Історія доказу теореми піфагору. Докази теореми піфагору з погляду психології

Шаповалова Л.А. (ст. Єгорлицька, МБОУ ЄСОШ № 11)

1. Глейзер Г.І. Історія математики у школі VII – VIII класи, посібник для вчителів, – М: Просвітництво, 1982.

2. Демпан І.Я., Віленкін Н.Я. «За сторінками підручника математики» Посібник для учнів 5-6 класів. - М.: Просвітництво, 1989.

3. Зенкевич І.Г. "Естетика уроку математики". - М.: Просвітництво, 1981.

4. Літцман В. Теорема Піфагора. - М., 1960.

5. Волошинов О.В. "Піфагор". - М., 1993.

6. Пічурін Л.Ф. "За сторінками підручника алгебри". - М., 1990.

7. Земляков О.М. «Геометрія у 10 класі». - М., 1986.

8. Газета "Математика" 17/1996.

9. Газета "Математика" 3/1997.

10. Антонов Н.П., Вигодський М.Я., Нікітін В.В., Санкін А.І. «Збірник завдань з елементарної математики». - М., 1963.

11. Дорофєєв Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. «Посібник з математики». - М., 1973.

12. Щетников А.І. «Піфагорійське вчення про кількість і величину». - Новосибірськ, 1997.

13. «Дійсні числа. Ірраціональні висловлювання» 8 клас. Видавництво Томського університету. - Томськ, 1997.

14. Атанасян М.С. "Геометрія" 7-9 клас. - М.: Просвітництво, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Цього навчального року я познайомилися з цікавою теоремою, відомою, як виявилося з найдавніших часів:

"Квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника рівновеликий сумі квадратів побудованих на катетах".

Зазвичай відкриття цього твердження приписують давньогрецькому філософу та математику Піфагору (VI століття до н.е.). Але вивчення стародавніх рукописів показало, що це твердження було відоме задовго до народження Піфагора.

Я зацікавилися, чому її зв'язують з ім'ям Піфагора.

Актуальність теми: Теорема Піфагора має велике значення: застосовується в геометрії буквально на кожному кроці. Я вважаю, що праці Піфагора досі актуальні, адже куди б ми не подивилися, скрізь можна побачити плоди його великих ідей, втілені у різні галузі сучасного життя.

Метою мого дослідження було: дізнатися, хто такий був Піфагор і яке відношення він має до цієї теореми.

Вивчаючи історію теореми, я вирішила з'ясувати:

Чи існують інші докази цієї теореми?

Яке значення цієї теореми у житті людей?

Яку роль зіграв Піфагор у розвитку математики?

З біографії Піфагора

Піфагор Самоський – великий грецький вчений. Його популярність пов'язана з назвою теореми Піфагора. Хоча зараз ми знаємо, що ця теорема була відома в стародавньому Вавилоні за 1200 років до Піфагора, а в Єгипті за 2000 років до нього був відомий прямокутний трикутник зі сторонами 3, 4, 5, ми як і раніше називаємо її на ім'я цього древнього вченого.

Про життя Піфагора майже нічого невідомо, але з його ім'ям пов'язана велика кількість легенд.

Піфагор народився в 570 році до н.е. на острові Самос.

Піфагор мав гарну зовнішність, носив довгу бороду, а на голові — золоту діадему. Піфагор - це не ім'я, а прізвисько, яке філософ отримав за те, що завжди говорив вірно та переконливо, як грецький оракул. (Піфагор - «переконуючий мовою»).

У 550 році до н.е. Піфагор приймає рішення і вирушає до Єгипту. Отже, перед Піфагором відкривається невідома країна та невідома культура. Багато вражало і дивувало Піфагора в цій країні, і після деяких спостережень за життям єгиптян Піфагор зрозумів, що шлях до знань, що охороняються кастою жерців, лежить через релігію.

Після одинадцяти років навчання в Єгипті Піфагор вирушає на батьківщину, де по дорозі потрапляє до Вавилонського полону. Там він знайомиться з вавилонською наукою, яка була більш розвинена, ніж єгипетська. Вавилоняни вміли вирішувати лінійні, квадратні та деякі види кубічних рівнянь. Втікши з полону, він не зміг довго залишатися на батьківщині через атмосферу насильства і тиранії, що панувала там. Він вирішив переселитися до Кротона (грецька колонія на півночі Італії).

Саме в Кротоні починається найславетніший період у житті Піфагора. Там він заснував щось на кшталт релігійно-етичного братства чи таємного чернечого ордену, члени якого зобов'язувалися вести так званий піфагорійський спосіб життя.

Піфагор та піфагорійці

Піфагор організував у грецькій колонії Півдні Апенінського півострова релігійно-етичне братство, типу чернечого ордену, який згодом назвуть піфагорійським союзом. Члени союзу повинні були дотримуватися певних принципів: по-перше, прагнути прекрасного і славного, по-друге, бути корисними, по-третє, прагнути високої насолоди.

p align="justify"> Система морально-етичних правил, заповідана Піфагором своїм учням, була зібрана в своєрідний моральний кодекс піфагорійців «Золоті вірші», які користувалися великою популярністю в епоху Античності, епоху Середньовіччя та епоху Відродження.

Піфагорійська система занять складалася з трьох розділів:

Вчення про числа - арифметику,

Вчення про фігури - геометрії,

Вчення про будову Всесвіту – астрономію.

Система освіти, закладена Піфагором, проіснувала багато століть.

Школа Піфагора багато зробила, щоб надати геометрії характеру науки. Основною особливістю методу Піфагор було об'єднання геометрії з арифметикою.

Піфагор багато займався пропорціями і прогресіями і, ймовірно, подобою фігур, оскільки йому приписують вирішення завдання: «За цими двома фігурами побудувати третю, рівновелику однієї з даних і подібну до другої».

Піфагор та його учні ввели поняття про багатокутні, дружні, досконалі числа і вивчали їх властивості. Арифметика як практика обчислень не цікавила Піфагора, і він з гордістю заявив, що «поставив арифметику вище за інтереси торговця».

Членами Піфагорійського союзу були жителі багатьох міст Греції.

У своє суспільство піфагорійці приймали і жінок. Союз процвітав понад двадцять років, а потім почалися гоніння на його членів, багато учнів було вбито.

Про смерть самого Піфагора ходило багато різних легенд. Але вчення Піфагора та його учнів продовжувало жити.

З історії створення теореми Піфагора

Нині відомо, що ця теорема була відкрита Піфагором. Однак одні вважають, що саме Піфагор першим дав її повноцінний доказ, інші відмовляють йому і в цій заслугі. Деякі приписують Піфагору доказ, який Евклід наводить у першій книзі своїх «Початків». З іншого боку, Прокл стверджує, що доказ у «Початках» належить самому Евкліду. Як бачимо, історія математики майже зберегла достовірних конкретних даних про життя Піфагора та її математичної діяльності.

Історичний огляд теореми Піфагора почнемо зі стародавнього Китаю. Тут особливу увагу привертає математична книга Чупей. У цьому творі так йдеться про піфагоровий трикутник зі сторонами 3, 4 і 5:

«Якщо прямий кут розкласти на складові, то лінія, що з'єднує кінці його сторін, буде 5, коли основа є 3, а висота 4».

Дуже легко можна відтворити їхній спосіб побудови. Візьмемо мотузку завдовжки 12 м і прив'яжемо до неї по кольоровій смужці на відстані 3м. від одного кінця та 4 метри від іншого. Прямий кут виявиться ув'язненим між сторонами завдовжки 3 і 4 метри.

Геометрія в індусів була пов'язана з культом. Цілком ймовірно, що теорема про квадрат гіпотенузи була відома в Індії вже близько 8 століття до нашої ери. Поряд із суто ритуальними приписами, існують і твори геометрично-теологічного характеру. У цих творах, які стосуються 4 чи 5 століття до нашої ери, ми зустрічаємося з побудовою прямого кута з допомогою трикутника зі сторонами 15, 36, 39.

У середні віки теорема Піфагора визначала кордон, а то й найбільших можливих, то, по крайнього заходу, хороших математичних знань. Характерне креслення теореми Піфагора, який нині іноді перетворюється школярами, наприклад, на одягненого в мантію професора або людини циліндрі, в ті часи нерідко вживався як символ математики.

На закінчення наведемо різні формулювання теореми Піфагора у перекладі з грецької, латинської та німецької мов.

Евкліда ця теорема говорить (дослівний переклад):

"У прямокутному трикутнику квадрат сторони, натягнутої над прямим кутом, дорівнює квадратам на сторонах, що укладають прямий кут".

Як бачимо, у різних країнах та різних мовах існують різні варіанти формулювання знайомої нам теореми. Створені в різний час і в різних мовах, вони відображають суть математичної закономірності, доказ якої також має кілька варіантів.

П'ять способів доказу теореми Піфагора

Давньокитайський доказ

На давньокитайському кресленні чотири рівні прямокутні трикутники з катетами a, b і гіпотенузою з укладені так, що їх зовнішній контур утворює квадрат зі стороною a + b, а внутрішній - квадрат зі стороною с, побудований на гіпотенузі

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Доказ Дж. Гардфілда (1882)

Розташуємо два рівні прямокутні трикутники так, щоб катет одного з них був продовженням іншого.

Площа трапеції, що розглядається, знаходиться як добуток напівсуми підстав на висоту

З іншого боку, площа трапеції дорівнює сумі площ отриманих трикутників:

Прирівнюючи дані висловлювання, отримуємо:

Доказ найпростіший

Цей доказ виходить у найпростішому випадку рівнобедреного прямокутного трикутника.

Ймовірно, з нього починалася теорема.

Насправді досить просто подивитися на мозаїку рівнобедрених прямокутних трикутників, щоб переконатися в справедливості теореми.

Наприклад, для трикутника АВС: квадрат, побудований на гіпотенузі АС, містить 4 вихідні трикутники, а квадрати, побудовані на катетах, - по два. Теорему доведено.

Доказ давніх індусів

Квадрат зі стороною (a + b) можна розбити на частини або як на рис. 12. а, або як на рис. 12, б. Зрозуміло, що частини 1, 2, 3, 4 обох малюнках однакові. Якщо ж від рівних (площ) відібрати рівні, те й залишаться рівні, тобто. с2 = а2 + b2.

Доказ Евкліда

Протягом двох тисячоліть найпоширенішим був доказ теореми Піфагора, вигаданий Евклідом. Воно вміщено у його знаменитій книзі «Початку».

Евклід опускав висоту BН з вершини прямого кута на гіпотенузу і доводив, що її продовження ділить добудований на гіпотенузі квадрат на два прямокутники, площі яких дорівнюють площам відповідних квадратів, побудованих на катетах.

Креслення, що застосовується при доказі цієї теореми, жартома називають «піфагорові штани». Протягом довгого часу він вважався одним із символів математичної науки.

Застосування теореми Піфагора

Значення теореми Піфагора у тому, що з неї чи з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії і розв'язати безліч завдань. Крім цього, практичне значення теореми Піфагора і зворотної теореми полягає в тому, що з їх допомогою можна знайти довжини відрізків, не вимірюючи самих відрізків. Це ніби відкриває шлях від прямої до площини, від площини до об'ємного простору і далі. Саме з цієї причини теорема Піфагора така важлива для людства, яке прагне відкривати все більше вимірів і створювати технології в цих вимірах.

Висновок

Теорема Піфагора настільки відома, що важко уявити собі людину, яка не чула про неї. Я дізналася, що є кілька способів доказу теореми Піфагора. Я вивчила низку історичних та математичних джерел, у тому числі інформацію в Інтернеті, і зрозуміла, що теорема Піфагора цікава не лише своєю історією, а й тим, що вона займає важливе місце у житті та науці. Про це свідчать наведені мною в цій роботі різні трактування тексту цієї теореми та шляхи її доказів.

Отже, теорема Піфагора – одна з головних і, можна сказати, найголовніша теорема геометрії. Значення її у тому, що з неї чи з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії. Теорема Піфагора чудова і тим, що сама собою вона зовсім не очевидна. Наприклад, властивості рівнобедреного трикутника можна побачити безпосередньо на кресленні. Але скільки не дивися на прямокутний трикутник, не побачиш, що між його сторонами є просте співвідношення: c2 = a2 + b2. Тому на її докази часто використовують наочність. Заслуга Піфагора полягала в тому, що він дав повноцінний науковий доказ цієї теореми. Цікава особистість самого вченого, пам'ять якого невипадково зберегла ця теорема. Піфагор - чудовий оратор, вчитель і вихователь, організатор своєї школи, орієнтованої на гармонію музики та чисел, добра і справедливості, на знання та здоровий спосіб життя. Він цілком може бути прикладом для нас, далеких нащадків.

Бібліографічне посилання

Переконайтеся, що цей трикутник є прямокутним, оскільки теорема Піфагора застосовна тільки до прямокутних трикутників. У прямокутних трикутниках один із трьох кутів завжди дорівнює 90 градусам.

• Прямий кут прямокутному трикутнику позначається значком у вигляді квадрата, а не у вигляді кривої, яка позначає непрямі кути.

Позначте сторони трикутника.Катети позначте як "а" і "b" (катети - сторони, що перетинаються під прямим кутом), а гіпотенузу - як "с" (гіпотенуза - найбільша сторона прямокутного трикутника, що лежить навпроти прямого кута).

Міністерство освіти РФ

МОУ Ліцей №1

Доповідь на тему: «Піфагор та його теорема»

Учні групи 8 – 1, 2:

Мініцька О. П.

Викладач:

Скворцова О. С.

1. 
   Біографія Піфагора
2. 
   Історія теореми
3. 
   Піфагорові числа
4. 
   Докази теореми (від найпростіших доказів до найскладніших)

1. Біографія Піфагора

Великий учений Піфагор народився біля 570 м. до н. на острові Самос. Батьком Піфагора був Мнесарх, різьбяр дорогоцінним камінням. А ім'я матері Піфагора невідоме. За багатьма античними свідченнями, хлопчик, що народився, був казково гарний, а незабаром виявив і свої неабиякі здібності. Серед вчителів юного Піфагора традиція називає імена старця Гермодаманта та Ферекіда Сіросського (хоча і немає твердої впевненості в тому, що саме Гермодамант та Ферекід були першими вчителями Піфагора). Цілі дні проводив юний Піфагор біля ніг старця Гермодаманта, слухаючи мелодії кіфари та гекзаметрів Гомера. Пристрасть до музики та поезії великого Гомера Піфагор зберіг на все життя. І, будучи визнаним мудрецем, оточеним натовпом учнів, Піфагор починав день зі співу однієї з пісень Гомера. Ферекид був філософом і вважався засновником італійської школи філософії. Таким чином, якщо Гермодамант увів юного Піфагора в коло муз, то Ферекід звернув його розум до логосу. Ферекід направив погляд Піфагора до природи і в ній одній радив бачити свого першого та головного вчителя. Але як би там не було, невгамовній уяві юного Піфагора дуже скоро стало тісно на маленькому Самосі, і він вирушає до Мілету, де зустрічається з іншим вченим - Фалесом. Фалес радить йому вирушити за знаннями в Єгипет, що Піфагор і зробив.

У 548 м. до н. Піфагор прибув до Навкратісу - самоську колонію, де було в кого знайти дах і їжу. Вивчивши мову та релігію єгиптян, він їде до Мемфісу. Незважаючи на рекомендаційний лист фараона, хитромудрі жерці не поспішали розкривати Піфагору свої таємниці, пропонуючи йому складні випробування. Але спричинений спрагою до знань, Піфагор подолав їх усі, хоча за даними розкопок єгипетські жерці небагато могли його навчити, т.к. у той час єгипетська геометрія була суто прикладною наукою (що задовольняла потребу того часу в рахунку та у вимірі земельних ділянок). Тому, навчившись усьому, що дали йому жерці, він, втікши від них, рушив на батьківщину в Елладу. Однак, пройшовши частину шляху, Піфагор вирішується на сухопутну подорож, під час якої його захопив у полон Камбіз, цар Вавилона, що прямував додому. Не слід драматизувати життя Піфагора у Вавилоні, т.к. великий володар Кір був терпимий до всіх бранців. Вавилонська математика була, безперечно, більш розвиненою (прикладом цьому може бути позиційна система обчислення), ніж єгипетська, і Піфагору було чого повчитися. Але в 530 м. до н. Кір рушив у похід проти племен у Середню Азію. І, користуючись переполохом у місті, Піфагор втік на батьківщину. А на Самосі на той час царював тиран Полікрат. Звичайно ж, Піфагора не влаштовувала життя придворної статі раба, і він пішов у печери на околицях Самоса. Після кількох місяців домагань з боку Полікрата Піфагор переселяється в Кротон. У Кротоні Піфагор заснував щось на кшталт релігійно - етичного братства чи таємного чернечого ордена ( " піфагорійці " ), члени якого зобов'язувалися вести так званий піфагорійський спосіб життя. Це був одночасно і релігійний союз, політичний клуб, і наукове суспільство. Треба сказати, що деякі з принципів, що проповідуються Піфагором, гідні наслідування і зараз

Минуло 20 років. Слава про братерство рознеслася по всьому світу. Одного разу до Піфагору приходить Кілон, людина багата, але зла, бажаючи п'яну вступити в братство. Отримавши відмову, Кілон розпочинає боротьбу з Піфагором, скориставшись підпалом його будинку. Під час пожежі піфагорійці врятували життя своєму вчителеві ціною своєю, після чого Піфагор засумував і незабаром наклав на себе руки.

2. Історія теореми Піфагора

Теорема Піфагора говорить : Квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів.

Історичний огляд розпочнемо із стародавнього Китаю . Тут особливу увагу привертає математична книга Чу-пей. У цьому творі так йдеться про піфагоровий трикутник зі сторонами 3, 4 і 5:

"Якщо прямий кут розкласти на складові, то лінія, що з'єднує кінці його сторін, буде 5, коли основа є 3, а висота 4".

У цій же книзі запропоновано малюнок, який збігається з одним із креслень індуської геометрії Басхари.

Кантор(найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність

3 ² + 4 ² = 5 ²

було відомо вже єгиптянам ще близько 2300 до н. е.., за часів царя Аменемхета I (згідно з папірусом 6619 Берлінського музею).

На думку Кантора гарпедонапти, або натягувачі мотузок, будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5. Дуже легко можна відтворити їх спосіб побудови. Візьмемо мотузку завдовжки 12 м і прив'яжемо до неї по кольоровій смужці на відстані 3м. від одного кінця та 4 метри від іншого. Прямий кут виявиться ув'язненим між сторонами завдовжки 3 і 4 метри. Гарпедонаптам можна було б заперечити, що їх спосіб побудови ставати зайвим, якщо скористатися, наприклад, дерев'яним косинцем, що застосовується всіма теслярами. Відомі єгипетські малюнки, на яких зустрічається такий інструмент, наприклад малюнки, що зображують столярну майстерню.

Дещо більше відомо про теорему Піфагора у вавилонян. В одному тексті, що відноситься до часу Хаммурабі, тобто до 2000 до н. е., наводиться наближене обчислення гіпотенузи прямокутного трикутника. Звідси можна дійти невтішного висновку, що у Дворіччя вміли проводити обчислення з прямокутними трикутниками, по крайнього заходу, у випадках. Грунтуючись, з одного боку, на сьогоднішньому рівні знань про єгипетську та вавілонську математику, а з іншого на критичному вивченні грецьких джерел, Ван-дер-Варден(голландський математик) зробив такий висновок:

"Заслугою перших грецьких математиків, таких як Фалес, Піфагор і піфагорійці, є не відкриття математики, але її систематизація та обґрунтування. У їхніх руках обчислювальні рецепти, засновані на невиразних уявленнях, перетворилися на точну науку".

Геометрія в індусів, як і в єгиптян і вавилонян, була пов'язана з культом. Цілком ймовірно, що теорема про квадрат гіпотенузи була відома в Індії вже близько 18 століття до н. е.

1. 
   Піфагорові числа

x 2 + y 2 = z 2 .

Оскільки рівняння x 2 + y 2 = z 2 однорідно, при домноженні x, yі zна те саме число вийде інша піфагорова трійка. Піфагорова трійка називається примітивною якщо вона не може бути отримана таким способом, тобто - взаємно прості числа.

Трикутник , сторони якого дорівнюють піфагоровим числам, є прямокутним . Крім того, будь-який такий трикутник є героновим, тобто таким, у якого всі сторони та площа є цілими. Найпростіший з них - єгипетський трикутникзі сторонами 3, 4 і 5 (3 2 + 4 2 = 5 2 ).

Піфагорова трійка задає крапку з раціональними координатами на одиничному колі x 2 + y 2 = 1 .

Неважко бачити, що у примітивній трійці ( x, y, z) числа xі yмають різну парність. Будь-яка примітивна піфагорова трійка ( x, y, z), де x- непарно, а y- парно, однозначно представляється як для деяких натуральних взаємно простихчисел m > nрізної парності. Навпаки, будь-яка пара задає примітивну піфагорову трійку.

Деякі піфагорові трійки (відсортовані за зростанням максимального числа, виділено примітивні): (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Піфагорові трійки відомі дуже давно. В архітектурі давньомесопотамських надгробків зустрічається рівнобедрений трикутник, складений із двох прямокутних зі сторонами 9, 12 та 15 ліктів. Піраміди фараона Снофру (XXVII століття до н.е.) побудовані з використанням трикутників зі сторонами 20, 21 та 29, а також 18, 24 та 30 десятків єгипетських ліктів.

також в інших словниках:

• 
  Піфагорові числа- Трійки натуральних чисел таких, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (або рівні) цим числам, є прямокутним. По теоремі, зворотній теоремі Піфагора (див. Піфагора теорема), для цього достатньо, щоб вони задовольняли. (Велика Радянська Енциклопедія).

1. 
   Докази теореми Піфагора

Зрозуміло, концептуально їх можна розбити на малу кількість класів. Найвідоміші з них: докази методом площ, аксіоматичні та екзотичні докази (наприклад, за допомогою диференціальних рівнянь).

Через подібні трикутники

П
усть ABCє прямокутний трикутник із прямим кутом C. Проведемо висоту з Cі позначимо її основу через H. Трикутник ACHподібний до трикутника ABCпо двох кутах. Аналогічно трикутник CBHподібний ABC. Ввівши позначення

отримуємо

Що еквівалентно

Склавши, отримуємо

Докази методом площ

Доказ через рівнодоповнюваність

1. 
   Розташуємо чотири рівні прямокутні трикутники.
2. 
   Чотирикутник зі сторонами cє квадратом, оскільки сума двох гострих кутів 90 °, а розгорнутий кут - 180 °.
3. 
   Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку, площі квадрата зі стороною (a + b), з другого боку, сумі площ чотирьох трикутників і площі внутрішнього квадрата.

Що і потрібно було довести.

Докази через рівноскладність

Доказ Евкліда

Розглянемо креслення праворуч. На ньому ми побудували квадрати на сторонах прямокутного трикутника і провели з вершини прямого кута С промінь перпендикулярно до гіпотенузи AB, він розсікає квадрат ABIK, побудований на гіпотенузі, на два прямокутники - BHJI і HAKJ відповідно. Виявляється, що площі даних прямокутників точно рівні площам квадратів, побудованих на відповідних катетах.

Спробуємо довести, що площа DECA дорівнює площі прямокутника AHJK. Для цього скористаємося допоміжним спостереженням: площа трикутника з тією ж висотою та основою, що і даний прямокутник, дорівнює половині площі заданого прямокутника. Це наслідок визначення площі трикутника як половини добутку основи висоту. З цього спостереження випливає, що площа трикутника ACK дорівнює площі трикутника AHK (не зображеного на малюнку), яка, у свою чергу, дорівнює половині площі прямокутника AHJK.

Д тепер тепер, що площа трикутника ACK також дорівнює половині площі квадрата DECA. Єдине, що необхідно для цього зробити, - це довести рівність трикутників ACK і BDA (оскільки площа трикутника BDA дорівнює половині площі квадрата за вказаною вище властивістю). Рівність це очевидно, трикутники рівні з обох боків та кутку між ними. Саме - AB = AK, AD = AC - рівність кутів CAK і BAD легко довести методом руху: повернемо трикутник CAK на 90° проти годинникової стрілки, тоді очевидно, що відповідні сторони двох трикутників, що розглядаються, співпадуть (через кут при вершині квадрата - 90 °).

Міркування про рівність площ квадрата BCFG і прямокутника BHJI абсолютно аналогічне.

Тим самим було доведено, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, складається з площ квадратів, побудованих на катетах. Ідея цього доказу додатково проілюстрована за допомогою анімації, яка розташована вище.

Доведення Леонардо Да Вінчі

Розглянемо креслення, як видно з симетрії, відрізок CIрозсікає квадрат ABHJна дві однакові частини (оскільки трикутники ABCі JHIрівні за побудовою). Користуючись поворотом на 90 градусів проти годинникової стрілки, ми вбачаємо рівність заштрихованих фігур CAJIі GDAB. Тепер ясно, що площа заштрихованої нами фігури дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, та площі вихідного трикутника. З іншого боку, вона дорівнює половині площі квадрата, побудованого на гіпотенузі плюс площа вихідного трикутника. Останній крок у доказі надається Вам.

Розглядаючи креслення, показане на малюнку, і спостерігаючи зміну сторони a, ми можемо записати наступне співвідношення для нескінченно малих прирощень сторін зі a(використовуючи подобу трикутників):

Користуючись методом поділу змінних, знаходимо

Більше загальний вираз зміни гіпотенузи у разі прирощень обох катетов

Інтегруючи дане рівняння та використовуючи початкові умови, отримуємо

c 2 = a 2 + b 2 + constant.

Таким чином, ми приходимо до бажаної відповіді

c 2 = a 2 + b 2 .

Як неважко бачити, квадратична залежність у остаточній формулі з'являється завдяки лінійній пропорційності між сторонами трикутника та прирощеннями, тоді як сума пов'язана з незалежними вкладами від прирощення різних катетів.

Простіший доказ можна отримати, якщо вважати, що один із катетів не відчуває прирощення (в даному випадку катет b). Тоді для константи інтегрування отримаємо

Найпростіші докази

Найпростіший доказ теореми виходить у найпростішому випадку рівнобедреного прямокутного трикутника. Насправді досить просто подивитися на мозаїку рівнобедрених прямокутних трикутників, щоб переконатися в справедливості теореми. Наприклад, для трикутника ABC: квадрат, побудований на гіпотенузі АС, містить 4 вихідні трикутники, а квадрати, побудовані на катетах, - по два.

Теорему доведено.
Докази методом розкладання

Існує цілий ряд доказів теореми Піфагора, в яких квадрати, побудовані на катетах і гіпотенузі, розрізаються так, що кожній частині квадрата, побудованого на гіпотенузі, відповідає частина одного з квадратів, побудованих на катетах. У всіх цих випадках для розуміння доказу достатньо одного погляду на креслення; міркування тут може бути обмежена єдиним словом: "Дивися!", як це робилося в творах древніх індуських математиків. Слід, однак, зауважити, що насправді доказ не можна вважати повним, доки ми не довели рівності всіх відповідних один одному частин. Це майже завжди досить не важко зробити, проте може (особливо за великої кількості частин) вимагати досить тривалої роботи.

Доказ Епштейна

Почнемо з доказу Епштейна; його перевагою є те, що тут як складові розкладання фігурують виключно трикутники. Щоб розібратися в кресленні, зауважимо, що пряма CD еден перпендикулярно прямий EF.

Розкладання на трикутники можна зробити і наочнішим, ніж на малюнку.

Д виказ Нільсена

На малюнку допоміжні лінії змінені на пропозицію Нільсена.

Д підказка Бетхера

На малюнку дано дуже наочне розкладання Бетхера.

Доказ Перігаля

У підручниках нерідко зустрічається розкладання, вказане на малюнку (так зване "колесо з лопатями"; цей доказ знайшов Перігаль). Через центр O квадрата, побудованого на більшому катете, проводимо пряму, паралельну та перпендикулярну гіпотенузі. Відповідність частин фігури добре видно із креслення.

Доказ Гутхейля

І зображене малюнку розкладання належить Гутхейлю; йому характерно наочне розташування окремих частин, що дозволяє відразу побачити, які спрощення спричинить у себе випадок рівнобедреного прямокутного трикутника.

Доказ 9 століття н.

Р Анеї були представлені тільки такі докази, в яких квадрат, побудований на гіпотенузі, з одного боку, і квадрати, побудовані на катетах, з іншого, складалися з рівних частин. Такі докази називаються доказами з допомогою додавання ( " адитивними доказами " ) чи, частіше, доказами методом розкладання. До цих пір ми виходили із звичайного розташування квадратів, побудованих на відповідних сторонах трикутника, тобто поза трикутником. Однак у багатьох випадках вигідніше інше розташування квадратів.

На малюнку квадрати, побудовані на катетах, розміщені сходами один поряд з іншим. Цю фігуру, яка трапляється у доказах, датованих пізніше, як 9 століттям зв. е., індуси називали "стулом нареченої". Спосіб побудови квадрата зі стороною, що дорівнює гіпотенузі, зрозумілий з креслення. Загальна частина двох квадратів, побудованих на катетах, і квадрата, побудованого на гіпотенузі - неправильний заштрихований п'ятикутник 5. Приєднавши до нього трикутники 1 і 2, отримаємо обидва квадрати, побудовані на катетах; якщо замінити трикутники 1 і 2 рівними їм трикутниками 3 і 4, то отримаємо квадрат, побудований на гіпотенузі. На рисунках нижче зображені два різних розташування близьких до того, що дається першому малюнку.

Докази шляхом доповнення

Перший доказ

Н поруч із доказами шляхом додавання можна навести приклади доказів з допомогою віднімання, званих також доказами шляхом доповнення. Загальна ідея таких доказів ось у чому.

Від двох рівних площ потрібно відібрати рівновеликі частини так, щоб в одному випадку залишилися два квадрати, побудовані на катетах, а в іншому - квадрат, побудований на гіпотенузі. Адже якщо в рівності

В - А = С і В1 - А1 = С1

частина Арівновелика частини А 1 , а частина Урівновелика У 1 , то частини Зі З 1 також рівновеликі.

Пояснимо цей метод з прикладу. На рис. до звичайної піфагорової фігури приставлені згори і знизу трикутники 2 і 3, рівні вихідному трикутнику 1. Пряма DG обов'язково пройде через C. Зауважимо тепер (далі це доведемо), що шестикутники DABGFE і CAJKHB рівновеликі. Якщо від першого з них віднімемо трикутники 1 і 2, то залишаться квадрати, побудовані на катетах, а якщо від другого шестикутника віднімемо рівні трикутники 1 і 3, то залишиться квадрат, побудований на гіпотенузі. Звідси випливає, що квадрат, побудований на гіпотенузі, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на катетах.

Залишається довести, що наші шестикутники рівновеликі. Зауважимо, що пряма DG ділить верхній шестикутник на рівновеликі частини; те ж можна сказати про пряму CK і нижній шестикутник. Повернемо чотирикутник DABG, що становить половину шестикутника DABGFE, навколо точки А за годинниковою стрілкою на кут 90; тоді він збігається з чотирикутником CAJK, що становить половину шестикутника CAJKHB. Тому шестикутники DABGFE та CAJKHB рівновеликі.

Інший доказ методом віднімання

П ознайомимося з іншим доказом методом віднімання. Знайоме нам креслення теореми Піфагора укладемо прямокутну рамку, напрями сторін якої збігаються з напрямками катетів трикутника. Продовжимо деякі з відрізків фігури так, як зазначено на малюнку, при цьому прямокутник розпадається на кілька трикутників, прямокутників та квадратів. Викинемо з прямокутника спочатку кілька частин так, щоб залишився лише квадрат, побудований на гіпотенузі. Ці частини такі: трикутники 1, 2, 3, 4; прямокутник 5; прямокутник 6 та квадрат 8; прямокутник 7 та квадрат 9;

Потім викинемо із прямокутника частини так, щоб залишилися тільки квадрати, побудовані на катетах. Цими частинами будуть: прямокутники 6 та 7; прямокутник 5; прямокутник 1 (заштрихований); прямокутник 2 (заштрихований);

Нам залишилося лише показати, що відібрані частини рівновеликі. Це легко бачити через розташування фігур. З малюнка ясно, що:

1. 
   прямокутник 5 рівновеликий самому собі;
2. 
   чотири трикутники 1,2,3,4 рівновеликі двом прямокутникам 6 і 7;
3. 
   прямокутник 6 і квадрат 8, узяті разом, рівновеликі прямокутнику 1 (заштрихований);
4. 
   прямокутник 7 разом з квадратом 9 рівновеликі прямокутнику 2(заштрихований);

Доказ Евкліда

Е той доказ було наведено Евклідому його "Початках". За свідченням Прокла (Візантія), воно вигадане самим Евклідом. Доказ Евкліда наведено у реченні 47 першої книги "Початок".

На гіпотенузі і катетах прямокутного трикутника АВС будуються відповідні квадрати, і доводиться, що прямокутник BJLD дорівнює квадрату ABFH, а прямокутник ICEL - квадрату АСКС. Тоді сума квадратів на катетах дорівнюватиме квадрату на гіпотенузі.

Справді, трикутники ABD і BFC рівні з обох боків і куті між ними:

FB = AB, BC = BD
РFBC = d + РABC = РABD
S ABD = 1/2 S BJLD,

оскільки у трикутника ABD та прямокутника BJLD загальна основа BD та загальна висота LD. Аналогічно

S FBC = 1\2S ABFH

(BF-загальна основа, АВ – загальна висота). Звідси, враховуючи, що

S ABD = S FBC
S BJLD = S ABFH.

Аналогічно, використовуючи рівність трикутників ТСК та АСЕ, доводиться, що

S JCEL = S ACKG.
S ABFH + S ACKG = S BJLD + S JCEL = S BCED ,

що і потрібно було довести.

Спрощений доказ Евкліда

До Як у доказах методом розкладання, так і при доказі евклідового типу можна виходити з будь-якого розташування квадратів. Іноді при цьому вдається досягти спрощень.

Нехай квадрат, побудований одному з катетів (на малюнку це квадрат, побудований більшому катете), розташований з тієї ж боку катета, як і сам трикутник. Тоді продовження протилежної катету сторони цього квадрата проходить через вершину квадрата, побудованого на гіпотенузі. Доказ у разі виявляється дуже простим, т. до. тут досить порівняти площі цікавлять нас фігур із площею одного трикутника(він заштрихований) - площа цього трикутника дорівнює половині площі квадрата і водночас половині площі прямокутника.

Доказ Хоукінса

П риведемо ще один доказ, який має обчислювальний характер, проте сильно відрізняється від усіх попередніх. Воно опубліковано англійцем Хоукінсом у 1909 році; чи було воно відоме до цього - важко сказати.

Прямокутний трикутник ABC з прямим кутом C повернемо на 90° так, щоб він зайняв положення "CB". Продовжимо гіпотенузу A"В" за точку A" до перетину з лінією АВ в точці D. Відрізок D буде висотою трикутника ВАВ. Розглянемо тепер заштрихований чотирикутник AАВВ. Його можна розкласти на два рівнобедрених трикутника САA і СВВ" (або на два трикутники A"В"А і A"В"В).

S CAA" = b²/2
S CBB" = a²/2
S A"AB"B = (a²+b²)/2
Трикутники A"А" і A"В"В мають загальну основу з і висоти DA і DB, тому:

S A"AB"B = c*DA/2+ c*DB/2 = c (DA+DB)/2 = c²/2

Порівнюючи два отримані вирази для площі, отримаємо:

a² + b² = c²

Теорему доведено.

Доказ Вальдхейму

Е той доказ також має обчислювальний характер. Можна використовувати малюнки для доказу заснованого на обчисленні площ двома способами.

Д Для того, щоб довести теорему, користуючись першим малюнком, достатньо лише виразити площу трапеції двома шляхами.

Sтрапеції = (a+b) ²/2
Sтрапеції = a²b²+c²/2
Прирівнюючи праві частини отримаємо:

a² + b² = c²

Теорему доведено.

Теорема Піфагора всім відома зі шкільної доби. Видатний математик довів велику гіпотезу, якою нині користуються багато людей. Звучить правило так: квадрат довжини гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів. За багато десятиліть жоден математик не зумів переперечити це правило. Адже Піфагор довго йшов до своєї мети, щоб у результаті креслення мали місце у повсякденному житті.

1. Невеликий вірш до цієї теореми, який вигадали невдовзі після доказу, безпосередньо доводить властивості гіпотези: «Піфагорові штани на всі боки рівні». Це двострочко відклалося у пам'яті у багатьох – до цього дня вірш згадують при обчисленнях.
2. Ця теорема отримала назву «Піфагорові штани» внаслідок того, що при кресленні посередині виходив прямокутний трикутник, з боків якого розташовувалися квадрати. На вигляд це креслення нагадувало штани - звідси і назва гіпотези.
3. Піфагор пишався розробленою теоремою, адже ця гіпотеза відрізняється від нею подібних до максимальної кількості доказів. Важливо: рівняння було занесено до книги рекордів Гіннеса внаслідок 370 правдивих доказів.

   

4. Гіпотезу доводило безліч математиків і професорів з різних країн багатьма способами. Англійський математик Джонс невдовзі оголошення гіпотези довів її за допомогою диференціального рівняння.

   

5. Нині нікому невідомий доказ теореми самим Піфагором. Факти про докази математики сьогодні не відомі нікому. Вважається, що доказ креслень Евклідом - це є доказ Піфагора. Однак деякі вчені сперечаються з цим твердженням: багато хто вважає, що Евклід самостійно довів теорему, без допомоги творця гіпотези.

   

6. Нинішні вчені виявили, що великий математик був не першим, хто відкрив цю гіпотезу.. Рівняння було відоме ще задовго до відкриття Піфагором. Цей математик зумів лише поєднати гіпотезу.

   

7. Піфагор не давав рівнянню назву «Теорема Піфагора». Ця назва закріпилася після «гучного дворядчя». Математик лише хотів, щоб його старання та відкриття дізнався весь світ та користувався ними.

   

8. Моріц Кантор - великий найбільший математик знайшов і розглянув на стародавньому папірусі записи з кресленнями. Незабаром після цього Кантор зрозумів, що ця теорема була відома єгиптянам ще 2300 років до нашої ери. Тільки тоді нею ніхто не скористався і не намагався довести.

   

9. Нинішні вчені вважають, що гіпотеза була відома ще у 8 столітті до нашої ери. Індійські вчені на той час виявили приблизне обчислення гіпотенузи трикутника, наділеного прямими кутами. Щоправда на той час ніхто не зміг довести напевно рівняння за приблизними обчисленнями.

   

10. Великий математик Бартель Ван дер Варден після доказу гіпотези уклав важливий висновок: «Заслуга грецького математика вважається не відкриттям напрямку та геометрії, а лише її обґрунтуванням У руках Піфагора були обчислювальні формули, які ґрунтувалися на припущеннях, неточних обчисленнях та невиразних уявленнях. Однак видатному вченому вдалося перетворити на точну науку».

    

11. Відомий поет сказав, що у день відкриття свого креслення він спорудив бикам славну жертву. Саме після відкриття гіпотези пішли чутки, що жертвопринесення ста бугаїв «пішло мандрувати сторінками книг і видань». Дотепники досі жартують, що з того часу всі бики бояться нового відкриття.

    

12. Доказ того, що не Піфагор придумав вірш про штани, щоб довести висунуті їм креслення: за часів великого математика штанів ще не було. Вони були придумані за кілька десятиліть.
13. Роздуми Піфагора про власне правило: секрет сущого землі криється в цифрах. Адже математик, спираючись на свою гіпотезу, вивчив властивості чисел, виявив парність і непарність, створив пропорції.

    

Анімаційний доказ теореми Піфагора – одна з основоположнихтеорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Вважається, що вона доведена грецьким математиком Піфагором, на честь якого її названо (є й інші версії, зокрема альтернативна думка, що ця теорема у загальному вигляді була сформульована математиком-піфагорійцем Гіппасом).
Теорема каже:

У прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

Позначивши довжину гіпотенузи трикутника c,а довжини катетів як aі b,отримаємо таку формулу:

Таким чином, теорема Піфагора встановлює співвідношення, яке дозволяє визначити сторону прямокутного трикутника, знаючи довжини двох інших. Теорема Піфагора є окремим випадком теореми косінусів, яка визначає співвідношення між сторонами довільного трикутника.
Також доведено зворотне твердження (називають також зворотну теорему Піфагора):

Для будь-яких трьох позитивних чисел a, b і c, таких, що a ? + b? = c?, Існує прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c.

Візуальний доказ трикутника (3, 4, 5) з книги «Чу Пей» 500-200 до н.е. Історію теореми можна розділити на чотири частини: знання про Піфагорові числа, знання про відношення сторін у прямокутному трикутнику, знання про відношення суміжних кутів та доказ теореми.
Мегалітичні споруди близько 2500 р. до н.е. в Єгипті та Північній Європі містять прямокутні трикутники зі сторонами з цілих чисел. Бартель Леендерт ван дер Варден висловив гіпотезу, що в ті часи Піфагорові числа було знайдено алгебраїчно.
Написаний між 2000 та 1876 до н.е. папірус часів Середнього Єгипетського царства Berlin 6619містить задачу розв'язанням якої є числа Піфагора.
За правління Хаммурапі Великого, вівілонська табличка Plimpton 322,написана між 1790 і 1750 е. містить багато записів тісно пов'язаних з числами Піфагора.
У сутрах Будхаяни, які датуються за різними версіями восьмою чи другою століть до н.е. в Індії, що містить Піфагорові числа виведені алгебраїчно, формулювання теореми Піфагора та геометричний доказ для рівнобедреного прямокутного трикутника.
У сутрах Апастамба (близько 600 е.) міститься числове підтвердження теореми Піфагора з допомогою обчислення площі. Ван дер Варден вважає, що він був заснований на традиціях попередників. Згідно з Альбертом Бурком, це оригінальний доказ теореми і він припускає, що Піфагор відвідав Араконам і скопіював його.
Піфагор, роки життя якого зазвичай вказують 569 - 475 до н. використовує алгебраїчні методи розрахунку піфагорових чисел, згідно з Прокловим коментарями до Евкліда. Прокл, однак, жив між 410 та 485 роками н.е. Згідно з Томасом Гізом, немає жодних вказівок на авторство теореми протягом п'яти століть після Піфагора. Однак, коли такі автори, як Плутарх або Цицерон, приписують теорему Піфагору, вони роблять це так, ніби авторство широко відоме і безсумнівне.
Близько 400 до зв. е. відповідно Прокла, Платон дав метод розрахунку піфагорових чисел, що поєднував алгебру та геометрію. Близько 300 до н.е. ПочаткахЄвкліда маємо найдавніший аксіоматичний доказ, який зберігся до наших днів.
Написані десь між 500 е. і 200 до н.е., китайська математична книга «Чу Пей» (? ? ? ?), дає візуальний доказ теореми Піфагора, яка в Китаї називається теорема гугу (????), для трикутника зі сторонами (3, 4, 5). Під час правління династії Хань, з 202 до н. до 220 н. Піфагорові числа з'являються у книзі «Дев'ять розділів математичного мистецтва» разом із згадкою про прямокутні трикутники.
Вперше зафіксовано використання теореми у Китаї, де вона відома як теорема гугу (????) та в Індії, де вона відома як теорема Баскара.
Багато хто дискутується була теорема Піфагора відкрита один раз або багаторазово. Бойєр (1991) вважає, що знання виявлені в Шульбі Сутра можуть бути месопотамського походження.
Алгебраїчний доказ
Квадрати утворюються із чотирьох прямокутних трикутників. Відомо понад сто доказів теореми Піфагора. Тут представлені докази засновані на теоремі існування площі фігури:

Розмістимо чотири однакові прямокутні трикутники так, як це зображено малюнку.
Чотирикутник зі сторонами cє квадратом, оскільки сума двох гострих кутів , А розгорнутий кут – .
Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку, площі квадрата зі стороною «a + b», з другого – сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрата.

Що й потрібно довести.
За подібністю трикутників
Використання таких трикутників. Нехай ABC- Прямокутний трикутник, в якому кут Cпрямий, як показано на малюнку. Проведемо висоту з точки C,і назвемо Hточку перетину зі стороною AB.Утворено трикутник ACHподібний до трикутника ABC,оскільки вони обидва прямокутні (за визначенням висоти), і вони мають загальний кут A,Вочевидь третій кут буде у цих трикутників також однаковий. Аналогічно міркуючи, трикутник CBHтакож подібний до трикутника ABC.З подоби трикутників: Якщо

Це можна записати у вигляді

Якщо додати ці дві рівності, отримаємо

HB + c times AH = c times (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Іншими словами, теорема Піфагора:

Доказ Евкліда
Доказ Евкліда в евклідових "Початках", теорема Піфагора доведена методом паралелограмів. Нехай A, B, Cвершини прямокутного трикутника, з прямим кутом A.Опустимо перпендикуляр із крапки Aна протилежну сторону гіпотенузи в квадраті побудованому на гіпотенузі. Лінія ділить квадрат на два прямокутники, кожен з яких має таку ж площу, що і квадрати побудовані на катетах. Головна ідея при доказі полягає в тому, що верхні квадрати перетворюються на паралелограми такої самої площі, а потім повертаються і перетворюються на прямокутники в нижньому квадраті і знову при незмінній площі.

Проведемо відрізки CFі AD,отримаємо трикутники BCFі BDA.
Кути CABі BAG- Прямі; відповідно точки C, Aі G- Колінеарні. Так само B, Aі H.
Кути CBDі FBA- Обидва прямі, тоді кут ABDдорівнює куту FBC,оскільки обидва є сумою прямого кута та кута ABC.
Трикутник ABDі FBCрівні з обох боків та кутку між ними.
Оскільки точки A, Kі L– колінеарні, площа прямокутника BDLK дорівнює двом площам трикутника ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
Аналогічно міркуючи отримаємо CKLE = ACIH = AC 2
З одного боку площа CBDEдорівнює сумі площ прямокутників BDLKі CKLE,а з іншого боку площа квадрата BC 2,або AB 2 + AC 2 = BC 2.

Використовуючи диференціали
Використання диференціалів. Теоремі Піфагора можна прийти, якщо вивчати як приріст сторони впливає на ведичину гіпотенузи, як показано на малюнку праворуч і застосувати невелике обчислення.
Внаслідок приросту сторони a,з подібних трикутників для нескінченно малих прирощень

Інтегруючи отримаємо

Якщо a= 0 тоді c = b,так що "константа" - b 2.Тоді

Як можна побачити, квадрати отримані завдяки пропорції між прирощеннями та сторонами, тоді як сума є результатом незалежного вкладу приростів сторін, не очевидно з геометричних доказів. У цих рівняннях daі dc– відповідно нескінченно малі збільшення сторін aі c.Але замість них ми використовуємо? aі? c,тоді межа відношення, якщо вони прагнуть нуля дорівнює da / dc,похідна, а також дорівнює c / a,відношенню довжин сторін трикутників, в результаті одержуємо диференціальне рівняння.
У разі ортогональної системи векторів має місце рівність, яку також називають теоремою Піфагора:

Якщо – це проекції вектора на координатні осі, то ця формула збігається з відстанню Евкліда і означає, що довжина вектора дорівнює кореню квадратної суми квадратів його компонентів.
Аналог цієї рівності у разі нескінченної системи векторів називається рівності Парсеваля.