Ірраціональні нерівності. Ірраціональні нерівності Збір та використання персональної інформації

Будь-яка нерівність, до складу якої входить функція, що стоїть під коренем, називається ірраціональним. Існує два типи таких нерівностей:

У першому випадку корінь менше функції g (x), у другому – більше. Якщо g(x) - константа, нерівність різко спрощується. Зверніть увагу: зовні ці нерівності дуже схожі, але схеми вирішення вони принципово різняться.

Сьогодні навчимося вирішувати ірраціональні нерівності першого типу – вони найпростіші та зрозуміліші. Знак нерівності може бути суворим чи несуворим. Їх правильне таке твердження:

Теорема. Будь-яка ірраціональна нерівність виду

Рівносильно системі нерівностей:

Неслабко? Давайте розглянемо, звідки береться така система:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - тут все зрозуміло. Це вихідна нерівність, зведена у квадрат;
2. f (x ) ≥ 0 - це ОДЗ кореня. Нагадаю: арифметичний квадратний корінь існує лише з невід'ємногочисла;
3. g (x ) ≥ 0 – це область значень кореня. Зводячи нерівність у квадрат, ми спалюємо мінуси. В результаті можуть виникнути зайві корені. Нерівність g (x ) ≥ 0 відсікає їх.

Багато учнів «зациклюються» на першій нерівності системи: f (x) ≤ g 2 (x) - і геть-чисто забувають два інших. Результат передбачуваний: неправильне рішення, втрачені бали.

Оскільки ірраціональні нерівності – досить складна тема, розберемо одразу 4 приклади. Від елементарних до справді складних. Усі завдання взято із вступних іспитів МДУ ім. М. В. Ломоносова.

Приклади розв'язання задач

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

Перед нами класичне ірраціональна нерівність: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 - константа. Маємо:

З трьох нерівностей до кінця рішення залишилося лише дві. Тому що нерівність 2 ≥ 0 виконується завжди. Перетнемо нерівності, що залишилися:

Отже, x ∈ [−1,5; 0,5]. Усі крапки зафарбовані, оскільки нерівності несуворі.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

Застосовуємо теорему:

Вирішуємо першу нерівність. Для цього розкриємо квадрат різниці. Маємо:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Тепер вирішимо другу нерівність. Там теж квадратний тричлен:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪

Пропонується сильному учневі провести міркування в загальному вигляді, вийде ось що

√f(х) f(х) 2

G(х) ≥ 0

F(х) ≥ 0.

Якби у вихідній нерівності стояв знак ≤ замість 2 .

Приклад 2. √х > х - 2

Тут знову можна звести в квадрат для тих х, для яких виконана умова х - 2 ≥ 0. Однак тепер уже не можна відкинути ті х, для яких права частина негативна: адже в цьому випадку права частина буде менше заздалегідь негативною лівою, так що все такі будуть рішеннями нерівностей. Втім, в повному обсязі, а ті які входять у область визначення нерівності, тобто. для яких х ≥ 0.Які випадки слід розглянути?

1 випадок: якщо х - 2 ≥ 0, то з нашої нерівності випливає система

х > (х - 2) 2

Х - 2 ≥ 0

2 випадок: якщо х - 2

х ≥ 0

Х - 2

При аналізі випадків виникає складова умова під назвою «сукупність». Отримаємо рівносильну нерівності сукупність двох систем

х > (х - 2) 2

Х - 2 ≥ 0

Х ≥ 0

Х - 2

Сильному учню пропонується провести міркування в загальному вигляді, то вийде ось що:

√f(х) > g(х) f(х) > (g(х)) 2

G(х) ≥ 0

F(х) ≥ 0

G(х)

Якби у вихідній нерівності стояв знак ≥ замість >, то як перша нерівність цієї системи треба було взяти f(х) ≥ (g(х)) 2 .

Приклад 3. √х 2 - 1 > √х + 5.

Запитання:

Які значення набувають вирази, що стоять у лівій і правій частині?

Чи можна звести у квадрат?

Яка область визначення нерівностей?

Отримаємо х 2 - 1 > х + 5

Х + 5 ≥ 0

Х 2 - 1 ≥ 0

Яка умова зайва?

Таким чином, отримаємо, що ця нерівність рівносильна системі

Х 2 - 1 > х + 5

Х + 5 ≥ 0

Сильному учню пропонується провести міркування у загальному вигляді, то вийде ось, що:

√f(х) > √g(х) f(х) > g(х)

G(х) ≥ 0.

Подумайте, що зміниться, якщо замість > у вихідній нерівності стоятиме знак ≥, ≤ або<.>

На дошці вивішуються 3 схеми розв'язання ірраціональних нерівностей, ще раз обговорюється принцип їх побудови.

4 етап – закріплення знань (5хв.)

Учням 2 групи пропонується вказати, якій системі чи їх сукупності рівносильна нерівність № 167 (Алгебра та початку аналізу 10-11 кл. М, Просвітництво, 2005, Ш.А.Алімов)

Двом найбільш підготовленим учням із цієї групи пропонується вирішити на дошці нерівності: № 1. √х 2 - 1 >1

№ 2. √25 - х 2

Учні 1 групи отримують аналогічне завдання, але вищого рівня складності № 170 (Алгебра та початку аналізу 10-11 кл. М, Просвітництво, 2005, Ш.А.Алімов)

одному найбільш підготовленому учню з цієї групи пропонується вирішити на дошці нерівність: √4х - х 2

При цьому всім учням дозволяється скористатися конспектом.

У цей час вчитель працює з учнями 3 групи: відповідає на їхні запитання за потреби допомагає; та контролює вирішення завдань на дошці.

Після закінчення кожної групи видається для перевірки лист відповідей (можна показати відповіді на екрані, використовуючи мультимедійну систему).

5 етап уроку - обговорення рішень завдань, представлених на дошці (7хв.)

Учні, які виконували завдання біля дошки, коментують свої рішення, інші вносять за необхідності корективи і виконують записи в зошитах.

6 етап уроку - підбиття підсумків уроку, коментарі з домашнього завдання (2хв.)

3 група обмін картками всередині групи.

2 група № 168 (3, 4)

1 група № 169 (5), № 170 (6)