Ірраціональні числа - Гіпермаркет знань. Що означає ірраціональне число

Матеріал цієї статті є початковою інформацією про ірраціональні числа. Спочатку ми дамо визначення ірраціональних чисел і роз'яснимо його. Далі наведемо приклади ірраціональних чисел. Нарешті, розглянемо деякі підходи до з'ясування, чи задане число є ірраціональним чи ні.

Навігація на сторінці.

Визначення та приклади ірраціональних чисел

Під час вивчення десяткових дробів ми окремо розглянули нескінченні неперіодичні десяткові дроби. Такі дроби виникають при десятковому вимірі довжин відрізків, несумірних з одиничним відрізком. Також ми відзначили, що нескінченні неперіодичні десяткові дроби не можуть бути переведені в звичайні дроби (дивіться переведення звичайних дробів у десяткові і назад), отже, ці числа не є раціональними числами, вони представляють так звані ірраціональні числа.

Так ми підійшли до визначення ірраціональних чисел.

Визначення.

Числа, які в десятковому записі є нескінченними неперіодичними десятковими дробами, називаються ірраціональними числами.

Озвучене визначення дозволяє навести приклади ірраціональних чисел. Наприклад, нескінченний неперіодичний десятковий дріб 4,10110011100011110000… (кількість одиниць і нулів щоразу збільшується на одну) є ірраціональним числом. Наведемо ще приклад ірраціонального числа: −22,353335333335… (кількість трійок, що розділяють вісімки, щоразу збільшується на дві).

Слід зазначити, що ірраціональні числа досить рідко зустрічаються у вигляді нескінченних неперіодичних десяткових дробів. Зазвичай вони зустрічаються у вигляді , і т.п., а також у вигляді спеціально введених букв. Найвідомішими прикладами ірраціональних чисел у такому записі є арифметичний квадратний корінь із двох , число «пі» π=3,141592…, число e=2,718281… та золоте число.

Ірраціональні числа також можна визначити через дійсні числа, які поєднують раціональні та ірраціональні числа.

Визначення.

Ірраціональні числа– це дійсні числа, які є раціональними.

Чи є це число ірраціональним?

Коли число задано над вигляді десяткового дробу, а вигляді деякого , кореня, логарифма тощо., відповісти питанням, чи є воно ірраціональним, у часто досить складно.

Безперечно, при відповіді на поставлене питання дуже корисно знати, які числа не є ірраціональними. З визначення ірраціональних чисел випливає, що ірраціональними числами є раціональні числа. Таким чином, ірраціональними числами НЕ є:

• кінцеві та нескінченні періодичні десяткові дроби.

Також не є ірраціональним числом будь-яка композиція раціональних чисел, пов'язаних знаками арифметичних операцій (+, −, ·, :). Це тим, що сума, різницю, добуток і частки двох раціональних чисел є раціональним числом. Наприклад, значення виразів є раціональними числами. Тут же зауважимо, що якщо в подібних виразах серед раціональних чисел міститься одне ірраціональне число, то значення всього виразу буде ірраціональним числом. Наприклад, у виразі число - ірраціональне, а інші числа раціональні, отже - ірраціональне число. Якби було раціональним числом, то з цього випливала б раціональність числа, а воно не є раціональним.

Якщо вираз, яким задано число, містить кілька ірраціональних чисел, знаки кореня, логарифми, тригонометричні функції, числа π, e тощо, то потрібно проводити доказ ірраціональності або раціональності заданого числа в кожному конкретному випадку. Однак існує низка вже отриманих результатів, якими можна скористатися. Перелічимо основні їх.

Доведено, що корінь ступеня k із цілого числа є раціональним числом лише тоді, коли число під коренем є k-им ступенем іншого цілого числа, в інших випадках такий корінь задає ірраціональне число. Наприклад, числа і - ірраціональні, тому що не існує цілого числа, квадрат якого дорівнює 7 і не існує цілого числа, зведення якого в п'яту ступінь дає число 15 . А числа і є ірраціональними, оскільки і .

Що стосується логарифмів, то довести їхню ірраціональність іноді вдається методом від протилежного. Наприклад доведемо, що log 2 3 є ірраціональним числом.

Припустимо, що log 2 3 раціональне число, а чи не ірраціональне, тобто його можна у вигляді звичайного дробу m/n . і дозволяють записати наступний ланцюжок рівностей: . Остання рівність неможлива, тому що в його лівій частині непарне число, а правої частини – парне. Так ми дійшли протиріччя, отже, наше припущення виявилося неправильним, і цим доведено, що log 2 3 - ірраціональне число.

Зауважимо, що lna за будь-якого позитивного і відмінному від одиниці раціональному a є ірраціональним числом. Наприклад, і – ірраціональні числа.

Також доведено, що число e a при будь-якому відмінному від нуля раціональному a є ірраціональним, і що π z при будь-якому відмінному від нуля цілому z є ірраціональним. Наприклад, числа – ірраціональні.

Ірраціональними числами також є тригонометричні функції sin, cos, tg і ctg при будь-якому раціональному і відмінному від нуля значенні аргументу. Наприклад, sin1 , tg(−4) , cos5,7 є ірраціональними числами.

Існують і інші доведені результати, на які ми обмежимося вже перерахованими. Слід також сказати, що за доказі озвучених вище результатів застосовується теорія, пов'язана з алгебраїчними числамиі трансцендентними числами.

Насамкінець зазначимо, що не варто робити поспішних висновків щодо ірраціональності заданих чисел. Наприклад, здається очевидним, що ірраціональне число в ірраціональному ступені є ірраціональне число. Однак, це не завжди так. Як підтвердження озвученого факту наведемо ступінь. Відомо, що ірраціональне число, а також доведено, що ірраціональне число, але раціональне число. Також можна навести приклади ірраціональних чисел, сума, різницю, твір та приватне яких є раціональні числа. Більше того, раціональність чи ірраціональність чисел π+e , π−e , π·e , π π , π e та багатьох інших досі не доведена.

Список літератури.

• Математика. 6 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Н. Я. Віленкін та ін.]. - 22-ге вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Що таке ірраціональні числа? Чому вони так звуться? Де вони використовуються і що являють собою? Мало хто може без роздумів відповісти на ці запитання. Але насправді відповіді на них досить прості, хоч потрібні не всім і в дуже рідкісних ситуаціях

Сутність та позначення

Ірраціональні числа являють собою нескінченні неперіодичні Необхідність введення цієї концепції обумовлена ​​тим, що для вирішення нових завдань вже було недостатньо раніше наявних понять дійсних або речових, цілих, натуральних і раціональних чисел. Наприклад, щоб обчислити, квадратом якої величини є 2, необхідно використовувати неперіодичні нескінченні десяткові дроби. Крім того, багато найпростіших рівнянь також не мають рішення без введення концепції ірраціонального числа.

Ця множина позначається як I. І, як уже ясно, ці значення не можуть бути представлені у вигляді простого дробу, в чисельнику якого буде ціле, а в знаменнику -

Вперше так чи інакше з цим явищем зіткнулися індійські математики в VII столітті, коли було виявлено, що квадратне коріння з деяких величин не може бути позначене явно. А перший доказ існування подібних чисел приписують піфагорійцеві Гіппас, який зробив це в процесі вивчення рівнобедреного прямокутного трикутника. Серйозний внесок у вивчення цієї множини зробили ще деякі вчені, які жили до нашої ери. Введення концепції ірраціональних чисел спричинило перегляд існуючої математичної системи, ось чому вони такі важливі.

походження назви

Якщо ratio у перекладі з латини - це "дроб", "ставлення", то приставка "ір"
надає цьому слову протилежне значення. Таким чином, назва багатьох цих чисел говорить про те, що вони не можуть бути співвіднесені з цілим або дробовим, мають окреме місце. Це і випливає з їхньої сутності.

Місце у загальній класифікації

Ірраціональні числа поряд із раціональними належить до групи речових чи дійсних, які у свою чергу відносяться до комплексних. Підмножин немає, проте розрізняють алгебраїчну та трансцендентну різновид, про які йтиметься нижче.

Властивості

Оскільки ірраціональні числа - це частина безлічі дійсних, то до них застосовні всі властивості, які вивчаються в арифметиці (їх також називають основними алгебраїчними законами).

a + b = b + a (комутативність);

(a + b) + c = a + (b + c) (асоціативність);

a + (-a) = 0 (існування протилежного числа);

ab = ba (переміщувальний закон);

(ab)c = a(bc) (дистрибутивність);

a(b+c) = ab + ac (розподільчий закон);

a x 1/a = 1 (існування зворотного числа);

Порівняння також проводиться відповідно до загальних закономірностей та принципів:

Якщо a > b і b > c, a > c (транзитивність співвідношення) и. т.д.

Вочевидь, все ірраціональні числа може бути перетворені з допомогою основних арифметичних процесів. Жодних особливих правил при цьому немає.

Крім того, на ірраціональні числа поширюється дія аксіоми Архімеда. Вона говорить, що для будь-яких двох величин a і b справедливе твердження, що, взявши a як доданок достатню кількість разів, можна перевершити b.

Використання

Незважаючи на те, що в звичайному житті не так часто доводиться стикатися з ними, ірраціональні числа не піддаються рахунку. Їх безліч, але вони практично непомітні. Нас всюди оточують ірраціональні числа. Приклади, знайомі всім, - це число пі, що дорівнює 3,1415926..., або e, що є основою натурального логарифму, 2,718281828... В алгебрі, тригонометрії і геометрії використовувати їх доводиться постійно. До речі, знамените значення "золотого перерізу", тобто відношення як більшої частини до меншої, так і навпаки, також

відноситься до цієї множини. Менш відоме "срібне" - теж.

На числовій прямій вони розташовані дуже щільно, тому між будь-якими двома величинами, віднесеними до безлічі раціональних, обов'язково зустрічається ірраціональна.

Досі існує маса невирішених проблем, пов'язаних із цим безліччю. Існують такі критерії, як міра ірраціональності та нормальність числа. Математики продовжують досліджувати найбільш значні приклади щодо належності їх до тієї чи іншої групи. Наприклад, вважається, що е - нормальне число, т. е. ймовірність появи у його запису різних цифр однакова. Що ж до пі, то щодо його поки що ведуться дослідження. Мірою ірраціональності називають величину, що показує, наскільки добре те чи інше число може бути наближено раціональними числами.

Алгебраїчні та трансцендентні

Як вже було згадано, ірраціональні числа умовно поділяються на алгебраїчні та трансцендентні. Умовно, оскільки, строго кажучи, ця класифікація використовується для розподілу множини C.

Під цим позначенням ховаються комплексні числа, які включають дійсні або речові.

Отже, алгебраїчним називають таке значення, яке є коренем багаточлена, що не дорівнює тотожному нулю. Наприклад, квадратний корінь із 2 буде відноситися до цієї категорії, оскільки він є рішенням рівняння x 2 - 2 = 0.

Все ж таки інші речові числа, що не задовольняють цій умові, називаються трансцендентними. До цього різновиду відносяться і найбільш відомі і вже згадані приклади - число пі та основа натурального логарифму e.

Що цікаво, ні одне, ні друге були спочатку виведені математиками в цій якості, їх ірраціональність і трансцендентність були доведені через багато років після їх відкриття. Для підтвердження було наведено в 1882 році і спрощено в 1894, що поклало кінець суперечкам про проблему квадратури кола, які тривали протягом 2,5 тисяч років. Воно досі до кінця не вивчене, тому сучасним математикам є над чим працювати. До речі, перший досить точне обчислення цього значення провів Архімед. До нього всі розрахунки були надто приблизними.

Для е (числа Ейлера або Непера) доказ його трансцендентності було знайдено в 1873 році. Воно використовується у вирішенні логарифмічних рівнянь.

Серед інших прикладів – значення синуса, косинуса та тангенсу для будь-яких алгебраїчних ненульових значень.

Ірраціональне число- це дійсне число, яке не є раціональним , тобто не може бути представлене у вигляді дробу , де цілі числа , . Ірраціональне число може бути представлене у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу.

Безліч ірраціональних чисел зазвичай позначається великою латинською літерою в напівжирному накресленні без заливання. Отже: , тобто. безліч ірраціональних чисел є різниця множин речових та раціональних чисел.

Про існування ірраціональних чисел, точніше відрізків, несумірних з відрізком одиничної довжини, знали вже давні математики: їм була відома, наприклад, несумірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильне ірраціональності числа.

Властивості

• Будь-яке речове число може бути записане у вигляді нескінченного десяткового дробу, при цьому ірраціональні числа і тільки вони записуються неперіодичними нескінченними десятковими дробами.
• Ірраціональні числа визначають Дедекіндові перерізи у безлічі раціональних чисел, які у нижньому класі немає найбільшого, а верхньому немає найменшого числа.
• Кожне речовинне трансцендентне число є ірраціональним.
• Кожне ірраціональне число є або алгебраїчним або трансцендентним.
• Безліч ірраціональних чисел всюди щільно на числовій прямій: між будь-якими двома числами є ірраціональне число.
• Порядок на безлічі ірраціональних чисел ізоморфний порядку на безлічі речових трансцендентних чисел.
• Безліч ірраціональних чисел незліченна, є безліччю другої категорії.

Приклади

Ірраціональними є:

Приклади доказу ірраціональності

Корінь з 2

Допустимо неприємне: раціональний, тобто представляється у вигляді нескоротного дробу, де - ціле число, а - натуральне число. Зведемо передбачувану рівність у квадрат:

Звідси випливає, що парно, отже, парно і . Нехай де ціле. Тоді

Отже, парно, отже, парно і . Ми отримали, як і парні, що суперечить нескоротності дробу . Отже, вихідне припущення було неправильним, і – ірраціональне число.

Двійковий логарифм числа 3

Допустимо неприємне: раціональний, тобто представляється у вигляді дробу, де і - цілі числа. Оскільки і можуть бути обрані позитивними. Тоді

Але парно, а непарно. Отримуємо протиріччя.

e

Історія

Концепція ірраціональних чисел була неявно сприйнята індійськими математиками в VII столітті до нашої ери, коли Манава (бл. 750 р. до н. е. - бл. 690 р. до н. е.) з'ясував, що квадратне коріння деяких натуральних чисел, таких як 2 та 61, не можуть бути явно виражені.

Перший доказ існування ірраціональних чисел зазвичай приписується Гіппасу з Метапонта (бл. 500 рр. до н. е.), піфагорійцеві, який знайшов цей доказ, вивчаючи довжини сторін пентаграми. За часів піфагорійців вважалося, що існує єдина одиниця довжини, досить мала і неподільна, яка ціле число разів входить у будь-який відрізок. Проте Гіппас доводив, що немає єдиної одиниці довжини, оскільки припущення про її існування призводить до суперечності. Він показав, що й гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника містить цілу кількість одиничних відрізків, це число має бути одночасно і парним, і непарним. Доказ виглядав так:

• Відношення довжини гіпотенузи до довжини катета рівнобедреного прямокутного трикутника може бути виражене як a:b, де aі bобрані найменшими із можливих.
• За теоремою Піфагора: a² = 2 b².
• Так як a² парне, aмає бути парним (оскільки квадрат непарного числа був би непарним).
• Оскільки a:bнескоротна, bмає бути непарним.
• Так як aпарне, позначимо a = 2y.
• Тоді a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², отже b² парне, тоді і bпарно.
• Однак було доведено, що bнепарне. Протиріччя.

Грецькі математики назвали це ставлення незрівнянних величин алогос(Невимовним), проте згідно з легендами не віддали Гіппасу належної поваги. Існує легенда, що Гіппас здійснив відкриття, перебуваючи в морському поході, і був викинутий за борт іншими піфагорійцями «за створення елемента всесвіту, який заперечує доктрину, що всі сутності у всесвіті можуть бути зведені до цілих чисел та їхніх стосунків». Відкриття Гіппаса поставило перед піфагорійської математикою серйозну проблему, зруйнувавши припущення, що лежало в основі всієї теорії, що числа і геометричні об'єкти єдині і нероздільні.

Усі раціональні числа можна у вигляді звичайного дробу. Це стосується і цілих чисел (наприклад, 12, -6, 0), і кінцевих десяткових дробів (наприклад, 0,5; -3,8921) і нескінченних періодичних десяткових дробів (наприклад, 0,11 (23); -3 , (87)).

Однак нескінченні неперіодичні десяткові дробиуявити у вигляді звичайних дробів неможливо. Вони і є ірраціональними числами(тобто нераціональними). Приклад такого числа є число π, яке приблизно дорівнює 3,14. Однак чому воно точно дорівнює, визначити не можна, так як після цифри 4 йде нескінченний ряд інших цифр, в яких не можна виділити періоди, що повторюються. При цьому, хоча число π не можна точно виразити, він має конкретний геометричний зміст. Число π - це відношення довжини будь-якого кола до довжини її діаметра. Таким чином, ірраціональні числа дійсно існують у природі, також як раціональні.

Іншим прикладом ірраціональних чисел можуть бути квадратні корені з позитивних чисел. Вилучення коріння з одних чисел дає раціональні значення, з інших - ірраціональне. Наприклад, √4 = 2, тобто корінь із 4 - це раціональне число. А ось √2, √5, √7 та багато інших дають у результаті ірраціональні числа, тобто їх можна витягти лише з наближенням, округливши до певного знака після коми. При цьому дріб виходить неперіодичним. Тобто не можна точно і точно сказати, чому дорівнює корінь з цих чисел.

Так √5 - це число, що лежить між числами 2 і 3, так як √4 = 2, а √9 = 3. Можна також зробити висновок, що √5 ближче до 2, ніж до 3, тому що √4 ближче до √5, ніж √9 до √5. Дійсно, √5 ≈ 2,23 або √5 ≈ 2,24.

Ірраціональні числа виходять також в інших обчисленнях (а не тільки при витягуванні коріння), бувають негативними.

По відношенню до ірраціональних чисел можна сказати, що який би одиничний відрізок ми не взяли для вимірювання довжини, вираженої таким числом, ми не зможемо її виміряти.

В арифметичних операціях ірраціональні числа можуть брати участь поряд із раціональними. При цьому є низка закономірностей. Наприклад, якщо в арифметичній операції беруть участь лише раціональні числа, то в результаті завжди виходить раціональне число. Якщо ж операції беруть участь лише ірраціональні, то сказати однозначно, чи вийде раціональне чи ірраціональне число, не можна.

Наприклад, якщо помножити два ірраціональні числа √2 * √2, то вийде 2 - це раціональне число. З іншого боку, √2 * √3 = √6 - це ірраціональне число.

Якщо в арифметичній операції бере участь раціональне та ірраціональне числа, то вийде ірраціональний результат. Наприклад, 1 + 3,14 ... = 4,14 ...; √17 – 4.

Чому √17 – 4 – це ірраціональне число? Припустимо, що вийде раціональне число x. Тоді √17 = x + 4. Але x + 4 – це раціональне число, тому що ми припустили, що x раціональне. Число 4 теж раціональне, отже x + 4 раціонально. Однак раціональне число не може дорівнювати ірраціональному √17. Тому припущення, що √17 – 4 дає раціональний результат не так. Результат арифметичної операції буде ірраціональним.

Однак із цього правила є виняток. Якщо ми примножуємо ірраціональне число на 0, то вийде раціональне число 0.

Безліч ірраціональних чисел зазвичай позначається великою латинською літерою I (\displaystyle \mathbb (I) )у напівжирному накресленні без заливання. Таким чином: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb(I) =\mathbb(R) \backslash \mathbb(Q) ), тобто безліч ірраціональних чисел є різниця множин речових і раціональних чисел.

Про існування ірраціональних чисел, точніше відрізків, незрівнянних з відрізком одиничної довжини, знали вже давні математики: їм була відома, наприклад, незрівнянність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильне ірраціональності числа.

Енциклопедичний YouTube

• 1 / 5

  Ірраціональними є:

  Приклади доказу ірраціональності

  Корінь з 2

  Допустимо неприємне: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))раціональний, тобто представляється у вигляді дробу m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), де m (\displaystyle m)- ціле число, а n (\displaystyle n)- натуральне число .

  Зведемо передбачувану рівність у квадрат:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

  Історія

  Античність

  Концепція ірраціональних чисел була неявно сприйнята індійськими математиками в VII столітті до нашої ери, коли Манава (бл. 750 р. до н. е. - бл. 690 р. до н. е.) з'ясував, що квадратне коріння деяких натуральних чисел, таких як 2 і 61, не можуть бути явно виражені [ ] .

  Перший доказ існування ірраціональних чисел зазвичай приписується Гіппас з Метапонта (бл. 500 рр. до н. е..), піфагорійцю. За часів піфагорійців вважалося, що існує єдина одиниця довжини, досить мала і неподільна, яка ціле число разів входить у будь-який відрізок [ ] .

  Немає точних даних про те, ірраціональність якого числа було підтверджено Гіппасом. Згідно з легендою, він знайшов його вивчаючи довжини сторін пентаграми. Тому розумно припустити, що це було золоте перетин [ ] .

  Грецькі математики назвали це ставлення незрівнянних величин алогос(Невимовним), проте згідно з легендами не віддали Гіппасу належної поваги. Існує легенда, що Гіппас здійснив відкриття, перебуваючи в морському поході, і був викинутий за борт іншими піфагорійцями «за створення елемента всесвіту, який заперечує доктрину, що всі сутності у всесвіті можуть бути зведені до цілих чисел та їхніх стосунків». Відкриття Гіппаса поставило перед піфагорійської математикою серйозну проблему, зруйнувавши припущення, що лежало в основі всієї теорії, що числа і геометричні об'єкти єдині і нероздільні.