Формула знаходження площі трикутника через синус кута. Теорема про площу трикутника, теореми синусів та косінусів

Можна знайти, знаючи основу та висоту . Вся простота схеми полягає в тому, що висота ділить основу a на дві частини a 1 і a 2, а сам трикутник - на два прямокутні трикутники, площа яких виходить і . Тоді площа всього трикутника буде сумою двох зазначених площ, і якщо ми винесемо одну другу висоти за дужку, то в сумі ми отримаємо назад основу:

Складніший для розрахунків спосіб – це формула Герона, для якої необхідно знати всі три сторони. Для цієї формули потрібно обчислити спочатку напівпериметр трикутника: Сама формула Герона має на увазі квадратний корінь із напівпериметра, помноженого почергово на різницю його з кожної зі сторін.

Наступний спосіб, також актуальний для будь-якого трикутника, дозволяє знайти площу трикутника через дві сторони та кут між ними. Доказ цього випливає з формули з висотою – проводимо висоту на будь-яку з відомих сторін і через синус кута α одержуємо, що h=a⋅sinα . Для обчислення площі помножимо половину висоти другий бік.

Інший спосіб – знайти площу трикутника, знаючи 2 кути та сторону між ними. Доказ цієї формули досить простий, і видно з схеми.

Опускаємо з вершини третього кута висоту на відомий бік і називаємо отримані відрізки відповідно. З прямокутних трикутників видно, що перший відрізок x дорівнює добутку

Якщо говорити просто, це овочі, приготовлені у воді за спеціальним рецептом. Я розглядатиму два вихідні компоненти (овочевий салат і воду) і готовий результат – борщ. Геометрично це можна як прямокутник, у якому одна сторона позначає салат, друга сторона позначає воду. Сума цих двох сторін позначатиме борщ. Діагональ і площа такого борщового прямокутника є суто математичними поняттями і ніколи не використовуються в рецептах приготування борщу.

У підручниках математики ви нічого не знайдете про лінійні кутові функції. Адже без них не може бути математики. Закони математики, як і закони природи, працюють незалежно від того, знаємо ми про їхнє існування чи ні.

Лінійні кутові функції – це закони складання.Подивіться, як алгебра перетворюється на геометрію, а геометрія перетворюється на тригонометрію.

Чи можна обійтись без лінійних кутових функцій? Можна, адже математики досі без них обходяться. Хитрість математиків полягає в тому, що вони завжди розповідають нам тільки про ті завдання, які вони самі вміють вирішувати, і ніколи не розповідають про ті завдання, які вони не вміють вирішувати. Дивіться. Якщо нам відомий результат додавання та один доданок, для пошуку іншого доданку ми використовуємо віднімання. Всі. Інших завдань ми не знаємо і вирішувати не вміємо. Що робити в тому випадку, якщо нам відомий тільки результат додавання і не відомі обидва доданки? У цьому випадку результат додавання потрібно розкласти на два складові за допомогою лінійних кутових функцій. Далі ми вже самі вибираємо, яким може бути один доданок, а лінійні кутові функції показують, яким має бути другий доданок, щоб результат додавання був саме таким, який нам потрібен. Таких пар доданків може бути безліч. У повсякденному житті ми чудово обходимося без розкладання суми, нам достатньо віднімання. А ось при наукових дослідженнях законів природи розкладання суми на доданки може стати в нагоді.

Ще один закон додавання, про який математики не люблять говорити (ще одна їхня хитрість), вимагає, щоб доданки мали однакові одиниці виміру. Для салату, води та борщу це можуть бути одиниці виміру ваги, обсягу, вартості або одиниці виміру.

На малюнку показано два рівні відмінностей для математичних. Перший рівень - це відмінності в області чисел, які позначені a, b, c. Це те, чим займаються математики. Другий рівень - це відмінності в області одиниць виміру, які показані у квадратних дужках та позначені буквою U. Цим займаються фізики. Ми можемо розуміти третій рівень - розбіжності у сфері описуваних об'єктів. Різні об'єкти можуть мати однакову кількість однакових одиниць виміру. Наскільки це важливо, ми можемо побачити з прикладу тригонометрії борщу. Якщо ми додамо нижні індекси до однакового позначення одиниць вимірювання різних об'єктів, то зможемо точно говорити, яка математична величина описує конкретний об'єкт і як вона змінюється з часом або у зв'язку з нашими діями. Літерою Wя позначу воду, буквою Sпозначу салат і буквою B- Борщ. Ось як виглядатимуть лінійні кутові функції для борщу.

Якщо ми візьмемо якусь частину води та якусь частину салату, разом вони перетворяться на одну порцію борщу. Тут я пропоную вам трохи відволіктися від борщу та згадати далеке дитинство. Пам'ятаєте, як нас вчили складати разом зайчиків та качечок? Потрібно було знайти, скільки всього звірят вийде. Що ж тоді нас вчили робити? Нас вчили відривати одиниці виміру від чисел і складати числа. Так, будь-яке число можна скласти з іншим будь-яким числом. Це прямий шлях до аутизму сучасної математики - ми робимо незрозуміло, що, незрозуміло навіщо і дуже погано розуміємо, як це стосується реальності, адже з трьох рівнів відмінності математики оперують лише одним. Правильніше буде навчитися переходити від одних одиниць виміру до інших.

І зайчиків, і качечок, і звірят можна порахувати в штуках. Одна загальна одиниця виміру для різних об'єктів дозволяє нам скласти їх разом. Це дитячий варіант завдання. Погляньмо на схоже завдання для дорослих. Що вийде, якщо скласти зайчиків та гроші? Тут можна запропонувати два варіанти рішення.

Перший варіант. Визначаємо ринкову вартість зайчиків і складаємо її з наявною грошовою сумою. Ми отримали загальну вартість нашого багатства у грошовому еквіваленті.

Другий варіант. Можна кількість кроликів скласти з кількістю наявних у нас грошових купюр. Ми отримаємо кількість рухомого майна у штуках.

Як бачите, той самий закон додавання дозволяє отримати різні результати. Все залежить від того, що ми хочемо знати.

Але повернемось до нашого борщу. Тепер ми можемо подивитися, що відбуватиметься за різних значень кута лінійних кутових функцій.

Кут дорівнює нулю. Ми маємо салат, але немає води. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу також дорівнює нулю. Це зовсім не означає, що нуль борщу дорівнює нулю води. Нуль борщу може бути при нулі салату (прямий кут).

Особисто для мене це основний математичний доказ того факту, що . Нуль не змінює число під час додавання. Це відбувається тому, що саме додавання неможливе, якщо є тільки один доданок і відсутній другий доданок. Ви до цього можете ставитися як завгодно, але пам'ятайте - всі математичні операції з нулем придумали самі математики, тому відкидайте свою логіку і тупо зубріть визначення, придумані математиками: "поділ на нуль неможливий", "будь-яке число, помножене на нуль, дорівнює нулю" , "за виколом точки нуль" та інше марення. Достатньо один раз запам'ятати, що нуль не є числом, і у вас вже ніколи не виникне питання, чи є нуль натуральним числом чи ні, тому що таке питання взагалі позбавляється всякого сенсу: як можна вважати числом те, що числом не є. Це все одно, що питати, до якого кольору віднести невидимий колір. Додавати нуль до числа - це те саме, що фарбувати фарбою, якої немає. Сухим пензликом помахали і говоримо всім, що "ми пофарбували". Але я трохи відволікся.

Кут більший за нуль, але менше сорока п'яти градусів. В нас багато салату, але мало води. В результаті ми отримаємо густий борщ.

Кут дорівнює сорок п'ять градусів. Ми маємо в рівних кількостях воду та салат. Це ідеальний борщ (хай вибачать мені кухарі, це просто математика).

Кут більше сорока п'яти градусів, але менше дев'яноста градусів. У нас багато води та мало салату. Вийде рідкий борщ.

Прямий кут. Ми маємо воду. Від салату залишилися лише спогади, оскільки кут ми продовжуємо вимірювати від лінії, яка колись означала салат. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу дорівнює нулю. У такому разі, тримайтеся та пийте воду, поки вона є)))

Ось. Якось так. Я можу тут розповісти й інші історії, які будуть більш доречними.

Двоє друзів мали свої частки у спільному бізнесі. Після вбивства одного з них все дісталося іншому.

Поява математики на планеті.

Всі ці історії мовою математики розказані за допомогою лінійних кутових функцій. Якось іншим разом я покажу вам реальне місце цих функцій у структурі математики. А поки що, повернемося до тригонометрії борщу та розглянемо проекції.

субота, 26 жовтня 2019 р.

Переглянув цікаве відео про ряд Гранді Один мінус один плюс один мінус один - Numberphile. Математики брешуть. Вони не виконали перевірку рівності під час своїх міркувань.

Це перегукується з моїми міркуваннями про .

Давайте детальніше розглянемо ознаки обману нас математиками. На самому початку міркувань, математики говорять, що сума послідовності залежить від того, парна кількість елементів в ній чи ні. Це ОБ'ЄКТИВНО ВСТАНОВЛЕНИЙ ФАКТ. Що відбувається далі?

Далі математики з одиниці віднімають послідовність. До чого це призводить? Це призводить до зміни кількості елементів послідовності - парна кількість змінюється на непарне, непарне змінюється на парне. Адже ми додали до послідовності один елемент, який дорівнює одиниці. Незважаючи на всю зовнішню схожість, послідовність до перетворення не дорівнює послідовності після перетворення. Навіть якщо ми розмірковуємо про нескінченну послідовність, необхідно пам'ятати, що нескінченна послідовність з непарною кількістю елементів не дорівнює нескінченній послідовності з парною кількістю елементів.

Ставлячи знак рівності між двома різними за кількістю елементів послідовностями, математики стверджують, що сума послідовності не залежить від кількості елементів у послідовності, що суперечить об'єктивно встановленому факту. Подальші міркування сумі нескінченної послідовності є хибними, оскільки засновані на хибній рівності.

Якщо ви бачите, що математики в ході доказів розставляють дужки, переставляють місцями елементи математичного вираження, що-небудь додають або прибирають, будьте дуже уважні, швидше за все, вас намагаються обдурити. Як карткові фокусники, математики різними маніпуляціями з виразом відволікають вашу увагу, щоб підсунути вам хибний результат. Якщо картковий фокус ви не можете повторити, не знаючи секрету обману, то в математиці все набагато простіше: ви навіть нічого не підозрюєте про обман, але повторення всіх маніпуляцій з математичним виразом дозволяє переконати інших у правильності отриманого результату, так само, як коли то переконали вас.

Питання із залу: А нескінченність (як кількість елементів у послідовності S), вона парна чи непарна? Як можна змінити парність у того, що парності немає?

Нескінченність для математиків, як Царство Небесне для попів - ніхто ніколи там не був, але всі точно знають, як там все влаштовано))) Згоден, після смерті вам буде абсолютно байдуже, парна чи непарна кількість днів ви прожили, але... Додавши всього один день на початок вашого життя, ми отримаємо зовсім іншу людину: прізвище, ім'я та по батькові у нього такі самі, тільки дата народження зовсім інша - він народився за один день до вас.

А тепер по суті))) Припустимо, кінцева послідовність, що має парність, втрачає цю парність при переході до нескінченності. Тоді і будь-який кінцевий відрізок нескінченної послідовності має втратити парність. Ми цього не спостерігаємо. Те, що ми не можемо точно сказати, парне чи непарне кількість елементів у нескінченної послідовності, зовсім не означає, що парність зникла. Не може парність, якщо вона є, безвісти зникнути в нескінченності, як у рукаві шулера. Для цього випадку дуже хороша аналогія.

Ви ніколи не питали у зозулі, що сидить у годиннику, в якому напрямку обертається стрілка годинника? Для неї стрілка обертається у зворотному напрямку тому, що ми називаємо "за годинниковою стрілкою". Як це не парадоксально звучить, але напрямок обертання залежить виключно від того, з якого боку ми спостерігаємо. І так, у нас є одне колесо, що обертається. Ми не можемо сказати, в якому напрямку відбувається обертання, оскільки ми можемо спостерігати як з одного боку площини обертання, так і з іншого. Ми можемо лише засвідчити факт, що є обертання. Повна аналогія з парністю нескінченної послідовності S.

Тепер додамо друге обертове колесо, площина обертання якого паралельна площині обертання першого колеса, що обертається. Ми, як і раніше, не можемо точно сказати, в якому напрямку обертаються ці колеса, але ми абсолютно точно можемо сказати, обертаються обидва колеса в один бік або в протилежні. Порівнюючи дві нескінченні послідовності Sі 1-Sя за допомогою математики показав, що у цих послідовностей різна парність і ставити знак рівності між ними - це помилка. Особисто я вірю математиці, не довіряю математикам))) До речі, для повного розуміння геометрії перетворень нескінченних послідовностей, необхідно вводити поняття "одночасність". Це потрібно буде намалювати.

середа, 7 серпня 2019 р.

Завершуючи розмову про , потрібно розглянути безліч. Дало в тому, що поняття "нескінченність" діє на математиків, як удав на кролика. Тремтливий жах перед нескінченністю позбавляє математиків здорового глузду. Ось приклад:

Першоджерело знаходиться. Альфа означає дійсне число. Знак рівності в наведених виразах свідчить про те, що якщо до нескінченності додати число або нескінченність, нічого не зміниться, в результаті вийде така сама нескінченність. Якщо в якості прикладу взяти безліч натуральних чисел, то розглянуті приклади можна представити в такому вигляді:

Для наочного доказу своєї правоти математики вигадали багато різних методів. Особисто я дивлюся на всі ці методи, як на танці шаманів із бубнами. По суті, всі вони зводяться до того, що або частина номерів не зайнята і в них заселяються нові гості, або частину відвідувачів викидають у коридор, щоб звільнити місце для гостей (дуже навіть по-людськи). Свій погляд на подібні рішення я виклав у формі фантастичного оповідання про Блондинку. На чому ґрунтуються мої міркування? Переселення нескінченної кількості відвідувачів потребує багато часу. Після того, як ми звільнили першу кімнату для гостя, один із відвідувачів завжди буде йти коридором зі свого номера до сусіднього до кінця століття. Звичайно, фактор часу можна тупо ігнорувати, але це вже буде з розряду "дурням закон не писаний". Все залежить від того, чим ми займаємося: підганяємо реальність під математичні теорії чи навпаки.

Що ж таке "нескінченний готель"? Нескінченний готель - це готель, де завжди є будь-яка кількість вільних місць, незалежно від того, скільки номерів зайнято. Якщо всі номери в нескінченному коридорі для відвідувачів зайняті, є інший нескінченний коридор з номерами для гостей. Таких коридорів буде безліч. При цьому у "нескінченного готелю" нескінченна кількість поверхів у нескінченній кількості корпусів на нескінченній кількості планет у нескінченній кількості всесвітів, створених нескінченною кількістю Богів. Математики ж не здатні відсторонитися від банальних побутових проблем: Бог-Аллах-Будда – завжди лише один, готель – він один, коридор – лише один. Ось математики й намагаються підтасовувати порядкові номери готельних номерів, переконуючи нас у тому, що можна "впхнути непохитне".

Логіку своїх міркувань я вам продемонструю на прикладі нескінченної множини натуральних чисел. Для початку потрібно відповісти на дуже просте запитання: скільки множин натуральних чисел існує одне чи багато? Правильного відповіді це питання немає, оскільки числа придумали ми самі, у Природі чисел немає. Так, Природа чудово вміє рахувати, але для цього вона використовує інші математичні інструменти, не звичні для нас. Як природа вважає, я вам розповім в інший раз. Оскільки числа придумали ми, ми самі вирішуватимемо, скільки множин натуральних чисел існує. Розглянемо обидва варіанти, як і належить справжнім ученим.

Варіант перший. "Нехай нам дано" одне-єдине безліч натуральних чисел, яке безтурботно лежить на поличці. Беремо з полички це безліч. Все, інших натуральних чисел на поличці не залишилося і взяти їх нема де. Ми не можемо до цієї множини додати одиницю, оскільки вона в нас уже є. А якщо дуже хочеться? Без проблем. Ми можемо взяти одиницю з уже взятої нами множини і повернути її на поличку. Після цього ми можемо взяти з полички одиницю і додати її до того, що залишилося. В результаті ми знову отримаємо безліч натуральних чисел. Записати всі наші маніпуляції можна так:

Я записав дії в системі алгебри позначень і в системі позначень, прийнятої в теорії множин, з детальним перерахуванням елементів множини. Нижній індекс вказує на те, що багато натуральних чисел у нас одне і єдине. Виходить, що безліч натуральних чисел залишиться незмінним тільки в тому випадку, якщо відняти одиницю і додати цю ж одиницю.

Варіант другий. У нас на поличці лежить багато різних нескінченних множин натуральних чисел. Наголошую - РІЗНИХ, не дивлячись на те, що вони практично не відрізняються. Беремо одну з цих множин. Потім з іншої множини натуральних чисел беремо одиницю і додаємо до вже взятої нами множини. Ми можемо навіть скласти дві множини натуральних чисел. Ось що в нас вийде:

Нижні індекси "один" і "два" вказують на те, що ці елементи належали різним множинам. Так, якщо до нескінченної множини додати одиницю, в результаті вийде теж нескінченна множина, але вона не буде такою ж, як початкова множина. Якщо до однієї нескінченної множини додати іншу нескінченну множину, в результаті вийде нова нескінченна множина, що складається з елементів перших двох множин.

Багато натуральних чисел використовується для рахунку так само, як лінійка для вимірювань. Тепер уявіть, що до лінійки ви додали один сантиметр. Це вже буде інша лінійка, яка не дорівнює початковій.

Ви можете приймати чи не приймати мої міркування – це ваша особиста справа. Але якщо колись ви зіткнетеся з математичними проблемами, подумайте, чи не йдете ви стежкою хибних міркувань, протоптаною поколіннями математиків. Адже заняття математикою передусім формують у нас стійкий стереотип мислення, а вже потім додають нам розумових здібностей (або навпаки, позбавляють нас вільнодумства).

pozg.ru

неділя, 4 серпня 2019 р.

Дописував постскриптум до статті про і побачив у Вікіпедії цей чудовий текст:

Читаємо: "...багата теоретична основа математики Вавилону у відсутності цілісного характеру і зводилася до набору розрізнених прийомів, позбавлених загальної системи та доказової бази."

Вау! Які ми розумні та як добре можемо бачити недоліки інших. А чи слабко нам подивитися на сучасну математику в такому ж розрізі? Злегка перефразовуючи наведений текст, особисто мені вийшло таке:

Багата теоретична основа сучасної математики немає цілісного характеру і зводиться до набору розрізнених розділів, позбавлених загальної системи та доказової бази.

За підтвердженням своїх слів я далеко ходити не буду - має мову та умовні позначення, відмінні від мови та умовних позначень багатьох інших розділів математики. Одні й самі назви у різних розділах математики можуть мати різний сенс. Найбільш очевидним ляпам сучасної математики хочу присвятити цілий цикл публікацій. До скорої зустрічі.

субота, 3 серпня 2019 р.

Як поділити множину на підмножини? Для цього необхідно ввести нову одиницю виміру, присутню в частині елементів обраної множини. Розглянемо приклад.

Нехай у нас є безліч А, Що складається з чотирьох людей. Сформовано цю множину за ознакою "люди" Позначимо елементи цієї множини через букву а, нижній індекс з цифрою вказуватиме на порядковий номер кожної людини у цій множині. Введемо нову одиницю виміру "статевий ознака" і позначимо її літерою b. Оскільки статеві ознаки властиві всім людям, множимо кожен елемент множини Ана статеву ознаку b. Зверніть увагу, що тепер наша безліч "люди" перетворилася на безліч "люди зі статевими ознаками". Після цього ми можемо розділити статеві ознаки на чоловічі bmта жіночі bwстатеві ознаки. Ось тепер ми можемо застосувати математичний фільтр: вибираємо один із цих статевих ознак, байдуже який - чоловічий чи жіночий. Якщо вона присутня у людини, тоді множимо її на одиницю, якщо такої ознаки немає – множимо її на нуль. А далі застосовуємо звичайну шкільну математику. Дивіться, що вийшло.

Після множення, скорочень і перегрупувань, ми отримали дві підмножини: підмножина чоловіків Bmі підмножина жінок Bw. Приблизно так само міркують математики, коли застосовують теорію множин на практиці. Але в деталі вони нас не присвячують, а видають готовий результат - "безліч людей складається з підмножини чоловіків і підмножини жінок". Природно, у вас може виникнути питання, наскільки правильно застосовано математику у викладених вище перетвореннях? Смію вас запевнити, по суті перетворень зроблено все правильно, достатньо знати математичне обґрунтування арифметики, булевої алгебри та інших розділів математики. Що це таке? Якось іншим разом я вам про це розповім.

Що стосується надмножин, то об'єднати дві множини в одну надмножину можна, підібравши одиницю виміру, що є у елементів цих двох множин.

Як бачите, одиниці виміру та звичайна математика перетворюють теорію множин на пережиток минулого. Ознакою те, що з теорією множин не все гаразд, і те, що з теорії множин математики придумали власну мову і позначення. Математики вчинили так, як колись робили шамани. Тільки шамани знають, як "правильно" застосовувати їх "знання". Цим "знанням" вони навчають нас.

Насамкінець, я хочу показати вам, як математики маніпулюють з
Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, дійти спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.

Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахілес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:

За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.

Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.

У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі та дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.
Покажу процес на прикладі. Відбираємо "червоне тверде в пухирцю" - це наше "ціле". При цьому ми бачимо, що ці штучки є з бантиком, а без бантика. Після цього ми відбираємо частину "цілого" і формуємо безліч "з бантиком". Ось так шамани добувають собі корм, прив'язуючи свою теорію множин до реальності.

А тепер зробимо маленьку пакість. Візьмемо "тверде в пухирцю з бантиком" і об'єднаємо ці "цілі" за колірною ознакою, відібравши червоні елементи. Ми отримали безліч "червоних". Тепер питання на засипку: отримані множини "з бантиком" і "червоне" - це одна й та сама множина чи дві різні множини? Відповідь знають лише шамани. Точніше самі вони нічого не знають, але як скажуть, так і буде.

Цей простий приклад показує, що теорія множин абсолютно марна, коли йдеться про реальність. В чому секрет? Ми сформували безліч "червоне тверде в пухирцю з бантиком". Формування відбувалося за чотирма різними одиницями виміру: колір (червоне), міцність (тверде), шорсткість (у пухирцю), прикраси (з бантиком). Тільки сукупність одиниць виміру дозволяє адекватно описувати реальні об'єкти мовою математики.. Ось як це виглядає.

Літера "а" з різними індексами позначає різні одиниці виміру. У дужках виділено одиниці виміру, якими виділяється " ціле " попередньому етапі. За дужки винесена одиниця виміру, якою формується безліч. Останній рядок показує остаточний результат - елемент множини. Як бачите, якщо застосовувати одиниці виміру для формування множини, то результат не залежить від порядку наших дій. А це вже математика, а не танці шаманів із бубнами. Шамани можуть "інтуїтивно" прийти до такого ж результату, аргументуючи його "очевидністю", адже одиниці виміру не входять до їхнього "наукового" арсеналу.

За допомогою одиниць виміру дуже легко розбити одну або об'єднати кілька множин в одну надмножину. Давайте уважніше розглянемо алгебру цього процесу.

Якщо задачі дано довжини двох сторін трикутника і кут між ними, можна застосувати формулу площі трикутника через синус.

Приклад розрахунку площі трикутника через синус. Дано сторони a = 3, b = 4, і кут γ = 30°. По синус кута 30° дорівнює 0.5

Площа трикутника дорівнюватиме 3 кв. див.

Площа дорівнюватиме половині квадрата сторони, помноженої на дріб. У її чисельнику знаходиться добуток синусів прилеглих кутів, а в знаменнику синус протилежного кута. Тепер розраховуємо площу за такими формулами:

Наприклад, дано трикутник зі стороною a=3 та кутами γ=60°, β=60°. Обчислюємо третій кут:
Підставляємо дані у формулу
Виходить, що площа трикутника дорівнює 3,87 кв. див.

ІІ. Площа трикутника через косинус

Щоб знайти площу трикутника, потрібно знати довжини всіх сторін. За теоремою косінусів можна знайти не відомі сторони, а вже потім використовувати .
По теоремі косинусів квадрат невідомої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута, що знаходиться між ними.

З теореми виводимо формули для пошуку довжини невідомої сторони:

Знаючи як знайти сторону, що має, маючи дві сторони і кут між ними можна легко порахувати площу. Формула площі трикутника через косинус допомагає легко та швидко знайти вирішення різних завдань.

Приклад розрахунку формули площі трикутника через косинус
Даний трикутник з відомими сторонами a = 3, b = 4, і кутом γ = 45 °. Для початку знайдемо сторону, що бракує з. По косинус 45 ° = 0,7. Для цього підставимо дані до рівняння, виведеного з теореми косінусів.
Тепер, використовуючи формулу, знайдемо

Теорема про площу трикутника

Теорема 1

Площа трикутника дорівнює половині добутку двох сторін на синус кута між цими сторонами.

Доведення.

Нехай нам дано довільний трикутник $ ABC $. Позначимо довжини сторін цього трикутника як $BC=a$, $AC=b$. Введемо декартову систему координат, отже, точка $C=(0,0)$, точка $B$ лежить правої півосі $Ox$, а точка $A$ лежить у першій координатній чверті. Проведемо висоту $h$ із точки $A$ (рис. 1).

Рисунок 1. Ілюстрація теореми 1

Висота $h$ дорівнює ординаті точки $A$, отже

Теорема синусів

Теорема 2

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

Доведення.

Нехай нам дано довільний трикутник $ ABC $. Позначимо довжини сторін цього трикутника як $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (рис. 2).

Малюнок 2.

Доведемо, що

По теоремі 1, маємо

Прирівнюючи їх попарно, і отримаємо, що

Теорема косінусів

Теорема 3

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін трикутника без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між цими сторонами.

Доведення.

Нехай нам дано довільний трикутник $ ABC $. Позначимо довжини сторін як $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Введемо декартову систему координат, тож точка $A=(0,0)$, точка $B$ лежить на позитивної півосі $Ox$, а точка $C$ лежить у першій координатній чверті (рис. 3).

Малюнок 3.

Доведемо, що

У цій системі координат, отримуємо, що

Знайдемо довжину сторони $BC$ за формулою відстані між точками

Приклад завдання використання даних теорем

Приклад 1

Довести, що діаметр описаного кола довільного трикутника дорівнює відношенню будь-якої сторони трикутника до синуса протилежного цій стороні кута.

Рішення.

Нехай нам дано довільний трикутник $ ABC $. $R$ - радіус описаного кола. Проведемо діаметр $BD$ (Рис. 4).

Площа трикутника - формули та приклади розв'язання задач

Нижче наведено формули знаходження площі довільного трикутникаякі підійдуть для знаходження площі будь-якого трикутника, незалежно від його властивостей, кутів чи розмірів. Формули представлені у вигляді картинки, тут же наведено пояснення щодо застосування або обґрунтування їх правильності. Також на окремому малюнку вказані відповідності літерних позначень у формулах та графічних позначень на кресленні.

Примітка . Якщо трикутник має особливі властивості (рівностегновий, прямокутний, рівносторонній), можна використовувати формули, наведені нижче, а також додатково спеціальні, вірні тільки для трикутників з даними властивостями, формули:

• Формули площі рівностороннього трикутника

Формули площі трикутника

Пояснення до формул:
a, b, c- Довжини сторін трикутника, площу якого ми хочемо знайти
r- радіус вписаного в трикутник кола
R- радіус описаного навколо трикутника кола
h- Висота трикутника, опущена на бік
p- Напівпериметр трикутника, 1/2 суми його сторін (периметра)
α - Кут, що протилежить стороні a трикутника
β - Кут, що протилежить стороні b трикутника
γ - кут, що протилежить стороні з трикутника
h a, h b , h c- висота трикутника, опущена на бік a, b, c

Зверніть увагу, що наведені позначення відповідають малюнку, що знаходиться вище, щоб при вирішенні реального завдання з геометрії Вам візуально було легше підставити у потрібні місця правильні формули значення.

• Площа трикутника дорівнює половині добутку висоти трикутника на довжину сторони, на яку ця висота опущена(Формула 1). Правильність цієї формули можна зрозуміти логічно. Висота, опущена на основу, розіб'є довільний трикутник на два прямокутні. Якщо добудувати кожен з них до прямокутника з розмірами b і h, то, очевидно, площа цих трикутників дорівнюватиме рівно половині площі прямокутника (Sпр = bh)
• Площа трикутника дорівнює половині твору двох його сторін на синус кута між ними(Формула 2) (див. приклад розв'язання задачі з використанням цієї формули нижче). Незважаючи на те, що вона здається несхожою на попередню, вона легко може бути перетворена в неї. Якщо з кута B опустити висоту на бік b, виявиться, що добуток сторони a на синус кута γ за властивостями синуса в прямокутному трикутнику дорівнює проведеній нами висоті трикутника, що й дасть нам попередню формулу
• Площа довільного трикутника може бути знайдена через твірполовини радіусу вписаного в нього кола на суму довжин усіх його сторін(Формула 3), простіше кажучи, потрібно напівпериметр трикутника помножити на радіус вписаного кола (так легше запам'ятати)
• Площу довільного трикутника можна знайти, розділивши добуток усіх його сторін на 4 радіуси описаного навколо нього кола (Формула 4)
• Формула 5 є знаходження площі трикутника через довжини його сторін і його напівпериметр (половину суми всіх його сторін)
• Формула Герону(6) - це подання тієї ж формули без використання поняття напівпериметра, тільки через довжини сторін
• Площа довільного трикутника дорівнює добутку квадрата сторони трикутника на синуси кутів, що прилягають до цієї сторони, поділеного на подвійний синус протилежного цій стороні кута (Формула 7)
• Площу довільного трикутника можна знайти як добуток двох квадратів описаного навколо нього кола на синуси кожного з його кутів. (Формула 8)
• Якщо відома довжина однієї сторони і величини двох кутів, що прилягають до неї, то площа трикутника може бути знайдена як квадрат цієї сторони, поділений на подвійну суму котангенсів цих кутів (Формула 9)
• Якщо відома лише довжина кожної з висот трикутника (Формула 10), то площа такого трикутника обернено пропорційна довжинам цих висот, як за Формулою Герону
• Формула 11 дозволяє обчислити площа трикутника за координатами його вершинякі задані у вигляді значень (x; y) для кожної з вершин. Зверніть увагу, що значення, що вийшло необхідно взяти по модулю, так як координати окремих (або навіть всіх) вершин можуть знаходитися в області негативних значень

Примітка. Далі наведено приклади розв'язання задач з геометрії на знаходження площі трикутника. Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, схожої на яку тут немає - пишіть про це у форумі. У рішеннях замість символу " квадратний корінь " може застосовуватися функція sqrt(), у якій sqrt - символ квадратного кореня, а дужках зазначено підкорене вираз.Іноді для простих підкорених виразів можна використовувати символ √

Завдання. Знайти площу по обидва боки та кут між ними

Сторони трикутника дорівнюють 5 і 6 см. Кут між ними становить 60 градусів. Знайдіть площу трикутника.

Рішення.

Для вирішення цього завдання використовуємо формулу номер два з теоретичної частини уроку.
Площа трикутника може бути знайдена через довжини двох сторін і синус кута між ними і дорівнюватиме
S=1/2 ab sin γ

Оскільки всі необхідні дані для вирішення (згідно з формулою) у нас є, нам залишається лише підставити значення з умови завдання до формули:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

У таблиці значень тригонометричних функцій знайдемо і підставимо вираз значення синуса 60 градусів. Він дорівнюватиме кореню з трьох на два.
S = 15 √3/2

Відповідь: 7,5 √3 (залежно від вимог викладача, ймовірно, можна залишити і 15 √3/2)

Завдання. Знайти площу рівностороннього трикутника

Знайти площу рівностороннього трикутника зі стороною 3см.

Рішення .

Площу трикутника можна знайти за формулою Герона:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Оскільки a = b = c формула площі рівностороннього трикутника набуде вигляду:

S = √3/4*a 2

S = √3/4*3 2

Відповідь: 9 √3 / 4.

Завдання. Зміна площі при зміні довжини сторін

У скільки разів збільшиться площа трикутника, якщо сторони збільшити у 4 рази?

Рішення.

Оскільки розміри сторін трикутника нам невідомі, то для вирішення задачі вважатимемо, що довжини сторін відповідно дорівнюють довільним числам a, b, c. Тоді для того, щоб відповісти на питання задачі, знайдемо площу даного трикутника, а потім знайдемо площу трикутника, сторони якого вчетверо більше. Співвідношення площ цих трикутників дасть нам відповідь завдання.

Далі наведемо текстове пояснення розв'язання задачі кроків. Однак, в самому кінці, це саме рішення наведено в більш зручному для сприйняття графічному вигляді. Охочі можуть відразу опуститися донизу рішення.

Для вирішення використовуємо формулу Герона (див. вище в теоретичній частині уроку). Виглядає вона так:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(Див. перший рядок малюнка внизу)

Довжини сторін довільного трикутника задані змінними a, b, c.
Якщо сторони збільшити в 4 рази, то площа нового трикутника складає:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(Див. другий рядок на малюнку внизу)

Як видно, 4 – загальний множник, який можна винести за дужки з усіх чотирьох виразів за загальними правилами математики.
Тоді

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - на третьому рядку малюнка
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - четвертий рядок

З числа 256 чудово витягується квадратний корінь, тому винесемо його з-під кореня.
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(Див. п'ятий рядок малюнка внизу)

Щоб відповісти на запитання, задане в задачі, нам достатньо розділити площу трикутника, що вийшов, на площу початкового.
Визначимо співвідношення площ, розділивши вирази один на одного і скоротивши дроб, що вийшов.