Інертна та гравітаційна маси.

Де c- швидкість світла. Різниця d sнатурального параметра у двох близьких точках чотиривимірного простору-часу називається просторово-часовим інтервалом. Він пов'язаний із збільшеннями координат наступної формули:

Поодинокий дотичний вектор? iдо світової лінії є справжнім чотиривектором; він виражається через чотиривектор швидкості:

Геодезична кривизна світової лінії також є справжнім чотиривектором і дорівнює:

У спеціальній теорії відносності прискорення матеріальної точки було пов'язано із силою наступної формули:

Оскільки в спеціальній теорії відносності символи Крістофеля дорівнюють нулю, то ми можемо замість другої похідної за часом підставити вектор кривизни. k iз відповідним коефіцієнтом, та узагальнити (5) до наступної тензорної формули:

Усі справжні сили, окрім сили тяжіння та сил інерції, (наприклад електромагнітні сили) зібрані у векторі F i. Мимохідь можна побачити такий цікавий геометричний факт: геодезична кривизна світової лінії (розмірність зворотної відстані) дорівнює силі, поділеній на енергію спокою:.

Сила тяжіння та сили інерції описуються одним доданком у формулі (6), пов'язаним із символами Крістоффеля. Перепишемо (6), перенісши цей доданок у праву частину рівняння, і позначимо цю несправжню силу (Еф з Тільдою):

Звернімо увагу, що маса mу лівій частині формули (6) винесено за дужки, а тому при розриті дужок буде однаковою інерційна маса, яка стоїть множником біля прискорення в даній системі координат:

І гравітаційна маса, яка стоїть множником у формулі для гравітаційної сили:

Зрозуміло, що відокремити силу тяжіння сил інерції важко, особливо у нестаціонарному гравітаційному полі.
Однак ми можемо окремо говорити про сили інерції у разі плоского простору Мінковського, коли тензор Рімана тотожно дорівнює нулю. Також ми можемо говорити лише про силу гравітації та відсутність сил інерції, якщо метричний тензор не залежить від часу і на нескінченності переходить у постійний тензор Мінковського:

ЕКВІВАЛЕНТНОСТІ

Теорія

Відносності

Вам, можливо, доводилося відчувати дивні фізичні відчуття в швидкісних ліфтах: коли ліфт рушає вгору (або гальмує під час руху вниз), вас придавлює до підлоги і вам здається, що ви на мить поважчали; а в момент гальмування під час руху вгору (або старту під час руху вниз) підлога ліфта буквально йде у вас з-під ніг. Самі, можливо, того не усвідомлюючи, ви відчуваєте при цьому на собі дію принципу еквівалентності інертної та гравітаційної мас. Коли ліфт рушає вгору, він рухається з прискоренням, яке приплюсовується до прискорення вільного падіння в неінерційній (що рухається з прискоренням) системі відліку, пов'язаної з ліфтом, і ваша вага збільшується. Однак як тільки ліфт набрав «крейсерську швидкість», він починає рухатися рівномірно, «надбавка» у вазі зникає, і ваша вага повертається до звичного для вас значення. Таким чином, прискорення справляє той самий ефект, що і гравітація.

Тепер уявіть, що ви знаходитесь у відкритому космосі далеко від будь-яких значних гравітаційних полів, але при цьому ваш корабель рухається з прискоренням 9,8 м/с 2 . Якщо ви встанете на терези, то виявите, що вага вашого тіла не відрізняється від ваги вашого тіла на Землі. Якщо ви візьмете кулю і відпустите її, вона, як і на Землі, впаде на підлогу, і, якщо виміряти зміну швидкості її падіння в дорозі, виявиться, що він падав рівноприскорено все з тим самим прискоренням 9,8 м/с 2 , то є динаміка його падіння нічим не відрізняється від земної. Принцип еквівалентності якраз і говорить, що, перебуваючи в будь-якій замкнутій системі, ви не можете визначити, чи викликано прискорення вільно рухомого тіла в ній гравітаційним полем або воно є власним прискоренням неінерційної системи відліку, в якій ви знаходитесь, іншими словами, обумовлено дією сили інерції.

З принципу еквівалентності випливають цікаві передбачення щодо поведінки світла у гравітаційному полі. Уявіть, що в момент прискореного руху нагору при старті ліфта ви послали світловий імпульс (наприклад, за допомогою лазерної указки) у напрямку мішені на протилежній стіні ліфта. За той час, поки імпульс світла перебуває в дорозі, мета разом з ліфтом прискориться і світловий спалах на стіні виявиться нижче за мішеню. (Звичайно ж, у земних умовах ви цього відхилення не помітите, так що просто уявіть, ніби ви здатні розглянути відхилення на тисячні частки мікрона.) Тепер, повертаючись до принципу еквівалентності гравітації та прискорення, можна дійти невтішного висновку, що аналогічний ефект відхилення світлового променя повинен спостерігатися у не-инерциальной системі, а й у гравітаційному полі. Для світлового променя, відповідно до узагальненого принципу еквівалентності сил гравітації та інерції, введеного Ейнштейном до постулатів загальної теорії відносності, відхилення світлового променя

зірки, що проходить по дотичній до периметру Сонця, має становити близько 1,75 кутової секунди (приблизно одна двотисячна градуса), у той час як у рамках класичної механіки Ньютона промінь також повинен відхилятися через те, що світло має масу, але на значно менший кут (близько 0,9 кутової секунди). Таким чином, вимірювання, проведені сером Артуром Еддінгтоном (Arthur Eddington, 1882-1944) під час повного сонячного затемнення 1919 року і виявили відхилення променя на кут 1,6 кутової секунди, стали тріумфальним експериментальним підтвердженням загальної ТЕОРІЇ.

Наслідуючи аналогічні міркування, неважко побачити, що принцип еквівалентності передбачає, що в спектрі світлового променя, спрямованого у бік зменшення інтенсивності гравітаційного поля (у земних умовах - вгору), має спостерігатися червоне зміщення, і це передбачення також отримало своє експериментальне підтвердження.

Принцип еквівалентності лише з постулатів загальної теорії відносності. Він обмежується розглядом ефектів гравітації та рівноприскореного руху, проте кожне підтвердження принципу еквівалентності є одночасно підтвердженням загальної теорії відносності.

Проба на фарбування полум'я

Присутність металів можна ідентифікувати за кольором полум'я, що утворюється під час їх горіння.

кін. XVIII ^ПРОБА

НА фарбування полум'я

1859 ВІДКРИТТЯ

КІРХГОФУ-БУНЗЕНУ

1859 ^ СПЕКТРОСКОПІЯ

1913 ^ АТОМ БОРУ

При здійсненні електроном квантового стрибка з однієї дозволеної орбіталі на іншу атом випромінює світло. А оскільки енергетичні рівні атомів двох елементів різні, світло, що випромінюється атомом одного елемента, відрізнятиметься від світла, що випромінюється атомом іншого. Це становище є основою науки, яку ми називаємо спектроскопією (див. відкриття кирхго фа-бунзена).

На цьому ж положенні (що атоми різних елементів випромінюють світло різної довжини хвилі) заснована проба на фарбування полум'я в хімії. При нагріванні в полум'ї газового пальника розчину, що містить іони одного з лужних металів (тобто одного з елементів першої колонки періодичної системи Менделєєва), полум'я забарвиться певний колір залежно від того, який метал є в розчині. Наприклад, яскраво-жовтий колір полум'я видає присутність натрію, фіолетовий - калію, а кармінно-червоний - літію. Відбувається це фарбування полум'я так: зіткнення з гарячими газами полум'я переводить електрони у збуджений стан, з якого вони повертаються у вихідне, одночасно випромінюючи світло характерної довжини хвилі.

Ця властивість атомів пояснює, чому ліс, прибитий до океанського берега, високо цінується для топки камінів. Довгий час перебуваючи в морі, колоди адсорбують велику кількість різних речовин, і при горінні колод ці речовини забарвлюють полум'я у безліч різних кольорів.

Будь-яке парне число більше 2 можна представити у вигляді суми двох простих чисел

проблема гольдбаху

християн гольдбах

(Christian Goldbach, 1690-1764) – німецький математик. Народився в Кенігсберзі у Пруссії (нині Калінінград, Росія). У 1725 став професором математики в Санкт-Петербурзі, трьома роками пізніше приїхав до Москви в якості домашнього вчителя майбутнього царя Петра II. Під час подорожей Європою Гольдбах познайомився з багатьма провідними математиками свого часу, включаючи Готфріда Лейбніца, Абрахама де Муавра та сім'ю Бернуллі. Багато його робіт виросли з листування з великим швейцарським математиком Леонардом Ейлером (Leonhard Euler, 1707-83). Твердження, яке ми тепер називаємо проблемою Гольдбаха, вперше було висунуто 1742 року в листі Гольдбаха до Ейлера.

Найпростіші математичні твердження іноді буває найскладніше довести. Так, велика теорема ферма була остаточно доведена лише наприкінці XX століття – через кілька сотень років після того, як була сформульована. Існує ще одне твердження, чимось схоже на теорему Ферма, яке математики не змогли довести досі. Його називають проблемою Гольдбаха, і формулювання цього твердження гранично просте. У ньому лише говориться, що кожне парне число більше 2 можна як суму двох простих чисел. (Пояснимо: просте число - це число, яке ділиться тільки на 1 і на себе саме. Так, 2, 3, 5, 7 - прості числа, а 4 (2 х 2),

6 (3 х 2), 9 (3 х 3) – ні.) Вперше це твердження висунув Християн Гольдбах у 1742 році. З нього випливає, що 10 (візьмемо приклад простіше) як парне число можна записати у вигляді суми

7 + 3, де 7 та 3 - прості числа. Інше формулювання твердження Гольдбаха, трохи менш відоме, - що будь-яке непарне число, більше або дорівнює 9, можна подати у вигляді суми трьох простих чисел (наприклад, 13 = 7 + 3 + 3 = 5 + 5 + 3).

Відколи Гольдбах висунув цю гіпотезу, математики не сумнівалися, що вона, як і Велика теорема Ферма, вірна. Проте, на відміну від теореми Ферма, ніхто ніколи не претендував на те, що зумів її довести. До вирішення цієї проблеми існує підхід «в лоб» - надовго запустити комп'ютерну програму, яка б послідовно перевіряла це твердження на більших і більших парних числах. У такий спосіб можна було б спростувати теорему, якби вона була неправильна. Але так не можна довести теорему - з тієї простої причини, що ніколи не можна гарантувати, що число, яке програма могла б перевірити за свій крок, не виявиться першим винятком з правила. Насправді ми знаємо, що проблема Гольдбаха вірна принаймні всім парних чисел, які перевищують 100 000.

У 30-ті роки XX століття група російських математиків встановила, що кількість простих чисел, які при додаванні утворюють парне число, звичайно, а також що проблема Гольдбаха вірна для великого класу парних чисел. Проте доказ теореми досі не знайдено.

Чому математики витрачають стільки часу на вирішення таких завдань як Велика теорема Ферма чи проблема Гольдбаха? Адже в цьому немає практичного сенсу, з їхнього вирішення не можна отримати жодної вигоди. На мій погляд, це дуже давній і дуже властивий людській природі вид діяльності – пошук самоочевидної, безперечної істини. Філософи тисячоліттями шукають істину. Математики сподіваються виявити такі істини, працюючи із системами, побудованими на чистій логіці. І те, що ці докази настільки важко досяжні, напевно, пояснюється скоріше самою логікою, неможливістю знайти істину в цьому ненадійному, мінливому світі, а не властивістю математики як такої.

Масу тіла можна визначити шляхом вимірювання прискорення, що випробовується тілом, під дією відомої сили:

Мін = F/a (1)

Маса, що визначається таким шляхом, що позначається Мін, відома під назвою інертної маси. Масу можна також визначити, вимірюючи силу її тяжіння до іншого тіла, наприклад Землі: GMгрМ3=F,

Мгр = FrІ / GM3 (2)

Визначувана подібним способом маса, що позначається Мгр, зветься гравітаційної маси. У формулах (2) М3 – маса Землі.

Чудово, що інертні маси всіх тіл у межах точності вимірів пропорційні їх гравітаційним масам.

Принцип еквівалентності

Ні разу, ні за яких умов не було виявлено жодної різниці між інертною та гравітаційною масами тіла, наводить на думку, що тяжіння у певному сенсі може бути еквівалентним прискоренню.

Дії прискореного руху та сили тяжіння повністю взаємно знищуються. Спостерігач, що сидить у закритому ліфті і реєструє сили, що представляють йому гравітаційні, не може сказати, яка частка цих сил обумовлена ​​прискоренням і яка - дійсними гравітаційними силами. Він взагалі не виявив жодних сил, якщо тільки на ліфт не вплинуть якісь інші (тобто, відмінні від гравітаційних сили. Постульований принцип еквівалентності вимагає, зокрема, щоб відношення інертних мас до гравітаційних задовольняло тотожності

Мін/Мгр = 1

"Невагомість" людини в супутнику на орбіті є наслідком принципу еквівалентності.

Пошуки математичних наслідків принципу еквівалентності призводять до загальної теорії відносності.

Теорія відносності

Альберт Ейнштейн створив нову теорію – теорію відносності, або релятивістську механіку (від англійської – відносність).

Головний внесок Ейнштейна у пізнання законів природи полягав навіть не у відкритті нових формул, а в радикальній зміні основних фундаментальних уявлень про простір, час, речовину та рух.

Загальна теорія відносності описує взаємозв'язок фізичних процесів, які у прискорено рухаються друг щодо друга (неінерційних) системах відліку.

Спеціальна теорія відносності базується на двох постулатах.

Перший постулат теорії відносності є узагальненням класичного принципу відносності Галілея на будь-які закони природи, а не лише механіки.

Перший постулат теорії відносності:

Усі закони природи однакові в інерційних системах відліку.

Це означає, що всі інерційні системи еквівалентні. За наявності двох інерційних систем відліку безглуздо з'ясовувати, яка їх рухається, а яка лежить. Можна спостерігати лише відносний прямолінійний рух. Не можна говорити про абсолютний прямолінійний і рівномірний рух, інакше існувала б ІСО, в якій закони природи відрізнялися б від законів в інших системах. Порівнюючи ці закони, спостерігач міг би встановити, у спокої чи рухається ця система, що суперечить першому постулату.

Жодні досліди в принципі не дозволяють виділити кращу абсолютну інерційну систему відліку.

Другий постулат теорії відносності:

Швидкість світла у вакуумі однакова у всіх інерційних системах відліку.

Це означає, що швидкість сету у вакуумі залежить від швидкості руху джерела чи приймач світла.

Постійність швидкості світла – фундаментальна властивість природи. Відповідно до постулатів СТО швидкість світла – максимально можлива швидкість поширення будь-якої взаємодії.

Швидкість світла утворює верхню межу швидкостей всім матеріальних тіл.

Матеріальні тіла не можуть мати більшу швидкість, ніж швидкість світла.

Як зазначалося, загальну теорію відносності було створено Ейнштейном у зв'язку з спробами побудувати релятивістську теорію тяжіння. Закон всесвітнього тяжіння Ньютона з його далекодійством та миттєвою передачею сили несумісний з висновками спеціальної теорії відносності. Потрібно змінити його формулювання таким чином, щоб він, не перестаючи відповідати всьому наявному фізичному та астрономічному досвіду, задовольнив би водночас вимогам теорії відносності.

Один із можливих шляхів до цього напрошувався сам собою. Закон тяжіння Ньютона за своєю формою дуже близький до основного закону електрики - закону Кулона. І там, і тут сила взаємодії обернено пропорційна квадрату відстані. Використовуючи цю аналогію, можна було сподіватися досягти успіху. Такі спроби справді мали місце з боку деяких фізиків; вони показали, що релятивістське узагальнення закону Ньютона, у разі, можливо. Проте сам Ейнштейн пішов іншим шляхом.

Вихідним пунктом теорії Ейнштейна служить основна властивість сил тяжіння, що полягає в тому, що Усетіла (в порожнечі) падають із однаковим прискоренням.


Цей закон встановив уже Галілей, зробивши з цією метою досліди зі скидання різних тіл з вершини вежі. Багато читачів бачили, ймовірно, ефектний досвід, коли в трубці, з якої відкачано повітря, шматочок свинцю та пушинка падають абсолютно однаково, не відстаючи один від одного. Всі ми так звикли до цього простого закону, що готові вважати його чимось само собою зрозумілим і таким, що не вимагає особливих пояснень.

Багато фізиків розуміли, проте, що закон цей не такий самоочевидний. Тут стикаються дві абсолютно різні властивості матеріальних тіл.

Падіння тіл управляється двома фізичними законами - другим законом Ньютона та законом всесвітнього тяжіння. Перший з них стверджує, що прискорення тіла пропорційно діє на нього силі; Коефіцієнтом пропорційності служить маса, що є в силу цього мірою інерції тіла. Закон всесвітнього тяжіння каже, що сила, з якою тіло притягується Землею, пропорційна його масі. Тут маса виступає вже в зовсім іншій ролі - у ролі міри здатності тіла до взаємного тяжіння з іншими тілами. Для більшої ясності говорять тому про дві маси — масу інертноїта масі тяжкою.Вага тіла пропорційна його важкій масі. Відношення ваги до прискорення пропорційно до інертної маси. З того факту, що тяжіння повідомляє всім тілам однакові прискорення, випливає одразу ж, що інертна маса будь-якого тіла пропорційна його важкій масі.

У чому причина такого разючого збігу? Втім, можливо, закон цей лише наближений? Чи не можна знайти тіла, в яких важка та інертна маси розподілені у різних пропорціях?

Досвіди Галілея з сучасного погляду були досить грубими. Точніші експерименти були зроблені Ньютоном. Він порівнював між собою коливання маятників однакових розмірів, але з вантажами різних речовин — золота, срібла, свинцю, скла, піску, солі, дерева, води і навіть пшениці. Найменше відхилення від пропорційності між тяжкою та інертною масою відразу виявилося б по різниці в періодах коливань цих маятників. Однак хоча точність вимірів Ньютона була досить високою — близько 1/1000, жодної різниці виявити йому не вдалося.

Точні досліди в цьому ж напрямку були поставлені наприкінці минулого століття угорським фізиком Етвешем, який застосував для цієї мети крутильні ваги. Задум досвідів полягав у наступному. Як відомо, всі тіла на земній поверхні знаходяться під дією двох сил - сили тяжіння та відцентрової сили, що виникає внаслідок обертання Землі. Перша сила діє важку масу, друга — інертну. Сила тяжіння спрямована до центру Землі, тоді як відцентрова сила перпендикулярна її осі обертання аа(Рис. 36). На екваторі ці дві сили спрямовані вздовж однієї прямої, на полюсах відцентрова сила дорівнює нулю. У решті точках земної поверхні обидві сили, складаючись за правилом паралелограма, дають рівнодіючу, спрямовану дещо убік від центру Землі. Неважко зрозуміти, що й у двох тілах важка і інертна маси розподілені по-різному, те й ці рівнодіючі матимуть кілька різні напрями. Якщо ми врівноважимо два таких тіла на коромислі, підвішеному на тонкій нитці, то різниця напрямків сил змусить коромисло повернутися і закрутити нитку. Точність цих дослідів була така, що дозволяла виявити диспропорцію важкої та інертної мас, що становить лише 1/5000000 їх частку. Були перепробовані різні речовини, але ніяких відхилень виявити не вдалося.

Як ми знаємо, природа маси може бути різною – це може бути маса спокою «елементарних» частинок або маса, що відповідає енергії їхньої взаємодії, або маса електромагнітного поля. Досліди з радіоактивними речовинами, у яких співвідношення між цими видами маси безперервно змінюється, показали, що й у них розбіжностей між тяжкою та інертною масами не виявляється.

Доводиться, таким чином, зробити висновок, що закон пропорційності важкої та інертної маси є загальним фізичним законом, справедливим для всіх тіл, незалежно від їхньої природи. Якщо вимірювати обидві маси в одних одиницях, то їх чисельні значення для кожного тіла збігатимуться. Тому можна говорити не про пропорційність, а про рівність обох мас.

Досвідчений факт рівності важкої та інертної мас, зведений у ранг універсального фізичного принципу, тягне за собою низку цікавих та важливих наслідків. Розглянемо якусь фізичну систему, укладену для визначеності в непроникний ящик. Піднімемо цю шухляду на достатню висоту над земною поверхнею і дозволимо йому вільно падати. Оскільки сила тяжкості повідомляє всім тілам однакові прискорення, всі тіла всередині ящика рухатимуться під впливом тяжкості абсолютно однаково, як і і саму ящик. Тим самим жодних взаємодій, зумовлених силами земного тяжіння, між цими тілами виникнути не може. Справа відбуватиметься так, ніби всередині ящика сила тяжіння зникла. Якщо ми перейдемо до системи відліку, в якій ящик нерухомий, то в ньому ніякого тяжіння не виявиться. Саме це має місце, наприклад, усередині штучних супутників Землі: під час їхнього вільного польоту ні розташовані там прилади, ні живі істоти не відчувають сили земного тяжіння. Якщо ми перенесемо будь-яким чином нашу фізичну систему в таке місце простору, де сили тяжіння насправді відсутні, то всі явища в ній відбуватимуться так само, як і під час вільного падіння.

З іншого боку, розглянемо ту ж саму фізичну систему, але вже в нерухомому стані на Землі. Тоді сила тяжіння всередині ящика буде проявлятися повністю з усіма наслідками, що звідси випливають. Фізичні умови всередині ящика будуть зовсім іншими, і всі процеси відбуватимуться інакше. Тепер перенесемо ящик знову кудись подалі від Землі і Сонця, щоб сила тяжіння на нього не діяла, але повідомимо йому прискорено, рівне прискоренню сили тяжіння біля земної поверхні. Що станеться? Усередині ящика з'являться сили інерції,які, подібно до сил тяжіння, повідомлятимуть всім тілам однакові прискорення (у системі відліку, де ящик нерухомий). Отже, фізичні умови всередині ящика будуть точно такими, як і тоді, коли він стояв на Землі.

Виходить таким чином, що сили тяжіння фізично еквівалентні силам інерції. Як і інші залежать від вибору системи відліку; зокрема, цю систему можна вибрати так, що сили тяжіння повністю зникають. Ця обставина, тісно пов'язана, як зрозуміло з попереднього, з рівністю важкої та інертної маси, Ейнштейн назвав принципом еквівалентностіта поклав його в основу загальної теорії відносності.

Тут, щоправда, необхідно зробити суттєве застереження. Ми можемо «знищити» сили тяжіння всередині цієї фізичної системи лише тому випадку, якщо ця система дуже велика. Справді, якщо розглянутий нами ящик має розміри десятків кілометрів, то всередині нього, коли він стоїть на земній поверхні, виявляться неоднорідностіполя тяжіння. Сила тяжіння, як відомо, зменшується з висотою; крім того, напрями сил тяжіння не паралельні, а сходяться у центрі Землі. Таке поле тяжіння вже не можна знищити жодним вибором системи відліку, оскільки, очевидно, за будь-якого поступального руху ящика сили інерції всередині нього обов'язково будуть паралельні і скрізь однакові за своєю величиною. Так само, за відсутності «справжнього» тяжіння ніяким прискореним рухом ящика не вдасться повністю імітувати реальне поле земного тяжіння. Таким чином, принцип еквівалентності має місцевий, або, як то кажуть, локальнийхарактер — він справедливий лише досить малих (точніше — лише нескінченно малих) областей простору.

Принцип еквівалентності припускає наочну геометричну аналогію. Розглянемо якусь криву поверхню, наприклад сферу. У вступі ми вже з'ясували, що внутрішня геометрія такої поверхні не буде евклідовою. Однак якщо ми обмежимося достатньою малою ділянкою поверхні, то відхилення від евклідової геометрії також будуть малі. Проведемо у будь-якій точці поверхні дотичну площину. Тоді малу ділянку поверхні ми без помітних спотворень можемо «перенести» на прилеглу ділянку площини; для цього можна, наприклад, спроектувати його на цю площину із центру сфери (або якоїсь іншої точки). Як відомо, саме так і чинять у картографії; тому карти порівняно невеликих частин земної поверхні досить точні вони не містять помітних відхилень від оригіналу. Що ж до карт, що зображують цілі континенти і навіть всю земну поверхню, то спотворення тут неминучі. Зокрема, на таких картах неможливо витримати усюди однаковий масштаб.

Є підстави назвати простір - час спеціальної теорії відносності пласким. Вибираючи виходячи з принципу еквівалентності систему відліку, у якій поле тяжіння у цій точці перетворюється на нуль, ми цим хіба що проводимо у цій точці «дотичну площину» до того простору—часу, що є за наявності поля тяжіння. Неможливість вибрати систему відліку, в якій поле тяжіння зникло б відразу в усьому просторі, означає, що в полі тяжіння простір - час є "кривим". Слід пам'ятати, що вираз «кривизна простору —часу» нічого іншого не означає. Щоправда, аналогія із геометрією тут досить глибока, але аналогія завжди залишається аналогією.

Принцип еквівалентності перестав бути прямим логічним наслідком закону рівності важкої та інертної мас. З цього закону випливає лише, що всі тіла у полі тяжіння рухаються однаково; принцип же еквівалентності поширюється попри всі фізичні процеси, зокрема і такі, які зводяться до механічному руху. З іншого боку, цей принцип не пов'язаний лише з теорією відносності. Для його формулювання не потрібно припускати ні сталості швидкості світла, ні будь-яких інших фактів та висновків теорії відносності. Принцип еквівалентності слід розглядати як загальний фізичний принцип, що є узагальненням результатів досвіду.

Слід зазначити, що принцип еквівалентності приймається беззастережно над усіма фізиками; зокрема, мають місце спроби побудувати загальну теорію відносності на основі лише закону рівності тяжкої та інертної мас. Однак ці спроби не можна визнати вдалими. Закон рівності інертної та важкої мас дозволяє побудувати лише кінематику теорії тяжіння та вивести закони механічного руху. Що ж до глибших наслідків загальної теорії відносності, закон рівності мас тут безсилий. Тому автори цих спроб змушені так чи інакше, явно чи мовчазно використати й загальний принцип еквівалентності.

Як же застосовується принцип еквівалентності теорії тяжіння? Побудувати теорію тяжіння — це насамперед означає вказати, як у цьому полі поводитиметься той чи інший фізичний об'єкт. Наприклад, нам добре відомі закони електродинаміки за умов відсутності поля тяжіння — вони даються рівняннями Максвелла. Ми вміємо також формулювати їх у будь-якій неінерційній системі відліку; все, що потрібно знати для цього, це вираз інтервалу власного часу. Постає питання, як написати рівняння Максвелла в полі тяжіння?

Розглянемо, наприклад, електромагнітне поле поблизу земної поверхні, т. е. у полі тяжіння. Виділимо досить малий обсяг простору, щоб можна було застосувати принцип еквівалентності. Введемо таку систему відліку, в якій поле тяжіння усередині виділеного об'єму зникає. Для цього можна пов'язати її з якимось вільно падаючим тілом, що пролітає в даний момент через нашу ділянку простору. Так як поля тяжіння тепер немає, то наша система відліку не за своїми властивостями відрізнятиметься від інерційної, і для неї справедливі всі висновки спеціальної теорії відносності; зокрема ми зможемо сформулювати там і рівняння Максвелла. Так само для кожного малого обсягу простору ми введемо свою місцеву інерційну систему відліку, в якій і сформулюємо шуканий фізичний закон. Але нам потрібно мати формулювання рівнянь Максвелла не в цій безлічі місцевих систем відліку, а в будь-якій загальній системі, що охоплює відразу весь простір навколо земної кулі або, принаймні, досить велику область цього простору. Для цього ми маємо в кожному малому обсязі перейти від місцевої інерційної системи відліку до цієї єдиної загальної системи; це буде рівносильно переходу до деякої неінерційної системи відліку, а таку операцію ми робитимемо вміємо. Таким чином, ми отримаємо формулювання законів електромагнітного поля за наявності тяжіння. Зауважимо, що ми отримуємо і формулу для свого часу у цій загальній системі отсчета.

Цю програму і здійснив Ейнштейн у низці робіт із загальної теорії відносності. При цьому він отримав низку важливих та цікавих результатів. Деякі їх ми зараз розглянемо.

Ми знаємо, що всі фізичні закони, зокрема закони електродинаміки, допускають загальноковаріантнуформулювання, придатне для будь-якої, інерційної чи неінерційної системи відліку. Властивості системи відліку повністю описуються формулою свого часу; тому, наприклад, загальні рівняння Максвелла входять і коефіцієнти формули свого часу. І ось виявляється, що з принципу еквівалентності випливає, що ці загальні рівняння залишаються справедливими і в будь-якому полі тяжіння — для цього потрібно лише підставити в них коефіцієнти формули власного часу, що відповідає даному полю тяжіння. Тому, власне, потреба у нових формулюваннях фізичних законів відпадає: якщо ми вже зуміли написати їх у загальноковаріантному вигляді, то вони автоматично поширюються на будь-які поля тяжіння. Саме тут і дається взнаки вся сила принципу еквівалентності.

І саме тут деякі фізики припускаються логічної помилки. Прагнучи обійтися без принципу еквівалентності, вони просто переписують загальноковаріантну форму того чи іншого фізичного закону, виведеного в рамках спеціальної теорії відносності, і без подальших обставин вважають її дійсною також і в полі тяжіння. Однак цей "фокус" потребує обґрунтування. А воно без принципу еквівалентності неможливе.

Потрібно ще сказати кілька слів щодо назви загальна теорія відносності.Воно неодноразово критикувалося; і справді, його слід визнати вкрай невдалим. Важко навіть зрозуміти, що власне хотів висловити Ейнштейн цією назвою. Ще для спеціальної теорії відносності назва певною мірою виправдана, оскільки в її основі справді лежить принцип відносності Галілея.

Але ніякого принципу відносності загальнішого, ньому принцип відносності Галілея, фізика не знає. Фізичні явища в прискорено рухомих системах відбуваються інакше, ніж у системах, що рухаються рівномірно та прямолінійно. Можна, щоправда, сформулювати фізичні закони в загальноковаріантному вигляді, але це жодною мірою не знищує якісної різниці між прискореним та рівномірним рухом.

Очевидно, саме можливість підступного формулювання фізичних законів і мав на увазі Ейнштейн. Проте цей принцип немає фізичного змісту. З часів Лагранжа математична фізика навчилася формулювати будь-які фізичні співвідношення у будь-яких системах відліку та у будь-яких координатах; це суто математичне завдання. Безумовно, математичні ідеї та методи грають у теорії відносності величезну роль; без оволодіння ними зрозуміти остаточно теорію відносності неможливо. Але все ж таки це — теорія фізична і дивно надавати їй «математичну» назву.

З іншого боку, називати загальну теорію відносності теорією тяжіння,як це деякі пропонують, також видається неправильним. Правильно, що вона виникла на основі розробки релятивістської теорії тяжіння, так само, як спеціальна теорія відносності виникла з електродинаміки. Але як та, так і інша давно переросли ці початкові рамки. Ніхто не пропонує називати спеціальну теорію відносності електродинаміки. Так само неправомірно зводити загальну теорію відносності лише до теорії тяжіння.

Маса фігурує у двох різних законах: у другому законі Ньютона та у законі всесвітнього тяжіння. У першому випадку вона характеризує інертні властивості тіла, у другому – гравітаційні властивості, тобто здатність тіл притягувати одна одну. У зв'язку з цим виникає питання, чи не слід розрізняти інертну масу та гравітаційну масу.

Відповідь це питання може дати лише досвід. Розглянемо у геліоцентричній системі відліку вільне падіння тіл. Будь-яке тіло поблизу поверхні Землі відчуває силу тяжіння до Землі, яка згідно (46.13) дорівнює

(гравітаційна маса даного тіла, - гравітаційна маса Землі, - радіус земної кулі). Під дією цієї сили тіло набуває прискорення w (але не g; див. § 33), яке повинно бути рівним силі F, поділеної на інертну масу тіла

Досвід показує, що прискорення w для всіх тіл однаково (§ 33 показано, що з однаковості g випливає однаковість до). Множник також однаковий всім тіл.

Отже, і ставлення виявляється всім тіл тим самим.

До такого ж результату призводять і всі інші досліди, в яких могла б виявитися відмінність між інертною та гравітаційною масами.

З-поміж згаданих дослідів розповімо про досвід Етвеша, розпочатий в 1887 р. і тривав понад 25 років. В його основі лежить та обставина, що на тіло, що лежить поблизу поверхні Землі, діють, крім реакції опори, гравітаційна сила F, спрямована до центру Землі, а також відцентрова сила інерції спрямована перпендикулярно до осі обертання Землі (рис. 47.1; на цьому малюнку; не дотримано масштабу - модуль відцентрової сили на два порядки менше модуля гравітаційної сили, див. § 33). Гравітаційна сила пропорційна гравітаційній масі тіла

(G – напруженість гравітаційного поля). Відцентрова сила інерції пропорційна інертній масі. Відповідно до формули (33.4) її модуль визначається виразом

(- Широта місцевості).

З рис. 47.1 випливає, що модуль вертикальної складової відцентрової сили інерції дорівнює

Ми ввели позначення. Досвід Етвеша проводився на широті. У цьому випадку коефіцієнт А приблизно у 100 разів менший за G.

Модуль горизонтальної складової сили дорівнює

(Для значення коефіцієнтів А і В збігаються).

Етвеш підвісив на пружній нитці стрижень із укріпленими на його кінцях тілами наскільки можна рівної маси (рис. 47.2). Тіла бралися із різних матеріалів. До нижньої частини нитки кріпилося дзеркальце. Промінь, що вийшов із освітлювача і відбитий від дзеркальця, потрапляв на перехрестя зорової труби. Плечі V і підбиралися так, щоб стрижень перебував у рівновазі у вертикальній площині. Умова рівноваги виглядає так:

Прилад розташовувався так, щоб стрижень був перпендикулярний до площини меридіана (див. рис. 47.2). У цьому випадку горизонтальні складові відцентрової сили інерції створюють момент, що закручує, рівний

Виключивши з рівнянь (47.2) та (47.3) плече Г, можна після нескладних перетворень дійти формули

З цієї формули видно, що в тому випадку, коли відношення гравітаційної та інертної мас для обох тіл однаково, момент, що закручує нитку, повинен дорівнювати нулю. Якщо ж відношення для першого і другого тіла неоднакове, момент, що закручує, відмінний від нуля. У цьому випадку при повороті всього приладу на 180° момент, що закручує, змінив би знак на зворотний і світловий зайчик змістився б з перехрестя зорової труби (рис. 47.3). При порівнянні восьми різних тіл (зокрема і дерев'яного) з платиновим тілом, прийнятим зразок, Этвеш не виявив закручування нитки. Це дало йому підставу стверджувати, що ставлення цих тіл однаково з точністю в .

У 1961-64 рр. Дікке удосконалив метод Етвеша, використавши для створення закручує момент гравітаційне поле Сонця та відцентрову силу інерції, зумовлену орбітальним рухом Землі.

В результаті своїх вимірів Дікке дійшов висновку, що відношення однакове для досліджених тіл з точністю 10-11. Нарешті, в 1971 р. В. Б. Брагінський та В. І. Панов отримали сталість зазначеного відношення з точністю до

Отже, вся сукупність досвідчених фактів свідчить про те, що інертна і гравітаційна маси всіх тіл суворо пропорційні одне одному. Це означає, що при належному виборі одиниць гравітаційна та інертна маси стають тотожними, тому у фізиці говорять просто про масу. Тотожність гравітаційної та інертної мас покладена Ейнштейном в основу загальної теорії відносності.

У § 32 ми вже зазначали, що сили інерції аналогічні силам тяжіння - і ті, й інші пропорційні масі тіла, яким вони діють. Там було зазначено, що, перебуваючи всередині закритої кабіни, ніякими дослідами не можна встановити, чим викликана дія на тіло сили тим, що кабіна рухається з прискоренням -g, або тим, що нерухома кабіна знаходиться поблизу поверхні Землі. Це твердження є змістом так званого принципу еквівалентності.

Тотожність інертної та гравітаційної мас є наслідком еквівалентності сил інерцин та сил тяжіння.

Зазначимо, що від початку масу в (45.1) ми вважали збігається з інертною масою тіл, внаслідок чого чисельне значення у нас було визначено у припущенні, що Тому (47.1) можна записати у вигляді

Так само було визначено маси інших небесних тіл.