Функція корінь n ступеня з x. Навіщо взагалі потрібне коріння? Похідна статечної функції

Наведено основні властивості статечної функції, включаючи формули та властивості коренів. Представлені похідна, інтеграл, розкладання в статечний ряд і подання за допомогою комплексних чисел статечної функції.

Визначення

Визначення
Ступінна функція з показником ступеня p- це функція f (x) = x pзначення якої в точці x дорівнює значенню показової функції з основою x в точці p .
Крім цього, f (0) = 0 p = 0при p> 0 .

Для натуральних значень показника, статечна функція є добуток n чисел, рівних x:
.
Вона визначена всім дійсних .

Для позитивних раціональних значень показника, статечна функція є добуток n коренів ступеня m з числа x:
.
Для непарних m вона визначена для всіх дійсних x . Для парних m, статечна функція визначена для невід'ємних.

Для негативних , статечна функція визначається за формулою:
.
Тому вона не визначена у точці.

Для ірраціональних значень показника p статечна функція визначається за формулою:
,
де a - довільне позитивне число, що не дорівнює одиниці: .
При , вона визначена для .
При , статечна функція визначена для .

Безперервність. Ступінна функція безперервна у своїй області визначення.

Властивості та формули статечної функції при x ≥ 0

Тут ми розглянемо властивості статечної функції при невід'ємних значеннях аргументу x. Як зазначено вище, при деяких значеннях показника p степенева функція визначена і для негативних значень x . У цьому випадку її властивості можна отримати з властивостей при , використовуючи парність або непарність. Ці випадки детально розглянуто та проілюстровано на сторінці « ».

Ступінна функція, y = x p, з показником p має такі властивості:
(1.1) визначена і безперервна на безлічі
при ,
при;
(1.2) має безліч значень
при ,
при;
(1.3) строго зростає при ,
суворо зменшується при ;
(1.4) при;
при;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Доказ властивостей наводиться на сторінці «Ступінна функція (доказ безперервності та властивостей)»

Коріння - визначення, формули, властивості

Визначення
Корінь із числа x ступеня n- Це число, зведення якого в ступінь n дає x:
.
Тут n = 2, 3, 4, ... - Натуральне число, більше одиниці.

Також можна сказати, що корінь у складі x ступеня n - це корінь (тобто рішення) рівняння
.
Зауважимо, що функція є зворотною до функції .

Квадратний корінь із числа x- Це корінь ступеня 2: .

Кубічний корінь із числа x- Це корінь ступеня 3: .

Парний ступінь

Для парних ступенів n = 2 m, корінь визначений за x ≥ 0 . Часто використовується формула, справедлива як для позитивних, так і для негативних x:
.
Для квадратного кореня:
.

Тут важливий порядок, у якому виконуються операції - тобто спочатку виробляється зведення у квадрат, у результаті виходить неотрицательное число, та був із нього витягується корінь (з неотрицательного числа можна витягувати квадратний корінь). Якби змінили порядок: , то за негативних x корінь було б визначено, разом із не визначено і весь вираз.

Непарний ступінь

Для непарних ступенів корінь визначений для всіх x :
;
.

Властивості та формули коріння

Корінь з x є статечною функцією:
.
При x ≥ 0 мають місце такі формули:
;
;
, ;
.

Ці формули можуть бути застосовні і за негативних значеннях змінних . Потрібно лише стежити, щоб підкорене вираз парних ступенів був негативним.

Приватні значення

Корінь 0 дорівнює 0: .
Корінь 1 дорівнює 1: .
Квадратний корінь 0 дорівнює 0: .
Квадратний корінь 1 дорівнює 1: .

приклад. Корінь з коріння

Розглянемо приклад квадратного кореня з коріння:
.
Перетворимо внутрішній квадратний корінь, застосовуючи наведені вище формули:
.
Тепер перетворимо вихідний корінь:
.
Отже,
.

y = x p при різних значеннях показника p.

Тут наводяться графіки функції при невід'ємних значеннях аргументу x. Графіки статечної функції, визначеної при негативних значеннях x, наводяться на сторінці «Ступінна функція, її властивості та графіки»

Зворотня функція

Зворотною для статечної функції з показником p є статечна функція з показником 1/p.

Якщо то .

Похідна статечної функції

Похідна n-го порядку:
;

Висновок формул > > >

Інтеграл від статечної функції

P ≠ - 1 ;
.

Розкладання в статечний ряд

При - 1 < x < 1 має місце наступне розкладання:

Вирази через комплексні числа

Розглянемо функцію комплексного змінного z:
f (z) = z t.
Виразимо комплексну змінну z через модуль r та аргумент φ (r = |z|):
z = r e i φ.
Комплексне число t представимо у вигляді дійсної та уявної частин:
t = p + i q.
Маємо:

Далі врахуємо, що аргумент φ визначено неоднозначно:
,

Розглянемо випадок, коли q = 0 , Тобто показник ступеня - дійсне число, t = p. Тоді
.

Якщо p – ціле, те й kp – ціле. Тоді, через періодичність тригонометричних функцій:
.
Тобто показова функція при цілому показнику ступеня для заданого z має тільки одне значення і тому є однозначною.

Якщо p - ірраціональне, то твори kp за жодного k не дають цілого числа. Оскільки k пробігає нескінченний ряд значень k = 0, 1, 2, 3, ..., то функція z p має нескінченно багато значень. Щоразу, коли аргумент z отримує приріст 2 π(один оборот), ми переходимо на нову галузь функції.

Якщо p - раціональне, то його можна подати у вигляді:
, де m, n- Цілі, що не містять спільних дільників. Тоді
.
Перші n величин при k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, дають n різних значень kp:
.
Однак наступні величини дають значення, що відрізняються від попередніх на ціле число. Наприклад, при k = k 0 + nмаємо:
.
Тригонометричні функції, аргументи яких різняться на величини, кратні 2 πмають рівні значення. Тому при подальшому збільшенні ми отримуємо ті ж значення z p , що і для k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Таким чином, показова функція з раціональним показником ступеня є багатозначною та має n значень (гілок). Щоразу, коли аргумент z отримує приріст 2 π(один оборот), ми переходимо на нову галузь функції. Через n таких оборотів ми повертаємось на першу гілку, з якої починався відлік.

Зокрема, корінь ступеня n має значення n. Як приклад розглянемо корінь n-го ступеня дійсного позитивного числа z = x. У цьому випадку φ 0 = 0, z = r = | z | = x, .
.
Так, для квадратного кореня, n = 2 ,
.
Для парних k, (-1) k = 1. Для непарних k, (- 1) k = - 1.
Тобто квадратний корінь має два значення: + та - .

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Потрібно познайомитися з властивостями цієї операції, що ми зробимо в параграфі.

Усі властивості формулюються і доводяться лише для невід'ємних значень змінних, які під знаками коренів.

Доведення.Введемо такі позначення: Нам треба довести, що з невід'ємних чисел х, у, z виконується рівність х-уz.
Так як
Отже, Але якщо ступеня двох невід'ємних чисел рівні показники ступенів рівні, то рівні і підстави ступенів; отже, з рівності x n = (уz) п випливає, що х-уz, а це потрібно було довести.

Наведемо короткий запис доказу теореми.

Зауваження:

1. Теорема 1 залишається справедливою і для випадку, коли підкорене вираз є твір більш ніж двох невід'ємних чисел.
2. Теорему 1 можна сформулювати, використовуючи конструкцію "якщо...то" (як це прийнято для теорем в математиці). Наведемо відповідне формулювання: якщо а і b - невід'ємні числа, то справедлива рівність Наступну теорему ми саме так і оформимо.

Коротке (хоч і неточне) формулювання, яке зручніше використовувати на практиці: корінь з дробидорівнює дробу від коріння.

Доведення.Наведемо короткий запис доказу теореми 2, а спробуйте зробити відповідні коментарі, аналогічні тим, що були наведені при доказі теореми 1.

ВИ, звичайно, звернули увагу на те, що доведені дві властивості коренів п-го ступеня є узагальнення відомих вам з курсу алгебри 8-го класу властивостей квадратного коріння. І якби інших властивостей коріння п-го ступеня не було, то як би все було просто (і не дуже цікаво). Насправді є ще кілька цікавих та важливих властивостей, які ми обговоримо у цьому параграфі. Але спочатку розглянемо кілька прикладів використання теорем 1 і 2.

приклад 1.Обчислити
Рішення.Скориставшись першою властивістю коріння (теорема 1), отримаємо:

Примітка 3.Можна, звичайно, цей приклад вирішити по-іншому, особливо якщо у вас під рукою є мікрокалькулятор: перемножити числа 125, 64 і 27, а потім витягти кубічний корінь з отриманого твору. Але, погодьтеся, запропоноване рішення «інтелігентніше».
приклад 2.Обчислити
Рішення.Обернемо змішане число в неправильний дріб.
Маємо Скориставшись другою властивістю коренів (теорема 2), отримаємо:

приклад 3.Обчислити:
Рішення.Будь-яка формула в алгебрі, як вам добре відомо, використовується не лише «зліва направо», а й «справа наліво». Так, перша властивість коренів означає, що можна уявити у вигляді і, навпаки, можна замінити виразом . Те саме стосується і другої властивості коренів. Враховуючи це, виконаємо обчислення:

приклад 4.Виконати дії:
Рішення, а) Маємо:
б) Теорема 1 дозволяє нам перемножувати лише коріння однакового ступеня, тобто. лише коріння з однаковим показником. Тут же пропонується помножити корінь 2-го ступеня з числа, а на корінь 3-го ступеня з того ж числа. Як це робити, ми поки що не знаємо. Повернемося до цієї проблеми пізніше.
Продовжимо вивчення властивостей радикалів.

Іншими словами, щоб звести корінь у натуральний ступінь, достатньо звести в цей ступінь підкорене вираз.
Це - наслідок теореми 1. Справді, наприклад, для к = 3 отримуємо: Так само можна міркувати у разі будь-якого іншого натурального значення показника до.

Іншими словами, щоб витягти корінь з кореня, достатньо перемножити показники коріння.
Наприклад,
Доведення.Як і в теоремі 2, наведемо короткий запис доказу, а ви спробуйте самостійно зробити відповідні коментарі, аналогічні тим, що наведені при доказі теореми 1.

Зауваження 4.Давайте переведемо дух. Чого ми навчилися завдяки доведеним теоремам? Ми дізналися, що над корінням можна здійснювати чотири операції: множення, розподіл, зведення в ступінь та вилучення кореня (з кореня). А як же справа зі складанням і відніманням коренів? Ніяк. Про це ми говорили ще у 8-му класі з приводу операції отримання квадратного кореня.

Наприклад, замість не можна написати Справді, Але очевидно, що Будьте уважні!
Найцікавіша властивість коренів - це те, про яке йтиметься в наступній теоремі. Враховуючи особливу значущість цієї властивості, ми дозволимо собі порушити певний стиль формулювань і доказів, вироблений у цьому параграфі, щоб формулювання теореми 5 було трохи «м'якше», та її доказ - зрозуміліше.

Наприклад:

(показники кореня та підкореного виразу розділили на 4);

(показники кореня та підкореного виразу розділили на 3);

(Показники кореня та підкореного виразу помножили на 2).

Доведення.Позначимо ліву частину рівності, що доводиться, літерою Тоді за визначенням кореня має виконуватися рівність

Позначимо праву частину тотожності, що доводиться літерою у:

Тоді за визначенням кореня має виконуватись рівність

Зведемо обидві частини останньої рівності в один і той самий ступінь р; отримаємо:

Отже (див. рівності (1) та (2)),

Порівнюючи ці дві рівності, приходимо до висновку, що х nр = у nр, а значить, х = у, що й потрібно було довести.
Доведена теорема дозволить нам вирішити ту проблему, з якою ми зіткнулися вище при вирішенні прикладу 5, де вимагалося виконати множення коренів із різними показниками:

Ось як зазвичай міркують у подібних випадках.
1) По теоремі 5 у виразі можна і показник кореня (тобто число 2) і показник підкореного виразу (тобто число 1) помножити на те саме натуральне число. Скориставшись цим, помножимо обидва показники на 3; отримаємо:
2) По теоремі 5 у виразі можна і показник кореня (тобто число 3) і показник підкореного виразу (тобто число 1) помножити на те саме натуральне число. Скориставшись цим, помножимо обидва показники на 2; отримаємо:

3) Оскільки отримали коріння одного і того ж 6-го ступеня, то можна їх перемножити:

Примітка 5.Ви не забули, що всі властивості коренів, які ми обговорювали в цьому параграфі, розглянуті нами лише для випадку, коли змінні набувають лише невід'ємних значень? Чому довелося зробити таке обмеження? Тому що корінь п-го ступеня з негативного числа не завжди має сенс - він визначений лише для непарних значень п. Для таких значень показника кореня розглянуті властивості коренів вірні і у разі негативних підкорених виразів.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 клас

Урок та презентація на теми: "Функція кореня n-ого ступеня. Приклади рішень. Побудова графіків"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 11 класу
Інтерактивний посібник для 9–11 класів "Тригонометрія"
Програмне середовище "1С: Математичний конструктор 6.1"

Функція кореня n-ого ступеня

Властивості функції

приклад.
Побудувати та прочитати графік функції $y=f(x)$, де $f(x)$:
$f(x)=\begin(cases)\sqrt(x), x≤1\\ \frac(1)(x), x>1\end(cases)$.
Рішення. Послідовно збудуємо два графіки функції на різних координатних площинах, після отримані графіки об'єднаємо в один. Побудуємо графік функції $y=\sqrt(x)$, $x≤1$.
Таблиця значень:
Графік функції $y=\frac(1)(x)$ добре відомий, це гіпербола, давайте побудуємо графік при $x>1$.
margin-left: auto; margin-right: auto;"> Об'єднаємо обидва графіки:

Хлопці, давайте опишемо властивості, якими має наша функція:
1. $D(f)=(-∞;+∞)$.
2. Ні парна, ні непарна.
3. Убуває $$.
4. Необмежена знизу, обмежена зверху.
5. Найменшого значення немає, найбільше значення дорівнює 1.
6. Безперервна.
7. $E(f)=(-∞;1]$.
8. Функція диференційована всюди, крім точок $х=0$ і $х=1$.
9. $\lim_(x \rightarrow + ∞) f(x) = 0 $.

приклад. Знайти область визначення функцій:

А) $ y = \ sqrt (2x-10) $.
б) $ y = \ sqrt (3x-6) $.
в) $ y = sqrt (3x-6) + sqrt (25-x ^ 2) $.

Рішення:
а) Показник кореня нашої функції – парний, отже під коренем має бути невід'ємне число.
Вирішимо нерівність:
$2x-10≥0$.
$2x≥10$.
$x≥5$.
Відповідь: $D(y)=.$ Це і є область визначення вихідної функції.
Відповідь: $ D (y) = $.

Завдання для самостійного вирішення

Початковий рівень

Корінь та його властивості. Детальна теорія з прикладами (2019)

Давай спробуємо розібратися, що це за поняття таке «корінь» та «з чим його їдять». Для цього розглянемо приклади, з якими ти вже стикався на уроках (ну, або тобі з цим тільки доведеться зіткнутися).

Наприклад, маємо рівняння. Яке рішення даного рівняння? Які числа можна звести до квадрата і отримати при цьому? Згадавши таблицю множення, ти легко даси відповідь: і (адже при перемноженні двох негативних чисел виходить позитивне число)! Для спрощення математики ввели спеціальне поняття квадратного кореня і надали йому спеціальний символ.

Дамо визначення арифметичного квадратного кореня.

А чому ж число має бути обов'язково невід'ємним? Наприклад, чому дорівнює. Так-так спробуємо підібрати. Може, три? Перевіримо: , а чи не. Може? Знову ж таки, перевіряємо: . Ну що ж, не підбирається? Це й слід було чекати - бо немає таких чисел, які при зведенні у квадрат дають негативне число!
Це треба запам'ятати: число або вираз під знаком кореня має бути негативним!

Однак найуважніші вже напевно помітили, що у визначенні сказано, що рішення квадратного кореня з числа називається таке невід'ємнечисло, квадрат якого дорівнює». Хтось із вас скаже, що на самому початку ми розбирали приклад, підбирали числа, які можна звести в квадрат і отримати при цьому, відповідь була і, а тут йдеться про якесь «невід'ємне число»! Таке зауваження цілком доречне. Тут необхідно просто розмежувати поняття квадратних рівнянь та арифметичного квадратного кореня у складі. Наприклад, не рівносильне виразу.

З цього випливає, що, тобто або. (Читай тему « »)

А слід, що.

Звичайно, це дуже плутає, але це необхідно запам'ятати, що знаки є результатом розв'язання рівняння, тому що при вирішенні рівняння ми повинні записати всі ікси, які при підстановці у вихідне рівняння дадуть правильний результат. Наше квадратне рівняння підходить як, так і.

Однак, якщо просто витягувати квадратний коріньз чогось, то завжди отримуємо один невід'ємний результат.

А тепер спробуй розв'язати таке рівняння. Вже все не так просто і гладко, правда? Спробуй перебрати числа, може щось і вигорить? Почнемо з самого початку – з нуля: – не підходить, рухаємось далі – менше трьох, теж відкидаємо, а що якщо. Перевіримо: - теж підходить, т.к. це більше трьох. З негативними числами вийде така сама історія. І що тепер робити? Невже перебір нам нічого не дав? Зовсім ні, тепер ми точно знаємо, що відповіддю буде деяке число між і, а також і. Крім того, очевидно, що рішення не будуть цілими числами. Більше того, вони не є раціональними. І що далі? Давай побудуємо графік функції та відзначимо на ньому рішення.

Давай спробуємо обдурити систему та отримати відповідь за допомогою калькулятора! Виймемо корінь з, діл-те! Ой-ой-ой, виходить, що. Таке число ніколи не кінчається. Як же таке запам'ятати, адже на іспиті калькулятора не буде! Все дуже просто, це й не треба запам'ятовувати, потрібно пам'ятати (або вміти швидко прикинути) приблизне значення. і вже самі собою відповіді. Такі числа називаються ірраціональними, саме для спрощення запису таких чисел і було запроваджено поняття квадратного кореня.

Розглянемо ще один приклад для закріплення. Розберемо таке завдання: тобі потрібно перетнути по діагоналі квадратне поле зі стороною кілометрів, скільки кілометрів тобі доведеться пройти?

Найочевидніше тут розглянути окремо трикутник і користуватися теоремою Піфагора: . Таким чином, . То чому ж тут однакова відстань? Очевидно, що відстань не може бути негативною, отримуємо, що. Корінь із двох приблизно дорівнює, але, як ми помітили раніше, вже є повноцінною відповіддю.

Щоб вирішення прикладів з корінням не викликало проблем, необхідно їх бачити та впізнавати. Для цього необхідно знати щонайменше квадрати чисел від до, а також вміти їх розпізнати. Наприклад, треба зазначити, що у квадраті одно, і навіть, навпаки, що - це у квадраті.

Вловив, що таке квадратне коріння? Тоді наріши кілька прикладів.

приклади.

Ну як, вийшло? Тепер давай подивимося такі приклади:

Відповіді:

Кубічний корінь

Ну що ж, з поняттям квадратного кореня начебто розібралися, тепер постараємося розібратися, що таке кубічний корінь і в чому їхня відмінність.

Кубічний корінь із деякого числа - це число, куб якого дорівнює. Помітили, тут все набагато простіше? Тут немає жодних обмежень на можливі значення як значення під знаком кубічного кореня, так і числа. Тобто кубічний корінь можна витягти з числа: .

Вловили, що таке кубічний корінь і як його добувати? Тоді наперед вирішувати приклади.

приклади.

Відповіді:

Корінь - ого ступеня

Ну що ж, ми розібралися з поняттями квадратного та кубічного кореня. Тепер узагальним отримані знання поняттям корінь -ого ступеня.

Корінь -ого ступеняу складі — це число, -ая ступінь якого дорівнює, тобто.

рівносильно.

Якщо - парно, то:

• при негативному, вираз не має сенсу (коріння парного ступеня з негативних чисел витягти не можна!);
• при невід'ємному() Вираз має один невід'ємний корінь.

Якщо - непарно, то вираз має єдиний корінь за будь-якого.

Не лякайтеся, тут діють такі ж принципи, що і з квадратним і кубічним корінням. Тобто принципи, які ми застосовували при розгляді квадратних коренів, поширюємо на всі коріння парного ступеня.

А ті властивості, які застосовували для кубічного кореня, поширюються на корені непарного ступеня.

Ну що, стало зрозуміліше? Давайте розбиратися на прикладах:

Тут все більш-менш зрозуміло: спочатку дивимося - ага, ступінь - парна, під коренем число позитивне, значить наше завдання - знайти таке число, четвертий ступінь якого дасть нам. Ну, чи є припущення? Може? Точно, !

Так, ступінь дорівнює - непарна, під коренем число негативне. Наше завдання – знайти таке число, при зведенні якого у ступінь виходить. Відразу помітити корінь досить важко. Однак можна відразу звузити область пошуку, правда? По-перше, безперечно шукане число негативно, а по-друге, можна помітити, що - непарне, а значить і число, що шукається - непарне. Спробуй підібрати коріння. Звичайно ж, і можна сміливо відкидати. Може?

Так, це те, що ми шукали! Зауваж, що з спрощення розрахунку ми користувалися властивостями ступенів: .

Основні властивості коренів

Зрозуміло? Якщо ні, то розглянувши приклади, все має стати на свої місця.

Розмноження коренів

Як множити коріння? На це питання допомагає відповісти найпростіша та базова властивість:

Почнемо з простенького:

Коріння з чисел, що вийшло, рівно не витягуються? Не біда – ось вам такі приклади:

А що, якщо множників не два, а більше? Теж саме! Формула множення коренів працює з будь-якою кількістю множників:

Що ми можемо зробити з ним? Ну звичайно, сховати трійку під коренем, пам'ятаючи при цьому, що трійка - корінь квадратний!

Навіщо нам це потрібне? Так просто, щоб розширити наші можливості при вирішенні прикладів:

Як тобі така властивість коріння? Істотно спрощує життя? На мене, так точно! Тільки треба пам'ятати, що вносити під знак кореня парного ступеня ми можемо лише позитивні числа.

Подивимося, де це ще може стати в нагоді. Наприклад, у задачі вимагають порівняти два числа:

Що більше:

Відразу і не скажеш. Ну що, скористаємось розібраною властивістю внесення числа під знак кореня? Тоді вперед:

Ну і, знаючи, що чим більше число під знаком кореня, тим більше корінь! Тобто. якщо, отже, . Звідси твердо робимо висновок, що. І ніхто не переконає нас у протилежному!

До цього ми вносили множник під знак кореня, а як його винести? Треба просто розкласти його на множники та витягти те, що витягується!

Можна було піти іншим шляхом і розкласти на інші множники:

Непогано, правда? Будь-який із цих підходів вірний, вирішуй як тобі зручно.

Ось, наприклад, такий вираз:

У цьому прикладі ступінь парний, а якщо він буде непарний? Знову ж таки, застосуй властивості ступеня і розклади все на множники:

З цим начебто все ясно, а от як витягти корінь з числа в міру? Ось, наприклад, таке:

Досить просто, правда? А якщо ступінь більше двох? Дотримуємося тієї ж логіки, використовуючи властивості ступенів:

Ну як усе зрозуміло? Тоді такий приклад:

Це підводне каміння, про них завжди варто пам'ятати. Це і є відображення на прикладах якості:

Зрозуміло? Закріплюй на прикладах:

Ага, бачимо, корінь парною мірою, негативне число під коренем теж парною мірою. Ну і те саме виходить? А ось що:

От і все! Тепер такі приклади:

Вловив? Тоді наперед вирішувати приклади.

приклади.

Відповіді.

Якщо отримав відповіді, можна зі спокійною душею рухатися далі. Якщо ні, то давай розберемося в цих прикладах:

Подивимося на дві інші властивості коренів:

Ці властивості обов'язково треба розбирати на прикладах. Ну що, займемося цим?

Розібрався? Давай закріпимо.

приклади.

Відповіді.

КОРНІ І ЇХ ВЛАСТИВОСТІ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Арифметичний квадратний корінь

Рівняння має два рішення: в. Це числа, квадрат яких дорівнює.

Розглянемо рівняння. Вирішимо його графічно. Намалюємо графік функції та лінію на рівні. Крапки перетину цих ліній і будуть рішеннями. Бачимо, що й у цього рівняння два рішення – одне позитивне, інше негативне:

Але в даному випадку рішення не є цілими числами. Більше того, вони не є раціональними. Щоб записати ці ірраціональні рішення, ми вводимо спеціальний символ квадратного кореня.

Арифметичний квадратний корінь- Це невід'ємне число, квадрат якого дорівнює. При виразі не визначено, т.к. немає такого числа, квадрат якого дорівнює негативному числу.

Корінь із квадрата: .

Наприклад, . А слід, що або.

Ще раз звертаю увагу, це дуже важливо: Квадратний корінь – це завжди невід'ємне число: !

Кубічний коріньу складі — це число, куб якого дорівнює. Кубічний корінь визначено всім. Його можна витягти з числа: . Як бачимо, він може набувати і негативних значень.

Корінь -ой ступеня у складі — це число, -я ступінь якого дорівнює, тобто.

Якщо – парно, тоді:

• якщо, то корінь -ого ступеня a не визначений.
• якщо, то невід'ємний корінь рівняння називається арифметичним коренем -ой ступеня і позначається.

Якщо - непарно, тоді рівняння має єдиний корінь за будь-якого.

Ти помітив, що ліворуч від знаку кореня ми пишемо його ступінь? Але не для квадратного кореня! Якщо бачиш корінь без ступеня, то він квадратний (ступеня).

приклади.

Основні властивості коренів

КОРНІ І ЇХ ВЛАСТИВОСТІ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Квадратним коренем (арифметичним квадратним коренем)з невід'ємного числа називається таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює

Властивості коріння: