Ікосаедр центр симетрії. Дослідницька робота "Правильні багатогранники: Ікосаедр"

Позитивним багатогранником називається рельєфний багатогранник, якщо всі його грані є рівними між собою, позитивними багатокутниками, при цьому у всій його вершині сходиться ідентична кількість ребер. Існує п'ять вірних багатогранників - тетраедр, октаедр, ікосаедр, гексаедр (куб) та додекаедр. Ікосаедр – це багатогранник, гранями якого є двадцять рівних між собою вірних трикутників.

Інструкція

1. Для побудови ікосаедра скористаємося побудовою куба. Позначимо одну із його граней SPRQ.

2. Проведіть два відрізки AA1 і BB1, щоб вони з'єднували середини ребер куба, тобто as = AP = A1R = A1Q = BS = BQ.

3. На відрізках AA1 і BB1 відкладіть рівні між собою відрізки CC1 і DD1 завдовжки n те щоб їх кінці перебували рівних відстанях від ребер куба, тобто. BD = B1D1 = AC = A1C1.

4. Відрізки CC1 і DD1 - це ребра, що будується ікосаедра. Звівши відрізки CD та C1D, ви отримаєте одну з граней ікосаедра – CC1D.

5. Повторіть побудови 2, 3 і 4 для всіх граней куба - в результаті отримайте вписаний в куб вірний багатогранник - ікосаедр. За допомогою гексаедра можна звести будь-який правильний багатогранник.

Ікосаедр – це вірний багатокутник. Така геометрична фігура має 30 ребер, 20 трикутних граней і 12 вершин, що є місцем стику п'яти ребер. Зібрати ікосаедр з паперу досить складно, але дуже цікаво. Його можна зробити з гофрованого, пакувального або кольорового паперу, фольги. Застосовуючи різні матеріали, ви можете надати ще більшої ефектності і краси своєму ікосаедру.

Вам знадобиться

• - макет ікосаедра;
• - Папір;
• - Ножиці;
• - Лінійка;
• - клей ПВА.

Інструкція

1. Роздрукуйте макет ікосаедра на аркуші паперу, після чого виріжте його по пунктиру. Це потрібно для того, щоб залишити вільне місце для склеювання елементів фігури один з одним. Дбайте вирізати ікосаедр як можна неквапливіше, а при найменшому зрушенні ваша виробка в результаті буде виглядати потворно. Потреба в дуже охайному вирізанні пов'язана з тим, що всі трикутники у правильному ікосаедрі мають ідентичні сторони. Отже якщо якась сторона буде відрізнятися за своєю довжиною, в результаті така розбіжність у розмірах буде невидимою.

2. Складіть ікосаедр по суцільних лініях, після цього за допомогою клею проклейте місця, які окреслені пунктирною лінією, і поєднайте один з одним сусідні сторони трикутників. Для більш щільної фіксації будь-яку проклеєну сторону треба потримати в такому стані протягом 20 секунд. Так само слід проклеїти всі інші сторони ікосаедра. Важче кожного склеїти два останні ребра, тому що для їх з'єднання потрібні терпіння та хватка. Ваш паперовий ікосаедр готовий.

3. Таку геометричну фігуру можна побачити і в повсякденному житті. Наприклад, у формі зрізаного ікосаедра (багатогранника, що складається з 20 шестикутників і 12 п'ятикутників) виготовляється футбольний м'яч. Це стає особливо невидимо, якщо ікосаедр, що вийшов, розфарбувати в чорно-білий колір. Футбольний м'яч з паперу ви можете зробити самостійно, заздалегідь роздрукувавши в 2-х примірниках розгортку усіченого ікосаедра.

4. Виробництво ікосаедра з паперу є цікавим процесом, що вимагає терпіння, вдумливості і великої кількості паперу. Але отриманий результат стане ще довгий час тішити око. Паперовий ікосаедр можна дати як розвиваючу іграшку дитині, яка досягла 3-річного віку. Граючи з цією геометричною фігурою, малюк розвиватиме не тільки просторові навички та образне мислення, а й ближче познайомиться зі світом геометрії. Дорослій людині творчий процес з конструювання паперового икосаэдра своїми руками дозволить скоротати час, і навіть вразити своїх близьких знанням робити важкі постаті.

Корисна порада
Під час виготовлення паперового ікосаедра потрібно звернути особливу увагу на процес згинання його сторін. Щоб зігнути папір рівно, ви можете скористатися звичайною лінійкою.

Октаедр – один із чотирьох вірних багатогранників, яким люди надавали магічного значення ще в античні часи. Цей багатогранник символізував повітря. Демонстраційну модель октаедра можна зробити з щільного паперу або дроту.

Вам знадобиться

• - щільна папір чи картон;
• - Лінійка;
• - Олівець;
• - Транспортир;
• - Ножиці;
• - клей ПВА.

Інструкція

1. У октаедра вісім граней, вся з яких є рівностороннім трикутником. У геометрії зазвичай будують октаедр, вписаний у куб чи описаний в нього. Щоб створити модель цього геометричного тіла, важкі розрахунки не потрібні. Октаедр складатиметься з 2-х склеєних між собою ідентичних чотиригранних пірамід.

2. На аркуші паперу накресліть квадрат. На одній із його сторін побудуйте позитивний трикутник, у якого всі сторони рівні, а весь кут становить 60°. Трикутник комфортно будувати за допомогою транспортира, відклавши від 2-х прилеглих до однієї сторони кутів квадрата по 60°. Через позначки проведіть промені. Крапка з перетину і буде третім кутом, а в майбутньому – вершиною піраміди. Такі ж трикутники збудуйте на інших сторонах квадрата.

3. Піраміду вам доведеться склеювати. Для цього будуть потрібні припуски. Достатньо чотирьох припусків, по одному на всякий трикутник. Виріжте те, що у вас вийшло. Зробіть другу таку ж заготівлю. Лінії згину загніть на виворітний бік.

4. Загніть кожен із трикутників на виворітний бік. Припуски намажте клеєм ПВА. Склейте дві ідентичні пірамідки та дайте їм висохнути.

5. Тепер потрібно склеїти піраміди разом. Намажте квадратне дно однієї з них клеєм, притисніть дно 2-ї, поєднавши сторони і кути. Дайте октаедру просохнути.

6. Щоб створити модель октаедра з дроту, вам знадобиться картонний або дерев'яний квадрат. Однак, можна обійтися і звичайним трикутником - щоб зігнути заготівлю під прямим кутом, його цілком достатньо. Зігніть із дроту квадрат.

7. Відріжте 4 ідентичних шматків дроту розміром у 2 сторони квадрата, плюс припуск на те, щоб скріпити їх у 2-х точках між собою, а при необхідності – прикріпити і до кутів квадрата. Це залежить від дроту. Якщо матеріал можна паяти, довжина граней дорівнює подвоєній стороні квадрата без будь-яких припусків.

8. Виявіть середину шматка, примотайте або припаяйте до кута квадрата. Так само прикріпіть інші заготовки. Об'єднайте кінці ребер між собою, що знаходяться по одну сторону квадратної основи. Позитивні трикутники вийдуть самі собою. Ту ж операцію проробіть і з кінцями ребер, що знаходяться по інший бік основи. Октаедр готовий.

Корисна порада
Дріт для подібних моделей необхідно вибирати такий, який класно тримає форму.

Мистецтво орігамі прийшло до нас із Стародавнього Китаю. На зорі свого становлення з паперу майстрували фігурки тварин і птахів. Але сьогодні можна створювати не тільки їх, а й важкі геометричні фігури.

Вам знадобиться

• - аркуш паперу формату А4
• - Ножиці

Інструкція

1. Для виробництва об'ємної геометричної фігури октаедр потрібний квадратний аркуш паперу. Зробити його можна зі звичайного аркуша формату А4. Для цього верхній правий або лівий кут листа зігніть до протилежної сторони. Зробіть позначку на аркуші паперу. Прокресліть лінію паралельно тісній стороні аркуша за відміткою. Відріжте непотрібний шматок паперу. Зігніть квадрат навпіл.

2. Додайте правий верхній кут до центрального згину. Поєднайте лівий верхній кут так, щоб лінія згину пройшла через доданий правий верхній кут.

3. Зігніть нижній лівий кут квадрата до середньої лінії. Поєднавши правий нижній кут подібно до верхніх кутів, зробіть згин. Після чого заготівлю необхідно перекинути.

4. Складіть нижній правий куточок деталі і верхній лівий до центрального згину. Прогладьте заготовку рукою і перекиньте на інший бік.

5. Верхню і нижню сторони поєднайте з лінією згину, що вийшла. Розгладьте заготовку рукою.

6. Зігніть сторони фігурки до середньої лінії квадрата. Перекиньте деталь на протилежну сторону.

7. Складіть деталь знизу вгору горизонтальною лінією. В результаті має вийти фігура, що нагадує латинську букву «V».

8. Ліву сторону зігніть вниз зліва центрального трикутника. Праву сторону зігніть вниз праворуч центрального трикутника.

9. Зробіть смужки на верхніх сторонах фігурки. Точка згину смужок буде починатися у нижній точці внутрішнього вирізу літери «V».

10. Верхній лівий кут зігніть до лінії згину смужки. Після чого загніть смужку вниз. Аналогічним чином зігніть правий кут та смужку.

11. Ліву сторону складіть вниз.

12. На малюнку показані кишені та вставки для складання октаедра.

13. Для конструювання октаедра потрібно зробити 4 таких модулі. Поєднайте два модулі під кутом, заправивши виступаючі частини в кишеньки. Після цього зберіть усі 4 модулі спільно.

14. Вийшла геометрична фігура, звана октаедр.

- (грец., від eikosi двадцять, і hedra основа). Двадцятигранник. Словник іншомовних слів, що увійшли до складу російської мови. Чудінов А.Н., 1910. ІКОСАЕДР грецьк. eikosaedros, від eikosi, двадцять, і hedra, основа. Двадцятигранник. Обсяг … Словник іноземних слів російської мови

Багатогранник, двадцятигранник Словник російських синонімів. икосаэдр сущ., кіл у синонімів: 2 двадцятигранник (3) … Словник синонімів

- (Від грецького eikosi двадцять і hedra грань), один з 5 типів правильних багатогранників, що має 20 трикутних граней, 30 ребер і 12 вершин, у кожній з яких сходяться 5 ребер. Сучасна енциклопедія

- (Від грец. eikosi двадцять і hedra грань) один з п'яти типів правильних багатогранників; має 20 граней (трикутних), 30 ребер, 12 вершин (у кожній сходиться 5 ребер). Великий Енциклопедичний словник

ІКОСАЕДР, ікосаедра, чоловік. (від грец. eikosi двадцять і hedra основа, грань) (мат.). Геометрична фігура правильний багатогранник, що має двадцять кутів. Тлумачний словник Ушакова. Д.М. Ушаків. 1935 1940 … Тлумачний словник Ушакова

Чол., грец. тіло, огранене двадцятьма рівносторонніми трикутниками, це одні з правильних міогогранників, що утворюються з кулі, зрізанням відсіків. Тлумачний словник Даля. В.І. Даль. 1863 1866 … Тлумачний словник Даля

Багатогранник із 20 трикутними гранями, що має кубічну симетрію. Форма, властива віріонам багатьох вірусів. (Джерело: «Мікробіологія: словник термінів», Фірсов Н.Н., М: Дрофа, 2006) Словник мікробіології

Ікосаедр- (Від грецького eikosi двадцять і hedra грань), один з 5 типів правильних багатогранників, що має 20 трикутних граней, 30 ребер і 12 вершин, у кожній з яких сходяться 5 ребер. … Ілюстрований енциклопедичний словник

Ікосаедр- * ікасаедр * icosahedron багатогранник з дванадцятьма трикутними гранями, що має кубічну симетрію та приблизно сферичну форму. І. форма, властива більшості сферичних ДНК, що містять вірусів … Генетика. Енциклопедичний словник

- (грец. eikosaédron, від éikosi двадцять і hédra основа) один з п'яти правильних багатогранників; має 20 граней (трикутних), 30 ребер, 12 вершин (у кожній вершині сходяться 5 ребер). Якщо ж довжина ребра І., його обсяг … … Велика Радянська Енциклопедія

Книги

• Чарівні грані № 9. Зірчастий багатогранник "Великий ікосаедр", . Набір для творчості школярів та студентів. Розвиває просторову уяву. Дозволяє склеїти з кольорового картону об'ємну фігуру – багатогранник. Кожна модель багатогранника унікальна.
• Комплексні числа описують рухи евклідової площини, одному обертанню тривимірного простору відповідає два кватерніони, відмінність яких (фізики назвали це явище спином) пов'язано з ними.

Історія

Основні формули

Площа поверхні S, Об `єм Vікосаедра з довжиною ребра a, а також радіуси вписаної та описаної сфер обчислюються за формулами:

$S\; =\; 5a\; ^\; 2\; \backslash \; sqrt3$

$V=\backslash begin(matrix)(5\backslash over12)\backslash end(matrix)(3+\backslash sqrt5)a^3$

$r=\backslash begin(matrix)(1\backslash over(12))\backslash end(matrix)\backslash sqrt(42+18\backslash sqrt5)a=\backslash begin(matrix)(1\backslash over(4\backslash sqrt3))\backslash end(matrix\; )(3+\backslash sqrt5)a$

$R=\backslash begin(matrix)(1\backslash over4)\backslash end(matrix)\backslash sqrt(2(5+\backslash sqrt5))a$

Властивості

• Двогранний кут між будь-якими двома суміжними гранями ікосаедра дорівнює arccos(-√5/3) = 138.189685°.
• Усі дванадцять вершин ікосаедра лежать по три в чотирьох паралельних площинах, утворюючи в кожній з них правильний трикутник.
• Десять вершин ікосаедра лежать у двох паралельних площинах, утворюючи в них два правильні п'ятикутники, а решта дві - протилежні один одному і лежать на двох кінцях діаметра описаної сфери, перпендикулярного цим площинам.
• Ікосаедр можна вписати в куб, при цьому шість взаємно перпендикулярних ребер ікосаедра будуть розташовані відповідно на шести гранях куба, решта 24 ребра всередині куба, всі дванадцять вершин ікосаедра будуть лежати на шести гранях куба
• В ікосаедр може бути вписаний тетраедр, так що чотири вершини тетраедра будуть поєднані з чотирма вершинами ікосаедра.
• Ікосаедр можна вписати в додекаедр, при цьому вершини ікосаедра будуть поєднані з центрами граней додекаедра.
• В ікосаедр можна вписати додекаедр із поєднанням вершин додекаедру та центрів граней ікосаедра.
• Усічений ікосаедр може бути отриманий зрізанням 12 вершин з утворенням граней у вигляді правильних п'ятикутників. У цьому число вершин нового багатогранника збільшується вп'ятеро (12×5=60), 20 трикутних граней перетворюються на правильні шестикутники (всього граней стає 20+12=32), а число ребер зростає до 30+12×5=90.
• Зібрати модель ікосаедра можна за допомогою 20 рівносторонніх трикутників.
• Неможливо зібрати ікосаедр з правильних тетраедрів, так як радіус описаної сфери навколо ікосаедра, відповідно і довжина бічного ребра (від вершини до центру такого складання) тетраедра менше ребра самого ікосаедра.

Усічений ікосаедр

Усічений ікосаедр- багатогранник, що складається з 12 правильних п'ятикутників та 20 правильних шестикутників. Має ікосаедричний тип симетрії. По суті, класичний футбольний м'яч має форму не кулі, а усіченого ікосаедра.

В світі

Тіла у вигляді ікосаедра

• Капсиди багатьох вірусів (наприклад, бактеріофаги, мімівірус).

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Ікосаедр"

Примітки

Література

• Д. Гільберт «Ікосаедр»

Уривок, що характеризує Ікосаедр

Розглянемо алгоритми побудови геометричних моделей найпоширеніших тіл, які часто використовуються як базові елементи при побудові складніших моделей.

4.4.1. Побудова правильних багатогранників

Правильними багатогранниками (платоновими тілами) називаються такі опуклі багатогранники, усі грані яких є правильними багатокутниками та всі багатогранні кути при вершинах рівні між собою.

Існує рівно 5 правильних багатогранників: правильний тетраедр, гексаедр (куб), октаедр, додекаедр та ікосаедр. Їхні основні характеристики наведені в наступному таб. 4.2.

Грані, ребра та вершини пов'язані між собою рівністю Ей-

Р + В = Р +2.

Для повного опису правильного багатогранника внаслідок його опуклості достатньо вказати спосіб відшукання всіх його вершин. Куб (гексаедр) побудувати дуже просто. Покажемо, як будуються інші тіла.

Для побудови тетраедра попередньо будується куб, на його протилежних гранях проводяться діагоналі, що схрещуються. Таким чином, вершинами тетраедра є будь-які 4 вершини куба, попарно не суміжні з жодним з його ребер рис.4.1.

Рис. 4.1. Побудова куба, тетраедра та октаедра

Для побудови октаедра попередньо будується куб. Вершини октаедра – центри ваги граней куба (мал.4.1), отже, кожна вершина октаедра є середнім арифметичним однойменних координат чотирьох вершин, що утворюють її грань куба.

4.4.2. Побудова ікосаедра

Ікосаедр та додекаедр можна також побудувати за допомогою куба. Однак існує і більш простий спосіб конструювання:

- будуються два кола одиничного радіусу з відривом h=1;

- кожна з кіл розбивається на 5 рівних частин, як показано на рис. 4.2.

- переміщуючись уздовж кіл проти годинникової стрілки, нумеруємо виділені 10 точок у порядку зростання кута повороту і потім послідовно відповідно до нумерації з'єднаємо ці точки прямолінійними відрізками;

- потім, стягуючи хордами точки, виділені на кожному з кіл, отримуємо в результаті пояс з 10 правильних трикутників;

- для завершення побудови ікосаедра виберемо на осі Z дві точки так, щоб довжина бічних ребер п'ятикутних пірамід з вершинами в цих точках і основами, що збігаються з побудованими п'ятикутниками, дорівнювала довжинам сторін пояса з трикутників. Неважко бачити, що для цього потрібно.

ні крапки з аплікатами ± 5 2 .

В результаті описаних побудов отримуємо 12 точок. Випуклий багатогранник з вершинами в цих точках матиме 20 граней, кожна з яких є правильним трикутником, і всі його

багатогранні кути при вершинах дорівнюють між собою. Тим самим було результат описаного побудови – икосаэдр.

4.4.3. Побудова додекаедру та сфери

Для побудови додекаедра скористаємося властивістю двоїстості: вершини додекаедра – центри (тяжкості) трикутних граней икосаедра. Отже, координати кожної вершини додекаедра можна знайти, обчисливши середні арифметичні відповідні координати вершин граней икосаэдра.

Для побудови моделі сфери використовуємо побудований раніше ікосаедр. Зауважимо, що ікосаедр вже є моделлю сфери: усі вершини лежать на її поверхні, усі грані – рівносторонні трикутники. Єдиний його недолік - це невелика кількість трикутних граней для передачі гладкої поверхні сфери. Для підвищення рівня деталізації моделі використовується наступна рекурсивна процедура:

кожна трикутна грань розбивається чотирма частини, нові вершини беруться на серединах сторін грані, як показано на рис.4.3.;

Рис. 4.3. Грань ікосаедра

нові вершини проектуються на поверхню сфери, для цього із центру сфери через вершину проводиться промінь і вершина переноситься в точку перетину променя з поверхнею сфери;

зазначені етапи повторюються до того часу, доки буде отримано необхідний ступінь деталізації поверхні сфери.

Розглянуті алгоритми дозволяють одержати параметри основних геометричних моделей. Аналогічно можна побудувати моделі циліндра, тора та інших тіл.

4.5. Поліноміальні параметричні форми подання

Полігональні моделі мають один істотний недолік: для отримання реалістичної моделі тіл, що мають складну форму, потрібні десятки тисяч полігонів. Реалістичні сцени налічують уже сотні тисяч полігонів. Одним із способів отримання якісних моделей при значному зниженні обчислень є використання поліноміальних параметричних форм, які використовують сітку полігональну тільки для отримання опорних точок.

4.5.1. Форми подання кривих та поверхонь

Існують три основні форми математичного уявлення кривих та поверхонь: явна, неявна, параметрична.

Явна форма завдання кривої у двомірному просторі є рівняння, у лівій частині якого стоїть залежна змінна, а правої частини – функція, аргументом якої є незалежна змінна.

Неявна форма двомірному просторі f(x ,y) =0. У параметричній формі у тривимірному просторі:

рівняння кривої – x = x (u), y = y (u), z = z (u);

рівняння поверхні – x = x (u, v), y = y (u, v), z = z (u, v).

Одна з головних переваг параметричної форми (ПФ) уявлення – її однаковість у дво- та тривимірному просторах. ПФ є, по-перше, найбільш гнучкою, а по-друге, стійкою до будь-яких варіацій форми та орієнтації об'єктів, що робить її особливо зручною у математичному забезпеченні систем комп'ютерної графіки.

Параметричні поліноміальні криві та поверхні

Існує безліч способів представлення об'єктів, але зосередимося на поліноміальних, тобто. всі функції параметра u під час опису кривих чи параметрів u іv під час опису поверхонь є поліномами.

Розглянемо рівняння кривої:

p(u) = [x(u)y(u)z(u)] T.

i = 0 j = 0

Поліноміальна параметрична крива ступеня n має вигляд (у OpenGL часто використовується термін «порядок» полінома (order), який має значення на 1 більше, ніж ступінь полінома)

Матриця (c k ), що складається з n +1 стовпців, поєднує коефіцієнти поліномів для компонентів p ; це означає, що ми маємо 3(n +1) ступенів свободи у виборі коефіцієнтів для конкретної кривоїp .

Криву можна визначити на будь-якому інтервалі зміни параметра u , але не втрачаючи спільності суджень, можна прийняти, що 0 u 1, т.ч. визначається сегмент кривої.

Параметрична поліноміальна поверхня описується рівнянням такого виду:

x(u, v)

p(u, v) = y(u, v) = ∑∑ n m cij ui vj .

z(u, v)

Таким чином, для визначення конкретної поверхні p (u, v) необхідно задати 3(n+1)(m+1) коефіцієнтів. Можна при аналізі прийняти n = m, а параметри u і v змінювати на інтервалі 0 u, v 1 і визначити порцію поверхні (surface patch), показаної на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Визначення порції поверхні

Визначений таким способом ділянку поверхні можна розглядати як межу, до якої прагне безліч кривих, які формуються, коли один з параметрів u або v пробігає значення у своєму інтервалі, в той час як інший зберігає пост-

нянне значення. Надалі спочатку визначатимемо поліноміальні криві, а потім застосовуватимемо їх для формування поверхні з аналогічними характеристиками.

Відзначимо переваги використання поліноміальної параметричної форми подання:

можливість локального контролю форми об'єкта;

гладкість та безперервність у математичному сенсі;

можливість аналітичного обчислення похідних;

стійкість до малих збурень;

можливість використовувати щодо прості, отже, високошвидкісні методи тонування.

4.5.2. Параметрично задані кубічні криві

Якщо скористатися поліномом дуже високого ступеня, буде більше свободи, але знадобиться і більше обчислень при розрахунку координат точок. Також при зростанні ступеня свободи зростає небезпека набути хвилястої форми кривої. З іншого боку, вибір полінома дуже низького ступеня дасть нам занадто мало параметрів, і не вдасться відтворити форму кривої. Рішення – крива розбивається на сегменти, що описуються поліномами низького ступеня.

Описати кубічну поліноміальну криву можна так:

p(u) = c0 + c1 u+ c2 u2 + c3 u3 = uk ck = uT c,

У цих виразах c є матрицею коефіцієнтів полінома. Саме її потрібно обчислювати по заданому ансамблю опорних точок. Далі розглянемо різні класи кубічних кривих, що відрізняються характером зіставлення з опорними точками. Для кожного типу буде сформована система з 12 рівнянь з 12 невідомими, але, оскільки параметричні функції для компонентів x, y, z незалежні, ці 12 рівнянь буде розділені на три групи по 4 рівняння з 4 невідомими.

Обчислення значень коефіцієнтів певного типу кубічної кривої виконується за заданим ансамблем опорних точок, що відповідають деяким значенням незалежного параметра

u. Ці дані можуть мати форму обмежень, що вимагають, щоб крива проходила через деякі із заданих точок та в околиці інших точок. Крім того, ці дані накладають і певні умови на гладкість кривої, наприклад, безперервність похідних у заданих точках сполучення окремих сегментів. Криві різного класу, сформовані на одних опорних точках можуть істотно відрізнятися.

4.5.3. Інтерполяція

Нехай є чотири опорні точки в тривимірному просторі: p 0 p 1 p 2 і p 3 . Кожна точка представлена ​​трійкою своїх координат:

p k = [x ky kz k] T.

Знайдемо елементи матриці коефіцієнтів c такі, що поліномp(u)=u T c проходитиме через задані чотири опорні точки.

Рішення. Є чотири точки, складаємо 12 рівнянь з 12-ма невідомими - елементами матриціc. Вважаємо, що значення u k (k = 0,1,2,3) розподілені рівномірно на інтервалі , тобто u = 0,1/3,2/3,1. Отримуємо рівняння:

Запишемо ці рівняння в матричній формі: p=AC

p = [p 0p 1p 2p 3] T

Проаналізуємо матрицю A. Якщо інтерпретувати p іc як матриці-стовпці з 12 елементів, то правило множення матриць дотримано не буде. Але ми можемо розглядати p іc як матриці стовпці з 4-х елементів, кожен з яких у свою чергу є матрицею-рядком. Тоді в результаті добутку отримаємо елемент того ж виду, що і елементи матриці стовпчика. Матриця не є виродженою, її можна звернути та отримати базову ін-

терполяційну матрицю:

Маючи значення M I , можна обчислити шукані значення коефіцієнтів c = M I / p .

Якщо крива задана не 4-ма, а m опорними точками, то можна уявити інтерполяційним поліномом (m -1)-го порядку (розрахувати 3× m коефіцієнтів, використовуючи аналогічну методику). Можна зробити інакше - вважати цю криву що складається з декількох сегментів, кожен з яких задається черговою групою з 4-х точок. Безперервність можна забезпечити тим, що вважати останню опорну точку попередньої групи першої опорної точки наступної групи. Матриці M I кожному сегменті будуть однакові, т.к.u . Але в цьому випадку функції похідних за па-

раметру зазнаватимуть розрив у точках сполучення.

4.5.4. Функції змішування (поліноміальні вагові функції опорних точок)

Проведемо аналіз гладкості інтерполяційних поліноміальних кривих. Для цього перепишемо виведені раніше співвідношення в трохи зміненому вигляді:

p(u) = uT = uT MI p.

Це співвідношення можна записати у вигляді: p (u) = b (u) T p,

b(u) = MI T u,

є матриця-стовпець з чотирьох поліноміальних функцій смеши-

вання (blending polynomials) :

b (u) = [b0(u)b1(u)b2(u)b3(u)] T.

У кожній функції змішування поліном є кубічним. Виразивши p (u ) як суму поліномів змішування, отримаємо:

p (u )= b 0 (u )p 0 + b 1 (u )p 1 + b 2 (u )p 2 + b 3 (u )p 3 = ∑ b i (u) pi.

i=0

З цього співвідношення випливає, що поліноміальні функції змішування характеризують внесок, який робить кожна опорна точка, і таким чином дозволяють оцінити, наскільки позначиться на вигляді кінцевої кривої зміна положення тієї чи іншої опорної точки. Аналітичні висловлювання їм:

b 0 (u )= − 9 2 (u − 1 3 )(u − 2 3 )(u − 1),b 1 (u )= 27 2 u (u − 2 3 )(u − 1),

b 2 (u )= − 27 2 u (u − 1 3 )(u − 1),b 3 (u )= 9 2 (u − 1 3 )(u − 2 3 ).

Т.к. всі нулі функцій лежать на відрізку , їх значення можуть істотно зміняться цьому інтервалі, а самі функції є монотонними (рис. 4.5.). Ці характеристики випливають з того, що інтерполяційна крива повинна проходити через опорні точки, а не в найближчому околиці. Погана гладкість кривої, відсутність безперервності похідних у точках стику сегментів пояснюють, чому інтерполяційні поліноміальні криві рідко використовуються у КГ. Але користуючись тієї ж методикою аналізу, можна знайти найбільш відповідний тип кривої.

Порція кубічної інтерполяційної поверхні

Бікубічне рівняння поверхні можна записати так:

p(u, v) = ∑∑ ui vj cij .

i = 0j = 0

Тут c ij - трикомпонентна матриця-стовпець, елементами якої є коефіцієнти при однакових ступенях незалежної змінної в рівняннях для x, y, z компонент. Визначимо матрицю C 4x4 таким чином, що її елементами будуть трикомпонентні матриці-стовпці:

C = [cij].

Тоді описати порцію поверхні можна наступним чином: p (u, v) = u T Cv,

Конкретна порція бікубічної поверхні визначається 48 значеннями елементів матриці C – 16 тривимірними векторами.

Припустимо, що є 16 тривимірних опорних точок p ij i = 0,..,3,j = 0,..,3 (рис. 4.6.). Будемо вважати, що ці дані використовуються для інтерполювання з рівним кроком по обох незалежних параметрах u і v , які набувають значення 0, 1/3, 2/3, 1. Звідси

отримаємо три набори з 16 рівнянь із 16 невідомими в кожному. Так, при u=v=0 отримаємо

p 00 = [1 0 0 0] C 0 0 = c 00 .0

Рис. 4.6. Порція інтерполяційної поверхні

Можна не розв'язувати всі ці рівняння. Якщо зафіксувати v = 0, то, змінюючи u, отримаємо криву, що проходить через p 00 p 10 p 20 p 30 . Використовуючи результати, отримані в попередньому розділі, можемо записати для цієї кривої таке співвідношення:

При значеннях v= 1/3, 2/3, 1 можна визначити інші три інтерполяційні криві, кожну з яких можна описати тим же способом. Об'єднавши рівняння для всіх кривих, отримаємо систему, що цікавить нас, з 16 рівнянь:

uT MI P = uT CAT ,

де A - матриця, зворотна M I . Розв'язанням цього рівняння буде шукана матриця коефіцієнтів:

C = MI PMI T.

Підставляючи її в рівняння поверхні, остаточно отримаємо p (u, v) = u T M I PM I T v.

Цей результат можна інтерпретувати по-різному. З нього випливає, по-перше, що результати, отримані під час аналізу кривих, можна поширити відповідні поверхні. По-друге, можна поширити на поверхні методику використання поліноміальних функцій змішування:

p(u, v) = ∑∑ bi (u) bj (v) pij.

i = 0j = 0

4.5.5. Форма подання кривих та поверхонь Ерміта

Нехай є точки p 0 p 3 і сегменту відповідає інтервалу, тобто. Існуючі точки відповідають u = 0 і u = 1. Запишемо

дві умови:

p (0) = p 0 = c 0,

p (1) = p 3 = c 0+ c 1+ c 2+ c 3.

Дві інші умови отримаємо, задаючи значення похідних функцій у крайніх точках сегмента u = 0 і u = 1:

p "(u) = c 1 + 2uc 2 + 3u 2 c 3 тоді

p " 0 = p " (0) = c 1 ,

p" 3 = p "(1) = c 1 + 2 c 2 + 3 c 3.

Запишемо ці рівняння у матричній формі:

можна записати рівняння у вигляді:

c = MH q,

де MH називається узагальненою матрицею Ерміта (Hernite geometry matrix).

В результаті отримаємо уявлення поліноміальної кривої у формі Ерміта:

p(u) = uT MH q.

Будемо використовувати форму Ерміта для представлення сегментів складової кривої, як показано на рис. 4.7. Точка сполучення є спільною для обох сегментів, крім того, похідні до кривої в точці сполучення для обох сегментів також рівні. В результаті отримуємо складову криву, безперервну по першій похідній протягом усього.

p(0) p(1)=q(0)

Рис. 4.7. Застосування форми Ерміта до стикування сегментів

Можливість отримання більш гладких кривих при використанні форми уявлення по Ерміту можна обґрунтувати математично таким чином. Запишемо поліном у вигляді

p(u) = b(u) T q,

де нова функція змішування має вигляд

Нулі чотирьох цих поліномів розташовані поза інтервалом, тому функції змішування є набагато гладкішими, ніж для інтерполяційних поліномів.

Можна так визначити порцію поверхні у формі Ерміта:

p (u, v) = ∑∑ b i (u) b j (v) q ij,

i = 0j = 0

де Q = [q ij] - Набір даних, що представляють порцію поверхні аналогічно тому, як q представляє сегмент кривої. Чотири елементи Q є значення функції p (u, v ) в кутових точках поверхні, а чотири інших повинні представляти похідні до поверхні в цих кутових точках. В інтерактивних додатках користувачу бажано специфікувати дані про похідних, а координати точок, і, отже, не сформулювавши аналітичні висловлювання цих даних, ми зможемо отримати похідні.

Якщо в точці сполучення значення всіх трьох параметричних компонентів векторів p іq рівні, то має місце параметрична безперервність (parametric continuity)класу 0 .

Криві, в яких умови безперервності задовольняються і для значення, і для першої похідної, мають параметричну безперервність класу С 1 .

Якщо значення компонент похідних пропорційні, має місце геометрична безперервність класу G 1 .

Ці ідеї можна узагальнити для похідних вищих порядків.

Форма кривої, що володіє геометричною безперервністю класу G 1 залежить від коефіцієнта пропорційності довжин дотичних до сегментів у точці сполучення. На рис.4.8. показано, що форма сегментів кривих, що збігаються в кінцевих точках і мають у цих точках пропорційні дотичні вектори, досить істотно відрізняється. Ця властивість часто використовується у графічних програмах креслення.

p"(0) q(u) p"(1)

Рис. 4.8. Вплив довжини вектора дотичних на форму сегментів

4.5.6. Криві та поверхні у формі Безьє

Порівняння кривих у формі Ерміта і формі інтерполяційного полінома неможливо, т.к. для їх формування використовуються

різні за характером набори даних. Спробуємо використовувати той самий ансамбль опорних точок і визначення інтерполяційного многочлена й у непрямого завдання кривих у вигляді Эрмита. В результаті цього отримаємо криву у формі Безьє (Bezier), яка є гарним наближенням кривої у формі Ерміта і яку можна порівнювати з інтерполяційним поліномом, сформованим на тому самому ансамблі точок. З іншого боку, така процедура ідеально підходить для інтерактивного побудови криволінійних об'єктів у системах КГ і САПР, т.к. визначення кривої у формі Безьє не вимагає завдання похідних.

Криві Безьє

Нехай є чотири опорні точки в тривимірному просторі: p 0 p 1 p 2 і p 3 . Кінцеві точки формованої кривої p (u ) повинні збігатися з опорними точками p 0 , p 1 :

p 0 = p (0), p 3 = p (1).

Безье запропонував використовувати дві інші опорні точки p 1 іp 2 для завдання похідних у крайніх точках сегмента u = 0 і u = 1.

Рис. 4.9. Апроксимація векторів дотичних

Застосувавши цю апроксимацію до дотичних у двох крайніх точках до параметричної поліноміальної кривої p (u ) =u T c , отримаємо дві умови:

3 p 1− 3 p 0= c 1,

3 p 3− 3 p 2= c 1+ 2 c 2+ 3 c 3.

Додамо їх до наявних умов збігу кривої в кінцевих точках:

p (0) = p 0 = c 0

p (1) = p 3 = c 0 + c 1 + c 2 + c 3 .

Отже, ми знову отримали три набори з чотирьох рівнянь щодо чотирьох невідомих у кожному. Вирішуючи їх за тією самою методикою, що й у попередньому розділі, отримаємо:

c = MB p,

де M B називається базисною матрицею Безьє (Bezier geometry matrix):

В результаті отримаємо уявлення поліноміальної кривої у формі Безьє:

p(u) = uT MB p.

Цю формулу можна використовуватиме отримання складової кривої, сегменти якої є інтерполяційними поліномами. Вочевидь, що складова крива, побудована методом Безье на довільному ансамблі опорних точок, належить до класу З 0 , але вимогам класу З 1 вона задовольняє, т.к. дотичні праворуч і ліворуч від точки сполучення апроксимуються за різними формулами.

Проаналізуємо властивості кривої з допомогою функцій змішування. Запишемо поліном у формі:

p(u) = b(u) T p,

де нова функція змішування має вигляд (рис. 4.10):

Ці чотири поліноми є окремими випадками. поліномів Бернштейна:

b kd (u) = k! (d d -! k)! u k (1−u)d−k.

Властивості поліномів Бернштейна:

1) всі нулі в точках u = 0 або u = 1;

2) отже, при 0< ) повинна лежати всередині опуклої багатокутної оболонки, утвореної чотирма заданими точками, як показано на рис. 4.11. Таким чином, хоча крива Безьє і не проходить через всі задані опорні точки, вона ніколи не виходить за межі області, обмеженої цими точками. Це дуже зручно при інтерактивному візуальному конструюванні.

Порції поверхні у формі Безьє

Порції поверхонь Безьє можна сформувати за допомогою функцій змішування. Якщо P = - масив опорних точок з раз-

мірами 4x4, то відповідна порція поверхні у формі Безьє описується співвідношенням:

Порція поверхні проходить через кутові точки p00 ,p03 ,p30 і p33 і виходить межі опуклого багатокутника, вершинами якого є опорні точки. Дванадцять опорних точок із 16

можна інтерпретувати як дані, що визначають напрям похідних за різними параметрами в кутових точках формується порції поверхні.

4.6. Приклад побудови полігональних моделей

Розглянуте завдання - представлення геометричних моделей, що задаються полігональними сітками, - можна розбити на наступні етапи:

1) розробка моделі (структур даних) для представлення сцени;

2) розробка формату файлу для зберігання моделі;

3) написання програми для перегляду створених сцен;

4) написання програми для генерації полігональних моделей об'єктів відповідно до варіанта завдання.

4.6.1. Розробка структур даних полігональної моделі

Можна виділити такі елементи моделі: точка, полігон, модель окремого об'єкта, сцена (безліч об'єктів із заданим розташуванням щодо одне одного).

1) Крапка описується трьома координатами:

2) Полігон – у випадку довільний опуклий багатокутник. Ми будемо використовувати його окремий випадок – трикутник. Наш вибір обґрунтований тим, що наступні алгоритми забарвлення з Z-буфером, для своєї роботи вимагатимуть саме трикутні

грані і дедалі складніші багатокутники потрібно розбивати.

typedef struct Polygon (

int Points; //індекси трьох вершин, що утворюють //полігон, вершини зберігаються у списку вершин моделі

3) Модель окремого об'єкта є список точок і список вершин:

typedef struct Model3D (

Polygon Polygons; //масив поліго-

4) Сцена – це безліч об'єктів із заданим розташуванням щодо один одного. У найпростішому випадку можна використати

список (масив) об'єктів, наприклад,

4.6.2. Розробка формату файлу для зберігання моделі

Для зберігання та обробки сцен та моделей зручно використовувати текстові файли, що складаються з різних секцій. Секції можуть розділятися ключовими словами, які роблять читання та редагування файлів більш простим, а також дають можливість завдання моделі лише частини інформації. Хорошим прикладом є формат DXF, який використовується обміну креслень між САПР-системами. Розглянемо простий приклад:

де перше число – кількість моделей у файлі сцени N. Далі слідує N моделей. Першим числом в описі моделей є кількість вершин K. Далі послідовно перераховуються координати

x,y,z всіх До вершин. Після цього йде число G, що задає кількість граней моделі. Після чого слідує G рядків, кожен з яких містить індекси трьох вершин, що утворюють трикутну грань.

4.6.3. Перегляд створених сцен

Для перегляду створених сцен в ортографічній проекції розроблено таку програму:

#include #include #include #include

const int MAX_MODEL_COUNT = 3; //Макс. до моделей у сцені const int MAX_POINT_COUNT =100; //Макс. до точок у моделі const int MAX_POLY_COUNT =100; //Макс. до-во граней у моделі

typedef struct Point ( double x, y, z;

typedef struct Polygon (

int Points; //індекси трьох вершин, що утворюють полігон

typedef struct Model3D (

int PolygonCount;//кількість полігонів у моделі

Polygon Polygons; //масив полігонів

Model3D Models; //масив моделей

//функція виконує читання сцени з файлу

void LoadScene(Scene3D &scene, const char * filename)

if ((f = fopen(filename, "rt")) == NULL)

fprintf(stderr, "Cannot open input file.\n"); exit(1);

//читаємо до моделей у файлі fscanf(f, "%d", &scene.ModelsCount);

for(int m = 0; m< scene.ModelsCount; ++m)

Model3D *model = &scene.Models[m]; //завантаження списку точок моделі fscanf(f, "%d", &model->PointCount);

for(int i = 0; i< model->PointCount; ++i)

fscanf(f, "%lf%lf%lf", &p.x, &p.y, &p.z); model->Points[i] = p;

Polygon *p = &(model->Polygons[i]); fscanf(f, "%d%d%d", &(p->Points),

&(p->Points), &p->Points);

//виведення на екран каркасної //моделі в ортографічній проекції

//недолік - всі ребра малюються двічі void DrawWireFrameScene(const Scene3D &scene)

for(int m = 0; m< scene.ModelsCount; ++m)

const Model3D *model = &scene.Models[m]; for(int i = 0; i< model->PolygonCount; ++i)

const Polygon *poly = &model->Polygons[i];

//ініціалізація графічного режиму InitGraphMode(void)

int gdriver = DETECT, gmode, errorcode; initgraph(&gdriver, &gmode, "");

errorcode = graphresult();

if (errorcode != grOk) //an error occurred

printf("Graphics error: %s\n", grapherrormsg(errorcode));

printf("Press any key to halt:");

Scene3D scene; LoadScene(scene, "model.dat"); InitGraphMode(); DrawWireFrameScene(scene); getch();

Наведений приклад дозволяє завантажувати сцени, задані в описаному форматі, і відображати їх в ортографічній проекції. Він демонструє базові засади роботи з полігональними моделями.

Але через спрощення підвищення наочності він має такі істотні недоліки:

1) кількість вершин, граней, моделей задається безпосередньо у програмі, а має використовуватися динамічна пам'ять, наприклад динамічний одновимірний масив, пам'ять під який виділятиметься під час завантаження сцени.

2) якщо є кілька однакових моделей, що відрізняються лише положенням та орієнтацією в просторі, то дані, що описують їх геометрію, дублюються, наприклад кілька моделей сфер. Доцільно розділити модель на дві складові: геометричну, що зберігає опис граней, вершин, та топологічну, тобто. конкретний екземпляр об'єкта, розташований у просторі.

3) опис структур даних та методи, що їх підтримують, слід виділити в окремий модуль, тоді його можна буде використовувати, наприклад, у програмах генерації приміти-

Таким чином, зараз домінують полігональні геометричні моделі. Це викликано простотою програмного та апаратного їх уявлення. Через постійне зростання можливостей

обчислювальної техніки з одного боку та вимог до якості моделей з іншого ведуться інтенсивні дослідження нових типів моделей.

Контрольні питання та вправи

1. Чим відрізняються геометричні моделі з інших видів моделей?

2. Назвіть основні компоненти геометричної моделі.

3. Чим відрізняються координатні моделі від аналітичних?

4. Які є геометричні моделі?

5. Чому полігональні моделі набули широкого поширення?

6. Які засоби завдання полігональної моделі ви знаєте?

7. Які недоліки та обмеження мають полігональні моделі?

8. Реалізуйте алгоритми побудови полігональних моделей додекаедрів, ікосаедрів та сфер.

9. Запропонуйте алгоритм побудови полігональної моделі тора.

10. Як можна скоротити обсяг даних, що зберігаються

впам'яті ЕОМ при багаторазовому використанні однакових полігональних моделей?

Білозерова Марія, учениця 10 класу

У цій роботі представлена ​​інформація про геометричну модель, з якою познайомилася учня під час її виготовлення.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Правильний багатогранник. Ікосаедр

Виконала Білозерова Марія, учениця 10 класу МОУ «Середня школа №16», м. Кімри, Тверської області

Назви правильних багатогранників прийшли із Греції. У дослівному перекладі з грецького "тетраедр", "октаедр", "гексаедр", "додекаедр", "ікосаедр" означають: "чотирьохгранник", "восьмигранник", "шестигранник", "дванадцятигранник", "двадцятигранник". Цим гарним тілам присвячено 13-ту книгу "Початок" Евкліда. Їх називають тілами Платона, т.к. вони займали

Важливе місце у філософській концепції Платона про будову світобудови.

Чотири багатогранники уособлювали у ній чотири сутності чи " стихії " . Тетраедр імволізував вогонь, т.к. його вершина спрямована вгору; ікосаедр - воду, т.к. він самий "обтічний"; куб - землю, як "стійкий"; октаедр - повітря, як "найповітряніший". П'ятий багатогранник, додекаедр, втілював у собі "все, що існує", символізував всю світобудову, вважався головним.

Ікосаедр (від грецького ico – двадцять і hedra – грань).

Правильний опуклий багатогранник, що складається з 20 правильних трикутників. Кожна з 12 вершин ікосаедра є вершиною 5 рівносторонніх трикутників, тому сума кутів при вершині дорівнює 300 °.

У ікосаедра 30 ребер. Як і у всіх правильних багатогранників ребра ікосаедра мають рівну довжину, а грані - рівну площу.

Ікосаедр має 15 осей симетрії, кожна з яких проходить через середини протилежних паралельних ребер. Точка перетину всіх осей симетрії ікосаедра є його центром

симетрії.

Площин симетрії також 15. Площини симетрії проходять через чотири вершини, що лежать в одній площині, і середини паралельних паралельних ребер.

Ікосаедр - геометричне тіло, форму якого приймають віруси, що складаються з ДНК та білка, тобто ікосаедральна форма та пентагональна симетрія "є фундаментальними в організації живої речовини".

Правильні багатогранники трапляються так само і в живій природі. Наприклад, скелет одноклітинного організму феодарії (Circjgjnia icosahtdra) формою нагадує ікосаедр.

Більшість феодарій живуть на морській глибині і є видобутком коралових рибок. Але найпростіша тварина захищає себе дванадцятьма голками, що виходять із 12 вершин скелета. Воно більше схоже на зоряний багатогранник. З усіх багатогранників з тим самим числом граней икосаэдр має максимальний обсяг за найменшої площі поверхні. Ця властивість допомагає морському організму долати тиск товщі води.

Вірус може бути зовсім круглим, як вважалося раніше. Щоб встановити його форму, брали різні багатогранники, спрямовували ними світло під тими самими кутами, як і потік атомів на вірус. Виявилося, що тільки один багатогранник дає таку ж тінь - ікосаедр.

Винятковістю ікосаедра серед Платонових тіл скористалися віруси. Вірусна частка повинна весь обмін клітини-господаря перевернути догори дном; вона повинна змусити заражену клітину синтезувати численні ферменти та інші молекули, необхідні синтезу нових вірусних частинок. Всі ці ферменти мають бути закодовані у вірусній нуклеїновій кислоті. Але кількість її обмежена. Тому для кодування білків своєї оболонки в нуклеїновій кислоті вірусу залишено обмаль місця. Що робить вірус? Він просто використовує багато разів ту саму ділянку нуклеїнової кислоти для синтезу великої кількості стандартних молекул - будівельних білків, що об'єднуються в процесі автоскладання вірусної частки. В результаті досягається максимальна економія генетичної інформації. За законами математики для побудови найбільш економічним способом замкнутої оболонки з однакових елементів потрібно скласти їх ікосаедр, який ми спостерігаємо у вірусів.

Так «вирішують» віруси найскладніше (її називають «ізопіраною») завдання: знайти тіло найменшої поверхні при заданому обсязі і до того, що складається з однакових і найпростіших фігур. Віруси, найдрібніші з організмів, настільки прості, що досі неясно - відносити їх до живої чи неживої природи, - ці віруси впоралися з геометричною проблемою, яка потребувала людей більше двох тисячоліть! Усі так звані «сферичні віруси», у тому числі такий страшний, як вірус поліомієліту, є ікосаедрами, а не сферами, як думали раніше.

Будова аденовірусів також має форму ікосаедра. Аденовіруси (від грецького aden - залізо і віруси), сімейство ДНК-вірусів, що викликають у людини і тварин аденовірусні хвороби.

Вірус котячої панлейкопенії (FPLV) належить до сімейства парновірусів. Споріднених збудників серед поширених хвороб людини немає. Вірус – сферичний двадцятигранник – ікосаедр, дрібний, розмір близько 20 нм (0,00002 мм), простий за структурою, не має зовнішньої оболонки; Геном одна молекула однотяжової ДНК з молекулярною масою близько 2 млн. Вірус дуже стабільний, може зберігати активність поза організмом місяці та роки.

Вірус гепатиту В – збудник гепатиту В, основний представник сімейства гепадновірусів. Це сімейство включає також гепатотропні віруси гепатиту бабаків, ховрахів, качок та білок. Вірус ГВ є ДНК-містким. Він є частинкою діаметром 42-47 нм, складається з ядра-нуклеоїда, що має форму ікосаедра діаметром 28 нм, усередині якого знаходяться ДНК, кінцевий білок і фермент ДНК-полімераза.

Отже, виконавши цю роботу, я дізналася багато нового та цікавого про правильний багатогранник - ікосаедр.

Виконуючи роботу з виготовлення моделі ікосаедра, вивчаючи матеріал дізналася, що першими правильні напівправильні багатогранники вивчали ще давні вчені Платон та Архімед. У наші дні багато вчених займаються вивченням багатогранників. Властивості багатогранників застосовують у різних сферах діяльності. Наприклад, в архітектурі: майже всі будинки будуються з дотриманням симетрії.

Таким чином все наше життя наповнене багатогранниками, з ними стикається кожна людина: і маленькі діти і зрілі люди.

У своїй роботі я узагальнила зібраний на тему матеріал і виготовила фігуру ікосаедр, і сфотографувала цю фігуру. Мені було цікаво працювати над обраною темою реферату.