Сума проекцій сил на вісь. Проекція сили на вісь

У тих випадках, коли на тіло діє більше трьох сил, а також коли невідомі напрямки деяких сил, зручніше при вирішенні завдань користуватися не геометричною, а аналітичною умовою рівноваги, яка ґрунтується на методі проекцій.

Проекцією сили на вісь називається відрізок осі, укладений між двома перпендикулярами, опущеними на вісь із початку та кінця вектора сили.

Нехай дані координатні осі х, у, сила Р, прикладена у точці Аі розташована у площині координатних осей.

Проекціями сили Р на осі будуть відрізки аЬі а "Ь".Позначимо ці проекції відповідно Р хі Р у . Тоді

Р Х = Р cos(x); Р у = Рsin (x).

Проекція сили на вісь є алгебраїчна величина, яка може бути позитивною або негативною, що встановлюється за напрямом проекції. За напрямок проекціїприймемо напрямок від проекції початку до проекції кінця вектора сили.

Встановимо таке правило знаків: якщо напрямок проекції сили на вісь збігається з позитивним напрямом осі, то ця проекція вважається позитивною, і навпаки.

Якщо вектор сили паралельний осі, то він проектується на цю вісь у натуральну величину.

Якщо вектор сили перпендикулярнийосі, то його проекція на цю вісь дорівнює нулюЗнаючи дві проекції Р хі Р у , із трикутника ЛОМвизначаємо модуль та напрямок вектора сили Р за такими формулами:

Р = у /Р* + Р*, що спрямовує тангенс кута між вектором сили Р і віссю х 1 е а = Р у /Р х.

Зазначимо, що силу Р можна представити як рівнодіючу двох складових сил Р хі Р, паралельних осям координат (рис. 2.3) складники Р хі Р ута проекції Р хі Р упринципово відмінні друг від друга, оскільки складова є величина векторна, а проекція - величина алгебраїчна; але проекції сили на дві взаємно перпендикулярні осі х уі модулі складових тієї ж сили відповідно чисельно рівні, коли сила розкладається за двома взаємно перпендикулярними напрямками, паралельними осям х та у.

Очевидно, що, згідно з третім законом Ньютона (аксіома взаємодії), внутрішні сили, що діють у перерізі частини тіла, що залишилася і відкинутої, рівні за модулем, але протилежні за напрямом. Таким чином, розглядаючи рівновагу будь-якої з двох частин розсіченого тіла, ми отримаємо те саме значення внутрішніх сил, проте вигідніше розглядати ту частину тіла, для якої рівняння рівноваги простіше.

1. розтяг; цю деформацію зазнають, наприклад, канати, троси, ланцюги, шток протяжного верстата;

2. стиск; на стиск працюють, наприклад, колони, цегляна кладка, пуансони штампів;

3. зрушення; деформацію зсуву зазнають заклепки, болти, шпонки, шви зварних з'єднань. Деформацію зсуву, доведену до руйнуванняматеріалу, називають зрізом. Зріз виникає, наприклад, при різанні ножицями або штампування деталей з листового матеріалу;

4. кручення; на кручення працюють вали, що передають потужність при обертальному русі. Зазвичай деформація кручення супроводжується іншими деформаціями, наприклад, вигином;

5. вигин; на вигин працюють балки, осі, зубці зубчастих коліс та інші елементи конструкцій.

Дуже часто елементи конструкцій зазнають дії навантажень, що викликають одночасно кілька основних деформацій. Так, наприклад, у теоретичній механіці ми розглянули зусилля, що діють на колесо черв'ячної передачі. Вочевидь, що у разі виникають такі деформації валу черв'ячного колеса:

Напруги і деформації при розтягуванні та стисканні пов'язані між собою залежністю, яка називається законом Гука, що на ім'я встановив цей закон англійського фізика Роберта Гука (1635 - 1703).

Закон Гука при розтягуванні та стисканні справедливий лише в певних межахнавантаження і формулюється так: нормальна напруга прямо пропорційна відносному подовженню чи укороченню.

Коефіцієнт пропорційності Ехарактеризує жорсткість матеріалу, тобто. його здатність чинити опір пружним деформаціям розтягування або стиснення, і називається модулем поздовжньої пружності або модулем пружності першого роду.

Модуль пружності та напруга виражаються в однакових одиницях:

[Ј] = [а] / = Па.

Значення Е,МПа для деяких матеріалів:

Чавун (1,5...1,6) 10 5

Сталь (1,96...2,16) 10 5

Мідь (1,0...1,3)10 5

Сплави алюмінію (0,69...0,71) 10 5

Дерево (вздовж волокон) (0,1...0,16) 10 5

Текстоліт (0,06...0,1)10 5

Капрон (0,01... 0,02) 10 5

Якщо у формулу закону Гука підставимо вирази a = N/A, 8 = А///, то отримаємо

Твір ЕА, що стоїть у знаменнику, називається жорсткістю перерізу при розтягуванні та стисканні; воно характеризує одночасно фізико-механічні властивості матеріалу та геометричні розміри поперечного перерізу бруса.

Ця формула читається так: абсолютне подовження або скорочення прямо пропорційно поздовжній силі, довжині і обернено пропорційно жорсткості перерізу бруса.

Ставлення називається жорсткістю бруса при розтягуванні чи стисканні.

Наведені вище формули закону Гука застосовні лише для брусів або їх ділянок постійного поперечного перерізу, виготовлених з одного матеріалу та при постійній поздовжній силі.

Для бруса, що має кілька ділянок, що відрізняються матеріалом, розмірами поперечного перерізу, поздовжньою силою, зміна довжини всього бруса дорівнює сумі алгебри подовжень і укорочень окремих ділянок.

Діаграма розтягування низьковуглецевої сталі представлена ​​на рис. 19.6. Ця діаграма має такі характерні точки.

Крапка Апрактично відповідає й іншій межі, яка називається межею пружності.

Межею пружності а уп називається та найбільша напруга, до якої деформації практично залишаються пружними.

Точка З відповідає межі плинності.

Межею плинності називається така напруга, при якому в зразку з'являється помітне подовження без збільшення навантаження.

При досягненні межі плинності поверхня зразка стає матовою, тому що на ній з'являється сітка ліній Людерса-Чорнова, нахилених до осі під кутом 45 °.

Ці лінії вперше були описані 1859 р. німецьким металургом Людерсом і незалежно від нього 1884 р. російським металургом Д.К. Черновим (1839-1921), який запропонував використовувати їх при експериментальному вивченні напруг у складних деталях.

Межа плинності є основною механічною характеристикою в оцінці міцності пластичнихматеріалів. Точка відповідає тимчасовому опору або межі міцності.

Тимчасовим опором ав називається умовна напруга, рівне відношенню максимальної сили, яку витримує зразок, до початкової площі його поперечного перерізу (для сталі СтЗ а в 400 МПа).

При досягненні тимчасового опору на зразку, що розтягується, утворюється місцеве звуження - шийка, тобто починається руйнування зразка.

У визначенні тимчасового опору йдеться про умовну напругу, тому що в перерізах шийки напруги буде більше.

Межею міцності а пч називається тимчасове опір зразка, що руйнується без утворення шийки. Межа міцності є основною механічною характеристикою в оцінці міцності крихкихматеріалів.

Точка І відповідає напрузі, що виникає у зразку в момент розриву у всіх поперечних перерізах, крім перерізів шийки.

Крапка Мвідповідає напрузі, що виникає в найменшому поперечному перерізі шийки в момент розриву. Цю напругу можна назвати напругою розриву.

Часто геометричнескладання векторів сил вимагає складних та громіздкихпобудов. У таких випадках вдаються до іншомуметодом, де геометрична побудова заміненийпро обчислення скалярнихвеличин. Досягається це проектуванням заданих сил на осі прямокутної системи координат.

Як відомо з математики, віссюназивають необмежену пряму лінію, якій приписано певне напрямок. Вектор проекції на вісьє скалярноївеличиною, що визначається відрізком осі, що відсікається перпендикулярами, опущеними з початку та кінця векторана вісь.

Проекція вектора вважається позитивною (+ ), якщо напрям від початку проекції до її кінця збігаєтьсяіз позитивним напрямом осі. Проекція вектора вважається негативною (- ), якщо напрям від початку проекції до її кінця протилежнопозитивному напрямку осі.

Розглянемо ряд випадків проектування сил на вісь.

1. Дана сила Р (Мал. а ), вона лежить в одній площині з віссю х . Вектор сили складає позитивний напрямок осі гострий кут α .

Щоб знайти величину проекції, з початку та кінця вектора сили опускаємо перпендикуляри на вісь х, отримуємо

Р х = ab = Р cos α .

Проекція вектора у цьому випадку позитивна.

2. Дана сила Q (Мал. б ), яка лежить в одній площині з віссю х , але її вектор складає з позитивним напрямом осі тупий кут α .

Проекція сили Q на вісь х

Q х = ab = Q cos α,

cos a = - cos β .

Так як α > 90° , то cos cos α - негативнаВеличина. Виразивши cos α через cos β (β - гострий кут), остаточно отримаємо

Q х = - Q cos β

В цьому випадку проекція сили негативна.

Отже, проекція сили на вісь координат дорівнює добутку модуля сили на косинус кута між вектором сили та позитивним напрямком осі.

При визначенні векторної проекції сили на вісь користуються зазвичай косинусом гострогокута, незалежно від цього, з яким напрямом осі - позитивним чи негативним - він утворений. Знакпроекції легше встановлювати безпосередньо за кресленням.

Силу, розташовану на площині хОу , можна спроектувати на дві координатні осі Ох і Оу . Розглянемо рисунок.

На ньому зображено силу Р та її проекції Р х і Р у . Зважаючи на те, що проекції утворюють між собою прямийкут, з прямокутного трикутника ABC слід:

Практичне заняття №1. Плоска система схожих сил

Знати способи складання двох сил і розкладання сили на складові, геометричний та аналітичний способи визначення рівнодіючої сили, умови рівноваги плоскої системи сил, що сходить.

Вміти визначати рівнодіючу систему сил, вирішувати завдання на рівновагу геометричним та аналітичним способом, раціонально вибираючи координатні осі.

Розрахункові формули

Рівнодійна система сил

де F ∑ x , F ∑ y - проекції, що рівнодіє на осі координат; F kx , F ky- Проекції векторів-сил системи на осі координат.

де - Кут рівнодіє з віссю Ох.

Умова рівноваги

Якщо плоска система сил, що сходяться, знаходиться в рівновазі, багатокутник сил повинен бути замкнутий.

Приклад 1. Визначення рівнодіючої системи сил.

Визначити рівнодіючу плоску систему схожих сил аналітичним та геометричним способами (рис. П1.1). Дано:

Рішення

1. Визначити рівнодіючу аналітичним способом (рис. П1.1а).

2. Визначити рівнодіючу графічним способом.

За допомогою транспортира масштабом 2 мм = 1 кН будуємо багатокутник сил (рис. П1.1б). Вимірюванням визначаємо модуль рівнодіючої сили та кут нахилу її до осі Ох.

Результати розрахунків не повинні відрізнятись більш ніж на 5%:

Розрахунково-графічна робота №1. Визначення рівнодіючої плоскої системи сил, що сходяться аналітичним і геометричним способами

Приклад 2. Розв'язання задачі на рівновагу аналітичним способом.

Вантажі підвішені на стрижнях та канатах і перебувають у рівновазі. Визначити реакції стрижнів АВ та СВ (рис. П1.2).

Рішення

1. Визначаємо можливі напрями реакцій (рис. П1.2а). Подумки прибираємо стрижень АВ, при цьому стрижень СВопускається, отже, точка Увідсувається від стіни: призначення стрижня АВ- тягнути крапку Удо стіни.

Якщо прибрати стрижень СВ, крапка Уопуститься, отже, стрижень СВпідтримує точку Узнизу – реакція спрямована вгору.

2. Звільняємо точку Увід зв'язку (рис. П1.26).

3. Виберемо напрямок осей координат, вісь Ох збігається з реакцією R 1 .

4. Запишемо рівняння рівноваги точки У:

5. З другого рівняння отримуємо:

З першого рівняння отримуємо:

Висновок:стрижень АВрозтягнутий силою 28,07 кН, стрижень СВстиснутий силою 27,87 кН.

Примітка.Якщо при вирішенні реакція зв'язку виявиться негативною, то вектор сили спрямований у протилежний бік.

У разі реакції спрямовані правильно.

Визначити величину та напрямок реакцій зв'язків за даними одного з варіантів, показаних на малюнку.

Завдання 1

ЛЕКЦІЯ 4

Тема 1.3. Пара сил та момент сили щодо точки

Знати позначення, модуль та визначення моментів пари сил або щодо точки, умови рівноваги системи пар сил.

Вміти визначати моменти пар сил та момент сили щодо точки, визначати момент результуючої пари сил.

Пара сил, момент пари сил

Парою сил називається система двох сил, рівних за модулем, паралельних і спрямованих у різні боки.

Розглянемо систему сил ( F, F 1), що утворюють пару.

1. Пара сил викликає обертання тіла, і її вплив на тіло оцінюється моментом.
2. Сили, що входять у пару, не врівноважуються, тому що вони додані до двох точок (рис. 4.1). Їхня дія на тіло не може бути замінена однією силою (рівнодіючою).
3. Момент пари сил чисельно дорівнює добутку модуля сили на відстань між лініями дії сил ( плече пари).
4. Момент вважають позитивним, якщо пара обертає тіло за годинниковою стрілкою (рис. 4.1 б): M ( F; F") = Fa; М> 0.
5. Площина, що проходить через лінії дії сил пари, називається площиною дії пари.

Проекція сили на вісь визначається відрізком осі, що відсікається

перпендикулярами, опущеними на вісь із початку та кінця вектора (рис. 3.1).

Величина проекції сили на вісьдорівнює добутку модуля сили на косинус кута між вектором сили та позитивним напрямомосі. Таким чином, проекція має знак: позитивний за однакового напрямкувектора сили та осі та негативнийпри напрямку у бік негативної півосі(Рис. 3.2).

Проекція сили на дві взаємно перпендикулярні осі(Рис. 3.3).

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Теоретична механіка

Теоретична механіка.. лекція.. тема основні поняття та аксіоми статики.

Якщо Вам потрібний додатковий матеріал на цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Всі теми цього розділу:

Завдання теоретичної механіки
Теоретична механіка - наука про механічний рух матеріальних твердих тіл та їх взаємодію. Механічне рух розуміється як переміщення тіла в просторі і в часі від

Третя аксіома
Не порушуючи механічного стану тіла, можна додати або усунути врівноважену систему сил (принцип відкидання системи сил, еквівалентної нулю) (рис. 1.3). Р, = Р2 Р, = Р.

Слідство з другої та третьої аксіом
Силу, що діє на тверде тіло, можна переміщати вздовж лінії її дії (рис. 1.6).

Зв'язки та реакції зв'язків
Усі закони та теореми статики справедливі для вільного твердого тіла. Усі тіла поділяються на вільні та пов'язані. Вільні тіла – тіла, переміщення яких не обмежене.

Жорсткий стрижень
На схемах стрижні зображують товсто суцільною лінією (рис. 1.9). Стрижень може

Нерухомий шарнір
Крапка кріплення переміщатися не може. Стрижень може вільно повертатись навколо осі шарніра. Реакція такої опори проходить через вісь шарніру, але

Плоска система схожих сил
Система сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці, називається схожою (рис. 2.1).

Рівнодійна сила, що сходяться
Рівночинну двох сил, що перетинаються, можна визначити за допомогою паралелограма або трикутника сил (4-а аксіома) (вис. 2.2).

Умова рівноваги плоскої системи сил, що сходяться.
При рівновазі системи сил рівнодіюча повинна дорівнювати нулю, отже, при геометричній побудові кінець останнього вектора повинен збігтися з початком першого. Якщо

Розв'язання задач на рівновагу геометричним способом
Геометричним способом зручно користуватися, якщо у системі три сили. При вирішенні завдань на рівновагу тіло вважати абсолютно твердим (затверділим). Порядок розв'язання задач:

Рішення
1. Зусилля, що виникають у стрижнях кріплення, за величиною дорівнюють силам, з якими стрижні підтримують вантаж (5-а аксіома статики) (рис. 2.5а). Визначаємо можливі напрями реакцій зв'язку

Сил аналітичним способом
Розмір рівнодіючої дорівнює векторній (геометричній) сумі векторів системи сил. Визначаємо рівнодіючу геометричним способом. Виберемо систему координат, визначимо проекції всіх завдань

Схожих сил в аналітичній формі
Виходячи з того, що рівнодіюча дорівнює нулю, отримаємо:

Пара сил, момент пари сил
Парою сил називається система двох сил, рівних за модулем, паралельних і спрямованих у різні боки. Розглянемо систему сил (Р; Б "), що утворюють пару.

Момент сили щодо точки
Сила, що не проходить через точку кріплення тіла, викликає обертання тіла щодо точки, тому дія такої сили на тіло оцінюється моментом. Момент сили отн

Теорема Пуансо про паралельне перенесення сил
Силу можна перенести паралельно лінії її дії, при цьому потрібно додати пару сил з моментом, що дорівнює добутку модуля сили на відстань, на яку перенесена сила.

Розташованих сил
Лінії дії довільної системи сил не перетинаються в одній точці, тому для оцінки стану тіла таку систему слід спростити. Для цього всі сили системи переносять в одну довільно ви

Вплив точки наведення
Точка приведення вибрано довільно. При зміні положення точки наведення величина головного вектора не зміниться. Величина головного моменту при перенесенні точки приведення зміниться,

Плоский системи сил
1. При рівновазі головний вектор системи дорівнює нулю. Аналітичне визначення головного вектора призводить до висновку:

Види навантажень
За способом застосування навантаження діляться на зосереджені та розподілені. Якщо реально передача навантаження відбувається на малому майданчику (у точці), навантаження називають зосередженим

Момент сили щодо осі
Момент сили щодо осі дорівнює моменту проекції сили на площину, перпендикулярну до осі, щодо точки перетину осі з площиною (рис. 7.1 а). MOO

Вектор у просторі
У просторі вектор сили проектується на три перпендикулярні взаємно осі координат. Проекції вектора утворюють ребра прямокутного паралелепіпеда, вектор сили збігається з діагоналлю (рис. 7.2

Просторова система сил, що сходить
Просторова система сил, що сходить - система сил, що не лежать в одній площині, лінії дії яких перетинаються в одній точці. Рівночинну просторову систему сі

Приведення довільної просторової системи сил до центру
Дано просторову систему сил (рис. 7.5а). Наведемо її до центру О. Сили необхідно паралельно переміщати, при цьому утворюється система пар сил. Момент кожної з цих пар дорівнює

Центр тяжкості однорідних плоских тіл
(плоських фігур) Дуже часто доводиться визначати центр тяжіння різних плоских тіл та геометричних плоских фігур складної форми. Для плоских тіл можна записати: V =

Визначення координат центру тяжкості плоских фігур
Примітка. Центр тяжкості симетричної фігури знаходиться на осі симетрії. Центр тяжкості стрижня перебуває в середині висоти. Положення центрів тяжкості простих геометричних фігур можуть

Кінематика точки
Мати уявлення про простір, час, траєкторію, шляхи, швидкість і прискорення. Знати способи завдання руху точки (природний і координатний). Знати позначення, єдини

Пройдений шлях
Шлях вимірюється вздовж траєкторії у бік руху. Позначення – S, одиниці виміру – метри. Рівняння руху точки: Рівняння, що визначає

Швидкість руху
Векторна величина, що характеризує в даний момент швидкість і напрямок руху по траєкторії, називається швидкістю. Швидкість - вектор, у будь-який момент спрямований до

Прискорення точки
Векторна величина, що характеризує швидкість зміни швидкості за величиною та напрямом, називається прискоренням точки. Швидкість точки при переміщенні з точки М1

Рівномірний рух
Рівномірний рух - це рух із постійною швидкістю: v = const. Для прямолінійного рівномірного руху (рис. 10.1 а)

Рівноперемінний рух
Рівноперемінний рух - це рух із постійним дотичним прискоренням: at = const. Для прямолінійного рівнозмінного руху

Поступальний рух
Поступальним називають такий рух твердого тіла, при якому будь-яка пряма лінія на тілі під час руху залишається паралельною своєму початковому положенню (рис. 11.1, 11.2). При

Обертальний рух
При обертальному русі всі точки тіла описують кола навколо загальної нерухомої осі. Нерухома вісь, навколо якої обертаються всі точки тіла, називається віссю обертання.

Окремі випадки обертального руху
Рівномірне обертання (кутова швидкість постійна): ω =const Рівняння (закон) рівномірного обертання в даному випадку має вигляд:

Швидкості і прискорення точок тіла, що обертається
Тіло обертається навколо точки О. Визначимо параметри руху точки A розташованої на відстані RA від осі обертання (рис. 11.6, 11.7). Шлях

Рішення
1. Ділянка 1 - нерівномірний прискорений рух, ω = φ ; ε = ω' 2. Ділянка 2 - швидкість постійна - рух рівномірний, . ω = const 3.

Основні визначення
Складним рухом вважають рух, який можна розкласти на кілька простих. Простими рухами вважають поступальне та обертальне. Для розгляду складного руху точ

Плоскопаралельний рух твердого тіла
Плоскопаралельним, або плоским, називається такий рух твердого тіла, при якому всі точки тіла переміщаються паралельно деякою нерухомою в системі відліку, що розглядається.

Поступальне та обертальне
Плоскопаралельний рух розкладають на два рухи: поступальний разом з деяким полюсом і обертальний щодо цього полюса. Розкладання використовують для опред

Центру швидкостей
Швидкість будь-якої точки тіла можна визначити за допомогою миттєвого центру швидкостей. У цьому складне рух представляють як ланцюга обертань навколо різних центрів. Завдання

Аксіоми динаміки
Закони динаміки узагальнюють результати численних дослідів та спостережень. Закони динаміки, які прийнято розглядати як аксіоми, були сформульовані Ньютоном, але перший і четвертий закони були і

Концепція тертя. Види тертя
Тертя - опір, що виникає при русі одного шорсткого тіла поверхнею іншого. При ковзанні тіл виникає тертя ковзання, при коченні – тертя кочення. Природа спро

Тертя кочення
Опір при коченні пов'язаний із взаємною деформацією ґрунту та колеса та значно менше тертя ковзання. Зазвичай вважають грунт м'якшим за колеса, тоді в основному деформується грунт, і

Вільна та невільна точки
Матеріальна точка, рух якої у просторі не обмежена будь-якими зв'язками, називається вільною. Завдання вирішуються з допомогою основного закону динаміки. Матеріальні то

Сила інерції
Інертність - здатність зберігати свій стан незмінним, це внутрішнє властивість всіх матеріальних тел. Сила інерції - сила, що виникає при розгоні чи гальмуванні тіл

Рішення
Активні сили: рушійна сила, сила тертя, сила тяжіння. Реакція в опорі R. Прикладаємо силу інерції у зворотний від прискорення бік. За принципом Даламбера система сил, що діють на платформу

Робота рівнодіючої сили
Під дією системи сил точка масою т переміщається із положення М1 у положення M2 (рис. 15.7). У разі руху під дією системи сил користуються

Потужність
Для характеристики працездатності та швидкості виконання роботи введено поняття потужності. Потужність – робота, виконана в одиницю часу:

Потужність при обертанні
Мал. 16.2 Тіло рухається по дузі радіуса з точки М1 до точки М2 М1М2 = φr Робота сили

Коефіцієнт корисної дії
Кожна машина та механізм, роблячи роботу, витрачає частину енергії на подолання шкідливих опорів. Таким чином, машина (механізм), крім корисної роботи, здійснює ще й додаток.

Теорема про зміну кількості руху
Кількість руху матеріальної точки називається векторна величина, що дорівнює добутку маси точки на її швидкість mv. Вектор кількості руху збігається за

Теорема про зміну кінетичної енергії
Енергією називається здатність тіла виконувати механічну роботу. Існують дві форми механічної енергії: потенційна енергія, або енергія становища, та кінетична енергія,

Основи динаміки системи матеріальних точок
Сукупність матеріальних точок, пов'язаних між собою силами взаємодії, називається механічною системою. Будь-яке матеріальне тіло в механіці сприймається як механічна

Основне рівняння динаміки обертового тіла
Нехай тверде тіло під дією зовнішніх сил обертається навколо осі Оz із кутовою швидкістю

Напруги
Метод перерізів дозволяє визначити величину внутрішнього силового фактора у перерізі, але не дає можливості встановити закон розподілу внутрішніх сил за перерізом. Для оцінки міцності н

Внутрішні силові фактори, напруження. Побудова епюр
Мати уявлення про поздовжні сили, про нормальні напруги в поперечних перерізах. Знати правила побудови епюр поздовжніх сил та нормальних напруг, закон розподілу

Поздовжніх сил
Розглянемо брус, навантажений зовнішніми силами вздовж осі. Брус закріплений у стіні (закріплення «закладення») (рис. 20.2а). Ділимо брус на ділянки навантаження. Ділянкою навантаження з

Геометричні характеристики плоских перерізів
Мати уявлення про фізичний зміст і порядок визначення осьових, відцентрових та полярних моментів інерції, про головні центральні осі та головні центральні моменти інерції.

Статичний момент площі перерізу
Розглянемо довільний перетин (рис. 25.1). Якщо розбити перетин на нескінченно малі майданчики dA і помножити кожен майданчик на відстань до осі координат і проінтегрувати отримані

Відцентровий момент інерції
Відцентровим моментом інерції перерізу називається взята ковсею площі сума творів елементарних майданчиків на обидві координати:

Осьові моменти інерції
Осьовим моментом інерції перерізу відносно деякої реї, що лежить у цій площині, називається взята по всій площі сума творів елементарних майданчиків на квадрат їх відстані

Полярний момент інерції перерізу
Полярним моментом інерції перерізу щодо деякої точки (полюса) називається взята по всій площі сума творів елементарних майданчиків на квадрат їх відстані до цієї точки:

Моменти інерції найпростіших перерізів
Осьові моменти інерції прямокутника (рис. 25.2) Подаємо прямо

Полярний момент інерції кола
Для кола спочатку обчислюють полярний момент інерції, потім – осьові. Подаємо коло у вигляді сукупності нескінченно тонких кілець (рис. 25.3).

Деформації під час кручення
Кручення круглого бруса відбувається при навантаженні його парами сил з моментами в площинах перпендикулярних до поздовжньої осі. При цьому утворюють бруса викривляються і розвертаються на кут γ,

Гіпотези під час кручення
1. Виконується гіпотеза плоских перерізів: поперечний переріз бруса, плоский і перпендикулярний до поздовжньої осі, після деформації залишається плоским і перпендикулярним до поздовжньої осі.

Внутрішні силові фактори під час кручення
Крученням називається навантаження, при якому в поперечному перерізі бруса виникає тільки один внутрішній силовий фактор - момент, що крутить. Зовнішніми навантаженнями також є дві про

Епюри крутних моментів
Моменти, що крутять, можуть змінюватися вздовж осі бруса. Після визначення величин моментів по перерізах будуємо графік-епюру моментів, що крутять, уздовж осі бруса.

Напруги при крученні
Проводимо на поверхні бруса сітку з поздовжніх та поперечних ліній та розглянемо малюнок, що утворився на поверхні після Мал. 27.1а деформації (рис. 27.1а). Піп

Максимальна напруга при крученні
З формули для визначення напруги і епюри розподілу дотичних напруг при крученні видно, що максимальна напруга виникає на поверхні. Визначимо максимальне напруження

Види розрахунків на міцність
Існує два види розрахунку на міцність 1. Проектувальний розрахунок - визначається діаметр бруса (валу) у небезпечному перерізі:

Розрахунок на жорсткість
При розрахунку жорсткість визначається деформація і порівнюється з допускаемой. Розглянемо деформацію круглого бруса над дією зовнішньої пари сил із моментом т (рис. 27.4).

Основні визначення
Вигином називається такий вид навантаження, при якому в поперечному перерізі бруса виникає внутрішній силовий фактор-згинальний момент. Брус, що працює на

Внутрішні силові фактори при згинанні
Приклад 1.Розглянемо балку, на яку діє пара сил з моментом т і зовнішня сила F (рис. 29.3а). Для визначення внутрішніх силових факторів користуємося методом

згинальних моментів
Поперечна сила в перерізі вважається позитивною, якщо вона прагне розгорнути її

Диференціальні залежності при прямому поперечному згині
Побудова епюр поперечних сил і згинальних моментів істотно спрощується при використанні диференціальних залежностей між згинальним моментом, поперечною силою та інтенсивністю рівномірно.

Методом перерізу Отриманий вираз можна узагальнити
Поперечна сила в аналізованому перерізі дорівнює алгебраїчній сумі всіх сил, що діють на балку до перерізу, що розглядається: Q = ΣFi Оскільки мова йде

Напруги
Розглянемо вигин балки, защемленої праворуч та навантаженої зосередженою силою F (рис. 33.1).

Напружений стан у точці
Напружений стан у точці характеризується нормальними і дотичними напругами, що виникають на всіх майданчиках (перетинах), що проходять через цю точку. Зазвичай достатньо визначити напр.

Поняття про складний деформований стан
Сукупність деформацій, що виникають за різними напрямками та в різних площинах, що проходять через точку, визначають деформований стан у цій точці. Складне деформування

Розрахунок круглого бруса на вигин із крученням
У разі розрахунку круглого бруса при дії вигину та кручення (рис. 34.3) необхідно враховувати нормальні та дотичні напруги, тому що максимальні значення напруг в обох випадках виникають

Поняття про стійку та нестійку рівновагу
Відносно короткі та потужні стрижні розраховують на стиск, т.к. вони виходять з ладу внаслідок руйнування чи залишкових деформацій. Довгі стрижні невеликого поперечного перерізу під дією

Розрахунок на стійкість
Розрахунок на стійкість полягає у визначенні стискаючої сили, що допускається, і в порівнянні з нею сили чинної:

Розрахунок за формулою Ейлера
Завдання визначення критичної сили математично вирішив Л. Ейлер у 1744 р. Для шарнірно закріпленого з обох боків стрижня (рис. 36.2) формула Ейлера має вигляд

Критичні напруження
Критична напруга - напруга стиснення, що відповідає критичній силі. Напруга від стискаючої сили визначається за формулою

Межі застосування формули Ейлера
Формула Ейлера виконується лише в межах пружних деформацій. Таким чином, критичне напруження має бути менше межі пружності матеріалу. Перед

З 1

Для заданої схеми балки потрібно визначити опорні реакції, якщо l=14 м, а=3,8 м, b=5 м, М=11 кН м, F=10 кН.

Рішення. Оскільки горизонтальне навантаження відсутнє, то опора має тільки вертикальну реакцію RA. Складаємо рівняння рівноваги у вигляді моментів усіх сил щодо точок А та В.

звідки знаходимо

Для перевірки складемо рівняння рівноваги на вертикальну вісь:

Контрольні питання

балка шарнір сила точка

Як знаходиться проекція сили на вісь?

Проекція сили на вісь - це величина алгебри, що дорівнює добутку модуля сили на косинус кута між позитивним напрямом осі і вектором сили (тобто це відрізок, що відкладається силою на відповідні осі).

Px = P cos? = P cos90o = 0;

Rx = R cos? = -R cos(180o-?).

Проекція сили на вісь позитивна, рис. 2 а), якщо 0? ?< ?/2.

У якому разі проекція сили на вісь дорівнює нулю?

Проекція сили на вісь може дорівнювати нулю, рис. 2 б), якщо? =? / 2.)

У якому разі проекція сили на вісь дорівнює модулю сили?

Проекція сили на вісь дорівнює модулю сили, якщо? =0?.

У якому разі проекція сили на вісь є негативною?

Проекція сили на вісь може бути негативною, рис. 2 в), якщо?< ? ? ?.

Скільки рівнянь рівноваги складається для плоскої системи сил, що збігається?

Сили називають схожими, якщо їхні лінії дії перетинаються в одній точці. Розрізняють плоску систему сил, що сходяться, коли лінії дії всіх цих сил лежать в одній площині.

Рівновага системи схожих сил.

Із законів механіки випливає, що тверде тіло, на яке діють взаємно врівноважені зовнішні сили, може не тільки перебувати у спокої, а й здійснювати рух, який ми назвемо рухом за інерцією. Таким рухом буде, наприклад, поступальний рівномірний та прямолінійний рух тіла.

Звідси отримуємо два важливі висновки:

1) Умовам рівноваги статики задовольняють сили, що діють як на тіло, що покоїться, так і на тіло, що рухається «за інерцією».

2) Врівноваженість сил, прикладених до вільного твердого тіла, є необхідною, але не достатньою умовою рівноваги (спокою) самого тіла; у спокої тіло буде при цьому перебувати лише в тому випадку, якщо воно було у спокої і до моменту докладання до нього врівноважених сил.

Для рівноваги прикладеної до твердого тіла системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб рівнодіюча цих сил дорівнювала нулю. Умови, яким при цьому мають задовольняти самі сили, можна виразити у геометричній чи аналітичній формі.

1. Геометрична умова рівноваги. Так як рівнодіюча сходяться сил визначається як замикаюча сторона силового багатокутника, побудованого з цих сил, то може звернутися в нуль тоді і тільки тоді, коли кінець останньої сили в багатокутнику збігається з початком першої, тобто коли замкнеться багатокутник.

Отже, для рівноваги системи, сил, що сходяться необхідно і достатньо, щоб силовий багатокутник, побудований з цих сил, був замкнутий.

2. Аналітичні умови рівноваги. Аналітично рівнодіюча система схожих сил визначається формулою

Так як під коренем стоїть сума позитивних доданків, то R звернеться в нуль тільки тоді, коли одночасно

тобто коли сили, що діють на тіло, будуть задовольняти рівностям:

Рівності виражають умови рівноваги в аналітичній формі: для рівноваги просторової системи сил, що сходяться необхідно і достатньо, щоб суми проекцій цих сил на кожну з трьох координатних осей дорівнювали нулю.

Якщо всі сили, що діють на тіло, лежать в одній площині, то вони утворюють плоску систему збіжних сил. У разі плоскої системи схожих сил отримаємо, очевидно, лише дві умови рівноваги

Рівності виражають також необхідні умови (або рівняння) рівноваги вільного твердого тіла, що знаходиться під дією сил, що сходяться.

В яку сторону спрямована реакція стрижня з шарнірним кріпленням кінців?

Нехай у якійсь конструкції зв'язком є ​​стрижень АВ, закріплений на кінцях шарнірами (рис.3). Приймемо, що вагою стрижня в порівнянні з навантаженням, що сприймається ним, можна знехтувати. Тоді на стрижень будуть діяти лише дві сили, прикладені в шарнірах А і В. Але якщо стрижень АВ знаходиться в рівновазі, то прикладені в точках А і В сили повинні бути спрямовані вздовж однієї прямої, тобто вздовж осі стрижня. Отже, навантажений на кінцях стрижень, вагою якого в порівнянні з цими навантаженнями можна знехтувати, працює тільки на розтягування або стиснення. Якщо такий стрижень є зв'язком, реакція стрижня буде спрямована вздовж осі стрижня.

Який момент сили щодо точки?

Момент сили щодо точки визначається добутком модуля сили на довжину перпендикуляра, опущеного з точки на лінію дії сили (рис. 4, а). При закріпленні тіла у точці О сила прагне обертати його навколо цієї точки. Точка О, щодо якої береться момент, називається центром моменту, а довжина перпендикуляра називається плечем сили щодо центру моменту.

Вимірюються моменти сил у ньютонометрах (Н м) або кілограмометрах (кгс м) або у відповідних кратних та подільних одиницях, як і моменти пар.

У якому разі момент сили щодо точки дорівнює нулю?

Коли лінія дії сили проходить через дану точку, її момент щодо цієї точки дорівнює нулю, тому що в даному випадку плече дорівнює нулю: а = 0 (рис. 4, в).

Скільки рівнянь рівноваги для плоскої довільної системи сил?

Для плоскої довільної системи сил можна скласти три рівняння рівноваги:

Як спрямовані реакції у нерухомому шарнірі?

Нерухома шарнірна опора (рис.5, опора). Реакція такої опори проходить через вісь шарніра і може мати будь-який напрямок у площині креслення. При розв'язанні задач реакцію зображатимемо її складовими і за напрямами осей координат. Якщо ми, вирішивши завдання, знайдемо і, тим самим буде визначено і реакцію; за модулем

Як спрямована реакція у рухомому шарнірі?

Рухлива шарнірна опора (рис.6, опора А) перешкоджає руху тіла лише у напрямку перпендикулярному площині ковзання опори. Реакція такої опори спрямована нормалі до поверхні, на яку спираються катки рухомої опори.