Формула проекції переміщення за рівноприскореного. Шлях та переміщення

Траєкторія- це лінія, яку тіло описує під час руху.

Траєкторія бджоли

Шлях- Це довжина траєкторії. Тобто довжина тієї, можливо, кривої лінії, якою рухалося тіло. Шлях скалярна величина! Переміщення- Векторна величина! Це вектор, який проведено з початкової точки відправлення тіла до кінцевої точки. Має чисельне значення, що дорівнює довжині вектора. Шлях та переміщення - це суттєво різні фізичні величини.

Позначення шляху та переміщення ви можете зустріти різне:

Сума переміщень

Нехай протягом проміжку часу t 1 тіло здійснило переміщення s 1 а протягом наступного проміжку часу t 2 - переміщення s 2 . Тоді за весь час руху переміщення s 3 – це векторна сума

Рівномірний рух

Рух із постійною за модулем та за напрямом швидкістю. Що це означає? Розглянемо рух машини. Якщо вона їде по прямій лінії, на спідометрі те саме значення швидкості (модуль швидкості), то це рух рівномірний. Варто машині змінити напрямок (повернути), це означатиме, що вектор швидкості змінив свій напрямок. Вектор швидкості спрямований туди, куди їде машина. Такий рух не можна вважати рівномірним, незважаючи на те, що спідометр показує те саме число.

Напрямок вектора швидкості завжди збігається із напрямком руху тіла

Чи можна рух на каруселі вважати рівномірним (якщо не відбувається прискорення чи гальмування)? Не можна постійно змінюється напрям руху, а значить і вектор швидкості. З міркувань можна дійти невтішного висновку, що рівномірне рух - це завжди рух по прямій лінії!Отже при рівномірному русі шлях і переміщення однакові (поясни чому).

Неважко уявити, що при рівномірному русі за будь-які рівні проміжки часу тіло переміщатиметься на однакову відстань.

Швидкість (v) – фізична величина, чисельно рівна шляху (s), пройденого тілом за одиницю часу (t).

Шлях

Шлях (S) - довжина траєкторії, якою рухалося тіло, чисельно дорівнює добутку швидкості (v) тіла на час (t) руху.

Час руху

Час руху (t) дорівнює відношенню шляху (S), пройденого тілом, до швидкості руху (v).

Середня швидкість

Середня швидкість (vср) дорівнює відношенню суми ділянок шляху (s 1 s 2 , s 3 , ...), пройденого тілом, до проміжку часу (t 1 + t 2 + t 3 + ...), за який цей шлях пройдено .

Середня швидкість- це відношення довжини шляху, пройденого тілом, на час, протягом якого цей шлях пройдено.

Середня швидкістьпри нерівномірному русі прямою: це відношення всього шляху до всього часу.

Два послідовні етапи з різними швидкостями: де

При вирішенні завдань - скільки етапів руху стільки буде складових:

Вектор проекції переміщення на осі координат

Проекція вектора переміщення на вісь ОХ:

Вектор проекції переміщення на вісь OY:

Проекція вектора на вісь дорівнює нулю, якщо вектор перпендикулярний до осі.

Знаки проекцій переміщення: проекцію вважають позитивною, якщо рух від проекції початку вектора до проекції кінця відбувається за напрямом осі, і негативною, якщо проти осі. У цьому прикладі

Модуль переміщення- це довжина вектора переміщення:

За теоремою Піфагора:

Проекції переміщення та кут нахилу

У цьому прикладі:

Рівняння координати (загалом):

Радіус-вектор- Вектор, початок якого збігається з початком координат, а кінець - з положенням тіла в даний момент часу. Проекції радіус-вектора на осі координат визначають координати тіла на даний момент часу.

Радіус-вектор дозволяє встановити положення матеріальної точки в заданій системі відліку:

Рівномірний прямолінійний рух - визначення

Рівномірний прямолінійний рух- Рух, при якому тіло за будь-які рівні проміжки часу, здійснює рівні переміщення.

Швидкість при рівномірному прямолінійному русі. Швидкість – векторна фізична величина, яка показує, яке переміщення робить тіло за одиницю часу.

У векторному вигляді:

У проекціях на вісь ОХ:

Додаткові одиниці вимірювання швидкості:

1 км/год = 1000 м/3600 с,

1 км/с = 1000 м/с,

1 см/с = 0,01 м/с,

1 м/хв = 1 м/60 с.

Вимірювальний прилад – спідометр – показує модуль швидкості.

Знак проекції швидкості залежить від напрямку вектора швидкості та осі координат:

Графік проекції швидкості є залежністю проекції швидкості від часу:

Графік швидкості при рівномірному прямолінійному русі- Пряма, паралельна осі часу (1, 2, 3).

Якщо графік лежить над віссю часу (.1), тіло рухається у напрямку осі ОХ. Якщо графік розташований під віссю часу, тіло рухається проти осі ОХ (2, 3).

Геометричний зміст переміщення.

При рівномірному прямолінійному русі переміщення визначають за формулою. Такий результат одержимо, якщо обчислимо площу фігури під графіком швидкості в осях. Отже, для визначення шляху та модуля переміщення при прямолінійному русі необхідно обчислювати площу фігури під графіком швидкості в осях:

Графік проекції переміщення- Залежність проекції переміщення від часу.

Графік проекції переміщення при рівномірному прямолінійному русі- Пряма, що виходить з початку координат (1, 2, 3).

Якщо пряма (1) лежить над віссю часу, тіло рухається у напрямку осі ОХ, і якщо під віссю (2, 3), проти осі ОХ.

Що тангенс утла нахилу (1) графіка, то більше вписувалося модуль швидкості.

Графік координати- Залежність координати тіла від часу:

Графік координати при рівномірному прямолінійному русі – прямі (1, 2, 3).

Якщо з часом координата збільшується (1, 2), тіло рухається у напрямку осі ОХ; якщо координата зменшується (3), тіло рухається проти напрямку осі ОХ.

Чим більший тангенс кута нахилу (1), тим більшим є модуль швидкості.

Якщо графіки координат двох тіл перетинаються, з точки перетину слід опустити перпендикуляри на вісь часу і вісь координат.

Відносність механічного руху

Під відносністю ми розуміємо залежність чогось від вибору системи відліку. Наприклад, спокій відносний; рух щодо та положення тіла відносно.

Правило складання переміщень.Векторна сума переміщень

де – переміщення тіла щодо рухомої системи відліку (ПСО); - переміщення ПСО щодо нерухомої системи відліку (НСО); - переміщення тіла щодо нерухомої системи відліку (НСО).

Векторне додавання:

Складання векторів, спрямованих вздовж однієї прямої:

Додавання векторів, перпендикулярних один одному

За теоремою Піфагора

Сторінка 8 з 12

§ 7. Переміщення при рівноприскореному
прямолінійному русі

1. Використовуючи графік залежності швидкості від часу, можна отримати формулу переміщення тіла за рівномірного прямолінійного руху.

На малюнку 30 наведено графік залежності проекції швидкості рівномірного руху на вісь Xвід часу. Якщо поставити перпендикуляр до осі часу в певній точці C, то отримаємо прямокутник OABC. Площа цього прямокутника дорівнює добутку сторін OAі OC. Але довжина сторони OAдорівнює v x, а довжина сторони OC - t, звідси S = v x t. Добуток проекції швидкості на вісь Xі часу і проекції переміщення, тобто. s x = v x t.

Таким чином, проекція переміщення при рівномірному прямолінійному русі чисельно дорівнює площі прямокутника, обмеженого осями координат, графіком швидкості та перпендикуляром, відновленим до осі часу.

2. Отримаємо аналогічно формулу проекції переміщення при прямолінійному рівноприскореному русі. Для цього скористаємося графіком залежності проекції швидкості на вісь Xвід часу (рис. 31). Виділимо на графіку мала ділянка abі опустимо перпендикуляри з крапок aі bна вісь часу. Якщо проміжок часу D t, що відповідає ділянці cdна осі часу, малий, можна вважати, що швидкість протягом цього проміжку часу не змінюється і тіло рухається рівномірно. В цьому випадку фігура cabdмало відрізняється від прямокутника та її площа чисельно дорівнює проекції переміщення тіла за час, що відповідає відрізку cd.

На такі смужки можна розбити всю фігуру OABC, і її площа дорівнюватиме сумі площ всіх смужок. Отже, проекція переміщення тіла за час tчисельно дорівнює площі трапеції OABC. З курсу геометрії ви знаєте, що площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її основ та висоти: S= (OA + BC)OC.

Як видно з малюнка 31, OA = v 0x , BC = v x, OC = t. Звідси випливає, що проекція переміщення виражається формулою: s x= (v x + v 0x)t.

При рівноприскореному прямолінійному русі швидкість тіла у будь-який момент часу дорівнює v x = v 0x + a x t, отже, s x = (2v 0x + a x t)t.

Звідси:

Щоб отримати рівняння руху тіла, підставимо у формулу проекції переміщення її вираз через різницю координат s x = x – x 0 .

Отримаємо: x – x 0 = v 0x t+ , або

За рівнянням руху можна визначити координату тіла у будь-який момент часу, якщо відомі початкова координата, початкова швидкість та прискорення тіла.

3. Насправді часто зустрічаються завдання, у яких потрібно знайти переміщення тіла при рівноприскореному прямолінійному русі, але час руху у своїй невідомо. У таких випадках використовують іншу формулу проекції переміщення. Отримаємо її.

З формули проекції швидкості рівноприскореного прямолінійного руху v x = v 0x + a x tвисловимо час:

t = .

Підставивши цей вираз у формулу проекції переміщення, отримаємо:

s x = v 0x + .

Звідси:

s x = , або
–= 2a x s x.

Якщо початкова швидкість тіла дорівнює нулю, то:

2a x s x.

4. Приклад розв'язання задачі

Лижник з'їжджає зі схилу гори зі стану спокою із прискоренням 0,5 м/с 2 за 20 с і далі рухається горизонтальною ділянкою, проїхавши до зупинки 40 м. З яким прискоренням рухався лижник горизонтальною поверхнею? Яка довжина схилу гори?

Систему відліку зв'яжемо із Землею, вісь Xнаправимо за напрямом швидкості лижника кожному етапі його руху (рис. 32).

Запишемо рівняння для швидкості лижника наприкінці спуску з гори:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

У проекціях на вісь Xотримаємо: v 1x = a 1x t. Оскільки проекції швидкості прискорення на вісь Xпозитивні, модуль швидкості лижника дорівнює: v 1 = a 1 t 1 .

Запишемо рівняння, що зв'язує проекції швидкості, прискорення та переміщення лижника на другому етапі руху:

–= 2a 2x s 2x .

Враховуючи, що початкова швидкість лижника цьому етапі руху дорівнює його кінцевої швидкості першому етапі

v 02 = v 1 , v 2x= 0 отримаємо

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Звідси a 2 = ;

a 2 == 0,125 м/с 2 .

Модуль переміщення лижника першому етапі руху дорівнює довжині схилу гори. Запишемо рівняння для переміщення:

s 1x = v 01x t + .

Звідси довжина схилу гори дорівнює s 1 = ;

s 1 == 100 м-коду.

Відповідь: a 2 = 0,125 м/с 2; s 1 = 100 м-коду.

Запитання для самоперевірки

1. Як за графіком залежності проекції швидкості рівномірного прямолінійного руху на вісь X

2. Як за графіком залежності проекції швидкості рівноприскореного прямолінійного руху на вісь Xчас від часу визначити проекцію переміщення тіла?

3. За якою формулою розраховується проекція переміщення тіла за рівноприскореного прямолінійного руху?

4. За якою формулою розраховується проекція переміщення тіла, що рухається рівноприскорено та прямолінійно, якщо початкова швидкість тіла дорівнює нулю?

Завдання 7

1. Чому дорівнює модуль переміщення автомобіля за 2 хв, якщо за цей час його швидкість змінилася від 0 до 72 км/год? Яка координата автомобіля у момент часу t= 2 хв? Початкову координату вважати рівною нулю.

2. Потяг рухається з початковою швидкістю 36 км/год та прискоренням 0,5 м/с 2 . Чому рівні переміщення поїзда за 20 с та його координата в момент часу t= 20, якщо початкова координата поїзда 20 м?

3. Яким є переміщення велосипедиста за 5 с після початку гальмування, якщо його початкова швидкість при гальмуванні дорівнює 10 м/с, а прискорення становить 1,2 м/с 2 ? Чому дорівнює координата велосипедиста на момент часу t= 5 с, якщо у початковий час він перебував на початку координат?

4. Автомобіль, що рухається із швидкістю 54 км/год, зупиняється при гальмуванні протягом 15 с. Чому дорівнює модуль переміщення автомобіля при гальмуванні?

5. Два автомобілі рухаються назустріч один одному із двох населених пунктів, що знаходяться на відстані 2 км один від одного. Початкова швидкість одного автомобіля 10 м/с та прискорення 0,2 м/с 2 , початкова швидкість іншого – 15 м/с та прискорення 0,2 м/с 2 . Визначте час та координату місця зустрічі автомобілів.

Лабораторна робота №1

Дослідження рівноприскореного
прямолінійного руху

Мета роботи:

навчитися вимірювати прискорення за рівноприскореного прямолінійного руху; експериментально встановити відношення шляхів, що проходять тілом за рівноприскореного прямолінійного руху за послідовні рівні проміжки часу.

Прилади та матеріали:

жолоб, штатив, металева кулька, секундомір, вимірювальна стрічка, циліндр металевий.

Порядок виконання роботи

1. Зміцніть у лапці штатива один кінець ринви так, щоб він становив невеликий кут з поверхнею столу. У іншого кінця ринви покладіть у нього циліндр металевий.

2. Виміряйте шляхи, що проходять кулькою за 3 послідовні проміжки часу, рівних 1 з кожен. Це можна зробити по-різному. Можна поставити крейдою на жолобі мітки, що фіксують положення кульки в моменти часу, рівні 1 с, 2 с, 3 с і виміряти відстані s_між цими мітками. Можна, відпускаючи щоразу кульку з однієї і тієї ж висоти, виміряти шлях sпройдений ним спочатку за 1 с, потім за 2 с і за 3 с, а потім розрахувати шлях, пройдений кулькою за другу і третю секунди. Результати вимірів запишіть у таблицю 1.

3. Знайдіть відносини шляху, пройденого за другу секунду, до шляху, пройденого за першу секунду, та шляху, пройденого за третю секунду, до шляху, пройденого за першу секунду. Зробіть висновок.

4. Виміряйте час руху кульки по жолобу та пройдений шлях. Обчисліть прискорення його руху, використовуючи формулу s = .

5. Використовуючи експериментально отримане значення прискорення, обчисліть шляхи, які має пройти кулька за першу, другу та третю секунди свого руху. Зробіть висновок.

Таблиця 1

Рівноприскореним рухомназивають такий рух, при якому вектор прискорення залишається незмінним за модулем та напрямом. Прикладом такого руху є рух каменя, кинутого під деяким кутом до горизонту (без урахування опору повітря). У будь-якій точці траєкторії прискорення каменю дорівнює прискоренню вільного падіння. Таким чином вивчення рівноприскореного руху зводиться до вивчення прямолінійного рівноприскореного руху. У разі прямолінійного руху вектори швидкості та прискорення спрямовані вздовж прямого руху. Тому швидкість та прискорення у проекціях на напрямок руху можна розглядати як алгебраїчні величини. При рівноприскореному прямолінійному русі швидкість тіла визначається формулою (1)

У цій формулі – швидкість тіла при t = 0 (початкова швидкість ), = const - прискорення. У проекції на обрану вісь х рівняння (1) запишеться у вигляді: (2). На графіку проекції швидкості х ( t) ця залежність має вигляд прямої лінії.

За нахилом графіка швидкості може бути визначено прискорення aтіла. Відповідні побудови виконано на рис. для графіка I Прискорення чисельно дорівнює відношенню сторін трикутника ABC: .

Чим більший кут β, який утворює графік швидкості з віссю часу, тобто чим більший нахил графіка ( крутість), тим більше прискорення тіла.

Для графіка I: ? 0 = -2 м / с, a= 1/2 м/с2. Для графіка II: ? 0 = 3 м/с, a= -1/3 м / с2.

Графік швидкості дозволяє також визначити проекцію переміщення тіла s за деякий час t. Виділимо на осі часу деякий мінімальний проміжок часу Δt. Якщо цей проміжок часу досить малий, то зміна швидкості за цей проміжок невелика, тобто рух протягом цього проміжку часу можна вважати рівномірним з деякою середньою швидкістю, яка дорівнює миттєвій швидкості υ тіла в середині проміжку Δt. Отже, переміщення Δs за час Δt дорівнюватиме Δs = υΔt. Це переміщення дорівнює площі заштрихованої на рис. смужки. Розбивши проміжок часу від 0 до деякого моменту t на малі проміжки Δt можна отримати, що переміщення s за заданий час t при рівноприскореному прямолінійному русі дорівнює площі трапеції ODEF. Відповідні побудови виконано на рис. для графіка ІІ. Час t прийнято рівним 5,5 с.

(3) – отримана формула дозволяє визначити переміщення при рівноприскореному русі, якщо прискорення не відомо.

Якщо підставити в рівняння (3) вираз для швидкості (2), отримуємо (4) – ця формула використовується для запису рівняння руху тіла: (5).

Якщо виразити з рівняння (2) час руху (6) і підставити на рівність (3), то

Ця формула дозволяє визначити переміщення за невідомого часу руху.

Тепер ми маємо з'ясувати найголовніше - як змінюється координата тіла за його прямолінійному рівноприскореному русі. Для цього, як ми знаємо, потрібно знати переміщення тіла, тому що проекція вектора переміщення якраз і дорівнює зміні координати.

Формулу для обчислення переміщення найпростіше отримати графічним методом.

При рівноприскореному русі тіла вздовж осі X швидкість змінюється згодом згідно з формулою v x = v 0х + a x tТак як час у цю формулу входить у першому ступені, то графік для проекції швидкості в залежності від часу є прямою, як це показано на малюнку 39. Пряма 1 на цьому малюнку відповідає руху з позитивною проекцією прискорення (швидкість зростає), пряма 2 - руху з негативною проекцією прискорення (швидкість зменшується). Обидва графіки належать до випадку, коли в момент часу t =О тіло має деяку початкову швидкість v 0.

Переміщення виражається площею.Виділимо на графіку швидкості рівноприскореного руху (мал. 40) невелику ділянку abі опустимо з крапок аі Ьперпендикуляри на вісь t.Довжина відрізка cdна осі tу вибраному масштабі дорівнює тому малому проміжку часу, за який швидкість змінилася від її значення у точці адо її значення у точці Ь. Під ділянкою abграфіка вийшла вузька смужка abсd.

Якщо проміжок часу, що відповідає відрізку cd,досить малий, то протягом цього часу швидкість не може помітно змінитися - рух протягом цього малого проміжку часу можна вважати рівномірним. Смужка abсdтому мало відрізняється від прямокутника, а її площа чисельно дорівнює проекції переміщення за час, що відповідає відрізку cd(Див. § 7).

Але такі вузькі смужки можна розбити всю площу фігури, розташованої під графіком швидкості. Отже, переміщення за весь час tчисельно дорівнює площі трапеції ОАВС. Площа ж трапеції, як відомо з геометрії, дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту. У нашому випадку довжина однієї з основ чисельно дорівнює v ox , іншого - v x (див. рис. 40). Висота ж трапеції чисельно дорівнює t.Звідси випливає, що проекція s x переміщення виражається формулою

3с 15.09

Якщо проекція v ox початкової швидкості дорівнює нулю (у початковий момент часу тіло спочивало!), то формула (1) набуває вигляду:

Графік швидкості такого руху показаний малюнку 41.

При користуванні формулами (1) і(2) ПОТРІБНО ПАМ'ЯТАТИ, ЩО S x , V oxі v x можуть бути як позитивними», так і негативними - адже це проекції векторів s, v o і v на вісь X.

Отже, бачимо, що з рівноприскореному русі переміщення зростає згодом негаразд, як із рівномірному русі: тепер у формулу входить квадрат часу. Це означає, що переміщення з часом зростає швидше, ніж за рівномірного руху.

Як залежить від часу координати тіла?Тепер легко отримати формулу для обчислення координати х будь-якої миті часу для тіла, що рухається рівноприскорено.

проекція s x вектор переміщення дорівнює зміні координати х-х 0 . Тому можна записати

З формули (3) видно, що, Щоб обчислити координату х у будь-який момент часу t, потрібно знати початкову координату, початкову швидкість і прискорення.

Формула (3) описує прямолінійний рівноприскорений рух, подібно до того, як формула (2) § 6 описує прямолінійний рівномірний рух.

Інша формула для переміщення.Для обчислення переміщення можна одержати й іншу корисну формулу, яку час не входить.

З виразу v x = v 0x + x t.отримаємо вираз для часу

t= (v x - v 0x): a xі підставимо його у формулу для переміщення s x ,наведену вище. Тоді отримуємо:

Ці формули дозволяють знайти переміщення тіла, якщо відомі прискорення, а також початкова та кінцева швидкість руху. Якщо початкова швидкість v o дорівнює нулю, формули (4) набувають вигляду: