Графічний метод розв'язання рівнянь із параметрами. Графічне розв'язання нерівностей

ОСР. "Рішення рівнянь за допомогою графіків".
Завдання:
1) Опорний конспект.
Графіком називається безліч точок координатної площини, у яких значення x та y
пов'язані деякою залежністю та кожному значенню x відповідає єдине значення y.
Графічний спосіб один із найзручніших і наочних способів подання та аналізу
інформації.
Насправді досить часто виявляється корисним графічний метод розв'язання рівнянь. Він
полягає в наступному: для вирішення рівнянь f (x) = 0 будують графік функції y = f (x) і знаходять
абсциси точок перетину графіка з віссю Оx: ці абсциси і є корінням рівняння.
Алгоритм розв'язання рівнянь графічним способом
Щоб розв'язати графічно рівняння виду f(х) = g(х), потрібно:
1.Побудувати в одній координатній площині графіки функції:
у = f(х) та у = g(х).
2. Знайти точки перетину цих графіків.
3. Вказати абсцису кожної з цих перетинів.
4. Записати відповідь.
Досить просто вирішувати графічно систему рівнянь, тому що кожне
рівняння системи на координатній площині представляє якусь то
лінію.
Побудувавши графіки цих рівнянь і знайшовши координати їх точок
перетину (якщо вони існують), ми отримаємо шукане рішення.
Графічне розв'язання нерівностей, зводиться до пошуку таких точок x,
при яких один графік лежить вище чи нижче за інший.
Приклади:
№ 1. Розв'яжіть рівняння
x
4
5
x

крапки
перетину
я
графіків
функцій
№
2.
Вирішіть
є
малюнок
абсцису

1
.
рівняння

5
див.
:
х

х

4
Рішенням
у
уї
Перевірка

1
4
15


4
4
вірно
Відповідь
.1:

рівняння

x
3
3
x

Рішенням
рівняння
є
у

3

х
уї


3
х
див.
малюнок
абсцису

.
2
крапки
перетину
я
графіків
функцій
№3. Ре

1
3


Перевірка
:
3


1

вірно

1:

33
Відповідь
.

шити рівняння
Рішення: Побудуємо графіки функцій
та y = x
Графіки функцій не перетинаються, отже, рівняння немає коренів (див. малюнок).
Відповідь: коріння немає.
№ 4. Знайти значення виразу х + у, якщо (х
;у
є розв'язком системи рівнянь.
Рішення:
ліворуч.
паралельне перенесення на 1 одиницю
паралельне перенесення на 2 одиниці вліво.
= 1, у
=1
+ у
=0.
х
х
Відповідь: 0.

№5. Розв'яжіть нерівність
Відповідь: х>2.
>12 1,5 х. №6. Розв'яжіть нерівність
. Відповідь: х>0.
№7. Розв'язати рівняння sinx+cosx=1. Побудуємо графіки функцій y=sinx u y=1cosx.(рисунок 5) З
графіка видно, що рівняння має 2 розв'язки: х=2 п,де пЄZ та х= /2+2 k,де kЄZ.
π
π
π
2
sin x(
1
cos x(
6
4
2
1
2 
2
1
1
0
x
2
4
6
2 
№8.Вирішити рівняння: 3x = (х1) 2 + 3
Рішення: застосовуємо функціональний метод розв'язування рівнянь:
т.к. дана система має єдине рішення, то методом підбору знаходимо х = 1

Відповідь: 1.
№9.Вирішити нерівність: сos x 1 + 3x
Рішення:
Відповідь: (
;
).
№10. Вирішити рівняння
У нашому випадку функція
зростає при х>0, а функція y = 3 - x зменшується при
всіх значеннях х, у тому числі і при х>0, отже,
рівняння
кореня. Зауважимо, що за х = 2 рівняння звертається
у правильну рівність, оскільки
має не більше одного
.
Відповідь: 2 .
2) Вирішити завдання:
1) Чи є корінь у рівняння і якщо є, то позитивний він чи негативний?
а)
; б)
, в) 6х = 1/6, г)
.
2) Вирішити графічним методом рівняння
.
1
3
х







3
х
3) Розв'яжіть графічним методом рівняння:
а)
б)
.
3
х
3
х
5

1
2
х

4) На малюнку зображено графік функції y = f (x).
1) 1 2) 6 3) 7 4) 8
5) На якому з малюнків зображено графік функції
?
у
log
x
1
2
1) у 2) у 3) у 4)
у
1 1 1
6) Графік якої функції зображено малюнку?
1) у = 2х1,5; 2) у = 2х - 2;
3) у = 2х - 3; 4) у = 2х - 2.
7) Графік якої функції зображено малюнку?

1) у = sinx; 2)
у

sin
 

x


6



; 3)
у

sin
 

x


3



; 4)
.
у

sin
x





6



8) На малюнку зображено графік функцій
y = f(x) та y = g(x), заданий на проміжку
[5; 6]. Вкажіть значення х, для яких
виконується нерівність g(x)
y
у 
)(xg
f(x) 1

1) [5; 0] 2) [5; 2]
0 1 x
3) [2; 2] 4)
9) На малюнку зображено графік функції y = f (x).
Знайдіть кількість цілих коренів рівняння f(x) = 0.
1) 3 2) 4 3) 2 4) 1
)(xf
у 
10) На малюнку зображено графік функції y = f (x).
Знайдіть кількість цілих коренів рівняння f(x)+2=0.
1) 3 2) 5 3) 4 4) 1

Графічне вирішення рівнянь

Розквіт, 2009

Вступ

Необхідність вирішувати квадратні рівняння ще у давнину була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані зі знаходженням площ земельних ділянок та із земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії та самої математики. Квадратні рівняння вавілоняни вміли вирішувати ще близько 2000 років до н. Правило розв'язання цих рівнянь, викладене у Вавилонських текстах, збігається сутнісно із сучасними, проте невідомо, як дійшли вавилоняни до цього правила.

Формули розв'язання квадратних рівнянь у Європі було вперше викладено у «Книзі абака», написаної 1202 року італійським математиком Леонардо Фібоначчі. Його книга сприяла поширенню знань алгебри не тільки в Італії, а й Німеччині, Франції та інших країнах Європи.

Але загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, при всіляких комбінаціях коефіцієнтів b і c було сформульовано у Європі лише 1544 року М. Штифелем.

У 1591 році Франсуа Вієт ввів формули для розв'язання квадратних рівнянь.

У стародавньому Вавилоні могли вирішити деякі види квадратних рівнянь.

Діофант Олександрійський і Евклід, Аль-Хорезміі Омар Хайямвирішували рівняння геометричними та графічними способами.

У 7 класі ми вивчали функції у = С, у =kx, у =kx+ m, у =x 2,у = -x 2, в 8 класі - у = √x, у =|x|, у =ax2 + bx+ c, у =k/ x. У підручнику алгебри 9 класу я побачила ще не відомі мені функції: у =x 3, у =x 4,у =x 2n, у =x- 2n, у = 3√x, (x– a) 2 + (у –b) 2 = r 2 та інші. Існують правила побудови графіків цих функцій. Мені стало цікаво, чи є ще функції, що підкоряються цим правилам.

Моя робота полягає у дослідженні графіків функцій та графічному вирішенні рівнянь.

1. Які бувають функції

Графік функції – це безліч усіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументів, а ординати – відповідним значенням функції.

Лінійна функція задається рівнянням у =kx+ b, де kі b- Деякі числа. Графік цієї функції є пряма.

Функція зворотної пропорційності у =k/ xде k ¹ 0. Графік цієї функції називається гіперболою.

Функція (x– a) 2 + (у –b) 2 = r2 , де а, bі r- Деякі числа. Графіком цієї функції є коло радіусу r із центром у т. а ( а, b).

Квадратична функція y= ax2 + bx+ cде а,b, з– деякі числа та а¹ 0. Графіком цієї функції є парабола.

Рівняння у2 (a– x) = x2 (a+ x) . Графіком цього рівняння буде крива, яка називається строфоїдою.

/>Рівняння (x2 + y2 ) 2 = a(x2 – y2 ) . Графік цього рівняння називається лемніскатою Бернуллі.

Рівняння. Графік цього рівняння називається астроідою.

Крива (x2 y2 - 2 a x)2 =4 a2 (x2 + y2 ) . Ця крива називається кардіоїдою.

Функції: у =x 3 – кубічна парабола, у =x 4, у = 1/x 2.

2. Поняття рівняння, його графічного розв'язання

Рівняння- Вираз, що містить змінну.

Вирішити рівняння- Це означає знайти все його коріння, або довести, що їх немає.

Корінь рівняння- Це число, при підстановці якого в рівняння виходить вірна числова рівність.

Розв'язання рівнянь графічним способомдозволяє знайти точне чи наближене значення коренів, дозволяє знайти кількість коренів рівняння.

При побудові графіків та розв'язанні рівнянь використовуються властивості функції, тому метод частіше називають функціонально-графічним.

Для вирішення рівняння «ділимо» на дві частини, вводимо дві функції, будуємо їх графіки, знаходимо координати точок перетину графіків. Абсциси цих точок і є корінням рівняння.

3. Алгоритм побудови графіка функції

Знаючи графік функції у =f(x) , можна побудувати графіки функцій у =f(x+ m) ,у =f(x)+ lі у =f(x+ m)+ l. Всі ці графіки виходять із графіка функції у =f(x) за допомогою перетворення паралельного перенесення: на │ m│ одиниць масштабу вправо або вліво вздовж осі x і на │ l│ одиниць масштабу вгору або вниз вздовж осі y.

4. Графічне розв'язання квадратного рівняння

Приклад квадратичної функції ми розглянемо графічне рішення квадратного рівняння. Графіком квадратичної функції парабола.

Що знали про параболі стародавні греки?

Сучасна математична символіка виникла у 16 ​​столітті.

У давньогрецьких математиків ні координатного методу, ні поняття функції не було. Проте властивості параболи були вивчені ними докладно. Винахідливість античних математиків просто вражає уяву, адже вони могли використовувати лише креслення та словесні описи залежностей.

Найбільш повно досліджував параболу, гіперболу та еліпс Аполоній Пергський, який жив у 3 столітті до н. Він же дав цим кривим назви і вказав, яким умовам задовольняють точки, що лежать на тій чи іншій кривій (адже формул не було!).

Існує алгоритм побудови параболи:

Знаходимо координати вершини параболи А (х0; у0): х=- b/2 a;

y0=ахо2+вх0+с;

Знаходимо вісь симетрії параболи (пряма х = х0);

PAGE_BREAK--

Складаємо таблицю значень для побудови контрольних точок;

Будуємо отримані точки і побудуємо точки їм симетричні щодо осі симетрії.

1. За алгоритмом збудуємо параболу y= x2 – 2 x– 3 . Абсциси точок перетину з віссю xі є коріння квадратного рівняння x2 – 2 x– 3 = 0.

Існує п'ять способів графічного розв'язання цього рівняння.

2. Розіб'ємо рівняння на дві функції: y= x2 і y= 2 x+ 3

3. Розіб'ємо рівняння на дві функції: y= x2 –3 і y=2 x. Коріння рівняння – абсциси точок перетину параболи із прямою.

4. Перетворимо рівняння x2 – 2 x– 3 = 0 за допомогою виділення повного квадрата на функції: y= (x–1) 2 і y=4. Коріння рівняння – абсциси точок перетину параболи із прямою.

5. Розділимо почленно обидві частини рівняння x2 – 2 x– 3 = 0 на x, отримаємо x– 2 – 3/ x= 0 , Розіб'ємо дане рівняння на дві функції: y= x– 2, y= 3/ x. Коріння рівняння – абсциси точок перетину прямої та гіперболи.

5. Графічне вирішення рівнянь ступеняn

приклад 1.Вирішити рівняння x5 = 3 – 2 x.

y= x5 , y= 3 – 2 x.

Відповідь: x = 1.

приклад 2.Вирішити рівняння 3 √ x= 10 – x.

Корінням цього рівняння є абсциса точки перетину графіків двох функцій: y= 3 √ x, y= 10 – x.

Відповідь: x = 8.

Висновок

Розглянувши графіки функцій: у =ax2 + bx+ c, у =k/ x, у = √x, у =|x|, у =x 3, у =x 4,у = 3√x, я помітила, що всі ці графіки будуються за правилом паралельного перенесення щодо осей xі y.

Приклад рішення квадратного рівняння можна зробити висновки, що графічний спосіб застосовний і для рівнянь ступеня n.

Графічні способи розв'язання рівнянь красиві та зрозумілі, але не дають стовідсоткової гарантії розв'язання будь-якого рівняння. Абсциси точок перетину графіків можуть бути наближеними.

У 9 класі і в старших класах я ще знайомитимуся з іншими функціями. Мені цікаво знати: чи підпорядковуються ті функції правилам паралельного перенесення при побудові їх графіків.

Наступного року мені також хочеться розглянути питання графічного вирішення систем рівнянь і нерівностей.

Література

1. Алгебра. 7 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ/А.Г. Мордкович. М.: Мнемозіна, 2007.

2. Алгебра. 8 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ/А.Г. Мордкович. М.: Мнемозіна, 2007.

3. Алгебра. 9 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ/А.Г. Мордкович. М: Мнемозіна, 2007.

4. Глейзер Г.І. Історія математики у школі. VII-VIII класи. - М.: Просвітництво, 1982.

5. Журнал Математика №5 2009; №8 2007; №23 2008.

6. Графічне вирішення рівнянь сайти в Інтернеті: Тол ВІКІ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3-6.htm.

Рівняння з параметрами по праву вважаються одним із найскладніших завдань у курсі шкільної математики. Саме такі завдання і потрапляють рік у рік до списку завдань типу B та C на єдиному державному іспиті ЄДІ. Однак серед великої кількості рівнянь з параметрами є ті, які легко можуть бути вирішені графічним способом. Розглянемо цей метод з прикладу розв'язання кількох завдань.

Знайти суму цілих значень числа a, у яких рівняння |x 2 – 2x – 3| = a має чотири корені.

Рішення.

Щоб відповісти на питання задачі, збудуємо на одній координатній площині графіки функцій

y = | x 2 - 2x - 3 | та y = a.

Графік першої функції y = | x 2 - 2x - 3 | буде отримано з графіка параболи y = x 2 – 2x – 3 шляхом симетричного відображення щодо осі абсцис тієї частини графіка, яка знаходиться нижче за осю Ox. Частина графіка, що знаходиться вище за осі абсцис, залишиться без змін.

Зробимо це поетапно. Графіком функції y = x 2 – 2x – 3 є парабола, гілки якої спрямовані нагору. Щоб збудувати її графік, знайдемо координати вершини. Це можна зробити за формулою x0 = -b/2a. Таким чином, x 0 = 2/2 = 1. Щоб знайти координату вершини параболи по осі ординат, підставимо отримане значення для x 0 до рівняння функції, що розглядається. Отримаємо, що y 0 = 1 - 2 - 3 = -4. Отже, вершина параболи має координати (1; -4).

Далі потрібно знайти точки перетину гілок параболи з осями координат. У точках перетину гілок параболи з віссю абсцис значення функції дорівнює нулю. Тому розв'яжемо квадратне рівняння x 2 - 2x - 3 = 0. Його коріння і будуть шуканими точками. За теоремою Вієта маємо x 1 = -1, x 2 = 3.

У точках перетину гілок параболи з віссю ординат значення аргументу дорівнює нулю. Таким чином, точка y = -3 є точка перетину гілок параболи з віссю y. Отриманий графік зображено малюнку 1.

Щоб отримати графік функції y = | x 2 – 2x – 3 |, відобразимо симетрично щодо осі x частина графіка, що знаходиться нижче за осі абсцис. Отриманий графік зображено малюнку 2.

Графік функції y = a – це пряма, паралельна осі абсцис. Він зображений на малюнку 3. За допомогою малюнка і знаходимо, що графіки мають чотири загальні точки (а рівняння – чотири корені), якщо a належить інтервалу (0; 4).

Цілі значення числа a отриманого інтервалу: 1; 2; 3. Щоб відповісти на запитання задачі, знайдемо суму цих чисел: 1 + 2 + 3 = 6.

Відповідь: 6.

Знайти середнє арифметичне цілих значень числа a, у яких рівняння |x 2 – 4|x| - 1 | = a має шість коренів.

Почнемо з побудови графіка функції y = | x 2 - 4 | x | - 1 |. І тому скористаємося рівністю a 2 = |a| 2 і виділимо повний квадрат у підмодульному виразі, написаному у правій частині функції:

x 2 – 4|x| - 1 = | x | 2 - 4 | x | - 1 = ( | x | 2 - 4 | x | + 4) - 1 - 4 = ( | x | - 2) 2 - 5.

Тоді вихідна функція матиме вигляд y = | ( | x | - 2) 2 - 5 |.

Для побудови графіка цієї функції будуємо послідовно графіки функцій:

1) y = (x - 2) 2 - 5 - парабола з вершиною в точці з координатами (2; -5); (Мал. 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – частина побудованої в пункті 1 параболи, яка знаходиться праворуч від осі ординат, симетрично відображається зліва від осі Oy; (Мал. 2).

3) y = | ( | x | - 2) 2 - 5 | – частина збудованого в пункті 2 графіка, яка знаходиться нижче осі x, відображається симетрично щодо осі абсцис нагору. (Мал. 3).

Розглянемо малюнки, що вийшли:

Графіком функції y = a є пряма, паралельна осі абсцис.

За допомогою малюнка робимо висновок, що графіки функцій мають шість загальних точок (рівняння має шість коренів), якщо належить інтервалу (1; 5).

Це можна побачити на наступному малюнку:

Знайдемо середнє арифметичне цілих значень параметра a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Відповідь: 3.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

На цьому відеоуроці до вивчення пропонується тема Функція y = x 2 . Графічне розв'язання рівнянь». У ході цього заняття учні зможуть познайомитися з новим способом розв'язання рівнянь - графічним, який ґрунтується на знанні властивостей графіків функцій. Вчитель покаже, як вирішити графічним способом функцію y=x 2 .

Тема:Функція

Урок:Функція. Графічне вирішення рівнянь

Графічне розв'язання рівнянь ґрунтується на знанні графіків функцій та їх властивостей. Перерахуємо функції, графіки яких ми знаємо:

1) графіком є ​​пряма лінія, паралельна осі абсцис, що проходить через точку на осі ординат. Розглянемо приклад: у = 1:

За різних значень ми отримуємо сімейство прямих паралельних осі абсцис.

2) Функція прямої пропорційності графік цієї функції - це пряма, яка проходить через початок координат. Розглянемо приклад:

Дані графіки ми вже будували в попередніх уроках, нагадаємо, що для побудови кожної прямої потрібно вибрати точку, яка задовольняє їй, а другою точкою взяти початок координат.

Нагадаємо роль коефіцієнта k: при функція зростає, кут між прямим і позитивним напрямком осі х гострий; при функція зменшується, кут між прямим і позитивним напрямком осі х тупою. Крім того, між двома параметрами k одного знака існує таке співвідношення: при позитивних k чим він більший, тим швидше функція зростає, а при негативних - функція швидше зменшується при великих значеннях k по модулю.

3) Лінійна функція. При - отримуємо точку перетину з віссю ординат і всі прямі такого виду проходять через точку (0; m). Крім того, при функція зростає, кут між прямим і позитивним напрямом осі х гострий; при функція зменшується, кут між прямим і позитивним напрямком осі х тупою. І звичайно величина k впливає швидкість зміни значення функції.

4). Графіком цієї функції є парабола.

Розглянемо приклади.

Приклад 1 - графічно розв'язати рівняння:

Функції такого виду ми не знаємо, тому потрібно перетворити задане рівняння, щоб працювати з відомими функціями:

Ми отримали в обох частинах рівняння знайомі функції:

Побудуємо графіки функцій:

Графіки мають дві точки перетину: (-1; 1); (2; 4)

Перевіримо, чи правильно знайдено рішення, підставимо координати рівняння:

Першу точку знайдено правильно.

, , , , , ,

Другу точку також знайдено правильно.

Отже, рішеннями рівняння є і

Поступаємо аналогічно до попереднього прикладу: перетворимо задане рівняння до відомих нам функцій, побудуємо їх графіки, знайдемо струми перетину і звідси вкажемо рішення.

Отримуємо дві функції:

Побудуємо графіки:

Дані графіки немає точок перетину, отже задане рівняння немає рішень

Висновок: у цьому уроці ми провели огляд відомих нам функцій та його графіків, згадали їх властивості і розглянули графічний спосіб розв'язання рівнянь.

1. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 7. 6 видання. М: Просвітництво. 2010 р.

2. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 7. М: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягін Ю.М., Ткачова М.В., Федорова Н.Є. та ін Алгебра 7. М.: Просвітництво. 2006 р.

Завдання 1: Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І. та ін Алгебра 7, № 494, ст.110;

Завдання 2: Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І. та ін Алгебра 7, № 495, ст.110;

Завдання 3: Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І. та ін Алгебра 7, № 496, ст.110;