину мали великі знання. Вони навчилися вимірювати площу прямокутників, трикутників, трапецій; знайшли спосіб приблизно обчислювати площу кола за його діаметром; їм було відомо властивість так званого єгипетського трикутника зі сторонами 3, 4, 5; вони знали формули для обчислення обсягів куба, циліндра, конуса, піраміди... Були зроблені й інші важливі відкриття. Але все-таки, як наука, геометрія стала розвиватися у Стародавній Греції.

Хто ж був першим геометром? Греки любили число "сім". У них – сім чудес світу, сім великих мудреців. Один з них - Фалес Мілетський (який жив у VII-VI ст. до н. е.). Різнобічність інтересів його разюча. Ось деякі свідчення стародавніх про Фалеса. Він і "мудрий порадник у державних та військових справах" (Плутарх), і "перший фізик" (Пліній), і "перший геометр" (Апулей), і "перший астроном" (Евдем). Крім того, він мандрівник, метеоролог, поет.

Припускають, що геометрію та астрономію він вивчав у Єгипті. Йому приписують перше застосування циркуля та кутоміра, вимірювання висоти піраміди за довжиною її тіні та своєю власною, а також спосіб визначення відстані корабля від берега. Але головне - Фалес спробував логічно осмислити та систематизувати ті відкриття в математиці, які були зроблені у Вавилоні та Єгипті.

Наслідуючи Фалеса, Піфагор - голова першої математичної школи - намагався довести теореми за допомогою суто логічного мислення. Дуже багато зробив у розвиток геометрії Аристотель. Можна назвати інших математиків, які займалися геометрією в період від Фалеса Мілетського до Аристотеля. Виникла потреба у стрункій логічній системі, загальній схемі побудови науки. Цю схему дав Евклід.

Звичайно, він спирався на праці своїх попередників, але ніде не згадує першоджерела. Так, встановлено, що розрізнені математичні знання, окремі теореми та їх докази були вперше зібрані та систематизовані в "Початках" Гіппократа Хіоського (він викладав в Афінах в середині V ст. до н.е.). Твір загублено. Основні положення "Початок" Гіппократа увійшли до перших чотирьох книг "Початок" Евкліда.

Відомостей про життя Евкліда майже не збереглося; залишилися лише дві-три легенди.

Перший коментатор "Почав" Прокл (V ст. н. е.) вже не міг вказати, коли і де народився Евклід, коли помер. Це й не дивно. Для нас, представників XX ст., і той і інший жили в давнину: один п'ятнадцять століть тому, а інший - двадцять два, але для Прокла Евклід - теж давнину, між ними лежить вісімсот років! Все одно як для нас автор "Слова про похід Ігорів".

Прокл встановив, що " цей чоловік (т. е. Евклід) жив у епоху Птолемея I, бо Архімед, який жив відразу ж за царюванням Птолемея I, згадує нього " . А потім йдуть легенди. Так, розповідають, що якось Птолемей вирішив вивчити геометрію. Незабаром виявилося, що оволодіти математичними премудростями не так просто. Тоді він закликав Евкліда, попросив вказати йому легкий шлях до математики. Вчений відповів: "До геометрії немає царської дороги".

Частина сторінки першого видання "Почав" Евкліда. Венеція, 1482

Друга легенда. До Евкліда прийшов молодий чоловік і став під його керівництвом осягати геометрію. Вивчивши кілька перших теорем, юнак поставив природне питання - якою буде практична користь від студії "Початок". Евклід не удостоїв учня відповіддю. Він закликав раба і сказав: "Дай йому гріш, він хоче отримати вигоду з вчення".

Деякі біографічні дані є на сторінках арабського рукопису XII ст.: "Евклід, син Наукрата, сина Зенарха, відомий під ім'ям "Геометра", вчений старого часу, за своїм походженням грек, за місцем проживання сирієць, родом з Тіра". Відомо також, що початкову освіту він здобув від учнів Платона, адже над входом до Академії, заснованої Платоном, був напис: "Хай не увійде сюди той, хто не знає геометрії".

Таким чином, про життя великої людини майже нічого не відомо, час поглинув його... Але залишилася основна його праця - знамениті "Початки".

Той же Прокл про Евкліда каже: "Він справді був першим, про який повідомляється, що він справді склав "Початки".

Уся праця складається з тринадцяти книг, зміст яких входить передусім вивчення геометричних фігур на площині. Але для цього потрібні числа, тому Евклід викладає вчення про цілі числа і дроби. Потім дослідження поширюється з площини на простір, на взаємозв'язок та величини поверхонь та обсяги тіл. Словом "Початки" включають основи планіметрії, стереометрії, арифметики.

Головна особливість "Початок" - вони побудовані за єдиною логічною схемою, а всі теорії в них логічно обґрунтовані. Праця Евкліда справедливо вважається взірцем дедуктивної системи. Невелика кількість основних положень приймається без доказів. Вихідними положеннями, на яких Евклід будує систему геометрії, є визначення, аксіоми і постулати. Кожна з тринадцяти книг починається визначенням термінів, що у ній з'являються. Спочатку Евклід вводить визначення основних понять - точка, лінія, пряма лінія, площина, кут, фігура... Першій книзі, крім того, передують аксіоми та постулати (у деяких списках "Початок" аксіоми та постулати об'єднані в одну групу аксіом).

Свою величну будівлю, свою грандіозну геометрію Евклід збудував із дивовижною стрункістю, ясністю та широтою. У "Початках" підбито підсумок трьохсотрічного розвитку математики починаючи з Фалеса Мілетського.

У давнину "Початки" відразу ж здобули широку популярність і стали швидко поширюватися по всьому світу, дивуючи та підкорюючи уми.

Радянський вчений Е. Кольман говорить про "Початки": "Не може бути сумніву, що автор цієї чудової праці був великим геометром. Гігантське завдання систематизації великого різноманітного матеріалу, яку він настільки блискуче виконав, сама по собі була під силу лише найбільшому вченому. Цей праця, що є однією з найпоширеніших книг, що витримали протягом більш ніж двох тисячоліть дуже велику кількість видань у перекладах численними мовами, у скорочених та перероблених варіантах, слугує досі, незважаючи на величезний розвиток, який зробила за цей період геометрія, зразком для підручників елементарної геометрії, якими ведеться викладання у неповній середній школі " .

Треба нагадати, що ця книга спочатку була написана на папірусних свитках, з неї знімали копії і, ймовірно, у великій кількості. Неважко уявити, як працьовиті переписувачі у різних містах та країнах старанно переписували загостреними тростинками на папірусі найвищих сортів теореми Евкліда, за допомогою циркуля та лінійки креслили геометричні фігури. "Початки" користувалися великою популярністю: Архімед, Аполлоній Пергський та інші видатні мислителі спиралися на них у своїх дослідженнях у галузі математики та механіки. Учнем Евкліда був і Аристарх Самоський, той, хто висунув гіпотезу про рух Землі навколо Сонця. Учні та послідовники великого математика знову і знову вивчали його працю, робили на полях нотатки, пояснення, виправлення... З папірусу "Початку" перейшли на пергамент, потім на папір... Копії прямували одна за одною - інакше навряд чи дійшов би до нас ця неповторна праця.

На жаль, не збереглося жодного рукопису "Початок" епохи античності, за винятком невеликих уривків, які були знайдені під час розкопок у Єгипті та Геркуланумі.

Поступово, разом із занепадом античного суспільства, кількість геометрів зменшується. До середини ІІ. до зв. е. викладання цієї науки не піднімається вище за шкільний рівень, а за межами Олександрії стає поверховим. Римляни, наприклад, лише заучували визначення та формулювання теорем. Виникла навіть легенда, ніби Евклід склав лише формулювання теорем. Ця легенда існувала в середні віки. Словом, наука не розвивалася, настав час коментаторів та компіляторів. Серед них заслуговує на згадку Папп Олександрійський, який жив наприкінці III ст. н. е. Він зайнявся відновленням забутих на той час математичних знань. В його основній праці - "Математичне зібрання" - одна з частин відведена коментарям "Почав" Евкліда. "Збори" Паппа - щось подібне до підручника для тих, хто вивчає геометрію, з історичними довідками, з поліпшенням і видозміною відомих теорем і доказів.

Інший математик, Теон Олександрійський (батько знаменитої Гіпатії - жінки-математика, астронома, філософа, роздертим натовпом релігійних фанатиків) частково спростив працю великого геометра, вніс до нього деякі доповнення та виправлення. Цей текст "Початок" був дуже поширений у середні віки. Більше того, всі рукописи, що дійшли до нас (за винятком одного) ґрунтуються на "виданні" Теона.

Нарешті, у V ст. н. е., після загибелі Олександрійської наукової школи, математик і філософ Прокл прокоментував "Початку" Евкліда (збереглася лише частина роботи).

Щоправда, у Константинополі зберігалося багато старих склепінь рукописів, і тут коментатори продовжували зберігати пам'ять про грецьку науку. Серед інших праць були і "Початки" Евкліда, які кілька століть не знаходили застосування, були ніби поховані. Вони знову стали відомі лише до кінця середньовіччя, коли арифметика і геометрія входять у коло вищої освіти.

Найдавніший рукопис "Початок" є копією, зробленою в 888 р. ченцем Стефаном для архієпископа Цезарейського. У тому ж ІХ ст. своїми математичними пізнаннями славився митрополит Лев Солунський, який зібрав велику бібліотеку, що включала твори Архімеда, Евкліда, Птолемея... Існує багато рукописів "Початок", що належать до X-XII ст., всі вони з'явилися на території Візантійської імперії Теона Олександрійського. І невідомо, скільки проміжних копій лежить між цими рукописами та їх першоджерелом.

З Візантії "Початку" потрапили до країн арабського Халіфату. Араби ретельно збирали, вивчали та перекладали своєю мовою книги давньогрецьких учених з математики, астрономії, медицини. Завдяки цим перекладам багато видатних творів давньогрецької та елліністичної науки дійшли до нашого часу. "Початки" Евкліда були перекладені арабською мовою вже наприкінці IX ст. (Перший переклад зроблено відомим арабським перекладачем Ісхаком). Праця грецького вченого служила в арабських країнах навчальним керівництвом та основою для подальших досліджень. Можна назвати близько п'ятдесяти математиків, що жили у VIII - XV ст., які займалися перекладами, переробками та коментуванням "Початок".

Багато зробив, щоб привернути увагу до "Початків", найбільшого філософа того часу ал-Фарабі, уродженця містечка поблизу м. Фараба на Сирдар'ї. Працював він у Багдаді та Алеппо. Цей учений склав коментар до першої та п'ятої книг Евкліда. Омар Хайям – поет і математик – написав книгу, в якій замінив аксіому паралельних рядом інших припущень, які можна пов'язати з ідеями неевклідової геометрії.

Після того, як монголи пограбували Багдад (1256 р.), неподалік від нього - в Марагінській обсерваторії - виник новий центр культури, де працював учений ат-Тусі. Йому належать два видання "Початок" із власними додаваннями та змінами. Чимало арабських учених працювало й у Кордовському Халіфаті (Піренейський півострів). Їхня заслуга - у встановленні наукових контактів з країнами Європи; тут працювали перекладачі та коментатори арабських та перекладених з грецької творів.

Отже, з мудрістю Евкліда починає знайомитись Європа. Першу спробу перекласти "Початки" з арабської латиною зробив італієць Герард з Кремони в Ломбардії (1114-1187 рр.). Це був видатний перекладач свого часу, кількість праць, перекладених ним з арабської, наближається до дев'яноста.

Новий переклад "Початок" Евкліда дав століття через математик-астроном Джованні Кампано з Новари (біля Мілана). Він доповнив переклад власними поясненнями та роздумами. Слід наголосити, що переклад Кампано послужив оригіналом для першого друкованого видання цього найбільш капітального наукового твору класичної давнини. Книга вийшла друком в 1482 р. у Венеції у німця Е. Ратдольта і називалася: "Преславна книга почав Евкліда".

Відіграли свою роль у розвитку математики в Європі університети, які почали виникати у першій половині XI ст. Щоправда, протягом кількох століть вона залишалася допоміжною дисципліною, і особливих кафедр та й особливих викладачів математики не було. Студентів вельми поверхово знайомили із кількома книгами "Початок". Про Евкліда знали так мало, що деякі вважали, що його "Початки" були написані арабською, а інші, - що він дав тільки теореми, а докази до них надав Теон. У XVI ст. у Паризькому університеті кандидати на ступінь магістра мистецтв замість складання іспиту з геометрії мали присягати в тому, що прослухали лекції з шести перших книг "Почав".

І все-таки з надр університетів на той час вийшли багато чудових математиків, які засвоювали " Початку " Евкліда, а й розвивали математику. Але справді славетна хода "Почав" країнами Європи почалася тільки в епоху Відродження, коли, як сказав Франсуа Рабле, "усюди ми бачимо вчених людей, найосвіченіших наставників, великі книгосховища, так що, на мій погляд, навіть у часи Платона, Цицерона і Папініана було важче вчитися, ніж тепер, і незабаром для тих, хто не понаторів в Мінервін школі мудрості, всі дороги будуть закриті. Нині розбійники, кати, пройдисвіти і конюхи більш освічені, ніж у мій час доктора наук і проповідники ".

Латинський переклад з грецького (а не арабського) тексту був зроблений Цамберті і випущений у Венеції в 1506, а перше друковане видання грецького тексту з'явилося в Базелі в 1533 Перший зберігся італійський переклад "Почав" зробив математик Ніколо Тарталья (1543). ). Цей класичний твір став навчальним посібником для читачів, які не знають латині. Перш ніж випустити свій переклад у світ, невтомний Тарталья "роз'яснував" Евкліда народною мовою майже у всіх містах Італії. У друге видання книжки (1565 р.) їм внесено пояснення - " щоб кожна пересічна голова може легко зрозуміти їх без будь-яких попередніх знань у цій галузі й самостійно " . Так каже титульний лист венеціанського видання. Книга Тартальї набула величезної популярності: за короткий час вона була видана сім разів, останній - у 1586 р.

За опублікованим Тарталлею перекладом було повне видання. Але у повному вигляді праця Евкліда виходила далеко за межі університетської освіти. І невдовзі після першого повного видання у різних країнах випускаються скорочені варіанти "Початок". Для студентів друкувалися перші чотири книги, рідше – шість.

У книзі Евкліда безліч ілюстрацій. У старовинних друкованих книгах (за прикладом першого друкованого видання 1482) геометричні креслення виносилися на поля.

Йшли століття, а творіння Евкліда не старіло. Упродовж чотирьох століть його основний твір публікувався близько 2500 разів. У середньому виходило щороку 6-7 видань! Найкращим вважається видання датського вченого І. Гейберга у п'яти томах (1883-1888 рр.), у якому наводиться і грецький та латинський текст.

"Початки" Евкліда - книга історія людства унікальна. Досить сказати, що підручники, якими зараз ведеться початкове навчання у шкільництві, є переробку праці Евкліда.

Учні гімназій, та був наших середніх шкіл знайомилися з красою ідей Евкліда за підручником " Геометрія " А. П. Кисельова, який виходив десятки раз.

Без перебільшення можна сказати, що вплив "Почав" Евкліда випробували на собі багато видатних учених. Із томом Евкліда не розлучався з юності до останніх днів Микола Коперник; ретельно вивчав "Початки" Галілео Галілей; за Евклідом і Ньютон свою фундаментальну працю назвав " Початками " ; план свого основного твору "Етика" Спіноза цілком взяв із Евкліда.

Середньовічний італійський математик Кардано писав про "Початки" Евкліда: "Безперечна фортеця їх догматів та їх досконалість настільки абсолютні, що ніяке інше твір, по справедливості, не можна з ним порівнювати. У них відображається таке світло істини, що, мабуть, тільки той здатний відрізнити у складних питаннях геометрії справжнє від хибного, хто засвоїв Евкліда”.

Геометрією Евкліда був зачарований і Альберт Ейнштейн. Він говорив: "Ми шануємо стародавню Грецію як колиску західної науки. Там була вперше створена геометрія Евкліда - це диво думки, логічна система, висновки якої з такою точністю випливають один з одного, що жоден з них не був підданий якомусь сумніву". Цей дивовижний твір думки дав людському розуму ту впевненість у собі, яка була необхідна для його подальшої діяльності. Той не народжений для теоретичних досліджень, хто в молодості не захоплювався цим витвором.

А про те, що один із постулатів Евкліда протягом двадцяти століть – аж до Лобачевського – марно намагалися довести багато математиків, буде розказано в іншому нарисі.

У Росії "Початки" були вперше опубліковані в 1739 р. Перекладач - І. Астаров, скорочення зроблені професором" А. Фархварсоном. Книга називалася "Евклідові елементи". .) Останнє видання здійснено в 1948-1950 роках.

Така доля чудової книги Евкліда, книги, що пронизала, за словами С. І. Вавілова, століття.

Що читати

Почала Евкліда. Л., 1948-1950, т. 1-3.

Каган В. Ф. Нариси з геометрії. М., 1963.

Кольман. е. Історія математики в давнину. М., 1961.

Лур'є С. Нариси з історії античної науки. М-Л., 1947.

Смілга В. У гонитві за красою. М., 1966.

Стройк Д. Короткий нарис історії математики. Пров. з ним. М., 1969.

Цейтен Г. Історія математики в давнину та в середні віки. М.-Л., 1938.

Юшкевич А. П. Історія математики в середні віки. М., 1961.

У ІІІ столітті до н.е. твір, що містить основи античної математики.

У «Почалах» Евкліда роз-сма-ри-ва-лися во-про-си е-мен-тар-ної гео-метрії, теорії чисел, алгебри, загальної тео-ри рії від-но-ше-ний і ме-тод оп-ре-де-ле-ня пло-ща-дей і об'ємів, що вклю-чає еле-мен-ти тео-рії пре-де- лов. Евк-лід підвів підсумки 300-річного розвитку грецької ма-ті-ма-ті-ки і за-ло-жив фун-да-мент для даль-ні-ших ма- тематичних досліджень. «Початках» Евкліда не яв-ля-ють-ся, проте, ен-цик-ло-пе-ді-ей ма-те-ма-тичних зна-нь своєї епо-хи. Так, у «Почалах» Евкліда не з-ла-га-лася тео-рія ко-нічних се-че-ний, ко-то-рая була-то вже вже досить-таки раз-ви- та, від-сут-ст-во-ва-ли ви-числітель-ний ме-то-ди.

«Початках» Евкліда побудовані за де-дук-тив-ною системою: сна-ча-ла при-во-дят-ся оп-ре-де-ле-ня, по-сту-ла -ти і ак-сіо-ми, потім фор-му-лі-рів-ки тео-рем та їх до-ка-за-тель-ст-ва (дивіться Де-дук-ція). Слідом за оп-ре-де-ле-ні-єм ос-нов-них гео-мет-ричних понять і об'єк-тів (наприклад, точ-ки, пря-мий) Евк-лід до- ка-зи-ва-ет су-ще-ст-во-ва-ня ос-таль-них об'єктів гео-метрії (наприклад, рів-но-сто-рон-не-го три-вугілля -ні-ка) шляхом їх по-будови, ко-то-рое ви-пов-ня-ет-ся на ос-но-ва-ні п'я-ти по-сту-ла-тов. У по-сту-ла-тах ут-вер-жда-є-ся мож-ність ви-пов-не-ня не-ко-то-рих еле-мен-тар-них по-будов, наприклад що «від усякої точ-ки до всієї точ-ки (мож-но) про-вес-ти пря-му лінію» (I по-сту-лат) і що «від уся-кого-го центру і вся-ким рас-твором (може бути) опи-сан коло »(III по-сту-лат). Осо-боє ме-сто за-ні-ма-є V по-сту-лат, інакше - ак-сіо-ма про пара-лель-них (дивіться Гео-метрія, П'ятий по- сту-лат). Після по-сту-ла-тів у ««Початках» Евкліда при-во-дят-ся ак-сіо-ми - пред-ло-же-ня про свої-ст-вах від-но-ше-ний ра -вен-ст-ва і не-ра-вен-ст-ва ме-ж-ду ве-лі-чи-на-ми.

На протя-женні більше 2 тис. років «Початку» Евкліда яв-ля-лися про-раз-цом на-учної стро-го-сті. З сучасної точки зору сис-те-ма ак-сі-ом і по-сту-ла-тів «Почала» Евкліда не-дос-та-точ-на для де-дук-тив-ного по -будування гео-метрії. Ло-гічні не-дос-тат-ки по-будови «Початку» Евкліда повністю ви-яс-ні-лися в кінці XIX століття після ра-бот Д. Гіль-бер-та.

«Початки» Евкліда складаються з 13 книг. У книзі I роз-сма-ри-ва-ють-ся основні влас-ст-ва трикут-ні-ків, прямо-вуго-ні-ків, парал-ле-ло-грам-мов і про-з-во-дит-ся порівняння їх пло-ща-дей. Книга за-кан-чи-ва-є-ся Пі-фа-го-ра тео-ре-мою. У книзі II з-ла-га-ється т. зв. гео-мет-рична ал-геб-ра, т. е. стро-іт-ся гео-мет-ричний ап-па-рат для розв'язання задач, що сво-дять-ся до квад- рат-ним урів-не-ні-ям. У книзі III роз-сма-ри-ва-ють-ся свій-ст-ва кру-га, його ка-са-тель-них і хорд, у книзі IV - пра-вільні багато-го-вугі-ні -ки. У книзі V да-ється-ся загальна тео-рія про-пор-цій, створена Єв-док-сом Книд-ським; її мож-но роз-сма-ри-вати як про-образ тео-рії дей-ст-ви-тель-них чисел, роз-ра-бо-тан-ної в другій половині XIX століття. Загальна тео-рія про-пор-цій яв-ля-є-ся ос-но-вою вчення про по-до-бії (книга VI) і ме-то-да ис-чер-пы-ва- ня (книга VII). У книгах VII-IX з-ло-же-ни на-ча-ла тео-рії чи-сел, ос-но-ван-ні на ал-го-рит-мі на-хо-ж-де-ня найболі-ше-го загального де-лі-те-ля (Евк-лі-да ал-го-ритм). У ці книги входить тео-рія де-лі-мо-сті, вклю-чая тео-ре-ми про од-но-знач-но-ло-же-ня ціло-го чис -ла на прості про-мно-жи-те-ли і про без-ко-неч-но-сті чис-ла про-стих чи-сел; тут також з-ла-га-ет-ся вчення про від-но-ше-ні-ях цілих чисел, ек-ві-ва-стріч-не, по су-ще-ст- ву, теорії по-ло-жи-тель-них ра-ціо-наль-них чи-сел. У книзі Х да-ється клас-сі-фі-ка-ція квад-ра-тич-них і бі-квад-ра-тич-них ір-ра-ціо-наль-но-стей і обос-но- ви-ва-ють-ся не-ко-то-рие пра-ві-ла їх пре-об-ра-зо-ва-ня. Ре-зуль-та-ти книги Х приме-ня-ють-ся в книзі XIII для на-хо-ж-де-ня довжин ре-бер пра-віль-них багато-го-гран-ників. У книзі XI з-ла-га-ють-ся ос-но-ви сте-рео-метрії. У книзі XII з по-мо-чю ис-чер-пы-ва-ния ме-то-да оп-ре-де-ля-ють-ся від-но-ше-ня пло-дей двох кру-гов і від-но-шення об'ємів пі-ра-мі-ди і приз-ми, кону-са і ци-лін-д-ра. У книзі XIII оп-ре-де-ля-є-ся від-но-ше-ня об'ємів двох ша-рів, будуються 5 пра-виль-них багато-го-гран-ні- ків і до-ка-зи-ва-є-ся, що ін. пра-виль-них багато-го-гран-ні-ков не су-ще-ству-ет. Пізніше грецькими ма-те-ма-ті-ка-ми до «Початків» Евкліда були при-со-ді-не-ни книги XIV і XV, не при-над-ле-жав-ші Євк-лі-ду.

«Почала» Евкліда по-лу-чи-ли широку відомість вже в давнину. Ар-хі-мед, Апол-ло-ній Перг-ський та ін. вчені-ні опиралися на них у своїх-слі-до-ва-ні-ях по ма-те-ма-ті -ке та ме-ха-ні-ке. До нашого часу анти-тичний текст «Почав» Евкліда не дійшов (древ-ній-ша з сохра-нив-шихся копій від-но-сіт- ся до другої половини IX століття). Наприкінці VIII - початку IX століть з'явились пе-ре-во-ди «Почав» Евкліда арабською мовою. Перший переклад з арабського на латинську мову був зроблений в першій чверті XII століття. Перше друковане видання «Почав» Евкліда з'явилося у Венеції в 1482 році. Одним з найкращих вважається видання І. Гей-бер-га («Euclidis Elementa», vol. 1-5, 1883-1888), в якому при -во-дит-ся як грецький текст, і його латинський пе-ре-вод. На російській мові ««Почала» Евкліда з-да-ва-лися багато-крат-но починаючи з XVIII століття.

По ма-те-ріа-лам стат-ті з БСЕ-3.

«_____» _________________2016р.

Керівник:

«_____» __________________2016р.

Волгоград, 2016

Вступ…………………………………………3

1. Евклід та її начало………………………...4

2. Евкліда Алгоритм…………………………..7

Заключение………………………………………20

Список литературы…………………………….21

ВСТУП

Про знаменитого давньогрецького математика Евкліда нам відомо достовірно лише те, що жив він у IV-III століттях до н.е. і провів більшу частину життя в Олександрії. Зовсім небагато відомостей дають про нього автори, такі як Архімед, Прокл і Пап Олександрійський. Велику та деталізовану біографію Евкліда написали також арабські автори. Один з арабських рукописів XII століття стверджує, що Евклід, відомий як «Геометр», був сином якогось Наукрата, народився в Тирі та проживав у Сирії. Але в історичній науці ця біографія вченого вважається цілком вигаданою. Навпаки, згадка про Евкліда Прокла вважається достовірною. У своїх «Коментарях до першої книги «Почав» Евкліда» він вказує, що вчений жив у часи Птолемея I Сотера, аргументуючи це тим, що «Архімед … згадує про Евкліда і, зокрема, розповідає, що Птолемей запитав його, чи є більше короткий шлях вивчення геометрії, ніж «Початки»; а той відповів, що немає царського шляху геометрії». Усі вище названі, крім арабських авторів, згадують про Евкліда лише як про автора знаменитого твору «Початку» - його головної праці, написаної приблизно 300 року до н.е. Відомо також, що Евклід був першим математиком Олександрійської школи та працював при знаменитій Олександрійській бібліотеці.

Евклід та його початок

Протягом двох тисяч років геометрію дізнавалися або з “Початків” Евкліда, або підручників, написаних на основі цієї книги. Лише професійні математики зверталися до праць інших великих грецьких геометрів: Архімеда, Аполлонія та геометрів пізнішого часу. Класичну геометрію стали називати евклідовою на відміну від тих, що з'явилися в XIX в "неевклідовий геометрій".

Про цю разючу людину історія зберегла настільки мало відомостей, що не рідко висловлюються сумніви в самому її існуванні. Що ж дійшло до нас? Каталог грецьких геометрів Прокла Діадоха Візантійського, який жив у V н.е., - перше серйозне джерело відомостей про грецьку геометрію. З каталогу випливає, що Евклід був сучасником царя Птолемея I, який царював з 306-283 р. до н.

Евклід має бути старшим за Архімеда, який посилався на “Початок”. До наших часів дійшли відомості, що він викладав в Олександрії, столиця Птолемея I, який починав перетворюватися на один із центрів наукового життя. Евклід був послідовником давньогрецького філософа Платона, і викладав він, мабуть, чотири науки, які, на думку Платона, повинні передувати заняттям філософією: арифметику, геометрію, теорію гармонії, астрономію. Крім “Початків” до нас дійшли книги Евкліда, присвячені гармонії та астрономії.

Що ж до місця Евкліда у науці, воно визначається й не так власними його науковими дослідженнями, скільки педагогічними заслугами. Евкліду приписується кілька теорем і нових доказів, але їхнє значення не може бути порівняно з досягненнями великих грецьких геометрів: Фалеса і Піфагора (VI століття до н.е.), Євдокса та Теетета (IV століття до н.е.). Найбільша заслуга Евкліда у цьому, що він підбив підсумок побудові геометрії і надав викладу настільки досконалу форму, що у 2000 років “Початку” стали енциклопедією геометрії.

Евклід з найбільшим мистецтвом розташував матеріал з 13 книжок те щоб труднощі не виникали передчасно. Пізніше грецькі математики включили до “Початку” ще дві книги-XIV- і XV-ю, написані іншими авторами.

Перша книга Евкліда починається з 23 "визначень", серед них такі: точка є те, що не має частин; лінія є довжина без ширини; лінія обмежена точками; пряма лінія, однакова розташована щодо всіх своїх точок; нарешті, дві прямі, що лежать в одній площині, називаються паралельними, якщо вони, як завгодно продовжені, не зустрічаються. Це скоріше наочні уявлення про основні об'єкти і слово "визначення" в сучасному розумінні не точно передає сенс грецького слова "хорой", яким користувався Евклід.

У книзі I розглядаються основні властивості трикутників, прямокутників, паралелограмів, порівнюються їхні площі. Тут з'являється теорема про суму кутів трикутника. Потім слідує п'ять геометричних постулатів: через дві точки можна провести одну пряму; кожна пряма може бути як завгодно продовжена; даним радіусом з цієї точки можна провести коло; усі прямі кути рівні; якщо дві прямі проведені до третьої під кутами, що становлять у сумі менше двох прямих, то вони зустрічаються з тієї ж сторони від цієї прямої. Всі ці постулати, крім одного, увійшли до сучасних курсів основної геометрії. За постулатами наводяться загальні припущення, або аксіоми, - 8 загальноматематичних тверджень про рівність і нерівність. Книга закінчується теоремою Піфагора.

У книзі III розглядаються властивості кола, властивості дотичних і хорд, у книзі IV-правильні багатокутники, з'являються основи вчення про подобу. У книгах VII-IX викладено початки теорій чисел, а заснованої на алгоритмі знаходження найбільшого спільного дільника, наводиться алгоритм Евкліда, сюди входить теорія ділимості та теорема про нескінченність безлічі простих чисел.

Останні книги присвячені стереометрії. У книзі XI викладаються початки стереометрії, у XII за допомогою методу вичерпання визначаються відносини площ двох кіл та відношення об'ємів піраміди та призми, конуса та циліндра. Вершина стереометрії у Евкліда – теорія правильних багатогранників. У “Початок” не потрапило одне з найбільших досягнень грецьких геометрів – теорія конічних перерізів.Про них Евклід написав окрему книгу "Початку конічних перерізів", яка не дійшла до нас, але її цитував у своїх творах Архімед.

"Початок" Евкліда не дійшли до нас у першотворі. Дванадцять століть відокремлюють від Евкліда найстаріші відомі списки, сім сторіч – дещо докладніші відомості про “Початки”. У середньовічну епоху інтерес до математики було втрачено, деякі книги "Почав" зникли і потім важко відновлювалися латинськими і арабськими перекладами. А на той час тексти обросли "покращеннями" пізніших коментаторів.

У період відродження європейської математики (XVI ст.) "Початки" вивчали і відтворювали заново. Логічну побудову “Початку”, аксіоматика Евкліда сприймалися математиками як бездоганну аж до ХІХ ст., коли почався період критичного ставлення до досягнутого, який закінчився новою аксіоматикою евклідової геометрії – аксіоматикою Д. Гільберта.Виклад геометрії у “Початках” вважалося взірцем, якому прагнули слідувати вчені поза математики.

Евкліда Алгоритм

Алгоритм Евкліда – це спосіб знаходження найбільшого спільного дільника двох цілих чисел, а також найбільшої загальної міри двох порівнянних відрізків.

Щоб знайти найбільший спільний дільник двох цілих позитивних чисел, потрібно спочатку більше розділити на менше, потім друге число розділити на залишок від першого поділу, потім перший залишок - на другий і т.д. Останній ненульовий позитивний залишок у цьому процесі буде найбільшим загальним дільником даних чисел.

Позначивши вихідні числа через аі б, позитивні залишки, що виходять в результаті поділів, через r 1, r2 …, rn, а неповні приватні через q1, q2, можна записати алгоритм Евкліда у вигляді ланцюжка рівностей:

. . . . . . . . . .

Наведемо приклад. Нехай а = 777, b = 629. Тоді 777 = 629 * 1 +148, 629 = 148 * 4 +37, 148 = 37 * 4.

Останній ненульовий залишок 37 є найбільшим спільним дільником чисел 777 і 629.

Для знаходження найбільшого загального заходу двох відрізків надходять аналогічно. Операцію поділу із залишком замінюють його геометричним аналогом: менше відрізок відкладають на більшому стільки разів, скільки можливо: решту більшого відрізка (приймається за залишок відділення) відкладають на меншому відрізку і т.д. залишок дасть найбільший загальний захід цих відрізків. У разі несумірних відрізків одержувана послідовність ненульових залишків буде нескінченною.

Розглянемо приклад. Візьмемо як вихідні відрізки сторону AB і AC рівнобедреного трикутника ABC, у якого A = C = 72 °, B = 36 °. Як перший залишок ми отримаємо відрізок AD (CD-бісектриса кута C), і, як легко бачити, послідовність і нульові залишки буде нескінченною. Отже, відрізки AB і AC не можна порівняти.

Алгоритм Евкліда відомий давно. Йому вже понад 2000 років. Цей алгоритм сформульований у “Початках” Евкліда, де з нього виводяться властивості простих чисел, найменшого загального кратного тощо. Як спосіб знаходження найбільшої загальної міри двох відрізків алгоритм Евкліда (іноді званий методом поперемінного віднімання) був відомий піфагорійцям. На середину XVI в. алгоритм Евкліда був поширений на багаточлени, від одного змінного надалі вдалося визначити алгоритм Евкліда і на деяких інших алгебраїчних об'єктах.

Алгоритм Евкліда має багато застосувань. Рівності, що визначають його, дають змогу уявити найбільший дільник dчисел aі bу вигляді d = ax + by (x; y-цілі числа), а це дозволяє знаходити розв'язання Діофантових рівнянь 1-го ступеня з двома невідомими. Алгоритм Евкліда є засобом для подання раціонального числа у вигляді ланцюгового дробу. Він часто використовується у програмах для електронних обчислювальних машин.

Початки Евкліда

Евклід (330-275 рр. е.) – учень школи Платона, за царя Птолемее I викладав математику в Олександрії – столиці Стародавнього Єгипту. З робіт, написаних Евклідом, головним твором є «Початки».

Ця книга набагато перевершувала пізніші праці математиків, вона зіграла величезну роль історії математики. Досить сказати, що вона була перекладена всіма мовами світу і витримала близько 500 видань. До середини XIX століття всі математики навчалися по «Початках» Евкліда.

"Початки" Евкліда складаються з 13 книг:

I – VI присвячені планіметрії;

VII – IX – арифметиці;

Х - несумірним величинам;

XI–XIII – стереометрії (XIII присвячена правильним багатогранникам).

Але не все з того, що було відомо, викладено в «Початках», наприклад, теорія конічних перерізів у «Початках» була представлена.

Кожній з 13 книг «Початок» передаються основні пропозиції, необхідні висновку всіх пропозицій цієї книги. Ці пропозиції поділяються на 3 категорії: визначення, аксіоми та постулати.

Перша книга "Початок" починається з 23-х визначень. Наведемо список деяких визначень «Початок»:

1. Крапка є те, що немає частин.

2. Лінія має довжину без ширини.

3. Межі лінії суть точки.

Паралельні суть прямі, які, перебуваючи в одній площині і продовжені в обидві сторони необмежено, ні з того ні з іншого боку не зустрічаються між собою.

За визначеннями слідують постулати та аксіоми, тобто пропозиції, які приймаються без доказу. Повний список аксіом та постулатів даний Евклідом не зберігся. Відомо 5 постулатів та 10 аксіом.

Постулати:

Потрібно,

1. Щоб із кожної точки до будь-якої іншої точки можна було провести пряму лінію.

2. І щоб кожну обмежену пряму можна було продовжувати необмежено.

3. І щоб із кожної точки, як із центру, можна було довільним радіусом описати коло.

4. І щоб усі прямі кути дорівнювали один одному.

V постулат:

5. І щоб кожен раз, коли пряма при перетині з двома іншими прямими утворює з ними внутрішні односторонні кути, сума яких менша за 2 прямі, ці прямі перетиналися з того боку, з якої ця сума менша за 2 прямі.

1. Рівні нарізно третьому рівні між собою.

2. І якщо до рівних додамо рівні, то отримаємо рівні.

6. І половини рівних рівні між собою.

8. І все більше частини.

9. І дві прямі не можуть укласти простору.

З сучасного погляду, одне із слабких місць «Початок» Евкліда – це визначення. Він дає визначення таких понять, як точка, площина, пряма, тобто прагне дати визначення всім геометричним поняттям, а це неможливо. Багато його визначення вкрай туманні, наприклад:

1. "Пряма є лінія, яка однаково розташована щодо всіх своїх точок".

2. «Площина є поверхня, яка однаково розташована по відношенню до всіх прямих, що на ній лежать».

Евклід у «Початках» розділив постулати та аксіоми. Але важко провести між ними сувору грань. З сучасної точки зору, всі вони можуть називатися аксіомами. Інший важливий недолік "Початок" - неповнота системи аксіом: немає аксіоми безперервності, аксіом руху та порядку, пов'язаних з термінами "між" і "поза".

Величезне історичне значення «Почав» Евкліда у цьому, що є першим великим науковим документом з геометрії, у якому зроблено спробу логічного побудови геометрії з урахуванням аксіом. Щоб закінчити характеристику «Початок» Евкліда необхідно зупинитися на особливо важливому питанні – про V постулат Евкліда та спроби його доказу.

Початки Евкліда

(«Початку» Евкліда)науковий твір, написаний Евклідом у 3 ст. до зв. е., що містить основи античної математики: елементарної геометрії, теорії чисел, алгебри, загальної теорії відносин та методу визначення площ та обсягів, що включав елементи теорії меж. Евклід підбив у цьому творі підсумок трьохсотрічного розвитку грецької математики і створив міцний фундамент подальших математичних досліджень. "Н." Є., однак, не є енциклопедією математичних знань своєї епохи. Так, у «Н.» Е. не викладається теорія конічних перерізів, яка тоді була досить розвинена, відсутні тут і обчислювальні методи.

"Н." Е. побудовані за дедуктивною системою: спочатку наводяться визначення, постулати та аксіоми, потім формулювання теорем та їх докази. Слідом за визначенням основних геометричних понять та об'єктів (наприклад, точки, прямої) Евклід доводить існування інших об'єктів геометрії (наприклад, рівностороннього трикутника) шляхом їх побудови, що виконується на підставі п'яти постулатів. У постулатах стверджується можливість виконання деяких елементарних побудов, наприклад, «що від будь-якої точки до будь-якої точки (можна) провести пряму лінію» (1 постулат); "І що від будь-якого центру і всяким розчином (можливо) описаний коло" (III постулат). Особливе місце серед постулатів займає V постулат (аксіома про паралельні): «І якщо пряма, що падає на дві прямі, утворює внутрішні і по один бік кути, менші за дві прямі, то продовжені ці прямі необмежено зустрінуться з тією стороною, де кути менше двох прямих ». Відносна складність формулювання призвела до прагнення багатьох математиків (протягом майже 2 тис. років) вивести його як теорему з інших основних положень геометрії. Спроби довести V постулат тривали аж до робіт М. І. Лобачевського , який побудував першу систему неевклідової геометрії, в якій цей постулат не виконується. За постулатами у «Н.» Е. наводяться аксіоми – пропозиції про властивості відносин рівності та нерівності між величинами. Наприклад: «Рівні одному й тому рівні і між собою» (1-я аксіома); «І все більше частини» (8-а аксіома).

З сучасної точки зору система аксіом та постулатів «Н.» Е. недостатня для дедуктивної побудови геометрії. Так, тут немає ні аксіом руху, ні аксіом конгруентності (за винятком однієї). Відсутні також аксіоми розташування та безперервності. Фактично Евклід використовує при доказах і рух і безперервність. Логічні недоліки побудови "Н." Е. повністю з'ясувалися лише наприкінці 19 ст. після робіт Д. Гільберта . До цього протягом понад 2 тис. років "Н." Е. служили зразком наукової суворості; за цією книгою в повному або скороченому і переробленому вигляді вивчали геометрію.

"Н." Е. складаються із тринадцяти книг (відділів, або частин). У книзі I розглядаються основні властивості трикутників, прямокутників, паралелограмів та проводиться порівняння їх площ. Закінчується книга Піфагора теорема. У книзі II викладається так звана геометрична алгебра, тобто будується геометричний апарат для вирішення завдань, що зводяться до квадратних рівнянь (алгебраїчна символіка в Н. Е. відсутня). У книзі III розглядаються властивості кола, його дотичних і хорд (ці проблеми були досліджені Гіппократом Хіоським у 2-й половині 5 ст до н.е.), у книзі IV - правильні багатокутники. У книзі V дається загальна теорія відносин величин, створена Євдоксом Кнідським ; її можна як прообраз теорії дійсних чисел, розробленої лише у 2-й половині 19 в. Загальна теорія відносин є основою вчення про подобу (книга VI) та методу вичерпування (книга VII), що також сягають Евдокса. У книгах VII-IX викладено початки теорії чисел, засновані на алгоритмі знаходження найбільшого загального дільника. У ці книги входить теорія ділимості, включаючи теореми про однозначність розкладання цілого числа на прості множники та нескінченність числа простих чисел; тут викладається також вчення про відношення цілих чисел, еквівалентне, сутнісно, теорії раціональних (позитивних) чисел. У книзі Х дається класифікація квадратичних та біквадратичних ірраціональностей та обґрунтовуються деякі правила їх перетворення. Результати книги Х застосовують у книзі XIII знаходження довжин ребер правильних багатогранників. Значна частина книг Х і XIII (ймовірно і VII) належить Теетету (початок 4 ст до н. Е..). У книзі ХІ викладаються основи стереометрії. У книзі XII визначаються за допомогою методу вичерпування відношення площ двох кіл та відношення обсягів піраміди та призми, конуса та циліндра. Ці теореми вперше доведено Євдоксом. Нарешті, у книзі XIII визначається відношення обсягів двох куль, будуються п'ять правильних багатогранників і доводиться, що інших правильних тіл немає. Наступними грецькими математиками до "Н." Е. були приєднані книги XIV і XV, які не належали Евкліду. Вони часто й тепер видаються разом із основним текстом «Н.» е.

"Н." Е. здобули широку популярність вже в давнину. Архімед, Аполлоній Пергський та ін. вчені спиралися на них при своїх дослідженнях у галузі математики та механіки. До нашого часу античний текст "Н." Е. не дійшов (найдавніша з збережених копій належить до 2-ї половини 9 ст). Наприкінці 8 ст. - На початку 9 ст. з'являються переклади "Н." Е. арабською мовою. Перший переклад латинською мовою було зроблено з арабської Ателхардом Батським у 1-й чверті 12 ст. Стародавні списки відрізняються суттєвими різночитаннями; справжній текст "Н." Е. точно не відновлено. Перше друковане видання «Н.» Е. в перекладі Дж. Кампано латинською мовою з'явилося у Венеції в 1482 з кресленнями на полях книги (переклад був виконаний близько 1250-1260; Кампано використовував як арабські джерела, так і переклад Ателхарда Батського). Найкращим нині вважається видання І. Гейберга (Euclidis Elementa, v. 1-5, Lipsiae, 1883-88), в якому наводиться як грец. текст, і його лат. переклад. Російською мовою «Н.» Е. видавалися багаторазово починаючи з 18 ст. Найкраще видання – «Початки Евкліда», пров. з грец. та коментарі Д. Д. Мордухай-Болтовського, т. 1-3, 1948-50.