Формули розв'язання логарифмічних рівнянь. Розв'язання логарифмічних рівнянь - заключний урок

Розв'язання логарифмічних рівнянь. Частина 1.

Логарифмічним рівняннямназивається рівняння, у якому невідоме міститься під знаком логарифму (зокрема, на підставі логарифму).

Найпростіше логарифмічне рівняннямає вигляд:

Рішення будь-якого логарифмічного рівнянняпередбачає перехід від логарифмів до виразів, які стоять під знаком логарифмів. Однак ця дія розширює область допустимих значень рівняння та може призвести до появи сторонніх коренів. Щоб уникнути появи сторонніх коренів, можна вчинити одним із трьох способів:

1. Зробити рівносильний перехідвід вихідного рівняння до системи, що включає

в залежності від того, яка нерівність чи простіше.

Якщо рівняння містить невідоме на підставі логарифму:

то ми переходимо до системи:

2. Окремо знайти область допустимих значень рівнянняпотім вирішити рівняння і перевірити, чи задовольняють знайдені рішення рівняння.

3. Розв'язати рівняння, а потім зробити перевірку:підставити знайдені рішення у вихідне рівняння, і перевірити, чи отримаємо ми правильну рівність.

Логарифмічне рівняння будь-якого рівня складності зрештою завжди зводиться до найпростішого логарифмічного рівняння.

Всі логарифмічні рівняння можна умовно поділити на чотири типи:

1 . Рівняння, що містять логарифми лише першою мірою. Вони за допомогою перетворень та використання приводяться до вигляду

приклад. Розв'яжемо рівняння:

Прирівняємо вирази, що стоять під знаком логарифму:

Перевіримо, чи задовольняє наш корінь рівняння:

Так, задовольняє.

Відповідь: х = 5

2 . Рівняння, що містять логарифми в ступені, відмінному від 1 (зокрема, у знаменнику дробу). Такі рівняння вирішуються за допомогою введення заміни змінної.

приклад.Розв'яжемо рівняння:

Знайдемо ОДЗ рівняння:

Рівняння містить логарифми у квадраті, тому вирішується за допомогою заміни змінної.

Важливо! Перш ніж вводити заміну, потрібно "розтягти" логарифми, що входять до складу рівняння на "цеглинки", використовуючи властивості логарифмів.

При "розтягуванні" логарифмів важливо дуже акуратно застосовувати властивості логарифмів:

Крім того, тут є ще одне тонке місце, і щоб уникнути поширеної помилки, скористаємося проміжною рівністю: запишемо ступінь логарифму в такому вигляді:

Аналогічно,

Підставимо отримані вирази у вихідне рівняння. Отримаємо:

Тепер бачимо, що невідоме міститься у рівнянні у складі . Введемо заміну: . Так як може набувати будь-якого дійсного значення, на змінну ми ніяких обмежень не накладаємо.

Цим відео я починаю довгу серію уроків про логарифмічні рівняння. Зараз перед вами одразу три приклади, на основі яких ми вчитимемося вирішувати найпростіші завдання, які так і називаються. найпростіші.

log 0,5 (3x − 1) = −3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Нагадаю, що найпростішим логарифмічним рівнянням називається таке:

log a f(x) = b

При цьому важливо, щоб змінна х присутня тільки всередині аргументу, тобто тільки функції f (x ). А числа а і b є саме числами, а в жодному разі не функціями, що містять змінну х.

Основні методи вирішення

Існує безліч способів розв'язання таких конструкцій. Наприклад, більшість вчителів у школі пропонують такий спосіб: Відразу висловити функцію f(x) за формулою f ( x) = a b. Т. е. коли ви зустрічаєте найпростішу конструкцію, відразу без додаткових дій і побудов можете перейти до рішення.

Так, безумовно, рішення вийде правильним. Однак проблема цієї формули полягає в тому, що більшість учнів не розуміютьзвідки вона береться і чому саме букву а ми зводимо в букву b.

В результаті я часто спостерігаю дуже образливі помилки, коли, наприклад, ці літери змінюються місцями. Дану формулу потрібно або зрозуміти, або зубрити, причому другий спосіб призводить до помилок у найневідповідніші і найвідповідальніші моменти: на іспитах, контрольних і т. д.

Саме тому всім своїм учням я пропоную відмовитися від стандартної шкільної формули та використати для вирішення логарифмічних рівнянь другий підхід, який, як ви вже напевно здогадалися з назви, називається канонічною формою.

Ідея канонічної форми проста. Давайте ще раз подивимося на наше завдання: ліворуч у нас є log a, при цьому під буквою a мається на увазі саме число, а в жодному разі не функція, що містить змінну х. Отже, на цю літеру поширюються всі обмеження, що накладаються на основу логарифму. а саме:

1 ≠ a > 0

З іншого боку, з того ж рівняння ми бачимо, що логарифм повинен дорівнювати числу b, і ось на цю літеру жодних обмежень не накладається, тому що він може набувати будь-яких значень — як позитивних, так і негативних. Все залежить від того, які значення набуває функція f(x).

І ось тут ми згадуємо наше чудове правило, що будь-яке число b може бути представлене у вигляді логарифму на підставі а від ступеня b :

b = log a a b

Як запам'ятати цю формулу? Так, дуже просто. Давайте запишемо таку конструкцію:

b = b · 1 = b · log a a

Вочевидь, що у своїй виникають усі обмеження, які ми записали спочатку. А тепер давайте скористаємося основною властивістю логарифму, і внесемо множник b як ступінь а. Отримаємо:

b = b · 1 = b · log a a = log a a b

У результаті вихідне рівняння перепишеться у такому вигляді:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

От і все. Нова функція вже не містить логарифму і вирішується стандартними прийомами алгебри.

Звичайно, хтось зараз заперечить: а навіщо взагалі було вигадувати якусь канонічну формулу, навіщо виконувати два додаткові непотрібні кроки, якщо можна було одразу перейти від вихідної конструкції до підсумкової формули? Та вже хоча б тому, що більшість учнів не розуміють, звідки береться ця формула і, як наслідок, регулярно припускаються помилок при її застосуванні.

А ось така послідовність дій, що складається з трьох кроків, дозволяє вам вирішити вихідне логарифмічне рівняння, навіть якщо ви не розумієте, звідки береться та сама підсумкова формула. До речі, канонічною формулою називається саме цей запис:

log a f(x) = log a a b

Зручність канонічної форми полягає ще й у тому, що її можна застосовувати для вирішення дуже широкого класу логарифмічних рівнянь, а не лише найпростіших, які ми сьогодні розглядаємо.

Приклади рішення

А тепер розглянемо реальні приклади. Отже, вирішуємо:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Давайте перепишемо його так:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Багато учнів поспішають і намагаються одразу звести число 0,5 у ступінь, який прийшов до нас із вихідного завдання. І справді, коли ви вже добре натренуєтеся у вирішенні подібних завдань, ви можете одразу виконувати цей крок.

Однак якщо зараз ви тільки приступаєте до вивчення цієї теми, краще нікуди не поспішати, щоб не допускати образливих помилок. Отже, маємо канонічна форма. Маємо:

3x − 1 = 0,5 −3

Це вже не логарифмічне рівняння, а лінійне щодо змінної x. Щоб розв'язати його, давайте спочатку розберемося з числом 0,5 у ступені −3. Зауважимо, що 0,5 – це 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Усі десяткові дроби переводите у звичайні, коли ви вирішуєте логарифмічне рівняння.

Переписуємо та отримуємо:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Все, ми отримали відповідь. Перше завдання вирішено.

Друге завдання

Переходимо до другого завдання:

Як бачимо, це рівняння вже не є найпростішим. Вже хоча б тому, що ліворуч стоїть різниця, а не один-єдиний логарифм з однієї основи.

Отже, потрібно якимось чином позбутися цієї різниці. У цьому випадку все дуже просто. Давайте уважно подивимося на підстави: зліва стоїть число під коренем:

Загальна рекомендація: у всіх логарифмічних рівняннях намагайтеся позбавитися радикалів, тобто від записів з корінням і переходити до статечних функцій, просто тому що показники цих ступенів легко виносяться за знак логарифму і в кінцевому рахунку такий запис істотно спрощує і прискорює обчислення. Ось давайте так і запишемо:

Тепер згадуємо чудову властивість логарифму: з аргументу, а також з основи можна виносити ступеня. У разі підстави відбувається таке:

log a k b = 1/k loga b

Інакше кажучи, число, яке стояло ступеня підстави, виноситься вперед і навіть перевертається, т. е. стає зворотним числом. У нашому випадку стояла ступінь основи з показником 1/2. Отже, ми можемо винести її як 2/1. Отримаємо:

5 · 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Зверніть увагу: у жодному разі не можна позбавлятися логарифмів на цьому кроці. Згадайте математику 4—5 класу та порядок дій: спочатку виконується множення, а лише потім — додавання та віднімання. В даному випадку ми з 10 елементів віднімаємо один такий:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Тепер наше рівняння виглядає як слід. Це найпростіша конструкція, і ми вирішуємо її за допомогою канонічної форми:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

От і все. Друге завдання вирішено.

Третій приклад

Переходимо до третього завдання:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Нагадаю таку формулу:

lg b = log 10 b

Якщо вас з якихось причин бентежить запис lg b, то при виконанні всіх обчислень ви можете записати просто log 10 b. З десятковими логарифмами можна працювати так само, як і з іншими: виносити ступеня, складати та подавати будь-які числа у вигляді lg 10.

Ось саме цими властивостями ми зараз і скористаємося для вирішення завдання, оскільки вона не є найпростішою, яку ми записали на початку нашого уроку.

Для початку зауважимо, що множник 2, що стоїть перед lg 5, може бути внесений і стане ступенем основи 5. Крім того, вільний доданок 3 також представимо у вигляді логарифму - це дуже легко спостерігати з нашого запису.

Судіть самі: будь-яке число можна подати у вигляді log на підставі 10:

3 = log 10 10 3 = lg 10 3

Перепишемо вихідне завдання з урахуванням отриманих змін:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 · 25
lg (x − 3) = lg 25 000

Перед нами знову канонічна форма, причому ми отримали її, минаючи стадію перетворень, тобто найпростіше логарифмічне рівняння ми ніде не спливало.

Саме про це я й говорив на початку уроку. Канонічна форма дозволяє вирішувати ширший клас завдань, ніж стандартна шкільна формула, яку пропонують більшість шкільних вчителів.

Ну і все, позбавляємося знаку десяткового логарифму, і отримуємо просту лінійну конструкцію:

x + 3 = 25000
x = 24997

Всі! Завдання вирішено.

Зауваження щодо області визначення

Тут би хотілося навести важливе зауваження щодо області визначення. Напевно зараз знайдуться учні та вчителі, які скажуть: «Коли ми вирішуємо висловлювання з логарифмами, необхідно обов'язково пам'ятати, що аргумент f(x) має бути більшим за нуль!» У зв'язку з цим виникає логічне питання: чому в жодному з розглянутих завдань ми не вимагали, щоб ця нерівність виконувалася?

Не хвилюйтесь. Жодного зайвого коріння в цих випадках не виникне. І це ще одна чудова хитрість, що дозволяє прискорити рішення. Просто знайте, що якщо в задачі змінна х зустрічається лише в одному місці (а точніше - в одному-єдиному аргументі одного-єдиного логарифму), і більше ніде в нашому випадку немає змінної х, то записувати область визначення не потрібнотому, що вона буде виконуватися автоматично.

Судіть самі: у першому рівнянні ми отримали, що 3х - 1, тобто аргумент має дорівнювати 8. Це автоматично означає, що 3х - 1 буде більше нуля.

З тим самим успіхом ми можемо записати, що в другому випадку х повинен дорівнювати 5 2 , тобто він свідомо більше за нуль. А в третьому випадку, де х + 3 = 25 000, тобто знову ж таки свідомо більше нуля. Іншими словами, область визначення виконується автоматично, але лише за умови, що х зустрічається лише в аргументі лише одного логарифму.

Ось і все, що потрібно знати для вирішення найпростіших завдань. Вже одне це правило разом із правилами перетворення дозволить вам вирішувати дуже широкий клас завдань.

Але будьмо чесними: для того, щоб остаточно розібратися з цим прийомом, щоб навчитися застосовувати канонічну форму логарифмічного рівняння, недостатньо просто подивитися один відеоурок. Тому прямо зараз скачайте варіанти для самостійного рішення, які додаються до даного відеоуроку та почніть вирішувати хоча б одну з цих двох самостійних робіт.

Часу у вас піде буквально кілька хвилин. А ось ефект від такого навчання буде набагато вищим у порівнянні з тим, якби ви просто переглянули даний відеоурок.

Сподіваюся, цей урок допоможе вам розібратися з логарифмічними рівняннями. Застосовуйте канонічну форму, спрощуйте висловлювання за допомогою правил роботи з логарифмами — і жодні завдання вам не будуть страшні. А в мене сьогодні все.

Облік області визначення

Тепер поговоримо про область визначення логарифмічної функції, а також про те, як це впливає на розв'язання логарифмічних рівнянь. Розглянемо конструкцію виду

log a f(x) = b

Такий вираз називається найпростішим - у ньому лише одна функція, а числа а і b - це саме числа, а в жодному разі не функція, яка залежить від змінної х. Вирішується воно дуже просто. Достатньо лише використати формулу:

b = log a a b

Дана формула є однією з ключових властивостей логарифму, і при підстановці в наш вихідний вираз ми отримаємо наступне:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Це вже знайома формула зі шкільних підручників. У багатьох учнів напевно виникне питання: оскільки у вихідному вираженні функція f (x ) стоїть під знаком log, на неї накладаються такі обмеження:

f(х) > 0

Це обмеження діє оскільки логарифм від негативних чисел немає. То, можливо, внаслідок цього обмеження слід запровадити перевірку на відповіді? Можливо, їх треба підставляти у вихідник?

Ні, у найпростіших логарифмічних рівняннях додаткова перевірка зайва. І ось чому. Погляньте на нашу підсумкову формулу:

f(x) = a b

Справа в тому, що число а в будь-якому випадку більше 0 - ця вимога також накладається логарифмом. Число а є основою. При цьому кількість b ніяких обмежень не накладається. Але це й неважливо, тому що в який би ступінь ми не зводили б позитивне число, на виході ми все одно отримаємо позитивне число. Таким чином, вимога f(х) > 0 виконується автоматично.

Що дійсно варто перевіряти, то це область визначення функції, що стоїть під знаком log. Там можуть зустрічатися досить складні конструкції, і в процесі вирішення за ними обов'язково потрібно стежити. Давайте подивимося.

Перше завдання:

Перший крок: перетворимо дріб справа. Отримаємо:

Позбавляємося знаку логарифму та отримуємо звичайне ірраціональне рівняння:

З отриманого коріння нас влаштовує лише перший, тому що другий корінь менше нуля. Єдиною відповіддю буде число 9. Все, завдання вирішено. Ніяких додаткових перевірок того, що вираз під знаком логарифму більше 0, не потрібно, тому що воно не просто більше 0, а за умовою рівняння воно дорівнює 2. Отже, вимога більше нуля виконується автоматично.

Переходимо до другого завдання:

Тут все те саме. Переписуємо конструкцію, замінюючи трійку:

Позбавляємося знаків логарифму та отримуємо ірраціональне рівняння:

Зводимо обидві частини в квадрат з урахуванням обмежень та отримуємо:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Вирішуємо отримане рівняння через дискримінант:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Але x = −6 нас не влаштовує, тому що якщо ми підставимо це число до нашої нерівності, то отримаємо:

−6 + 4 = −2 < 0

У нашому випадку потрібно, щоб було більше, ніж 0 або в крайньому випадку рівно. А ось x = −1 нам підходить:

−1 + 4 = 3 > 0

Єдиною відповіддю у нашому випадку буде x = −1. Ось і все рішення. Давайте повернемося до самого початку наших обчислень.

Основний висновок із цього уроку: перевіряти обмеження для функції у найпростіших логарифмічних рівняннях не потрібно. Тому що в процесі вирішення всі обмеження виконуються автоматично.

Однак це в жодному разі не означає, що про перевірку можна взагалі забути. У процесі роботи над логарифмічним рівнянням цілком може перейти в ірраціональне, в якому будуть свої обмеження та вимоги до правої частини, в чому ми сьогодні переконалися на двох різних прикладах.

Сміливо вирішуйте такі завдання та будьте особливо уважні, якщо в аргументі стоїть корінь.

Логарифмічні рівняння з різними підставами

Продовжуємо вивчати логарифмічні рівняння та розберемо ще два досить цікаві прийоми, за допомогою яких модно вирішувати складніші конструкції. Але для початку згадаємо, як вирішуються найпростіші завдання:

log a f(x) = b

У цьому записі а і b є саме числами, а функції f (x ) повинна бути змінна х, і тільки там, тобто х повинен знаходитися тільки в аргументі. Перетворювати такі логарифмічні рівняння ми за допомогою канонічної форми. Для цього зауважимо, що

b = log a a b

Причому a b це саме аргумент. Давайте перепишемо цей вислів так:

log a f(x) = log a a b

Ми саме цього і домагаємося, щоб і ліворуч, і праворуч стояв логарифм на підставі а. У цьому випадку ми можемо, образно кажучи, закреслити знаки log, а з точки зору математики ми можемо сказати, що ми прирівнюємо аргументи:

f(x) = a b

В результаті ми отримаємо новий вираз, який вирішуватиметься набагато простіше. Давайте застосуємо це правило до наших сьогоднішніх завдань.

Отже, перша конструкція:

Насамперед, зазначу, що справа стоїть дріб, у знаменнику якого знаходиться log. Коли ви бачите такий вираз, не зайвим буде згадати чудову властивість логарифмів:

Перекладаючи російською мовою, це означає, що будь-який логарифм може бути представлений у вигляді приватного двох логарифмів з будь-якою основою с. Зрозуміло, 0< с ≠ 1.

Так ось: у цієї формули є один чудовий окремий випадок, коли змінна з дорівнює змінній b. У цьому випадку ми отримаємо конструкцію виду:

Саме таку конструкцію ми спостерігаємо від знаку праворуч у нашому рівнянні. Давайте замінимо цю конструкцію на log a b, отримаємо:

Іншими словами, у порівнянні з вихідним завданням, ми поміняли місцями аргумент та основу логарифму. Натомість нам довелося перевернути дріб.

Згадуємо, що будь-який ступінь можна виносити з основи за таким правилом:

Іншими словами, коефіцієнт k, який є ступенем основи, виноситься як перевернутий дріб. Давайте винесемо її як перевернутий дріб:

Дробний множник не можна залишати спереду, тому що в цьому випадку ми не зможемо представити цей запис як канонічну форму (адже в канонічній формі перед другим логарифмом додатковий множник не варто). Отже, давайте внесемо дріб 1/4 у аргумент у вигляді ступеня:

Тепер ми прирівнюємо аргументи, підстави яких однакові (а підстави у нас дійсно однакові), та записуємо:

x + 5 = 1

x = −4

От і все. Ми отримали відповідь до першого логарифмічного рівняння. Зверніть увагу: у вихідному завданні змінна х зустрічається лише в одному log, причому стоїть у його аргументі. Отже, перевіряти область визначення не потрібно, і наше число х = −4 є дійсно відповіддю.

Тепер переходимо до другого виразу:

lg 56 = lg 2 log 2 7 − 3lg (x + 4)

Тут крім звичайних логарифмів нам доведеться працювати з lg f (x ). Як розв'язувати таке рівняння? Непідготовленому учневі може здатися, що це якась бляха, але насправді все вирішується елементарно.

Уважно подивіться на доданок lg 2 log 2 7. Що ми можемо про нього сказати? Підстави та аргументи log і lg збігаються, і це має наводити на деякі думки. Давайте ще раз пригадаємо, як виносяться ступені з-під знака логарифму:

log a b n = nlog a b

Іншими словами, те, що було ступенем при числі b в аргументі, стає множником перед самим log. Давайте застосуємо цю формулу для вираження lg 2 log 2 7. Нехай вас не лякає lg 2 - це звичайнісінький вираз. Можна переписати його так:

Для нього справедливі всі правила, які діють будь-якого іншого логарифму. Зокрема, множник, що стоїть попереду, можна внести до міри аргументу. Давайте запишемо:

Дуже часто учні впритул не бачать цієї дії, тому що погано вносити один log під знак іншого. Насправді нічого кримінального у цьому немає. Більш того, ми отримуємо формулу, яка легко вважається, якщо пам'ятати важливе правило:

Цю формулу можна розглядати і як визначення, і як одну з його властивостей. У будь-якому випадку, якщо ви перетворюєте логарифмічне рівняння, цю формулу ви повинні знати так само, як і уявлення будь-якого числа у вигляді log.

Повертаємось до нашого завдання. Переписуємо його з урахуванням того факту, що перший доданок праворуч від знака рівності буде дорівнює просто lg 7. Маємо:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Давайте перенесемо lg 7 вліво, отримаємо:

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

Віднімаємо вирази зліва, тому що вони мають одну й ту саму основу:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Тепер уважно подивимося на рівняння, яке ми отримали. Воно практично є канонічною формою, проте справа є множник −3. Давайте внесемо його до аргументу правого lg:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Перед нами канонічна форма логарифмічного рівняння, тому викреслюємо знаки lg і прирівнюємо аргументи:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

От і все! Ми вирішили друге логарифмічне рівняння. При цьому жодних додаткових перевірок не потрібно, тому що у вихідному завданні х був присутній лише в одному аргументі.

Перелічу ще раз ключові моменти цього уроку.

Головна формула, яка вивчається у всіх уроках на цій сторінці, присвяченій розв'язанню логарифмічних рівнянь, – це канонічна форма. І нехай вас не лякає те, що у більшості шкільних підручників вас вчать вирішувати подібні завдання по-іншому. Даний інструмент працює дуже ефективно і дозволяє вирішувати набагато ширший клас завдань, ніж найпростіші, які ми вивчали на початку нашого уроку.

Крім того, для вирішення логарифмічних рівнянь корисно знатиме основні властивості. А саме:

Формулу переходу до однієї основи та окремий випадок, коли ми перевертаємо log (це дуже знадобилося нам у першому завданні);
Формулу внесення та винесення ступенів з-під знака логарифму. Тут багато учнів зависають і впритул не бачать, що ступінь, що виноситься і вноситься, сам може містити log f (x ). Нічого страшного у цьому немає. Ми можемо вносити один log на знак іншого і при цьому суттєво спрощувати розв'язання задачі, що ми й спостерігаємо у другому випадку.

У висновку хотів би додати, що перевіряти область визначення у кожному з цих випадках не потрібно, тому що скрізь змінна х є тільки в одному знаку log, і при цьому знаходиться в його аргументі. Як наслідок, всі вимоги області визначення виконуються автоматично.

Завдання зі змінною основою

Сьогодні ми розглянемо логарифмічні рівняння, які для багатьох учнів здаються нестандартними, а то й зовсім нерозв'язними. Йдеться про висловлювання, на основі яких стоять не числа, а змінні і навіть функції. Вирішувати такі конструкції ми за допомогою нашого стандартного прийому, а саме через канонічну форму.

Для початку пригадаємо, як вирішуються найпростіші завдання, на основі яких стоять звичайні числа. Отже, найпростішою називається конструкція виду

log a f(x) = b

Для вирішення таких завдань ми можемо використати таку формулу:

b = log a a b

Переписуємо наш вихідний вираз і отримуємо:

log a f(x) = log a a b

Потім ми прирівнюємо аргументи, тобто записуємо:

f(x) = a b

Таким чином, ми позбавляємося знаку log і вирішуємо вже звичайне завдання. При цьому одержані при вирішенні корені і будуть корінням вихідного логарифмічного рівняння. Крім того, запис, коли і ліворуч, і праворуч стоїть по тому самому логарифму з однією і тією ж підставою, якраз і називається канонічною формою. Саме до такого запису ми намагатимемося звести сьогоднішні конструкції. Тож поїхали.

Перше завдання:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Замінюємо 1 на log x − 2 (x − 2) 1 . Той ступінь, який ми спостерігаємо в аргументу, це, насправді, то число b, яке стояло праворуч від знака рівності. Таким чином, перепишемо наш вираз. Отримаємо:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Що ми бачимо? Перед нами канонічна форма логарифмічного рівняння, тому ми можемо сміливо прирівняти аргументи. Отримаємо:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Але на цьому рішення не закінчується, тому що дане рівняння не рівнозначне вихідному. Адже отримана конструкція складається з функцій, які визначені по всій числовій прямій, а наші вихідні логарифми визначені не скрізь і не завжди.

Тому ми маємо окремо записати область визначення. Давайте не мудруватимемо і для початку запишемо всі вимоги:

По-перше, аргумент кожного з логарифмів повинен бути більшим за 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

По-друге, основа має бути не тільки більше 0, але і відмінно від 1:

x − 2 ≠ 1

У результаті отримаємо систему:

Але ви не лякайтеся: при обробці логарифмічних рівнянь таку систему можна значно спростити.

Судіть самі: з одного боку, від нас потрібно, щоб квадратична функція була більша за нуль, а з іншого боку — ця квадратична функція прирівнюється до якогось лінійного виразу, від якого також потрібно, щоб воно було більше за нуль.

У такому разі, якщо ми вимагаємо, щоб x − 2 > 0, то автоматично буде виконуватись і вимога 2x 2 − 13x + 18 > 0. Тому ми можемо сміливо закреслити нерівність, яка містить квадратичну функцію. Таким чином, кількість виразів, що міститься у нашій системі, зменшиться до трьох.

Зрозуміло, з тим самим успіхом ми могли б закреслити і лінійну нерівність, тобто викреслити x − 2 > 0 і вимагати, щоб 2x 2 − 13x + 18 > 0. Але погодьтеся, що вирішити найпростішу лінійну нерівність набагато швидше та простіше, ніж квадратичне, нехай навіть за умови, що в результаті вирішення всієї цієї системи ми отримаємо одне і те ж коріння.

Загалом, наскільки можна намагайтеся оптимізувати обчислення. І у випадку з логарифмічними рівняннями викреслюйте найскладніші нерівності.

Давайте перепишемо нашу систему:

Ось така система із трьох висловів, із двома з яких ми, по суті, вже розібралися. Давайте окремо випишемо квадратне рівняння і розв'яжемо його:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Перед нами наведений квадратний тричлен і ми можемо скористатися формулами Вієта. Отримаємо:

(х - 5) (х - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

А тепер повертаємося до нашої системи і виявляємо, що х = 2 нас не влаштовує, тому що від нас вимагається, щоб х був більшим, ніж 2.

А ось х = 5 нас цілком влаштовує: число 5 більше, ніж 2, і при цьому 5 не дорівнює 3. Отже, єдиним рішенням даної системи буде х = 5.

Все завдання вирішено, в т. ч. з урахуванням ОДЗ. Переходимо до другого рівняння. Тут на нас чекають більш цікаві та змістовні викладки:

Перший крок: як і минулого разу, наводимо всю цю справу до канонічної форми. Для цього число 9 ми можемо записати так:

Підставу з коренем можна не чіпати, а ось аргумент краще перетворити. Давайте перейдемо від кореня до рівня з раціональним показником. Запишемо:

Давайте я не переписуватиму все наше велике логарифмічне рівняння, а просто відразу прирівняю аргументи:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Перед нами знову наведений квадратний тричлен, скористаємося формулами Вієта і запишемо:

(х + 3) (х + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Отже, ми одержали коріння, але ніхто нам не гарантував, що вони підійдуть до початкового логарифмічного рівняння. Адже знаки log накладають додаткові обмеження (тут ми мали б записати систему, але через громіздкість всієї конструкції я вирішив порахувати область визначення окремо).

Насамперед згадуємо, що аргументи мають бути більше 0, а саме:

Це і є вимоги, що накладаються областю визначення.

Відразу зауважимо, що оскільки ми прирівнюємо перші два вирази системи один до одного, то будь-яке з них ми можемо викреслити. Давайте викреслимо першу, тому що вона виглядає більш загрозливо, ніж друга.

Крім того, зауважимо, що рішенням другої та третьої нерівності будуть одні й ті множини (куб якогось числа більше нуля, якщо саме це число більше нуля; аналогічно і з коренем третього ступеня — ці нерівності повністю аналогічні, тому одну з них ми можемо викреслити).

А ось із третьою нерівністю таке не пройде. Позбавимося знака радикала, що стоїть зліва, для чого зведемо обидві частини в куб. Отримаємо:

Отже, ми отримуємо такі вимоги:

− 2 ≠ x > −3

Яке з наших коренів: x 1 = −3 або x 2 = −1 відповідає цим вимогам? Очевидно, що тільки х = −1, тому що х = −3 не задовольняє першу нерівність (бо нерівність у нас сувора). Отже, повертаючись до нашого завдання, ми отримуємо один корінь: х = −1. Ось і все, завдання вирішено.

Ще раз ключові моменти цієї задачі:

Не соромтеся застосовувати та вирішувати логарифмічні рівняння за допомогою канонічної форми. Учні, які роблять такий запис, а не переходять безпосередньо від вихідного завдання до конструкції типу log a f (x ) = b допускають набагато менше помилок, ніж ті, які кудись поспішають, пропускаючи проміжні кроки обчислень;
Як тільки в логарифмі з'являється змінна основа, завдання перестає бути найпростішим. Отже, при його вирішенні необхідно враховувати область визначення: аргументи повинні бути більшими за нуль, а підстави — не тільки більше 0, але ще вони не повинні дорівнювати 1.

Накладати останні вимоги на підсумкові відповіді можна по-різному. Наприклад, можна вирішувати цілу систему, що містить усі вимоги до області визначення. З іншого боку, можна спочатку вирішити саме завдання, а потім згадати область визначення, окремо пропрацювати її у вигляді системи і накласти на отримані корені.

Який спосіб вибирати при вирішенні конкретного логарифмічного рівняння вирішувати тільки вам. У будь-якому випадку відповідь вийде та сама.

Підготовка до підсумкового тестування з математики включає важливий розділ - «Логарифми». Завдання з цієї теми обов'язково містяться у ЄДІ. Досвід минулих років показує, що логарифмічні рівняння викликали складнощі у багатьох школярів. Тому розуміти, як знайти правильну відповідь, та оперативно справлятися з ними мають учні з різним рівнем підготовки.

Здайте атестаційне випробування успішно за допомогою освітнього порталу «Школкове»!

Під час підготовки до єдиного державного іспиту випускникам старших класів потрібне достовірне джерело, що надає максимально повну та точну інформацію для успішного вирішення тестових завдань. Однак підручник не завжди під рукою, а пошук необхідних правил і формул в Інтернеті часто вимагає часу.

Освітній портал «Школкове» дозволяє займатися підготовкою до ЄДІ у будь-якому місці у будь-який час. На нашому сайті пропонується найбільш зручний підхід до повторення та засвоєння великої кількості інформації з логарифмів, а також з одним і кількома невідомими. Почніть із легких рівнянь. Якщо ви впоралися з ними легко, переходьте до складніших. Якщо у вас виникли проблеми з вирішенням певної нерівності, ви можете додати її до «Вибраного», щоб повернутися до неї пізніше.

Знайти необхідні формули для виконання завдання, повторити окремі випадки та способи обчислення кореня стандартного логарифмічного рівняння ви можете, заглянувши до розділу «Теоретична довідка». Викладачі «Школково» зібрали, систематизували та виклали всі необхідні для успішної здачі матеріали у максимально простій та зрозумілій формі.

Щоб без проблем справлятися із завданнями будь-якої складності, на нашому порталі ви можете ознайомитися з вирішенням деяких типових логарифмічних рівнянь. Для цього перейдіть до розділу «Каталоги». У нас представлена велика кількість прикладів, у тому числі із рівняннями профільного рівня ЄДІ з математики.

Скористатися нашим порталом можуть учні зі шкіл у всій Росії. Для початку занять просто зареєструйтесь у системі та приступайте до вирішення рівнянь. Для закріплення результатів радимо повертатись на сайт «Школкове» щодня.

Останні відео з довгої серії уроків для вирішення логарифмічних рівнянь. Цього разу ми працюватимемо насамперед із ОДЗ логарифму — саме через неправильний облік (або взагалі ігнорування) області визначення виникає більшість помилок при вирішенні подібних завдань.

У цьому короткому відеоуроці ми розберемо застосування формул додавання та віднімання логарифмів, а також розберемося з дрібно-раціональними рівняннями, з якими у багатьох учнів також виникають проблеми.

Про що йтиметься? Головна формула, з якою я хотів би розібратися, виглядає так:

log a (f g ) = log a f + log a g

Це стандартний перехід від добутку до суми логарифмів і назад. Ви напевно знаєте цю формулу від початку вивчення логарифмів. Однак тут є одна затримка.

До тих пір, поки у вигляді змінних a, f і g виступають звичайні числа, жодних проблем не виникає. Ця формула працює чудово.

Проте, як замість f і g з'являються функції, виникає проблема розширення або звуження області визначення в залежності від того, в яку сторону перетворювати. Судіть самі: у логарифмі, записаному зліва, область визначення така:

fg > 0

А ось у сумі, записаній праворуч, область визначення вже дещо інша:

f > 0

g > 0

Даний набір вимог є жорсткішим, ніж вихідний. У першому випадку нас влаштує варіант f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 виконується).

Отже, під час переходу від лівої конструкції до правої виникає звуження області визначення. Якщо ж спочатку ми мали суму, а ми переписуємо її у вигляді твору, то відбувається розширення області визначення.

Іншими словами, у першому випадку ми могли втратити коріння, а в другому отримати зайві. Це необхідно враховувати під час вирішення реальних логарифмічних рівнянь.

Отже, перше завдання:

[Підпис до малюнка]

Зліва ми бачимо суму логарифмів з тієї ж підставі. Отже, ці логарифми можна скласти:

[Підпис до малюнка]

Як бачите, праворуч ми замінив нуль за формулою:

a = log b b a

Давайте ще трохи перетворимо наше рівняння:

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

Перед нами канонічна форма логарифмічного рівняння ми можемо закреслити знак log і прирівняти аргументи:

(x − 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

Зверніть увагу: звідки взявся модуль? Нагадаю, що корінь із точного квадрата дорівнює саме модулю:

[Підпис до малюнка]

Потім розв'язуємо класичне рівняння з модулем:

|f | = g (g > 0) ⇒ f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Ось два кандидати на відповідь. Чи є вони вирішенням вихідного логарифмічного рівняння? Ні, в жодному разі!

Залишити все просто так і записати відповідь ми не маємо права. Подивіться той крок, коли ми замінюємо суму логарифмів одним логарифмом від добутку аргументів. Проблема в тому, що у вихідних висловлюваннях у нас стоять функції. Отже, слід вимагати:

х(х − 5) > 0; (х − 5)/х > 0.

Коли ми перетворили твір, отримавши точний квадрат, вимоги змінилися:

(x − 5) 2 > 0

Коли ця вимога виконується? Так практично завжди! За винятком того випадку, коли х − 5 = 0. Тобто. нерівність зведеться до однієї виколотий точці:

х − 5 ≠ 0 ⇒ х ≠ 5

Як бачимо, відбулося розширення області визначення, про що ми й говорили на початку уроку. Отже, може виникнути і зайве коріння.

Як же не допустити виникнення цього зайвого коріння? Дуже просто: дивимося на наше отримане коріння і порівнюємо його з областю визначення вихідного рівняння. Давайте порахуємо:

х (х − 5) > 0

Вирішуватимемо за допомогою методу інтервалів:

х (х − 5) = 0 ⇒ х = 0; х = 5

Зазначаємо отримані числа на прямій. Всі точки виколоті, тому що нерівність сувора. Беремо будь-яке число, більше 5 і підставляємо:

[Підпис до малюнка]

На цікаві проміжки (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Якщо ми відзначимо наше коріння на відрізку, то побачимо, що х = 4 нас не влаштовує, тому що це коріння лежить за межами області визначення вихідного логарифмічного рівняння.

Повертаємося до сукупності, викреслюємо корінь х = 4 та записуємо відповідь: х = 6. Це вже остаточна відповідь до вихідного логарифмічного рівняння. Все, завдання вирішено.

Переходимо до другого логарифмічного рівняння:

[Підпис до малюнка]

Вирішуємо його. Зауважимо, що перший доданок є дріб, а другий — той самий дріб, але перевернутий. Не лякайтеся виразу lgx - це просто десятковий логарифм, ми можемо записати:

lgx = log 10 x

Оскільки перед нами два перевернуті дроби, пропоную ввести нову змінну:

[Підпис до малюнка]

Отже, наше рівняння може бути переписано таким чином:

t + 1/t = 2;

t + 1/t − 2 = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0.

Як бачимо, у чисельнику дробу стоїть точний квадрат. Дроб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля:

(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0

Вирішуємо перше рівняння:

t − 1 = 0;

t = 1.

Це значення задовольняє другу вимогу. Отже, можна стверджувати, що ми повністю вирішили наше рівняння, але щодо змінної t . А тепер згадуємо, що таке t:

[Підпис до малюнка]

Отримали пропорцію:

lgx = 2 lgx + 1

2 lgx − lgx = −1

lgx = −1

Наводимо це рівняння до канонічної форми:

lgx = lg 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

У результаті ми отримали єдине коріння, яке, за ідеєю, є рішенням вихідного рівняння. Однак давайте таки підстрахуємося і випишемо область визначення вихідного рівняння:

[Підпис до малюнка]

Отже, наш корінь відповідає всім вимогам. Ми виявили рішення вихідного логарифмічного рівняння. Відповідь: x = 0,1. Завдання вирішено.

Ключовий момент у сьогоднішньому уроці один: з використанням формули переходу від твору до суми і навпаки обов'язково враховуйте, що область визначення може звужуватися чи розширюватися залежно від цього, у який бік виконується перехід.

Як зрозуміти, що відбувається: звуження чи розширення? Дуже просто. Якщо раніше функції були разом, а тепер стали окремо, то сталося звуження області визначення (бо вимог стало більше). Якщо спочатку функції стояли окремо, тепер — разом, відбувається розширення області визначення (на твір накладається менше вимог, ніж окремі множники).

З урахуванням цього зауваження хотів би зазначити, що друге логарифмічне рівняння взагалі не вимагає даних перетворень, тобто ми ніде не складаємо і не перемножуємо аргументи. Однак тут я хотів би звернути вашу увагу на інший чудовий прийом, який дозволяє суттєво спростити рішення. Йдеться про заміну змінної.

Однак пам'ятайте, що жодні заміни не звільняють нас від області визначення. Саме тому після того було знайдено все коріння, ми не полінувалися і повернулися до вихідного рівняння, щоб знайти його ОДЗ.

Часто при заміні змінної виникає образлива помилка, коли учні знаходять значення t і гадають, що на цьому рішення закінчено. Ні, в жодному разі!

Коли ви знайшли значення t, необхідно повернутися до початкового рівняння і подивитися, що саме ми означали цією літерою. В результаті нам належить вирішити ще одне рівняння, яке, втім, буде значно простіше за вихідне.

Саме в цьому полягає сенс запровадження нової змінної. Ми розбиваємо вихідне рівняння на два проміжні, кожне з яких вирішується суттєво простіше.

Як вирішувати «вкладені» логарифмічні рівняння

Сьогодні ми продовжуємо вивчати логарифмічні рівняння та розберемо конструкції, коли один логарифм стоїть під знаком іншого логарифму. Обидва рівняння ми вирішуватимемо за допомогою канонічної форми.

Сьогодні ми продовжуємо вивчати логарифмічні рівняння та розберемо конструкції, коли один логарифм стоїть під знаком іншого. Обидва рівняння ми вирішуватимемо за допомогою канонічної форми. Нагадаю, якщо у нас є найпростіше логарифмічне рівняння виду log a f (x) = b, то для вирішення такого рівняння ми виконуємо такі кроки. Насамперед, нам потрібно замінити число b :

b = log a a b

Зауважте: a b це аргумент. Так само у вихідному рівнянні аргументом є функція f(x). Потім ми переписуємо рівняння і отримуємо таку конструкцію:

log a f(x) = log a a b

Вже потім ми можемо виконати третій крок — позбудеться знаку логарифму і просто записати:

f(x) = a b

В результаті ми отримаємо нове рівняння. При цьому жодних обмежень на функцію f(x) не накладається. Наприклад, на її місці може стояти логарифмічна функція. І тоді ми знову отримаємо логарифмічне рівняння, яке зведемо знову до найпростішого і вирішимо через канонічну форму.

Втім, вистачить лірики. Давайте вирішимо справжнє завдання. Отже, завдання № 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x) = 2

Як бачимо, перед нами найпростіше логарифмічне рівняння. У ролі f (x ) виступає конструкція 1 + 3 log 2 x , а ролі числа b виступає число 2 (у ролі a також виступає двійка). Давайте перепишемо цю двійку так:

Важливо розуміти, що перші дві двійки прийшли до нас з основи логарифму, тобто якби у вихідному рівнянні стояла 5, то ми отримали б, що 2 = log 5 5 2 . Загалом, основа залежить виключно від логарифму, який спочатку дано у завданні. І у нашому випадку це число 2.

Отже, переписуємо наше логарифмічне рівняння з урахуванням того, що двійка, яка стоїть праворуч, насправді є логарифмом. Отримаємо:

log 2 (1 + 3 log 2 x) = log 2 4

Переходимо до останнього кроку нашої схеми — позбавляємося канонічної форми. Можна сказати, просто закреслюємо знаки log. Проте з погляду математики «закреслити log» неможливо — правильніше сказати, що ми просто прирівнюємо аргументи:

1 + 3 log 2 x = 4

Звідси легко знаходиться 3 log 2 x :

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Ми знову отримали найпростіше логарифмічне рівняння, знову приведемо його до канонічної форми. Для цього нам необхідно провести такі зміни:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Чому в основі саме двійка? Тому що в нашому канонічному рівнянні зліва стоїть логарифм саме на підставі 2. Переписуємо завдання з урахуванням цього факту:

log 2 x = log 2 2

Знову позбавляємося знаку логарифму, тобто просто прирівнюємо аргументи. Ми маємо право це зробити, тому що підстави однакові, і більше жодних додаткових дій ні праворуч, ні ліворуч не виконувалося:

От і все! Завдання вирішено. Ми знайшли розв'язання логарифмічного рівняння.

Зверніть увагу! Хоча змінна х і стоїть у аргументі (тобто виникають вимоги до області визначення), ми жодних додаткових вимог пред'являти не будемо.

Як я вже говорив вище, ця перевірка є надмірною, якщо змінна зустрічається лише в одному аргументі лише одного логарифму. У нашому випадку х справді стоїть лише в аргументі і лише під одним знаком log. Отже, жодних додаткових перевірок виконувати не потрібно.

Проте, якщо ви не довіряєте цьому методу, то легко можете переконатися, що х = 2 дійсно є коренем. Достатньо підставити це число у вихідне рівняння.

Давайте перейдемо до другого рівняння, воно трохи цікавіше:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Якщо позначити вираз усередині великого логарифму функцією f(x), отримаємо найпростіше логарифмічне рівняння, з якого ми розпочинали сьогоднішній відеоурок. Отже, можна застосувати канонічну форму, навіщо доведеться уявити одиницю як log 2 2 1 = log 2 2.

Переписуємо наше велике рівняння:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Викидаємося від знака логарифму, прирівнюючи аргументи. Ми маємо право це зробити, тому що і ліворуч, і праворуч підстави однакові. Крім того, зауважимо, що log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

Перед нами знову найпростіше логарифмічне рівняння виду log a f(x) = b. Переходимо до канонічної форми, тобто представляємо нуль як log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Переписуємо наше рівняння та позбавляємося знаку log, прирівнюючи аргументи:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Знову ж таки ми відразу отримали відповідь. Жодних додаткових перевірок не потрібно, тому що у вихідному рівнянні лише один логарифм містить функцію аргументу.

Отже, жодних додаткових перевірок виконувати не потрібно. Ми можемо сміливо стверджувати, що х = 1 є єдиним коренем цього рівняння.

А от якби в другому логарифмі замість четвірки стояла б якась функція від х (або 2х стояло б не в аргументі, а в підставі) — тоді потрібно було б перевіряти область визначення. Інакше великий шанс нарватися на зайве коріння.

Звідки виникає таке зайве коріння? Цей момент треба чітко розуміти. Погляньте на вихідні рівняння: скрізь функція x стоїть під знаком логарифму. Отже, оскільки ми записали log 2 x , то автоматично виставляємо вимогу х > 0. Інакше цей запис просто не має сенсу.

Однак у міру вирішення логарифмічного рівняння ми позбавляємося всіх знаків log і отримуємо прості конструкції. Тут уже жодних обмежень не виставляється, тому що лінійна функція визначена за будь-якого значення х.

Саме ця проблема, коли підсумкова функція визначена скрізь і завжди, а вихідна — аж ніяк не скрізь і не завжди, і є причиною, через яку у вирішенні логарифмічних рівнянь дуже часто виникає зайве коріння.

Але повторю ще раз: таке відбуватися лише в ситуації, коли функція стоїть або в кількох логарифмах, або на підставі одного з них. У тих завданнях, які ми розглядаємо сьогодні, проблем із розширенням сфери визначення в принципі не існує.

Випадки різної основи

Цей урок присвячений вже складнішим конструкціям. Логарифми в сьогоднішніх рівняннях вже не вирішуватимуться «напролом» — спочатку потрібно буде виконати деякі перетворення.

Починаємо розв'язання логарифмічних рівнянь із зовсім різними підставами, які не є точними ступенями один одного. Нехай вас не лякають подібні завдання - вирішуються вони нітрохи не складніше, ніж найпростіші конструкції, які ми розбирали вище.

Але перш ніж переходити безпосередньо до завдань, нагадаю про формулу розв'язання найпростіших логарифмічних рівнянь за допомогою канонічної форми. Розглянемо завдання такого вигляду:

log a f(x) = b

Важливо, що функція f (x ) є саме функцією, а ролі чисел а і b повинні виступати саме числа (без будь-яких змінних x ). Зрозуміло, буквально за хвилину ми розглянемо й такі випадки, коли замість змінних а та b стоять функції, але зараз не про це.

Як ми пам'ятаємо, число b потрібно замінити логарифмом на тій самій підставі а, яка стоїть зліва. Це робиться дуже просто:

b = log a a b

Зрозуміло, під словом «будь-яке число b» і «будь-яке число а» маються на увазі такі значення, які задовольняють області визначення. Зокрема, у цьому рівнянні йдеться лише основа a > 0 і a ≠ 1.

Однак ця вимога виконується автоматично, тому що у вихідному завданні вже присутній логарифм на підставі а - воно свідомо буде більше 0 і не дорівнює 1. Тому продовжуємо вирішення логарифмічного рівняння:

log a f(x) = log a a b

Подібний запис називається канонічною формою. Її зручність полягає в тому, що ми відразу можемо позбутися знаку log, прирівнявши аргументи:

f(x) = a b

Саме цей прийом ми зараз використовуватимемо для вирішення логарифмічних рівнянь зі змінною основою. Тож поїхали!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Що далі? Хтось зараз скаже, що потрібно обчислити правий логарифм, або звести їх до однієї основи, або ще щось. Зараз потрібно привести обидві підстави до одного виду — або 2, або 0,5. Але давайте раз і назавжди засвоїмо наступне правило:

Якщо в логарифмічному рівнянні є десяткові дроби, обов'язково переведіть ці дроби з десяткового запису до звичайного. Таке перетворення може значно спростити рішення.

Подібний перехід потрібно виконувати відразу, ще до виконання будь-яких дій та перетворень. Давайте подивимося:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8

Що нам дає такий запис? Ми можемо 1/2 та 1/8 представити як ступінь з негативним показником:

[Підпис до малюнка]

Перед нами канонічна форма. Прирівнюємо аргументи та отримуємо класичне квадратне рівняння:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Перед нами наведене квадратне рівняння, яке легко вирішується за допомогою формул Вієта. Подібні викладки у старших класах ви повинні бачити буквально усно:

(х + 3) (х + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

От і все! Вихідне логарифмічне рівняння вирішено. Ми отримали два корені.

Нагадаю, що визначати область визначення в цьому випадку не потрібно, оскільки функція зі змінною х присутня лише в одному аргументі. Тому область визначення виконується автоматично.

Отже, перше рівняння вирішено. Переходимо до другого:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

А тепер зауважимо, що аргумент першого логарифму також можна записати у вигляді ступеня з негативним показником: 1/2 = 2 −1 . Потім можна винести ступеня з обох сторін рівняння та розділити все на −1:

[Підпис до малюнка]

І ось зараз ми виконали дуже важливий крок у вирішенні логарифмічного рівняння. Можливо, хтось щось не помітив, тож давайте я поясню.

Погляньте на наше рівняння: і ліворуч, і праворуч стоїть знак log, але ліворуч стоїть логарифм з основи 2, а праворуч стоїть логарифм з основи 3. Трійка не є цілим ступенем двійки і, навпаки: не можна записати, що 2 — це 3 в цілому ступеня.

Отже, це логарифми з різними підставами, які зводяться друг до друга простим винесенням ступенів. Єдиний шлях вирішення таких завдань — позбавитися одного з цих логарифмів. У даному випадку, оскільки ми поки що розглядаємо досить прості завдання, логарифм праворуч просто порахувався, і ми отримали найпростіше рівняння — саме таке, про яке ми говорили на початку сьогоднішнього уроку.

Давайте представимо число 2, яке стоїть праворуч у вигляді log 2 2 2 = log 2 4. А потім позбавимося знака логарифму, після чого у нас залишається просто квадратне рівняння:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x − 2 = 0

Перед нами звичайне квадратне рівняння, проте воно не наведене, тому що коефіцієнт при x 2 відмінний від одиниці. Отже, вирішувати ми його за допомогою дискримінанта:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 − 11)/10 = −2

От і все! Ми знайшли обидва корені, а отже отримали рішення вихідного логарифмічного рівняння. Адже у вихідному завданні функція зі змінною х присутня лише в одному аргументі. Отже, жодних додаткових перевірок на область визначення не потрібно — обидва корені, які ми знайшли, свідомо відповідають усім можливим обмеженням.

На цьому можна було б закінчити сьогоднішній відеоурок, але на завершення я хотів би сказати ще раз: обов'язково переводьте всі десяткові дроби у звичайні при вирішенні логарифмічних рівнянь. Найчастіше це значно полегшує їх вирішення.

Рідко, дуже рідко трапляються завдання, у яких звільнення від десяткових дробів лише ускладнює викладки. Однак у таких рівняннях, як правило, спочатку видно, що позбавлятися десяткових дробів не треба.

У більшості інших випадків (особливо якщо ви тільки починаєте тренуватися у вирішенні логарифмічних рівнянь) сміливо позбавляйтеся десяткових дробів і переводите їх у звичайні. Тому що практика показує, що таким чином ви значно спростите подальше рішення та викладення.

Тонкощі та хитрощі рішення

Сьогодні ми переходимо до складніших завдань і вирішуватимемо логарифмічне рівняння, в основі якого стоїть не число, а функція.

І нехай навіть ця функція лінійна — до схеми рішення доведеться внести невеликі зміни, зміст яких зводиться до додаткових вимог, що накладаються на область визначення логарифму.

Складні завдання

Цей урок буде досить довгим. У ньому ми розберемо два досить серйозні логарифмічні рівняння, при вирішенні яких багато учнів припускаються помилок. За свою практику роботи репетитором з математики я постійно стикався з двома видами помилок:

Виникнення зайвого коріння через розширення області визначення логарифмів. Щоб не допускати таких образливих помилок, просто уважно слідкуйте за кожним перетворенням;
Втрата коріння через те, що учень забув розглянути деякі «тонкі» випадки — саме на таких ситуаціях ми сьогодні й зосередимося.

Це останній урок, присвячений логарифмічним рівнянням. Він буде довгим, ми розберемо складні логарифмічні рівняння. Влаштовуйтесь зручніше, заваріть собі чай, і ми починаємо.

Перше рівняння виглядає цілком стандартно:

log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)

Відразу зауважимо, що обидва логарифми є перевернутими копіями один одного. Згадуємо чудову формулу:

log a b = 1/log b a

Однак ця формула має ряд обмежень, які виникають у тому випадку, якщо замість чисел а і b стоять функції від змінної х:

b > 0

1 ≠ a > 0

Ці вимоги накладаються на основу логарифму. З іншого боку, дроби від нас вимагається 1 ≠ a > 0, оскільки не тільки змінна a стоїть в аргументі логарифму (отже, a > 0), а й сам логарифм знаходиться в знаменнику дробу. Але log b 1 = 0, а знаменник має бути відмінним від нуля, тому a ≠ 1.

Отже, обмеження змінну a зберігається. Але що відбувається зі змінною b? З одного боку, з основи випливає b > 0, з іншого — змінна b ≠ 1, тому що основа логарифму має бути відмінною від 1. Разом із правої частини формули випливає, що 1 ≠ b > 0.

Але біда: друга вимога (b ≠ 1) відсутня в першому нерівності, присвяченому лівому логарифму. Іншими словами, при виконанні даного перетворення ми повинні окремо перевірити, що аргумент b відмінний від одиниці!

Ось давайте й перевіримо. Застосуємо нашу формулу:

[Підпис до малюнка]

1 ≠ х − 0,5 > 0; 1 ≠ х + 1 > 0

Ось ми й одержали, що вже з вихідного логарифмічного рівняння випливає, що і а, і b повинні бути більшими за 0 і не дорівнюють 1. Отже, ми спокійно можемо перевертати логарифмічне рівняння:

Пропоную ввести нову змінну:

log x + 1 (x − 0,5) = t

У цьому випадку наша конструкція перепишеться так:

(t 2 − 1)/t = 0

Зауважимо, що у чисельнику у нас стоїть різниця квадратів. Розкриваємо різницю квадратів за формулою скороченого множення:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

Дроб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. Але в чисельнику стоїть твір, тому прирівнюємо до нуля кожен множник:

t1 = 1;

t 2 = -1;

t ≠ 0.

Як бачимо, обидва значення змінної t нас влаштовують. Однак на цьому рішення не закінчується, адже нам потрібно знайти не t, а значення x. Повертаємося до логарифму та отримуємо:

log x + 1 (x − 0,5) = 1;

log x + 1 (x − 0,5) = −1.

Давайте наведемо кожне з цих рівнянь до канонічної форми:

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1

Позбавляємося знаку логарифму в першому випадку і прирівнюємо аргументи:

х − 0,5 = х + 1;

х − х = 1 + 0,5;

Таке рівняння немає коренів, отже, перше логарифмическое рівняння також має коренів. А ось з другим рівнянням все набагато цікавіше:

(х − 0,5)/1 = 1/(х + 1)

Вирішуємо пропорцію - отримаємо:

(х - 0,5) (х + 1) = 1

Нагадую, що при вирішенні логарифмічних рівнянь набагато зручніше наводити всі десяткові дроби звичайні, тому перепишемо наше рівняння наступним чином:

(х - 1/2) (х + 1) = 1;

x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;

x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.

Перед нами наведене квадратне рівняння, воно легко вирішується за формулами Вієта:

(х + 3/2) (х - 1) = 0;

x 1 = -1,5;

x2=1.

Отримали два корені – вони є кандидатами на вирішення вихідного логарифмічного рівняння. Для того щоб зрозуміти, яке коріння дійсно піде у відповідь, давайте повернемося до вихідного завдання. Зараз ми перевіримо кожне з наших коренів на предмет відповідності області визначення:

1,5 ≠ х > 0,5; 0 ≠ х > −1.

Ці вимоги рівносильні подвійній нерівності:

1 ≠ х > 0,5

Звідси відразу бачимо, що корінь х = −1,5 нас не влаштовує, а ось х = 1 цілком влаштовує. Тому х = 1 — остаточне розв'язання логарифмічного рівняння.

Переходимо до другого завдання:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

На перший погляд може здатися, що у всіх логарифмів різні підстави та аргументи. Що робити з такими конструкціями? Насамперед зауважимо, що числа 25, 5 та 625 — це ступеня 5:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

А тепер скористаємося чудовою властивістю логарифму. Справа в тому, що можна виносити міри з аргументу у вигляді множників:

log a b n = n ∙ log a b

На це перетворення також накладаються обмеження у разі, коли дома b стоїть функція. Але у нас b – це просто число, і жодних додаткових обмежень не виникає. Перепишемо наше рівняння:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

Отримали рівняння з трьома доданками, що містять знак log. Причому аргументи всіх трьох логарифмів дорівнюють.

Саме час перевернути логарифми, щоб привести їх до однієї основи - 5. Оскільки в ролі змінної b виступає константа, жодних змін області визначення не виникає. Просто переписуємо:

[Підпис до малюнка]

Як і передбачалося, у знаменнику «вилізли» ті самі логарифми. Пропоную виконати заміну змінної:

log 5 x = t

У цьому випадку наше рівняння буде переписано таким чином:

Випишемо чисельник і розкриємо дужки:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Повертаємось до нашого дробу. Чисельник повинен дорівнювати нулю:

[Підпис до малюнка]

А знаменник - відмінний від нуля:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

Останні вимоги виконуються автоматично, оскільки вони «зав'язані» на цілі числа, проте відповіді — ірраціональні.

Отже, дробово-раціональне рівняння вирішено, що значення змінної t знайдені. Повертаємося до розв'язання логарифмічного рівняння та згадуємо, що таке t :

[Підпис до малюнка]

Наводимо це рівняння до канонічної форми, отримаємо число з ірраціональним ступенем. Нехай вас це не бентежить — навіть такі аргументи можна прирівняти:

[Підпис до малюнка]

У нас вийшло два корені. Точніше, два кандидати у відповіді — перевіримо їх на відповідність галузі визначення. Оскільки в основі логарифму стоїть змінна х, вимагатимемо наступне:

1 ≠ х > 0;

З тим самим успіхом стверджуємо, що х ≠ 1/125, інакше підстава другого логарифму обернеться в одиницю. Нарешті, х ≠ 1/25 для третього логарифму.

Разом ми отримали чотири обмеження:

1 ≠ х > 0; х ≠ 1/125; х ≠ 1/25

А тепер питання: чи задовольняють наше коріння зазначеним вимогам? Звісно задовольняють! Тому що 5 у будь-якій мірі буде більшим за нуль, і вимога х > 0 виконується автоматично.

З іншого боку, 1 = 5 0 , 1/25 = 5 −2 , 1/125 = 5 −3 , а це означає, що ці обмеження для наших коренів (у яких, нагадаю, у показнику стоїть ірраціональне число) також виконані, та обидві відповіді є рішеннями задачі.

Отже, ми отримали остаточну відповідь. Ключових моментів у цій задачі два:

Будьте уважні при перевороті логарифму, коли аргумент та основа змінюються місцями. Подібні перетворення накладають зайві обмеження область визначення.
Не бійтеся перетворювати логарифми: їх можна не тільки перевертати, а й розкривати за формулою суми і взагалі міняти за будь-якими формулами, які ви вивчали під час вирішення логарифмічних виразів. Однак при цьому завжди пам'ятайте: деякі перетворення розширюють область визначення, а деякі звужують.

Вступ

Збільшення розумового навантаження на уроках математики змушує задуматися над тим, як підтримати у студентів інтерес до матеріалу, що вивчається, їх активність протягом усього уроку. У зв'язку з цим ведуться пошуки нових ефективних методів навчання та таких методичних прийомів, які б активізували думку студентів, стимулювали б їх до самостійного придбання знань.

Виникнення інтересу до математики у значної кількості студентів залежить переважно від методики її викладання, від цього, наскільки вміло буде побудовано навчальна робота. Вчасно звертаючи увагу студентів на те, що математика вивчає загальні властивості об'єктів і явищ навколишнього світу, має справу не з предметами, а з абстрактними поняттями, можна домогтися розуміння того, що математика не порушує зв'язку з дійсністю, а навпаки дає можливість вивчити її глибше зробити узагальнені теоретичні висновки, які широко застосовуються в практиці.

Беручи участь у фестивалі педагогічних ідей "Відкритий урок" 2004-2005 навчального року, я представила урок-лекцію на тему "Логарифмічна функція" (диплом № 204044). Вважаю цей метод найбільш вдалим у даному конкретному випадку. В результаті вивчення у студентів є докладний конспект і коротка схема на тему, що полегшить їм підготовку до наступних уроків. Зокрема, на тему "Рішення логарифмічних рівнянь", яка повністю спирається на вивчення логарифмічної функції та її властивостей.

p align="justify"> При формуванні основоположних математичних понять важливо створити у студентів уявлення про доцільність введення кожного з них і можливості їх застосування. І тому необхідно, щоб за формулюванні визначення деякого поняття, роботі з його логічної структурою, розглядалися питання історії виникнення даного поняття. Такий підхід допоможе студентам усвідомити, що нове поняття є узагальненням фактів реальної дійсності.

Історія виникнення логарифмів докладно представлена у роботі минулого року.

Враховуючи важливість наступності при навчанні математики в середньому спеціальному навчальному закладі та у ВНЗ та необхідність дотримання єдиних вимог до студентів вважаю за доцільне наступну методику ознайомлення студентів з вирішенням логарифмічних рівнянь.

Рівняння, що містять змінну під знаком логарифму (зокрема, на підставі логарифму), називаються логарифмічними. Розглянемо логарифмічні рівняння виду:

Розв'язання цих рівнянь ґрунтується на наступній теоремі.

Теорема 1.Рівняння рівносильне системі

(2)

Для вирішення рівняння (1) достатньо вирішити рівняння

та його рішення підставити в систему нерівностей

задає область визначення рівняння (1).

Корінням рівняння (1) будуть ті рішення рівняння (3), які задовольняють системі (4), тобто. належать області визначення рівняння (1).

При розв'язанні логарифмічних рівнянь може відбутися розширення області визначення (придбання стороннього коріння) або звуження (втрата коріння). Тому підстановка коренів рівняння (3) до системи (4), тобто. перевірка рішення обов'язкова.

Приклад 1:Вирішити рівняння