Функція розподілу максвела за компонентами швидкостей. Розподіл Максвелла за швидкостями

• У багатьох випадків знання одних середніх значень фізичних величин недостатньо. Наприклад, знання середнього зростання людей не дозволяє планувати випуск одягу різних розмірів. Потрібно знати приблизну кількість людей, зростання яких лежить у певному інтервалі.

  Так само важливо знати числа молекул, що мають швидкості, відмінні від середнього значення. Максвелл першим знайшов, як ці цифри можна визначати.

Імовірність випадкової події

У § 4.1 ми вже згадували, що для опису поведінки великої сукупності молекул Дж. Максвел ввів поняття ймовірності.

Як неодноразово наголошувалося, у принципі неможливо простежити за зміною швидкості (або імпульсу) однієї молекули протягом великого інтервалу часу. Не можна точно визначити швидкості всіх молекул газу в даний момент часу. З макроскопічних умов, у яких перебуває газ (певний обсяг і температура), не випливають із необхідністю певні значення швидкостей молекул. Швидкість молекули можна розглядати як випадкову величину, яка в даних макроскопічних умовах може приймати різні значення, подібно до того, як при киданні гральної кістки може випасти будь-яке число очок від 1 до 6 (число граней кістки дорівнює шести). Передбачити, скільки очок випаде при даному киданні кістки, не можна. Але ймовірність того, що випаде, скажімо, п'ять очок піддається визначенню.

Що таке ймовірність настання випадкової події? Нехай зроблено дуже велике число N випробувань (N – число кидань кістки). При цьому в N" випадках мав місце сприятливий результат випробувань (тобто випадання п'ятірки).

Для симетричної кістки ймовірність будь-якого обраного числа очок від 1 до 6 дорівнює.

Ми, що на тлі безлічі випадкових подій виявляється певна кількісна закономірність, з'являється число. Це число – ймовірність – дозволяє обчислювати середні значення. Так, якщо зробити 300 кидань кістки, то середня кількість випадань п'ятірки, як це випливає з формули (4.6.1), дорівнюватиме 300 = 50, причому абсолютно байдуже, кидати 300 разів ту саму кістку або одночасно 300 однакових кісток.

Безсумнівно, що поведінка молекул газу в посудині набагато складніша за рух кинутої гральної кістки. Але й тут можна сподіватися виявити певні кількісні закономірності, що дозволяють обчислювати статистичні середні, якщо ставити завдання так само, як у теорії ігор, а не як у класичній механіці. Потрібно відмовитися від нерозв'язної задачі визначення точного значення швидкості молекули в даний момент і спробувати знайти ймовірність того, що швидкість має певне значення.

Розподіл молекул за швидкостями – розподіл Максвелла

Максвелл припустив, що у газах може теплового рівноваги існує деяке розподіл швидкостей, не змінюється з часом, інакше кажучи, число молекул, мають швидкості у заданому інтервалі значень, залишається постійним. І Максвелл знайшов цей розподіл.

Але головна заслуга Максвелла полягала не так у вирішенні цього завдання, як у самій постановці нової проблеми. Він ясно усвідомив, що випадкова в даних макроскопічних умовах поведінка окремих молекул підпорядкована певному імовірнісному, або статистичного закону. Цей статистичний закон для розподілу молекул газу за швидкостями виявився порівняно простим.

Наочно розподіл молекул за швидкостями можна так. Виберемо прямокутну систему відліку, на осях якої відкладатимемо проекції v x , v y , v z швидкостей частинок. В результаті вийде тривимірний «простір швидкостей», кожна точка якого відповідає молекулі із строго заданою швидкістю v, що дорівнює модулю довжини радіуса-вектора, проведеного з початку системи відліку в цю точку (рис. 4.7).

Рис. 4.7

Загальне уявлення про розподіл молекул за швидкостями вийде, якщо швидкість кожної з молекул N зобразити точкою в цьому просторі швидкостей (рис. 4.8). Крапки виявляться розташованими досить хаотично, але в середньому щільність крапок буде зменшуватися в міру віддалення від початку відліку (не всі значення швидкостей молекул зустрічаються однаково часто).

Рис. 4.8

Картина розподілу точок, звичайно, не є застиглою. З часом швидкості молекул з допомогою зіткнень змінюються і, отже, змінюється картина розподілу точок у просторі швидкостей. Однак її зміна така, що середня щільність точок у будь-якій області простору швидкостей з часом не змінюватиметься, вона залишається однією і тією ж. Саме це означає існування певного статистичного закону. Середній щільності відповідає найімовірніший розподіл швидкостей.

Число точок AN в деякому малому обсязі Δv x Δv y Δv z простору швидкостей, очевидно, дорівнює цьому об'єму, помноженому на щільність точок всередині нього. (Аналогічно маса Δm деякого об'єму ΔV дорівнює добутку щільності речовини ρ на цей об'єм: Δm = ρΔV.) Позначимо через Nf(v x , v y , v z) середню щільність точок у просторі швидкостей, тобто число точок, що припадають на одиницю об'єму простору швидкостей (N – загальна кількість молекул газу). Тоді

Фактично ΔN - це число молекул, проекції швидкостей яких лежать в інтервалах значень від v x до v x + Δv x , від v y до v y + Δv y і від v z до v z + Δv z (радіуси-вектори швидкостей цих молекул закінчуються всередині обсягу простору швидкостей Δv = Δv x Δv y Δv z , що має форму куба (див. рис. 4.8).

Імовірність того, що проекції швидкості молекули лежать у заданому інтервалі швидкостей, дорівнює відношенню числа молекул з даним значенням швидкості до повного числа молекул:

Функція f(v x , v y , v z) називається функцією розподілу молекул за швидкостями і є щільністю ймовірності, тобто ймовірність, віднесену до одиничного обсягу простору швидкостей.

Швидкості молекул в даний момент часу в принципі можуть виявитися будь-якими. Але ймовірність різних розподілів швидкостей неоднакова. Серед усіх можливих миттєвих розподілів є один, ймовірність якого більша, ніж усіх інших, - найімовірніший розподіл. Максвел встановив, що функція розподілу f(v x , v y , v z), що дає цей найімовірніший розподіл швидкостей молекул (розподіл Максвелла), визначається ставленням кінетичної енергії молекули

до середньої енергії її теплового руху kT (k – постійна Больцмана). Цей розподіл має вигляд

Тут е ≈ 2,718 - основа натуральних логарифмів, а величина А залежить від швидкості.

Таким чином, за Максвеллом, щільність точок, що зображують молекули в просторі швидкостей, максимальна поблизу початку відліку (v = 0) і зменшується зі зростанням v, причому тим швидше, чим менша енергія теплового руху kT. На малюнку 4.9 представлена ​​залежність функції розподілу f від проекції v x за умови, що проекції v y та v z будь-які. Функція розподілу має характерну дзвонову форму, яка часто зустрічається в статистичних теоріях і називається кривою Гауса.

Рис. 4.9

Постійну А знаходять із умови, що ймовірність швидкості молекули мати будь-яке значення від нуля до нескінченності повинна дорівнювати одиниці. Ця умова називається умовою нормування. (Аналогічно ймовірність випадання будь-якого числа очок від 1 до 6 при даному киданні гральної кістки дорівнює одиниці.) Повна ймовірність виходить додаванням ймовірностей всіх можливих взаємовиключних реалізацій випадкової події.

Підсумовуючи ймовірності ΔW i всіх можливих значень швидкості i отримаємо рівняння

Обчисливши за допомогою рівняння (4.6.5) нормувальну постійну А, можна записати вираз для середньої кількості частинок зі швидкостями в заданому інтервалі в наступній формі:

Швидкість будь-якої молекули зараз - випадкова величина. Тому і сам розподіл молекул за швидкостями на даний момент часу є випадковим. Але середній розподіл, який визначається статистичним законом, реалізується з необхідністю в певних макроскопічних умовах і не змінюється з часом. Однак завжди є відхилення від середніх – флуктуації. Ці відхилення з рівною ймовірністю відбуваються в той і інший бік. Саме тому в середньому є певний розподіл молекул за швидкостями.

Розподіл молекул за швидкостями Максвелла виявляється справедливим як для газів, але й рідин і твердих тіл. Лише у тому випадку, коли для опису руху частинок не можна застосувати класичну механіку, розподіл Максвелла перестає бути вірним.

Розподіл модулів швидкостей молекул

Знайдемо середнє число молекул, швидкості яких за модулем лежать в інтервалі від v до v + Δv.

Розподіл Максвелла (4.6.4) визначає число молекул, проекції швидкостей яких лежать в інтервалах значень від v x до v x + Δv x , від v y до v y + Δv y від v z до v z + Δv z . Вектори цих швидкостей закінчуються всередині об'єму Δv x Δu y Δv z (див. рис. 4.8). Таким чином задається середня кількість молекул, що мають певний модуль і певний напрямок швидкостей, що задаються положенням об'єму Δv x Δu y Δv z в просторі швидкостей.

Усі молекули, модулі швидкостей яких лежать в інтервалі від v до + Δv, розташовуються в просторі швидкостей усередині кульового шару радіусом v і товщиною Δv (рис. 4.10). Об'єм шарового шару дорівнює добутку площі поверхні шару на його товщину: 4πv 2 Δv.

Рис. 4.10

Число молекул, що знаходяться всередині цього шару і, отже, мають задані значення модуля швидкості в інтервалі від v до v + Δv, може бути знайдено з формули (4.6.2), якщо замінити об'єм Δv x Δu y Δv z на об'єм 4πv 2 Δv .

Таким чином, шукане середнє число молекул дорівнює

Так як ймовірність певного значення модуля швидкості молекули дорівнює відношенню, то для щільності ймовірності отримаємо

Графік, що виражає залежність цієї функції від швидкості, показано на малюнку 4.11. Ми бачимо, що функція f(v) має максимум уже не в нулі, як щільність ймовірності f(v x , v y , v z). Причина цього полягає у наступному. Щільність точок, що зображують молекули в просторі швидкостей, як і раніше, буде найбільшою поблизу v = 0, але за рахунок зростання обсягів шарових шарів зі збільшенням модулів швидкостей (~ v 2) відбувається збільшення функції f(v). При цьому число точок всередині шарового шару зростає швидше, ніж зменшується функція f(v x , v y , v z) внаслідок зменшення щільності точок.

Рис. 4.11

Можна пояснити сказане прикладом. Припустимо, звичайну мету з концентричними колами обстрілює досить влучний стрілець. Влучення куль концентруються навколо центру мішені. Щільність влучень – кількість влучень на одиницю площі – буде максимальною поблизу центру мішені. Розділимо мету окремі вузькі смужки шириною Δx (рис. 4.12, а). Тоді відношення числа попадань на дану смужку до її ширини буде максимально поблизу центру мішені.

Рис. 4.12

Залежність відношення числа попадань у цю смужку до її ширини має вигляд, показаний малюнку 4.12, б. Тут знову виходить крива гауса, як і для розподілу f(v x) по проекціях швидкостей (див. рис. 4.9).

Але зовсім інший результат вийде, якщо підраховувати кількість попадань у різні кільця мішені. У цьому випадку відношення числа попадань у кільце радіусом до його ширини графічно буде характеризуватися кривою, зображеною на малюнку 4.12, ст. Хоча щільність попадань у міру віддалення від центру мішені зменшується, але площі кілець ростуть пропорційно r, що призводить до зміщення максимуму кривої від нуля.

Найбільш ймовірна швидкість молекул

Знаючи формулу (4.6.8) для густини ймовірності модулів швидкостей молекул, можна знайти значення швидкості, що відповідає максимуму густини цієї ймовірності(1). Швидкість (її називають найімовірнішою) виявляється рівною

Більшість молекул мають швидкості, близькі до найімовірнішої (див. рис. 4.11).

У міру збільшення абсолютної температури Т найбільш ймовірна швидкість збільшується і при цьому крива залежності До стає все більш згладженою (рис. 4.13).

Рис. 4.13

Роль швидких молекул

При будь-якій температурі є кілька молекул, швидкості яких, отже, і кінетичні енергії, помітно перевищують середні.

Відомо, що багато хімічних реакцій, наприклад горіння звичайних видів палива (дрова, вугілля і т. д.), починаються тільки за певної, досить високої температури. Енергія, необхідна для початку процесу окислення палива, тобто горіння (її називають енергією активації), має порядок 10 -19 Дж. А при температурі 293 К (кімнатна температура) середня кінетична енергія теплового руху молекул становить приблизно 5 10 -21 Дж .Тому горіння не відбувається. Однак збільшення температури лише в 2 рази (до 586 К) викликає займання. Середня енергія молекул збільшується при цьому теж у 2 рази, але число молекул, кінетична енергія яких перевищує 10 -19 Дж, збільшується у 10 8 разів. Це випливає з розподілу Максвелла. Тому при температурі 293 К ви почуваєте себе, читаючи книгу, комфортно, а при 586 К книга починає горіти.

Випаровування рідини також визначається швидкими молекулами правого «хвоста» максвеллівського розподілу. Енергія зв'язку молекул води при кімнатній температурі значно більша за кТ. Проте випаровування відбувається за рахунок невеликої кількості швидких молекул, у яких кінетична енергія перевищує кТ.

Максвелл відкрив новий тип фізичного закону – статистичний – і знайшов розподіл молекул за швидкостями. Він чітко розумів значення свого відкриття. У доповіді Кембриджського філософського суспільства Максвелл сказав: «Я вважаю, що найважливіше значення для розвитку наших методів мислення молекулярні теорії мають тому, що вони змушують робити різницю між двома методами пізнання, які ми можемо назвати динамічним і статистичним».

(1) Це робиться за правилами знаходження максимуму відомої функції. Потрібно обчислити похідну цієї функції за швидкістю та прирівняти її нулю.

Нехай є nтотожних молекул, що перебувають у стані безладного теплового руху за певної температури. Після кожного акта зіткнення між молекулами їх швидкості змінюються випадковим чином. В результаті неймовірно великої кількості зіткнень встановлюється стаціонарний рівноважний стан, коли число молекул у заданому інтервалі швидкостей зберігається постійним.

В результаті кожного зіткнення проекції швидкості молекули зазнають випадкової зміни на ? x , ? y , ? z , причому зміни кожної проекції швидкості незалежні один від одного. Припускатимемо, що силові поля на частинки не діють. Знайдемо в цих умовах, яка кількість частинок d nіз загальної кількості nмає швидкість в інтервалі від ? до ? +??. При цьому ми не можемо нічого певного сказати про точне значення швидкості тієї чи іншої частинки υ i , оскільки за зіткненнями і рухами кожної з молекул неможливо простежити ні в досвіді, ні в теорії. Така детальна інформація навряд чи мала б практичну цінність.

Розподіл молекул ідеального газу за швидкостями вперше було отримано знаменитим англійським вченим Дж. Максвеллом в 1860 за допомогою методів теорії ймовірностей.

Швидкість – векторний розмір. Для проекції швидкості на вісь х (x-ї складової швидкості) з (2.2.1) маємо

Тоді

(2.3.1)

Де А 1 – постійна, рівна

Графічне зображення функції показано малюнку 2.2. Видно, частка молекул зі швидкістю не дорівнює нулю. При , (у цьому фізичний зміст постійної А1).

Рис. 2.2

Наведений вираз та графік справедливі для розподілу молекул газу за x-компонентами швидкостіОчевидно, що і по y- І z-компонентам швидкості також можна отримати:

Де , або

(2.3.2)

Формулі (2.3.2) можна дати геометричне тлумачення: d n xyz– це число молекул у паралелепіпеді зі сторонами dυ x , dυ y , dυ z , тобто в обсязі d V=dυ x dυ y dυ z (рис. 2.3), що знаходиться на відстані від початку координат у просторі швидкостей.

Ця величина (d n xyz) не може залежати від напрямку вектора швидкості. Тому треба отримати функцію розподілу молекул за швидкостями незалежно від їхнього напрямку, тобто за абсолютним значенням швидкості.

Якщо зібрати разом всі молекули в одиниці об'єму, швидкості яких укладені в інтервалі від υ до υ+dυ за всіма напрямками, і випустити їх, то вони виявляться через одну секунду в шаровому шарі товщиною dυ і радіусом υ (рис. 2.4). Цей шаровий шарскладається з тих паралелепіпедів, про які йшлося вище.

Загальна кількість молекул у шарі, як випливає з (2.3.2)

Де – частка всіх частинок у шаровому шарі об'єму d Vшвидкості яких лежать в інтервалі від υ до υ+dυ.

При dυ = 1 отримуємо щільність імовірності , або функцію розподілу молекул за швидкостями:

(2.3.4)

Ця функція означає частку молекул одиничного обсягу газу, абсолютні швидкості яких укладені в одиничному інтервалі швидкостей, що включає цю швидкість.

Позначимо: тоді з (2.3.4) отримаємо:

(2.3.5)

Графік цієї функції показаний малюнку 2.5.

Рис. 2.5

Висновки:

Розглянемо межі застосування класичного опису розподілу частинок за швидкостями. Для цього скористаємося співвідношенням невизначеності Гейзенберга. Відповідно до цього співвідношення координати та імпульс частинки не можуть одночасно мати певне значення. Класичний опис можливий, якщо виконані умови:

Тут - Постійна Планка - фундаментальна константа, що визначає масштаб квантових (мікроскопічних) процесів.

Таким чином, якщо частка знаходиться в обсязі , то цьому випадку можливий опис її руху з урахуванням законів класичної механіки.

Найбільш ймовірна, середньоквадратична та середня арифметична швидкості молекул газу

Розглянемо, як змінюється з абсолютною величиною швидкості число частинок, що припадають на одиничний інтервал швидкостей, при одиничній концентрації частинок.

Графік функції розподілу Максвелла

,

Наведено малюнку 2.6.

Рис. 2.6

З графіка видно, що з «малих» υ, тобто. при, маємо; потім досягає максимуму А і далі експоненційно спадає.

Величину швидкості, на яку припадає максимум залежності, називають найімовірнішою швидкістю.

Знайдемо цю швидкість із умови рівності похідної.

Де - Число молекул зі швидкістю від υ до υ + dυ. Якщо підставити сюди f(υ) і обчислити, то отримаємо.

У разі зіткнення молекули газу змінюють свої швидкості. Зміна швидкості молекул відбувається випадковим чином. Не можна заздалегідь передбачити, якою чисельною швидкістю матиме ця молекула: ця швидкість випадкова.

Розподіл молекул за модулями швидкостей описують за допомогою функції розподілу f(v):

де відношення дорівнює долі молекул, швидкості яких лежать в інтервалі від vдо v+dv. dv -ширина інтервалу (рис. 2).

Рис. 2. Інтервал швидкостей

Знаючи вигляд f(v),можна знайти число молекул Δ N Vз даних молекул N,швидкості яких потрапляють всередину інтервалу швидкостей від vдо v + Δv. Ставлення

(14)

дає ймовірність того, що швидкість молекули буде мати значення в межах даного інтервалу швидкостей dv.

Функція f(v)має задовольняти умову нормування, тобто має виконуватися умова:

(15)

Ліва частина виразу (17.3) дає ймовірність того, що молекула має швидкість в інтервалі від 0 до ∞. Оскільки швидкість молекули обов'язково має якесь значення, то зазначена ймовірність є ймовірністю достовірної події і, отже, дорівнює 1.

Функцію розподілу було знайдено теоретично Максвеллом. Вона має такий вигляд:

(16)

де т 0 -маса молекули.

Вираз (16) називається функцією розподілу Максвелла.

З (16) випливає, що вид розподілу молекул за швидкостями залежить від природи газу (маси молекули) та температури Т.Тиск та обсяг на розподіл молекул за швидкостями не впливають.

Рис.3. Графік функції розподілу Максвелла

Схематичний графік функції розподілу Максвелла наведено на рис. 3. Проведемо аналіз графіка.

1. При швидкостях, що прагнуть до нуля (v ->0) і до нескінченності (v -> ∞) функція розподілу також прагне нулю. Це означає, що дуже великі і дуже малі швидкості молекул малоймовірні.

2. Швидкість v B ,що відповідає максимуму функції розподілу, буде найімовірнішою. Це означає, що основна частина молекул має швидкості близькі до можливої.

Можна отримати формулу для розрахунку найімовірнішої швидкості:

(17)

де k — постійна Больцмана; т 0 -маса молекули.

3. Відповідно до умови нормування (15) площа, обмежена кривою f(v)і віссю абсцис дорівнює одиниці.

4. Крива розподілу має асиметричний характер. Це означає, що частка молекул, що мають швидкості більша за ймовірну, більша за частку молекул, що мають швидкості, менша за найбільш ймовірну.

5. Вид кривої залежить від температури та природи газу. На рис. 4 наведено функцію розподілу для одного і того ж газу, що знаходиться за різних температур. При нагріванні максимум кривої знижується і зміщується вправо, оскільки частка «швидких» молекул зростає, частка «повільних» - зменшується. Площа під обома кривими залишається постійною та рівною одиниці.

Встановлений Максвеллом закон розподілу молекул за швидкостями і слідства, що випливають з нього, справедливі тільки для газу, що знаходиться в рівноважному стані. Закон Максвелла - статистичний, застосовувати його можна тільки до великої кількості частинок

Рис. 4. Розподіл Максвелла при різних температурах

Користуючись функцією розподілу Максвелла f(v)можна знайти ряд середніх величин, що характеризують стан молекул.

Середня арифметична швидкість -сума швидкостей всіх молекул, поділена на число молекул:

. (18)

Середня квадратична швидкість,визначальна середня кінетична енергія молекул (див. формулу (10)), за визначенням дорівнює

<v КВ> = (19)

Так як у стані рівноваги тиск у всіх частинах системи однаково, то природно припустити, що в газі відсутні будь-які спрямовані рухи молекул, тобто рухи молекул гранично невпорядковані.

Щодо швидкостей молекули це означає:

Швидкість молекул та її проекції є безперервними величинами, оскільки жодне значення швидкості немає переваги над іншими значеннями;

При тепловій рівновазі в газі всі напрямки швидкостей молекул рівноймовірні. В іншому випадку це призвело б до утворення спрямованих макроскопічних потоків молекул та виникнення перепадів тиску.

Оскільки швидкість та її проекції є безперервними величинами, вводиться поняття функції щільності розподілу f(v x), f(v y), f(v z) за компонентами швидкостей молекул (v x , v y , v z) та за модулем швидкості f(v)

Вирази для функцій щільності ймовірності за компонентами швидкостей v x , v y , v z мають вигляд

;

.

Графік функції f(v x) зображено на рис. 1.

Функція має максимум при v x = 0, симетрична щодо нього та експоненційно прагне нуля при v x ® ± ¥. Відкладемо по осі абсцис елементарні швидкісні інтервали dv x біля значень v x , рівних 0; ± v x ¢; ± v x ¢¢. Добуток f(v x) dv x дорівнює частці молекул, компонента швидкості v x яких лежить в інтервалі біля вказаних значень. З іншого боку, добуток f(v x) dv x на графіку дорівнює заштрихованим майданчикам біля вибраних швидкостей.

Зі зіставлення розмірів заштрихованих площ випливає:

Відносна більшість молекул має проекцію швидкості вздовж осі v x близьку до нуля;

Частки молекул, мають однакові значення v x , але летять у протилежних напрямах (різні знаки +v x і -v x), однакові;

Число молекул, що мають великі значення компонентів швидкостей, мало (мала площа близько ± v x ¢¢).

Аналогічний аналіз можна провести і для f(v y), f(v z).

Графік функції f(v) зображено на рис. 2.

Функція дорівнює 0 при v = 0; прагне нуля при v ® ¥, при v = v b має максимум. Значення швидкості v b при якій функція щільності розподілу досягає максимуму, називається найбільш ймовірною швидкістю. Її значення перебуває з умови екстремуму.

.

Добуток f(v) dv дає частку молекул, швидкості яких лежать у вибраному інтервалі dv. На графіку цей твір дорівнює заштрихованим майданчикам. Як очевидно з графіка, максимальна площадка відповідає швидкості v b . Зі збільшенням швидкості частка молекул, що мають великі швидкості, зменшується (мала площа при v 3). Знаючи аналітичний вигляд f(v), можна знайти

;

.

Розподіл молекул за швидкостями залежить від температури.

Закон Максвелла розподілу молекул газу за швидкостями визначає поведінку дуже великої кількості частинок, тобто статистичним законом. Розподіл молекул за швидкостями встановлюється у вигляді їх зіткнень. При зіткненнях змінюються швидкості окремих молекул, але закон розподілу за швидкостями змінюється.

Характерними параметрами розподілу Максвелла є найімовірніша швидкість υ в, що відповідає максимуму кривої розподілу, і середньоквадратична швидкість де – середнє значення квадрата швидкості.

Ви також можете знайти цікаву інформацію в науковому пошуковику Otvety.Online. Скористайтеся формою пошуку:

Ще на тему Розподіл Максвелла за швидкостями. Найбільш ймовірна середньоквадратична швидкість руху молекули.

1. 57. Молекулярно-кінетичний зміст температури. Енергія та швидкість теплового руху молекул.
2. Механічне рух Відносність руху, Система відліку, Матеріальна точка, Траєкторія. Шлях та переміщення. Миттєва швидкість. Прискорення. Рівномірний та рівноприскорений рух

Молекули будь-якого газу знаходяться у вічному хаотичному русі. Швидкості молекул можуть приймати різні значення. Молекули стикаються, внаслідок зіткнень відбувається зміна швидкостей молекул. У кожний момент часу швидкість кожної окремої молекули є випадковою і за величиною і за напрямом.

Але, якщо газ надати самому собі, різні швидкості теплового руху розподіляються між молекулами даної маси газу при даній температурі за цілком певним законом, тобто. існує розподіл молекул за швидкостями.

Закон розподілу молекул за швидкостями був теоретично виведений Максвеллом. Закон Максвелла виражається такою формулою:

де - Число молекул, швидкості яких лежать в інтервалі; – загальна кількість молекул цієї маси газу; – основа натурального логарифму; - Задане значення швидкості з інтервалу; - Найбільш ймовірна швидкість молекул газу при цій температурі.

Найбільш ймовірною швидкістюназивається швидкість, близьку до якої має найбільше число молекул даної маси газу. Значення залежить від температури газу.

Формула (10.6) дає число молекул, швидкості яких лежать у даному інтервалі швидкостей незалежно від напрямку швидкостей.

Якщо поставити більш приватне питання, а саме чому дорівнює число молекул у газі, складові швидкостей яких лежать в інтервалі між і , і , і , то

або , (10.8)

де - Кінетична енергія молекули газу; - Маса молекули; - Постійна Больцмана; - Абсолютна температура газу. Формули (10.7) та (10.8) – теж формули розподілу Максвелла. Крива розподілу молекул за швидкостями, що відповідає закону розподілу (10.6), зображено на рис. 10.1. По осі абсцис відкладаються значення швидкості, які може набувати окрема молекула газу.

Максимум кривої відповідає найбільш ймовірній швидкості. Крива асиметрична щодо, т.к. у газі є порівняно невелика кількість молекул з дуже великими швидкостями.

Розглянемо якийсь інтервал, (рис. 10.1). Якщо мало, то площа заштрихованої смужки близька до площі прямокутника:

тобто. площа заштрихованої смужки є число молекул, швидкості яких лежать в інтервалі , . А площа під кривою пропорційна загальному числу молекул даної маси газу.

Знайдемо, за якого значення крива матиме максимум. Максимум знаходимо за звичайними правилами математики, прирівнюючи до нуля першу похідну за :

,

.

Оскільки , то .

Взявши похідну, отримаємо, що , тобто. максимум кривої відповідає найбільш ймовірній швидкості.

Максвеллом були теоретично знайдені формули, якими можна нараховувати і середню арифметичну швидкість . Перелічимо швидкості, якими можна характеризувати тепловий рух молекул газу.

1. Найбільш ймовірна швидкість. (10.9)

2. Середня квадратична швидкість:

; . (10.10)

3. Середня арифметична швидкість. (10.11)

Всі швидкості прямо пропорційні і обернено пропорційні , де - маса молячи газу.

На рис. 10.1 графік I побудований для температури, а графік II – для температури. Видно, що з підвищенням температури максимум кривої зсувається праворуч, т.к. із підвищенням температури зростають швидкості молекул. Швидких молекул побільшало, права гілка кривої піднімається, повільних молекул поменшало, ліва гілка йде крутіше. А вся крива знижується, т.к. площа під кривою повинна залишатися тією самою, тому що загальна кількість молекул газу залишилася тим самим і, звичайно, не могла змінитися при нагріванні газу.

Закон Максвелла є статистичним законом, тобто. законом, справедливим для великої кількості молекул.

З іншого боку, закон Максвелла враховує зовнішній вплив на газ, тобто. немає жодних силових полів, що діють на газ.

10.4. Ідеальний газ у зовнішньому полі.
Барометричні формули. Розподіл Больцмана

Розглянемо вертикальний стовп повітря біля Землі (рис. 10.2). Якщо висота стовпа порівняно невелика (не перевищує кількох сотень метрів), густина газу та кількість молекул в одиниці об'єму (концентрація) будуть приблизно однаковими. Однак, якщо висота стовпа близько кілометра і більше, рівномірність розподілу молекул по висоті порушується дією сили тяжіння, що прагне сконцентрувати молекули на поверхні Землі. Внаслідок цього щільність повітря та атмосферний тиск будуть спадати в міру віддалення від поверхні Землі.

Визначимо закон зміни тиску з висотою (знайдемо барометричну формулу).

Барометрична формулапоказує, як залежить атмосферний тиск Pвід висоти hнад поверхнею Землі. Нехай біля Землі на висоті тиск. Тиск відомий. Потрібно знайти зміну тиску з висотою.

При висновку припускаємо, що температура газу залишається незмінною. Виділимо над поверхнею Землі циліндричний стовп газу (повітря) із перетином. Розглянемо шар газу нескінченно малої товщини, що знаходиться на висоті від основи стовпа.

Різниця сил , що діють на верхню і нижню основу шару, дорівнює вазі газу, укладеного в цьому шарі, тобто.

Нескінченно мала маса газу у шарі обчислюється за формулою

,

де – об'єм шару газу.

Тоді , де - Щільність газу; - Прискорення сили тяжіння.

Різниця тисків на обидва підстави шару:

.

І ще треба поставити знак мінус

тому що знак мінус має фізичний сенс. Він показує, що тиск газу зменшується з висотою. Якщо піднятися на висоту, тиск газу зменшиться на величину.

Щільність газу знаходимо з рівняння Менделєєва - Клапейрон.

Підставимо вираз у (10.12), маємо

Це диференціальне рівняння з змінними, що розділяються:

.

Інтегруємо:

.

Отримаємо барометричну формулу

На рис. 10.3 показано графіки залежності тиску з висотою для двох значень температури T 1 і T 2 (T 2 > T 1). Зі зміною температури газу тиск P 0 біля Землі залишається незмінним, т.к. воно дорівнює вазі розташованого над земною поверхнею вертикального стовпа газу одиничної площі основи та необмеженого по висоті. Вага газу від температури не залежить.

З барометричної формули дуже легко отримати розподіл Больцмана для випадку, коли зовнішнім впливом газ є сила земного тяжіння.

Тиск газу на висоті прямо пропорційно числу молекул в одиниці об'єму на цій висоті, , – концентрація молекул на висоті , а , - Концентрація молекул газу на висоті.

Те чи . (10.14)

Формула (10.14) називається розподілом Больцмана для молекул у полі сили тяжіння.

На рис. 10.4 показано графіки залежності концентрацій молекул з висотою для двох значень температури T 1 і T 2 (T 2 >T 1) у полі сили тяжіння. Концентрація молекул n 0 у поверхні Землі зі збільшенням температури зменшується ( n 0 (T 2) < n 0 (T 1)) за рахунок перерозподілу молекул усередині стовпа газу. Молекули, які мають більшу кінетичну енергію, піднімаються вище.

Якщо - потенційна енергія молекули на висоті, то

Формула (10.15) справедлива як випадку, коли молекули рухаються у полі сили тяжкості. Ця формула, що виражає розподіл Больцмана, справедлива для будь-якого силового поля з потенційною функцією :

Досвід Перрена (1870-1942 рр.).
Визначення числа Авогадро

Французький фізик Перрен користувався розподілом Больцмана для експериментального визначення числа Авогадро.

Мікроскоп наводився на верхній шар емульсії (рис. 10.5), робили через мікроскоп миттєву фотографію, підраховували кількість частинок броунів на фотографії. Далі тубус мікроскопа опускали на 0,01 мм, знову фотографували та підраховували кількість броунівських частинок на фотографії. Виявилося, що на дні судини броунівських частинок більше, на поверхні емульсії менше, а загалом розподіл броунівських частинок за висотою відповідає розподілу Больцмана. Так як кульки гуммігуту знаходяться в рідині (емульсії), то потенційна енергія їх з урахуванням сили Архімеда, що виштовхує, можна записати , де m 0 – маса кульки, mж – маса обсягу рідини, витісненої кулькою. Тоді розподіл Больцмана можна записати .

Якщо n 1 і n 2 – виміряні концентрації частинок на висотах h 1 і h 2 , то ; , а .

Тоді можна визначити і .

Величину

де і – щільності матеріалу кульок та емульсії.

Визначивши експериментально постійну Больцмана kПеррен отримав із залежності значення числа Авогадро. Точне значення:

(10.17)

Тема 11
РОБОТА, ВНУТРІШНЯ ЕНЕРГІЯ І ТЕПЛОТА.
ПЕРШЕ ПОЧАТОК ТЕРМОДИНАМІКИ

Термодинаміка- Це наука, що вивчає умови перетворення різних видів енергії в теплову і назад, а також кількісні співвідношення, що спостерігаються при цьому. Термодинаміка охоплює велике коло явищ, що спостерігаються в природі та техніці. Особливого значення вона має теплотехніки, т.к. дає основу розробки теплових і холодильних машин. У термодинаміці часто користуються словом тіло. У термодинаміці тілом можна назвати повітря, воду, ртуть, газ, тобто. будь-яка речовина, яка займає певний обсяг.

Термодинамічна система може включати кілька тіл, але може складатися з одного тіла, дуже часто цим тілом є ідеальний газ.

Термодинамічної системою називається будь-яка сукупність тіл, що розглядаються, які можуть обмінюватися енергією між собою і з іншими тілами.Наприклад, термодинамічної системи може бути ідеальний газ.

Стан термодинамічної системи характеризується термодинамічних параметрів. Термодинамічні параметри – це величини, що характеризують стан системи.До термодинамічних параметрів відносяться такі величини, як тиск, об'єм, температура, густина речовини і т.д. Параметрами стану ідеального газу, наприклад, є тиск P, Об `єм V, температура T. Рівняння, яке зв'язує між собою параметри стану термодинамічної системи, називається рівнянням стану.Наприклад, рівняння Менделєєва – Клапейрона: .

Стан термодинамічної системи називається рівноважнимякщо всі його параметри мають певне значення і не змінюються з часом за незмінних зовнішніх умов.

Якщо термодинамічна система виведена зі стану рівноваги і надана сама собі, вона повертається у вихідний стан. Цей процес називається релаксацією.

У термодинаміці вивчають закономірності різноманітних переходів системи з одного стану до іншого. Перехід системи з одного стану до іншого,який супроводжується зміною хоча б одного параметра стану,називається процесом.Рівняння, що визначає зміна параметрів системи при переході з одного стану до іншого, називається рівнянням процесу.

Термодинаміка вивчає лише термодинамічно рівноважні стани тіл і повільні процеси, які розглядаються як рівноважні стани, безперервно наступні один за одним. Вона вивчає загальні закономірності переходу систем стану термодинамічного рівноваги.

Рівноважні процеси– процеси, у яких швидкість зміни термодинамічних параметрів нескінченно мала, тобто. Зміна термодинамічних параметрів відбувається за нескінченно великі часи. Це Модель, т.к. всі реальні процеси – нерівноважні.

Рівноважний процес – процес, який відбувається через послідовність рівноважних станів.

Нерівноважний процес- Процес, при якому зміна термодинамічних параметрів на кінцеву величину відбувається за кінцевий час.

Нерівноважний процес графічно зобразити не можна.

У термодинаміці використовується спеціальний метод вивчення явищ – Термодинамічний метод.Термодинаміка розглядає, як протікає процес.

В основу термодинаміки покладено два основні закони, які є узагальненням величезного фактичного матеріалу. Ці закони дали початок всій науці термодинаміки і тому отримали назву початків.

11.1. Внутрішня енергія ідеального газу.
Число ступенів свободи

Числом ступенів свободиназивається найменша кількість незалежних координат, яку необхідно ввести, щоб визначити положення тіла у просторі. - Число ступенів свободи.

Розглянемо одноатомний газ. Молекулу такого газу можна вважати матеріальною точкою, положення матеріальної точки (рис. 11.1) у просторі визначається трьома координатами.

Молекула може рухатися у трьох напрямках (рис. 11.2).

Отже, має три поступальні ступені свободи.

Молекула – матеріальна точка.

Енергії обертального руху, т.к. момент інерції матеріальної точки щодо осі, що проходить через точку дорівнює нулю

Для молекули одноатомного газу число ступенів свободи.

Розглянемо двоатомний газ. У двоатомній молекулі кожен атом приймається за матеріальну точку і вважається, що атоми жорстко пов'язані між собою, це гантельна модель двоатомної молекули. Двохтомна жорстко пов'язана молекула(Сукупність двох матеріальних точок, пов'язаних недеформируемой зв'язком), рис. 11.3.

Положення центру мас молекули задається трьома координатами, (рис. 11.4) це три ступені свободи, вони визначають поступальний рух молекули.Але молекула може здійснювати і обертальні рухи навколо осей і це ще два ступені свободи, що визначають обертання молекули. Обертання молекули навколо осі неможливе, т.к. матеріальні точки що неспроможні обертатися навколо осі, що проходить через ці точки.

Для молекули двоатомного газу число ступенів свободи.

Розглянемо тритомний газ.Модель молекули – три атоми (матеріальні точки), жорстко пов'язані між собою (рис. 11.5).

Трихатомна молекула – жорстко пов'язана молекула.

Для молекули тритомного газу число ступенів свободи.