Або конус при прямому русі. Урок «Прямий круговий конус, його елементи

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі уроку:

Освітня: запровадити поняття конуса, його елементів; розглянути побудову прямого конуса; розглянути знаходження повної поверхні конуса; формувати вміння розв'язувати задачі знаходження елементів конуса.
Розвиваюча: розвивати грамотну математичну мову, логічне мислення
Виховна: виховувати пізнавальну активність, культуру спілкування, культуру діалогу.

Форма уроку:урок формування нових знань та умінь.

Форма навчальної діяльності:колективна форма роботи.

Методи, що використовуються на уроці:пояснювально-ілюстративний, продуктивний.

Дидактичний матеріал:зошит, підручник, ручка, олівець, лінійка, дошка, крейда та кольорові крейди, проектор та презентація «Конус. Основні поняття. Площа поверхні конуса».

План уроку:

Організаційний момент (1 хв).
Підготовчий етап (мотивація) (5 хв).
Вивчення нового матеріалу (15 хв).
Розв'язання задач на знаходження елементів конуса (15 хв).
Підбиття підсумків уроку (2 хв).
Завдання додому (2 хв).

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент

Ціль: підготувати до засвоєння нового матеріалу.

2. Підготовчий етап

Форма: усна робота.

Ціль: знайомство з новим тілом обертання.

Конус у перекладі з грецької “konos” означає “соснова шишка”.

Трапляються тіла у формі конуса. Їх можна розглянути в різних предметах, починаючи зі звичайного морозива і закінчуючи технікою, так само в дитячих іграшках (пірамідка, хлопавка та ін), в природі (ялина, гори, вулкани, смерчі).

(Використовуються Слайди 1-7)

Діяльність вчителя	Діяльність учня
3. Пояснення нового матеріалу Мета: запровадити нові поняття та властивості конуса.
1. Конус може бути отриманий обертанням прямокутного трикутника навколо одного з його катетів. (Слайд 8) Тепер розглянемо, як будується конус. Спочатку зображаємо коло з центром O та пряму OP, перпендикулярну до площини цього кола. Кожну точку кола з'єднаємо відрізком із точкою P (вчитель поетапно будує конус). Поверхня, утворена цими відрізками, називається конічною поверхнею, А самі відрізки - утворюючими конічної поверхні.	У зошитах будують конус.
(диктує визначення) (Слайд 9) Тіло, обмеженою конічною поверхнею та навколо з кордоном L, називається конусом.	Записують визначення.
Конічна поверхня називається бічною поверхнею конуса, а коло – основою конуса. Пряма OP, що проходить через центр основи та вершину, називається віссю конуса. Вісь конуса перпендикулярна площині основи. Відрізок OP називається висотою конуса. Точка P називається вершиною конуса, а що утворюють конічної поверхні – утворюючими конуса.	На кресленні підписують елементи конуса.
Назвіть два утворюючі конуси і порівняйте їх?	PA та PB, вони рівні.
Чому ті, що утворюють рівні?	Проекції похилих рівні як радіуси кола, отже, і самі утворюють рівні.
Запишіть у зошиті: властивості конуса:	(Слайд 10)
1. Усі утворюють конуса рівні. Назвіть кути нахилу, що утворюють до основи? Порівняйте їх. Чому доведіть це?	Кути: PСО, PDO. Вони рівні. Оскільки трикутник PAB – рівнобедрений.
2. Кути нахилу утворюють до основи рівні. Назвіть кути між віссю та утворюючими? Що можна сказати про ці кути?	СРО та DPO Вони рівні.
3. Кути між віссю та утворюючими рівні. Назвіть кути між віссю та основою? Чому рівні ці кути?	POC та POD. 90 про
4. Кути між віссю та основою прямі. Ми розглядатимемо лише прямий конус.
2. Розглянемо перетин конуса різними площинами. Що є січна площина, що проходить через вісь конуса?	Трикутник.
Який це трикутник?	Він рівнобедрений.
Чому?	Дві його сторони утворюють, а вони рівні.
Що є основою даного трикутника?	Діаметр основи конуса.
Такий переріз називається осьовим. (Слайд 11) Накресліть у зошитах і підпишіть цей переріз. Що є січна площина, перпендикулярна осі OP конуса?	Коло.
Де знаходиться центр цього кола?	На осі конуса.
Цей переріз називається круговим перерізом. (Сдайл 12) Накресліть у зошитах і підпишіть цей перетин. Існують і інші види перерізів конуса, які не є осьовими та не паралельні основі конуса. Розглянемо їх у прикладах. (Слайд 13)	Чортять у зошитах.
3. Тепер виведемо формулу повної поверхні конуса. (Слайд 14) Для цього бічну поверхню конуса, як і бічну поверхню циліндра, можна розгорнути на площину, розрізавши її однією з утворюючих.
Що є розгорткою бічної поверхні конуса? (чортить на дошці)	Круговий сектор.
Що є радіусом цього сектора?	Утворюючи конуса.
А чи довжина дуги сектора?	Довжина окружності.
За площу бічної поверхні конуса приймається площа її розгортки. (Слайд 15)	, де - градусний захід дуги.
Чому дорівнює площа кругового сектора?
Отже, чому дорівнює площа бічної поверхні конуса? Виразимо через і. (Слайд 16) Чому дорівнює довжина дуги?
З іншого боку ця ж дуга є довжиною кола основи конуса. Чому вона дорівнює?
Підставляючи формулу бічної поверхні конуса отримаємо, . Площею повної поверхні конуса називається сума площ бічної поверхні та основи. . Запишіть ці формули.	Записують: , .

Отримане об'єднання всіх променів, що виходять з однієї точки ( вершиниконуса) та проходять через плоску поверхню. Іноді конусом називають частину такого тіла, отриману об'єднанням усіх відрізків, що з'єднують вершину та точки плоскої поверхні (останню в такому випадку називають основоюконуса, а конус називають що спираєтьсяна цю підставу). Далі розглядатиметься саме цей випадок, якщо не обговорено протилежне. Якщо основа конуса є багатокутником, конус стає пірамідою.

"== Пов'язані визначення ==

Відрізок, що з'єднує вершину та межу основи, називається утворює конуса.
Об'єднання утворюють конуса називається утворює(або бічний) поверхнею конуса. Утворююча поверхня конуса є конічною поверхнею.
Відрізок, опущений перпендикулярно з вершини на площину основи (а також довжина такого відрізка), називається висотою конуса.
Якщо основа конуса має центр симетрії (наприклад, є колом або еліпсом) та ортогональна проекція вершини конуса на площину основи збігається з цим центром, то конус називається прямим. При цьому пряма, що з'єднує вершину та центр основи, називається віссю конуса.
Косий (похилий) конус - конус, у якого ортогональна проекція вершини на основу не збігається з його центром симетрії.
Круговий конус- Конус, основа якого є колом.
Прямий круговий конус(часто його називають просто конусом) можна отримати обертанням прямокутного трикутника навколо прямої, що містить катет (ця пряма є вісь конуса).
Конус, що спирається на еліпс, параболу або гіперболу, називають відповідно еліптичним, параболічнимі гіперболічним конусом(Останні два мають нескінченний обсяг).
Частина конуса, що лежить між основою і площиною, паралельною основі і між вершиною і основою, називається усіченим конусом.

Властивості

Якщо площа основи кінцева, то об'єм конуса також кінцевий і дорівнює третині висоти на площу основи. Таким чином, всі конуси, що спираються на дану основу і мають вершину, що знаходиться на даній площині, паралельній основі, мають рівний обсяг, оскільки їх висоти дорівнюють.
Центр тяжкості будь-якого конуса з кінцевим об'ємом лежить на чверті висоти від основи.
Тілесний кут при вершині прямого кругового конуса дорівнює

де - кут розчинуконуса (тобто подвоєний кут між віссю конуса та будь-який прямий на його бічній поверхні).

Площа бічної поверхні такого конуса дорівнює

де - Радіус основи, - Довжина утворює.

Об'єм кругового конуса дорівнює

Перетин площини з прямим круговим конусом є одним із конічних перерізів (у невироджених випадках – еліпсом, параболою або гіперболою, залежно від положення сіючої площини).

Узагальнення

В геометрії алгебри конус- це довільне підмножина векторного простору над полем, для якого для будь-якого

Див. також

Конус (топологія)

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Прямий круговий конус" в інших словниках:

Прямий круговий конус. Прямий та … Вікіпедія

Прямий круговий конус Конус тіло, отримане поєднанням усіх променів, що виходять з однієї точки (вершини конуса) і проходять через плоску поверхню. Іноді конусом називають частину такого тіла, одержану об'єднанням усіх відрізків, що з'єднують … Вікіпедія

Конус- Прямий круговий конус. КОНУС (від латинського conus, від грецького konos шишка), геометричне тіло, обмежене круглою конічною поверхнею та площиною, що не проходить через вершину конічної поверхні. Якщо вершина лежить на… Ілюстрований енциклопедичний словник

- (Лат. conus; грец. Konos). Тіло, обмежене поверхнею, що утворюється від звернення прямої, якою один кінець нерухомий (вершина конуса), а інший рухається по колу цієї кривої; на вигляд схожий на цукрову голову. Словник іноземних слів, … Словник іноземних слів російської мови

Конус- (1) в елементарній геометрії геометричне тіло, обмежене поверхнею, що утворюється рухом прямої (утворюючої конуса) через нерухому точку (вершину конуса) вздовж напрямної (основа конуса). Поверхня, що утворюється, укладена між … Велика політехнічна енциклопедія

- (Прямий круговий) геометричне тіло, утворене обертанням прямокутного трикутника біля одного з катетів. Гіпотену називається твірною; нерухомий катет заввишки; коло, що описується катетом, що обертається основою. Бічна поверхня К.… … Енциклопедія Брокгауза та Єфрона

- (Прямий круговий К.) геометричне тіло, утворене обертанням прямокутного трикутника біля одного з катетів. Гіпотенуза називається твірною; нерухомий катет заввишки; коло, що описується катетом, що обертається основою. Бічна поверхня …

- (Прямий круговий) геометричне тіло, утворене обертанням прямокутного трикутника біля одного з катетів. Гіпотенуза називається твірною; нерухомий катет заввишки; коло, що описується катетом, що обертається основою. Бічна поверхня До … Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

- (Лат. conus, від грецьк. konos) (математика), 1) К., або конічна поверхня, геометричне місце прямих (утворюючих) простору, що з'єднують всі точки деякої лінії (напрямної) з даною точкою (вершиною) простору. Велика Радянська Енциклопедія

Розглянемо якусь лінію l (криву або ламану), що лежить у деякій площині (рис. 386, а, б), і довільну точку М, яка не лежить у цій площині. Різні прямі, що з'єднують точку М з усіма точками лінії, утворюють поверхню а; така поверхня називається конічною поверхнею, точка вершиною, лінія - напрямною, прямі утворюючими. На рис. 386 ми не обмежуємо поверхню а її вершиною, але уявляємо собі її, що простягається необмежено в обидва боки від вершини.

Якщо конічну поверхню розсікти будь-якої площиною, паралельної площині направляючої , то в перерізі отримаємо лінію (криву або ламану, залежно від того, чи була кривою або ламаною лінія ), гомотетичну лінії l, з центром гомотетії у вершині конічної поверхні. Справді, відношення будь-яких відповідних відрізків утворюючих буде постійним:

Отже, перерізи конічної поверхні площинами, паралельними площині напрямної, подібні та подібно розташовані, з центром подібності у вершині конічної поверхні; це правильно для будь-яких паралельних площин, які проходять через вершину поверхні.

Нехай тепер напрямна - замкнута опукла лінія (крива на рис. 387 а, ламана на рис. 387 б). Тіло, обмежене з боків конічної поверхнею, взятої між її вершиною і площиною напрямної, і плоскою основою в площині напрямної, називається конусом (якщо крива лінія) або пірамідою (якщо ламана).

Піраміди класифікуються за кількістю сторін багатокутника, що лежить у їх основі. Говорять про трикутну, чотирикутну і взагалі -вугільну піраміди. Зауважимо, що вугільна піраміда має грань: бічних граней і основу. При вершині піраміди ми маємо -гранний кут із плоскими та двогранними кутами.

Вони відповідно називаються плоскими кутами при вершині та двогранними кутами при бічних ребрах. При вершинах основи маємо тригранних кутів; їх плоскі кути, утворені бічними, ребрами та сторонами основи, називаються плоскими кутами на підставі, двогранні кути між бічними гранями та площиною основи - двогранними кутами на підставі.

Трикутна піраміда інакше називається тетраедром (тобто чотиригранником). Будь-яка з її граней може бути прийнята за основу.

Піраміда називається правильною при виконанні двох умов: 1) в основі піраміди лежить правильний багатокутник,

2) висота, опущена з вершини піраміди на основу, перетинає його у центрі цього багатокутника (інакше кажучи, вершина піраміди проектується у центр основи).

Зауважимо, що правильна піраміда не є, власне кажучи, правильним багатогранником!

Відзначимо деякі властивості правильної вугільної піраміди. Проведемо через вершину такої піраміди висоту SO (рис. 388).

При такому повороті багатокутник основи перейде сам до себе: кожна з його вершин займе положення сусідньої. Вершина піраміди та її висота (вісь обертання!) залишаться на місці, і тому піраміда як ціле поєднається сама з собою: кожне бокове ребро перейде в сусіднє, кожна бічна грань поєднається з сусідньою, кожен двогранний кут при боковому ребре також поєднається з сусіднім.

Звідси висновок: всі бічні ребра рівні між собою, всі бічні грані суть рівні рівнобедрені трикутники, всі двогранні кути при основі рівні, всі плоскі кути при вершині рівні, всі плоскі кути при основі рівні.

З-поміж конусів в курсі елементарної геометрії ми вивчаємо прямий круговий конус, тобто такий конус, основа якого коло, а вершина проектується в центр цього кола.

Прямий круговий конус показано на рис. 389. Якщо проведемо через вершину конуса висоту SO і повернемо конус навколо цієї висоти на довільний кут, то коло основи ковзатиме сама по собі; висота та вершина залишаться на місці, тому при повороті на будь-який кут конус суміситься сам із собою. Звідси видно, зокрема, що всі конуса, що утворюють, рівні між собою і однаково нахилені до площини основи. Перетин конуса площинами, що проходять через його висоту, будуть рівнобедреними трикутниками, рівними між собою. Весь конус виходить від обертання прямокутного трикутника SOA навколо його катета (що стає висотою конуса). Тому прямий круговий конус є тілом обертання і називається конусом обертання. Якщо не обумовлено неприємне, ми для стислості надалі говоримо просто «конус», розуміючи під цим конус обертання.

Перетин конуса площинами, паралельними площині його основи, суть кола (хоча б тому, що вони гомотетичні кола основи).

Завдання. Двогранні кути при основі правильної трикутної піраміди дорівнюють а. Знайти двогранні кути при бічних ребрах.

Рішення. Позначимо тимчасово бік основи піраміди через а. Проведемо переріз піраміди площиною, що містить її висоту SO та медіану основи AM (рис. 390).

Клас: 11 Урок №14 Дата проведення: ____________

Тема урока: “Прямий круговий конус, його елементи. Осьові перерізи конуса. Перетину конуса площиною, паралельною до основи. Розгортка конуса»

Мета уроку:

Ввести поняття конічної поверхні, конуса, елементів конуса (бічна поверхня, основа, вершина, що утворює, вісь, висота), поняття зрізаного конуса;

Вивести формули для обчислення площ бічної та повної поверхонь конуса та усіченого конуса;

Вчити учнів вирішувати завдання з цієї теми.

Сприяти творчому сприйняттю учнями навчального матеріалу та їх бажання самовдосконалюватись.

Виховувати організованість, дисциплінованість, відповідальність за свою працю та працю однокласників.

Тип уроку: Вивчення нового матеріалу.

Обладнання уроку: інтерактивна дошка, таблиці, моделі конусів, матеріал для виготовлення моделей: спиці, модель площини (пінопласт), папір, клей, ножиці, циркуль, транспортир, лінійка.

Форма організації діяльності учнів : г рупова.

Хід уроку

1. Фронтальна робота

Із запропонованих геометричних фігур вибрати конус

Знайомство з конічною поверхнею

Визначення №1 Конічна поверхня називається поверхня, утворена рухом прямої, яка проходить через дану точку і перетинає цю плоску лінію.

Пряма а - твірна;

Плоска лінія MN – напрямна.

Незамкнута конічна поверхня

Якщо напрямна - замкнута, токонічна поверхня – замкнута.

Визначення №2 Конусом називається тіло, обмежене замкненою конічною поверхнею і площиною, що її перетинає.

Знайомство з конусом та його елементами

А) Конус

SO a (SO=Н, SO = h)

SO - висота конуса

SA - утворює

S – вершина конуса

Крива ABA -напрямна .

Б) Нехай прямокутний прямокутник SOA обертається довкола катета SO; при повному обороті гіпотенуза AS визначає конічну поверхню, катет OA визначає коло.

Таке тіло називаєтьсяконусом обертання . (Прямий круговий конус).

Прямий круговий конус

S – вершина конуса

SA - утворює

SO = h - висота конуса

(вісь конуса - а)

Основа конуса - коло (О; r)

О - центр основи,

AO = OB = r - радіус основи кола

D SAB -осьове перетин

a||b, b SO, a SO

Коло (о;r) ~ Коло (о1; r1)

Поняття бічної (повної) поверхні.

ІІ. Робота у групах (3-5 осіб)

(Завдання лунає кожній групі на картці)

Завдання на тему «Конус»

1) Зобразіть конус. На малюнку визначте всі елементи конуса.

2) За заданою моделлю конуса побудуйте розгортку цього конуса. Визначте відповідність елементів розгортки конуса, креслення та моделі конуса.

3) З листа щільного паперу виготовити конус, щоб його повна поверхня: S110 см2 при радіусі основи r3.1 див.

Визначте, які інструменти вам для цього знадобляться, які розрахунки необхідно зробити, які формули доведеться згадати, а які вивести нові?

4) Оформіть роботу на місці за планом:

А) Які у вас розподілилися обов'язки у групі у процесі виконання завдань:

генератор ідей;

конструктор;

розрахунник;

оформлювач;

виробник.

Б) Опишіть способи та підходи до розв'язання задачі.

Необхідні розрахунки виготовлення моделі конуса. (Креслення. Формули. Висновок)

Виготовлення конуса.

5) Модель конуса готова.

6) Складіть формулу для розрахунку площі перерізу, паралельного підставі конуса і ділить висоту конуса щодо 1:3, рахуючи від вершини

7) Складіть формулу для розрахунку площі перерізу, що проходить через вісь конуса. Чому дорівнює кут при вершині цього перерізу?

8) Як можна з вашої моделі отримати усічений конус? Розрахувати його повну поверхню, використовуючи завдання (6).

9) Складіть і розв'яжіть ще три завдання на цю тему.

Примітка: вчитель виступає у ролі консультанта під час вирішення завдань, користуючись питаннями- підказками і спираючись на ключові слова.

Однією з груп було дано легші завдання:

№1. Заповнити перепустки:

Пряма, яка під час руху утворює конічну поверхню, називається…;

Лінія, яку перетинає твірна, називається .....;

Конус обертання - окремий випадок, коли основа конуса - .., а основа висоти - ..;

Перетин конуса обертання площиною, паралельною до основи, - …. Знайдіть площу перерізу.

Якщо осьовий переріз конуса-рівносторонній трикутник, то конус ..... Зробити креслення:

№2. Розв'яжіть завдання, заповнюючи пропуски.

У розгортці бічної поверхні конуса центральний кут дорівнює 200 o. Знайти кут між твірною та основою конуса.

Дано:ВSB = 200 o, SA=L, ОВ=r

ЗнайтиSAO

Рішення:

1) a =360 o…..| cos x=…

2) 200 o=…

3) cosx=… , x -

А) … утворює;

Б) … напрямної;

В) …конус, …. Коло…, центр основи

Г) …коло, … відстані перетину від вершини конуса;

Д) ... називається рівностороннім

а)

Б) 200 o= 360 o* cos x;

Завдання додому.

Вивчити зрізаний конус, вирішити задачі №

Підсумок уроку.

В результаті роботи учні

Самі вивели формули для обчислення бічної та повної поверхонь конуса

Намалювали розгортку

Зробили необхідні розрахунки

Групи

L(см)

9,2

3,1

21,1754

89,5528

110,7282

7,8

28,26

73,476

101,74

9,4

28,26

88,548

116,808

10,4

4,9

75,3914

160,0144

235,4058

Провели дослідницьку роботу,

Вирішили завдання,

Постійно спілкувалися між собою, вчилися мислити та мотивувати своїх товаришів по роботі.

Здобули не тільки необхідні знання, а й велике задоволення.

З'ясували, що слово "Конус" походить від грецького слова "xwnos", що означаєшишка.

Конус (з грецької "konos")- Соснова шишка. Конус знайомий людям з давнину. У 1906 році була виявлена книга «Про метод», написана Архімедом (287-212 рр. до н. е..), в цій книзі дається розв'язання задачі про обсяг загальної частини циліндрів, що перетинаються. Архімед каже, що це відкриття належить давньогрецькому філософу Демокріту (470-380 рр. до н.е.), який за допомогою цього принципу отримав формули для обчислення обсягу піраміди та конуса.

Конус (круговий конус) – тіло, що складається з кола – основа конуса, точки, що не належить площині цього кола, – вершини конуса та всіх відрізків, що з'єднують вершину конуса та точки кола основи. Відрізки, які з'єднують вершину конуса з точками кола основи, називають утворюючими конуса. Поверхня конуса складається з основи та бічної поверхні.

Конус називається прямим, якщо пряма, яка з'єднує вершину конуса з центром основи, перпендикулярна площині основи. Прямий круговий конус можна як тіло, отримане при обертанні прямокутного трикутника навколо його катета як осі.

Висотою конуса називається перпендикуляр, опущений із його вершини на площину основи. У прямого конуса основа висоти збігається з центром основи. Осі прямого конуса називається пряма, що містить його висоту.

Перетин конуса площиною, що проходить через утворює конуса і перпендикулярна до осьового перерізу, проведеного через цю утворювальну, називається дотичною площиною конуса.

Площина, перпендикулярна до осі конуса, перетинає конус по колу, а бічну поверхню – по колу з центром на осі конуса.

Площина перпендикулярна осі конуса відсікає від нього менший конус. Частина, що залишилася, називається усіченим конусом.

Обсяг конуса дорівнює третині твору висоти на площу основи. Таким чином, всі конуси, що спираються на дану основу і мають вершину, що знаходиться на даній площині, паралельній основі, мають рівний обсяг, оскільки їх висоти дорівнюють.

Площу бічної поверхні конуса можна знайти за формулою:

S бік = πRl,

Площа повної поверхні конуса знаходиться за формулою:

S кон = πRl + πR 2 ,

де R - радіус основи, l - Довжина утворює.

Об'єм кругового конуса дорівнює

V = 1/3 πR 2 H,

де R – радіус основи, Н – висота конуса

Площа бічної поверхні зрізаного конуса можна знайти за формулою: