Формула знаходження переміщення. Вільне падіння по вертикалі

Основні одиниці виміру величин у системі СІтакі:

1. одиниця виміру довжини - метр (1 м),
2. часу - секунда (1 с),
3. маси – кілограм (1 кг),
4. кількості речовини - моль (1 моль),
5. температури - кельвін (1 К),
6. сили електричного струму – ампер (1 А),
7. Довідково: сили світла - кандела (1 кд, що фактично не використовується при вирішенні шкільних завдань).

За виконання розрахунків у системі СІ кути вимірюються в радіанах.

Якщо задачі з фізики не зазначено, в яких одиницях потрібно дати відповідь, його потрібно дати в одиницях системи СІ або у похідних від них величинах, відповідних тій фізичній величині, про яку запитується в задачі. Наприклад, якщо завдання потрібно знайти швидкість, і сказано у чому її потрібно висловити, то відповідь потрібно дати в м/с.

Для зручності у завданнях з фізики часто доводиться використовувати дольні (зменшуючі) та кратні (збільшуючі) приставки. їх можна застосовувати до будь-якої фізичної величини. Наприклад, мм – міліметр, кт – кілотонна, нс – наносекунда, Мг – мегаграм, ммоль – мілімоль, мкА – мікроампер. Запам'ятайте, що у фізиці немає подвійних приставок. Наприклад, мкг - це мікрограм, а не мілікілограм. Врахуйте, що при складанні та відніманні величин Ви можете оперувати тільки величинами однакової розмірності. Наприклад, кілограми можна складати тільки з кілограмами, з міліметрів можна віднімати лише міліметри, і таке інше. При переведенні величин користуйтеся наступною таблицею.

Шлях та переміщення

Кінематикоюназивають розділ механіки, у якому рух тіл розглядається без з'ясування причин цього руху.

Механічним рухомтіла називають зміну його становища у просторі щодо інших тіл з часом.

Будь-яке тіло має певні розміри. Однак у багатьох завданнях механіки немає необхідності вказувати положення окремих частин тіла. Якщо розміри тіла малі в порівнянні з відстанями до інших тіл, то це тіло можна вважати матеріальною точкою. Так при русі автомобіля на великі відстані можна знехтувати його довжиною, тому що довжина автомобіля мала порівняно з відстанями, яке він проходить.

Інтуїтивно зрозуміло, що характеристики руху (швидкість, траєкторія тощо) залежать від того, звідки ми на нього дивимося. Тому для опису руху запроваджується поняття системи відліку. Система відліку (ЗІ)- Сукупність тіла відліку (воно вважається абсолютно твердим), прив'язаної до нього системою координат, лінійки (приладу, що вимірює відстані), годинника і синхронізатора часу.

Переміщаючись з часом з однієї точки до іншої, тіло (матеріальна точка) описує в даній СО деяку лінію, яку називають траєкторією руху тіла.

Переміщенням тіланазивають спрямований відрізок прямий, що з'єднує початкове положення тіла з кінцевим положенням. Переміщення є векторною величиною. Переміщенням може у процесі рух збільшуватись, зменшуватись і ставати рівним нулю.

Пройдений шляхдорівнює довжині траєкторії, пройденої тілом протягом деякого часу. Шлях – скалярна величина. Шлях не може зменшуватись. Шлях тільки зростає або залишається незмінним (якщо тіло не рухається). При русі тіла по криволінійній траєкторії модуль (довжина) вектора переміщення завжди менше пройденого шляху.

При рівномірному(з постійною швидкістю) рух шлях Lможе бути знайдений за формулою:

де: v- Швидкість тіла, t- Час протягом якого воно рухалося. При розв'язанні задач з кінематики переміщення зазвичай перебуває з геометричних міркувань. Часто геометричні міркування знаходження переміщення вимагають знання теореми Піфагора.

Середня швидкість

Швидкість- Векторна величина, що характеризує швидкість переміщення тіла в просторі. Швидкість буває середньою та миттєвою. Миттєва швидкість визначає рух у даний момент часу у цій конкретній точці простору, а середня швидкість характеризує весь рух загалом, загалом, не описуючи подробиці руху кожному конкретному ділянці.

Середня швидкість шляху- Це відношення всього шляху до всього часу руху:

де: Lповний - весь шлях, який пройшло тіло, tповний - весь час руху.

Середня швидкість переміщення- Це відношення всього переміщення до всього часу руху:

Ця величина спрямована так само, як і повне переміщення тіла (тобто з початкової точки руху до кінцевої точки). При цьому не забувайте, що повне переміщення не завжди дорівнює сумі алгебри переміщень на певних етапах руху. Вектор повного переміщення дорівнює векторній сумі переміщень окремих етапах руху.

• При вирішенні завдань з кінематики не робіть дуже поширену помилку. Середня швидкість, як правило, не дорівнює середньому арифметичному швидкостям тіла на кожному етапі руху. Середнє арифметичне виходить лише у окремих випадках.
• І тим більше середня швидкість не дорівнює одній зі швидкостей, з якими рухалося тіло в процесі руху, навіть якщо ця швидкість мала приблизно проміжне значення щодо інших швидкостей, з якими рухалося тіло.

Рівноприскорений прямолінійний рух

Прискорення- Векторна фізична величина, що визначає швидкість зміни швидкості тіла. Прискоренням тіла називають відношення зміни швидкості до проміжку часу, протягом якого відбувалася зміна швидкості:

де: v 0 - початкова швидкість тіла, v- Кінцева швидкість тіла (тобто через проміжок часу t).

Далі, якщо інше не зазначено за умови завдання, ми вважаємо, що й тіло рухається з прискоренням, це прискорення залишається постійним. Такий рух тіла називається рівноприскореним(або рівнозмінним). За рівноприскореного руху швидкість тіла змінюється на однакову величину за будь-які рівні проміжки часу.

Рівноприскорений рух буває власне прискореним, коли тіло збільшує швидкість руху, та уповільненим, коли швидкість зменшується. Для простоти розв'язання задач зручно для уповільненого руху брати прискорення зі знаком «-».

З попередньої формули, випливає інша більш поширена формула, яка описує зміна швидкості з часомпри рівноприскореному русі:

Переміщення (але не шлях)при рівноприскореному русі розраховується за формулами:

В останній формулі використано одну особливість рівноприскореного руху. При рівноприскореному русі середню швидкість можна розраховувати, як середнє арифметичне початкової та кінцевої швидкостей (це властивістю дуже зручно користуватися при вирішенні деяких завдань):

З розрахунком шляху все складніше. Якщо тіло не змінювало напрями руху, то за рівноприскореного прямолінійного руху шлях чисельно дорівнює переміщенню. А якщо міняло – треба окремо рахувати шлях до зупинки (моменту розвороту) та шлях після зупинки (моменту розвороту). А просто підстановка часу у формули для переміщення у цьому випадку призведе до типової помилки.

Координатапри рівноприскореному русі змінюється згідно із законом:

Проекція швидкостіпри рівноприскореному русі змінюється за таким законом:

Аналогічні формули виходять інших координатних осей.

Вільне падіння по вертикалі

На всі тіла, що у полі тяжіння Землі, діє сила тяжкості. За відсутності опори чи підвісу ця сила змушує тіла падати до Землі. Якщо знехтувати опором повітря, рух тіл лише під впливом сили тяжкості називається вільним падінням. Сила тяжіння повідомляє будь-яким тілам, незалежно від їхньої форми, маси та розмірів, однакове прискорення, що називається прискоренням вільного падіння. Поблизу поверхні Землі прискорення вільного падінняскладає:

Це означає, що вільне падіння всіх тіл поблизу Землі є рівноприскореним (але не обов'язково прямолінійним) рухом. Спочатку розглянемо найпростіший випадок вільного падіння, коли тіло рухається по вертикалі. Такий рух є рівноприскореним прямолінійним рухом, тому всі раніше вивчені закономірності і фокуси такого руху підходять і для вільного падіння. Тільки прискорення завжди дорівнює прискоренню вільного падіння.

Традиційно при вільному падінні використовують спрямовану вертикально вісь OY. Нічого страшного тут нема. Просто треба у всіх формулах замість індексу « х» писати « у». Сенс цього індексу та правило визначення знаків зберігається. Куди направляти вісь OY – Ваш вибір, що залежить від зручності розв'язання задачі. Варіантів 2: вгору чи вниз.

Наведемо кілька формул, які є вирішенням деяких конкретних завдань із кінематики на вільне падіння по вертикалі. Наприклад, швидкість, з якої впаде тіло, що падає з висоти hбез початкової швидкості:

Час падіння тіла з висоти hбез початкової швидкості:

Максимальна висота, на яку підніметься тіло, кинуте вертикально вгору з початковою швидкістю v 0 , час підйому цього тіла на максимальну висоту, та повний час польоту (до повернення у вихідну точку):

Горизонтальний кидок

При горизонтальному кидку з початковою швидкістю v 0 рух тіла зручно розглядати як два рухи: рівномірний уздовж осі ОХ (вздовж осі ОХ немає жодних сил, що перешкоджають або допомагають руху) і рівноприскореного руху вздовж осі OY.

Швидкість у будь-який момент часу спрямована щодо траєкторії. Її можна розкласти на дві складові: горизонтальну та вертикальну. Горизонтальна складова завжди залишається незмінною і дорівнює v x = v 0 . А вертикальна зростає за законами прискореного руху v y = gt. При цьому повна швидкість тіламоже бути знайдена за формулами:

При цьому важливо зрозуміти, що час падіння тіла на землю жодним чином не залежить від того, з якою горизонтальною швидкістю його покинули, а визначається лише висотою, з якої було кинуто тіло. Час падіння тіла на землю знаходиться за формулою:

Поки тіло падає, воно одночасно рухається вздовж горизонтальної осі. Отже, дальність польоту тілаабо відстань, яку тіло зможе пролетіти вздовж осі ОХ, дорівнює:

Кут між горизонтомі швидкістю тіла легко знайти із співвідношення:

Також іноді в завданнях можуть запитати про момент часу, при якому повна швидкість тіла буде нахилена під певним кутом до вертикалі. Тоді цей кут перебуватиме із співвідношення:

Важливо зрозуміти, який саме кут фігурує у задачі (з вертикаллю чи з горизонталлю). Це допоможе вам вибрати правильну формулу. Якщо ж вирішувати це завдання координатним методом, то загальна формула закону зміни координати при рівноприскореному русі:

Перетворюється на наступний закон руху по осі OY для тіла кинутого горизонтально:

За її допомогою ми можемо знайти висоту на якій буде тіло в будь-який момент часу. При цьому в момент падіння тіла на землю координата тіла по осі OY дорівнюватиме нулю. Вочевидь, що вздовж осі OХ тіло рухається рівномірно, у рамках координатного методу горизонтальна координата зміняться за законом:

Кидок під кутом до обрію (з землі на землю)

Максимальна висота підйому при кидку під кутом до горизонту (щодо початкового рівня):

Час підйому до максимальної висоти при кидку під кутом до горизонту:

Дальність польоту та повний час польоту тіла кинутого під кутом до горизонту (за умови, що політ закінчується на тій самій висоті, з якої почався, тобто тіло кидали, наприклад, із землі на землю):

Мінімальна швидкість тіла кинутого під кутом до горизонту – у найвищій точці підйому і дорівнює:

Максимальна швидкість тіла кинутого під кутом до горизонту – у моменти кидка та падіння на землю, і дорівнює початковій. Це твердження є правильним тільки для кидка з землі на землю. Якщо тіло продовжує летіти нижче за той рівень, з якого його кидали, то воно там набуватиме все більшої і більшої швидкості.

Складання швидкостей

Рух тіл можна описувати у різних системах відліку. З погляду кінематики, всі системи відліку рівноправні. Однак кінематичні характеристики руху, такі як траєкторія, переміщення, швидкість, у різних системах виявляються різними. Величини, що залежать від вибору системи відліку, в якій проводиться їх вимір, називають відносними. Таким чином, спокій та рух тіла відносні.

Таким чином, абсолютна швидкість тіла дорівнює векторній сумі його швидкості щодо рухомої системи координат і швидкості рухомої системи відліку. Або, іншими словами, швидкість тіла у нерухомій системі відліку дорівнює векторній сумі швидкості тіла у рухомій системі відліку та швидкості рухомої системи відліку щодо нерухомої.

Рівномірний рух по колу

Рух тіла по колу є окремим випадком криволінійного руху. Такий вид руху також розглядається у кінематиці. При криволінійному русі вектор швидкості тіла завжди спрямований по дотичній до траєкторії. Те саме відбувається і при русі по колу (див. малюнок). Поступово рух тіла по колу характеризується рядом величин.

Період– час, протягом якого тіло, рухаючись по колу, робить один повний оборот. Одиниця виміру – 1 с. Період розраховується за такою формулою:

Частота– кількість оборотів, яке зробило тіло, рухаючись коло, в одиницю часу. Одиниця виміру – 1 об/с або 1 Гц. Частота розраховується за такою формулою:

В обох формулах: N– кількість оборотів за час t. Як видно з наведених вище формул, період і частота величини взаємозворотні:

При рівномірному обертанні швидкістьтіла визначається таким чином:

де: l- Довжина кола або шлях, пройдений тілом за час, що дорівнює періоду T. При русі тіла по колу зручно розглядати кутове переміщення φ (або кут повороту), що вимірюється в радіанах. Кутовою швидкістю ω тіла у даній точці називають відношення малого кутового переміщення Δ φ до малого проміжку часу Δ t. Очевидно, що за час, що дорівнює періоду Tтіло пройде кут рівний 2 π , Отже при рівномірному русі по колу виконуються формули:

Кутова швидкість вимірюється в рад/с. Не забувайте перекладати кути із градусів у радіани. Довжина дуги lпов'язана з кутом повороту співвідношенням:

Зв'язок між модулем лінійної швидкості vта кутовою швидкістю ω :

При русі тіла по колу з постійною по модулю швидкістю змінюється напрям вектора швидкості, тому рух тіла по колу з постійною по модулю швидкістю є рухом з прискоренням (але не рівноприскореним), оскільки змінюється напрям швидкості. У цьому випадку прискорення спрямоване радіусом до центру кола. Його називають нормальним, або доцентровим прискоренням, так як вектор прискорення у будь-якій точці кола спрямований до її центру (див. рисунок).

Модуль відцентрового прискоренняпов'язаний з лінійною vта кутовий ω швидкостями співвідношеннями:

Зверніть увагу, що якщо тіла (точки) знаходяться на диску, кулі, стрижні, що обертається, і так далі, одним словом на одному і тому ж обертовому об'єкті, то у всіх тіл однакові період обертання, кутова швидкість і частота.

Рівноприскореним рухомназивають такий рух, при якому вектор прискорення залишається незмінним за модулем та напрямом. Прикладом такого руху є рух каменя, кинутого під деяким кутом до горизонту (без урахування опору повітря). У будь-якій точці траєкторії прискорення каменю дорівнює прискоренню вільного падіння. Таким чином вивчення рівноприскореного руху зводиться до вивчення прямолінійного рівноприскореного руху. У разі прямолінійного руху вектори швидкості та прискорення спрямовані вздовж прямого руху. Тому швидкість та прискорення у проекціях на напрямок руху можна розглядати як алгебраїчні величини. При рівноприскореному прямолінійному русі швидкість тіла визначається формулою (1)

У цій формулі – швидкість тіла при t = 0 (початкова швидкість ), = const - прискорення. У проекції на обрану вісь х рівняння (1) запишеться у вигляді: (2). На графіку проекції швидкості х ( t) ця залежність має вигляд прямої лінії.

За нахилом графіка швидкості може бути визначено прискорення aтіла. Відповідні побудови виконано на рис. для графіка I Прискорення чисельно дорівнює відношенню сторін трикутника ABC: .

Чим більший кут β, який утворює графік швидкості з віссю часу, тобто чим більший нахил графіка ( крутість), тим більше прискорення тіла.

Для графіка I: ? 0 = -2 м / с, a= 1/2 м/с2. Для графіка II: ? 0 = 3 м/с, a= -1/3 м / с2.

Графік швидкості дозволяє також визначити проекцію переміщення тіла s за деякий час t. Виділимо на осі часу деякий мінімальний проміжок часу Δt. Якщо цей проміжок часу досить малий, то зміна швидкості за цей проміжок невелика, тобто рух протягом цього проміжку часу можна вважати рівномірним з деякою середньою швидкістю, яка дорівнює миттєвій швидкості υ тіла в середині проміжку Δt. Отже, переміщення Δs за час Δt дорівнюватиме Δs = υΔt. Це переміщення дорівнює площі заштрихованої на рис. смужки. Розбивши проміжок часу від 0 до деякого моменту t на малі проміжки Δt можна отримати, що переміщення s за заданий час t при рівноприскореному прямолінійному русі дорівнює площі трапеції ODEF. Відповідні побудови виконано на рис. для графіка ІІ. Час t прийнято рівним 5,5 с.

(3) – отримана формула дозволяє визначити переміщення при рівноприскореному русі, якщо прискорення не відомо.

Якщо підставити в рівняння (3) вираз для швидкості (2), отримуємо (4) – ця формула використовується для запису рівняння руху тіла: (5).

Якщо виразити з рівняння (2) час руху (6) і підставити на рівність (3), то

Ця формула дозволяє визначити переміщення за невідомого часу руху.

У підручниках та навчальних посібниках (наприклад, ) виводиться формула для проекції прямолінійного рівноприскореного руху (ПРУД) на окремому прикладі графіка швидкості, коли проекції початкової швидкості υ x> 0 та прискорення a x> 0, а напрямок осі X збігається з напрямком руху. У цьому величина проекції переміщення вважається рівної площі трапеції. Однак не враховується, що, наприклад, при υ x> 0 та a x < 0 получается не трапеция, а два треугольника, расположенных по разные стороны оси времени.

Формули, отримані для проекції переміщення при ПРУД, не трансформуються у векторний вигляд. Очевидно, автори розуміють, що це призведе до формул, справедливим будь-якого (не обов'язково прямолінійного) РУД. Прив'язка висновку формули переміщення до ПРУД призводить до того, що при аналізі РУД з початковою швидкістю, не колінеарною прискоренню, щоразу доводиться розкладати рух на рівномірний і прямолінійний рівноприскорений (наприклад, при аналізі криволінійного руху тіла під дією сили тяжіння, криволінійного руху заряду в однорідне електричне поле).

Статтю підготовлено за підтримки житлового комплексу «Рідні береги». Якщо ви вирішили придбати якісну та надійну квартиру, то оптимальним рішенням стане відвідати сайт житлового комплексу «Рідні береги». Перейшовши за посиланням: «житловий комплекс у СПб», ви зможете, не відходячи від екрана монітора, вибрати квартиру своєї мрії за вигідною ціною. Більш детальну інформацію про ціни та акції, що діють на даний момент, ви зможете знайти на сайті www.berega.spb.ru.

Щоб уникнути цього, ми пропонуємо виводити векторну формулу, справедливу для переміщення за будь-якого (а не тільки прямолінійного) РУД. Нехай тіло здійснює рівноприскорений рух із початковою швидкістю υ 0 та прискоренням a . Цей рух можна вважати таким, що складається з рівномірного руху зі швидкістю υ 0 та рівноприскореного руху з початковою швидкістю υ 0 = 0 та прискоренням a .

Переміщення s при рівномірному русі за час tодно υ 0 t. Переміщення при РУД з початковою нульовою швидкістю може залежати, очевидно, тільки від прискорення a та часу t, тобто. є деякою функцією f( a t). Тому для суми цих двох переміщень можна записати:

s = υ 0 t + f( a t). (1)

За час tтіло досягне швидкості υ = υ 0 + a t.

Щоб визначити функцію f( a t), припустимо, що рух знято на кіноплівку і демонструється у зворотному порядку. У цьому випадку зображення тіла за той самий час tі з тим самим прискоренням a здійснить переміщення s обр = - s з початковою швидкістю υ обр = - υ = –(υ 0 + a t).

Формула (1) приклад вид: s обр = υ обр t + f( a t), а з урахуванням виразів для s обр, υ обр:

–s = –(υ 0 + a t)t + f( a t) ⇒ s = υ 0 t + a t 2 – f( a t). (2)

Прирівняємо праві частини виразів (1) і (2) для однієї і тієї ж величини s : υ 0 t + f( a t) =υ 0 t + a t 2 – f( a t).

Вирішивши це рівняння, отримаємо f( a t)= at 2/2.

Тепер формулу (1) для рівноприскореного руху можна записати так: s = υ 0 t + a t 2 /2.

Література

1. Кікоїн І.К., Кікоїн А.К.Фізика-9. - М.: Просвітництво, 1999.
2. Кабардін О.Ф.фізика. - М.: АСТ-Прес Школа, 2009.

Траєкторія(від пізньолатинського trajectories – що відноситься до переміщення) – це лінія, якою рухається тіло (матеріальна точка). Траєкторія руху може бути прямою (тіло переміщається в одному напрямку) і криволінійною, тобто механічний рух може бути прямолінійним та криволінійним.

Траєкторія прямолінійного рухуу цій системі координат – це пряма лінія. Наприклад, можна вважати, що траєкторія руху автомобіля рівною дорогою без поворотів є прямолінійною.

Криволінійний рух– це рух тіл по колу, еліпсу, параболі чи гіперболі. Приклад криволінійного руху – рух точки на колесі автомобіля, що рухається, або рух автомобіля в повороті.

Рух може бути складним. Наприклад, траєкторія руху тіла на початку шляху може бути прямолінійною, потім криволінійною. Наприклад, автомобіль на початку шляху рухається прямою дорогою, а потім дорога починає «петляти» і автомобіль починає криволінійний рух.

Шлях

Шлях- Це довжина траєкторії. Шлях є скалярною величиною та у міжнародній системі одиниць СІ вимірюється в метрах (м). Розрахунок шляху виконується у багатьох завданнях із фізики. Деякі приклади будуть розглянуті далі у цьому підручнику.

Вектор переміщення

Вектор переміщення(або просто переміщення) – це спрямований відрізок прямий, що з'єднує початкове положення тіла з наступним положенням (рис. 1.1). Переміщення – величина векторна. Вектор переміщення направлено від початкової точки руху до кінцевої.

Модуль вектор переміщення(тобто довжина відрізка, який з'єднує початкову і кінцеву точки руху) може дорівнювати пройденому шляху або бути менше пройденого шляху. Але ніколи модуль вектора переміщення не може бути більшим за пройдений шлях.

Модуль вектора переміщення дорівнює пройденому шляху, коли шлях збігається з траєкторією (див. розділи і ), наприклад, якщо з точки А до точки Б автомобіль переміщається прямою дорогою. Модуль вектора переміщення менший за пройдений шлях, коли матеріальна точка рухається по криволінійній траєкторії (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Вектор рух і пройдений шлях.

На рис. 1.1:

Ще приклад. Якщо автомобіль проїде по колу один раз, то вийде, що точка початку руху збігається з точкою кінця руху і тоді вектор переміщення дорівнюватиме нулю, а пройдений шлях дорівнюватиме довжині кола. Таким чином, шлях та переміщення – це два різні поняття.

Правило складання векторів

Вектори переміщень складаються геометрично за правилом складання векторів (правило трикутника або правило паралелограма, див. рис. 1.2).

Рис. 1.2. Додавання векторів переміщень.

На рис 1.2 показані правила складання векторів S1 та S2:

а) Додавання за правилом трикутника
б) Додавання за правилом паралелограма

Вектор проекції переміщення

При розв'язанні задач із фізики часто використовують проекції вектора переміщення на координатні осі. Проекції вектора переміщення координатні осі можуть бути виражені через різниці координат його кінця і початку. Наприклад, якщо матеріальна точка перемістилася з точки А до точки В, то при цьому вектор переміщення (рис. 1.3).

Виберемо вісь так, щоб вектор лежав з цією віссю в одній площині. Опустимо перпендикуляри з точок А та В (з початкової та кінцевої точок вектора переміщення) до перетину з віссю ОХ. Таким чином ми отримаємо проекції точок А і В на вісь Х. Позначимо проекції точок А і відповідно А x і В x . Довжина відрізка А x У x на осі ОХ - це і є проекція вектора переміщенняна вісь ОХ, тобто

S x = A x B x

ВАЖЛИВО!
Нагадую для тих, хто не дуже добре знає математику: не плутайте вектор із проекцією вектора на якусь вісь (наприклад, S x). Вектор завжди позначається літерою або кількома літерами, над якими знаходиться стрілка. У деяких електронних документах стрілку не ставлять, оскільки це може спричинити труднощі при створенні електронного документа. У таких випадках орієнтуйтеся на зміст статті, де поруч із літерою може бути написане слово «вектор» або в будь-який інший спосіб вам вказують на те, що це саме вектор, а не просто відрізок.

Рис. 1.3. Вектор проекції переміщення.

Проекція вектора переміщення на вісь ОХ дорівнює різниці координат кінця та початку вектора, тобто

S x = x - x 0

Аналогічно визначаються та записуються проекції вектора переміщення на осі OY та OZ:

S y = y - y 0 S z = z - z 0

Тут x 0 , y 0 , z 0 - Початкові координати, або координати початкового положення тіла (матеріальної точки); x, y, z - кінцеві координати, або координати подальшого положення тіла (матеріальної точки).

Проекція вектора переміщення вважається позитивною, якщо напрям вектора та напрям координатної осі збігаються (як на рис 1.3). Якщо напрям вектора та напрям координатної осі не збігаються (протилежні), то проекція вектора негативна (рис. 1.4).

Якщо вектор переміщення паралельний осі, модуль його проекції дорівнює модулю самого Вектора. Якщо вектор переміщення перпендикулярний до осі, то модуль його проекції дорівнює нулю (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Модулі проекції вектор переміщення.

Різниця між наступним і початковим значеннями якоїсь величини називається зміною цієї величини. Тобто, проекція вектора переміщення на координатну вісь дорівнює зміні відповідної координати. Наприклад, для випадку, коли тіло переміщається перпендикулярно до осі Х (рис. 1.4) виходить, що щодо осі Х тіло НЕ ПЕРЕМІЩУЄТЬСЯ. Тобто переміщення тіла по осі Х дорівнює нулю.

Розглянемо приклад руху тіла на площині. Початкове положення тіла - точка А з координатами х0 і у 0, тобто А(х0, у 0). Кінцеве положення тіла - точка з координатами х і у, тобто В (х, у). Знайдемо модуль переміщення тіла.

З точок А та В опустимо перпендикуляри на осі координат ОХ та OY (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Рух тіла на площині.

Визначимо проекції вектора переміщення осях ОХ і OY:

S x = x – x 0 S y = y – y 0

На рис. 1.5 видно, що трикутник АВС прямокутний. З цього випливає, що під час вирішення завдання можна використовувати теорема Піфагора, за допомогою якої можна знайти модуль вектора переміщення, оскільки

АС = s x CB = s y

За теоремою Піфагора

S 2 = S x 2 + S y 2

Звідки можна знайти модуль вектора переміщення, тобто довжину шляху тіла з точки А до точки В:

Ну і насамкінець пропоную вам закріпити отримані знання та розрахувати кілька прикладів на ваш розсуд. Для цього введіть будь-які цифри у поля координат та натисніть кнопку РОЗРАХУВАТИ. Ваш браузер повинен підтримувати виконання сценаріїв (скриптів) JavaScript і виконання сценаріїв має бути дозволено в налаштуваннях вашого браузера, інакше розрахунок не буде виконано. У речових числах ціла та дробова частини повинні розділятися точкою, наприклад, 10.5.

Виведемо формулу, за допомогою якої можна розрахувати проекцію вектора переміщення тіла, що рухається прямолінійно та рівноприскорено, за будь-який проміжок часу. Для цього звернемося до рисунка 14. Як на малюнку 14, а, так і на малюнку 14 б відрізок АС являє собою графік проекції вектора швидкості тіла, що рухається з постійним прискоренням а (при початковій швидкості v 0).

Рис. 14. Проекція вектора переміщення тіла, що рухається прямолінійно та рівноприскорено, чисельно дорівнює площі S під графіком

Нагадаємо, що при прямолінійному рівномірному русі тіла проекція вектора переміщення, здійсненого цим тілом, визначається за тією самою формулою, що і площа прямокутника, укладеного під графіком векторної проекції швидкості (див. рис. 6). Тому проекція вектора переміщення чисельно дорівнює площі прямокутника.

Доведемо, що й у разі прямолінійного рівноприскореного руху проекцію вектора переміщення s x можна визначати за тією самою формулою, що і площа фігури, укладеної між графіком АС, віссю Ot та відрізками ОА та ВС, тобто, що і в цьому випадку проекція вектора переміщення чисельно дорівнює площі фігури під графіком швидкості. Для цього на осі Ot (див. рис. 14 а) виділимо маленький проміжок часу db. З точок d і b проведемо перпендикуляри до осі Ot до перетину з графіком проекції вектора швидкості в точках а і с.

Таким чином, за проміжок часу, який відповідає відрізку db, швидкість тіла змінюється від v ах до v cx .

За досить короткий проміжок часу проекція вектора швидкості змінюється дуже мало. Тому рух тіла протягом цього часу мало відрізняється від рівномірного, тобто від руху з постійною швидкістю.

На такі смужки можна розбити всю площу фігури ОАСВ, що є трапецією. Отже, проекція вектора переміщення sx за проміжок часу, що відповідає відрізку ОВ, чисельно дорівнює площі S трапеції ОАСВ і визначається за тією самою формулою, що ця площа.

Згідно з правилом, наведеним у шкільних курсах геометрії, площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту. З малюнка 14 б видно, що основами трапеції ОАСВ є відрізки ОА = v 0x і ВС = v x , а висотою - відрізок OB = t. Отже,

Оскільки v x = v 0x + a x t, a S = s x , то можна записати:

Таким чином, ми отримали формулу для розрахунку векторної проекції переміщення при рівноприскореному русі.

За цією ж формулою розраховують проекцію вектора переміщення і при русі тіла з швидкістю, що зменшується по модулю, тільки в цьому випадку вектори швидкості і прискорення будуть направлені в протилежні сторони, тому їх проекції будуть мати різні знаки.

Запитання

1. Користуючись малюнком 14, а доведіть, що проекція вектора переміщення при рівноприскореному русі чисельно дорівнює площі фігури ОАСВ.
2. Запишіть рівняння для визначення проекції вектора переміщення тіла при прямолінійному рівноприскореному русі.

Вправа 7