Історія нумерації. Письмова нумерація у давніх народів

У початковому курсі математики під нумерацієюбудемо розуміти сукупність прийомів позначення та найменування натуральних чисел.

Натуральні числа вивчаються за концентрами. Концентр - це об'єднана за загальними ознаками область чисел, що розглядаються. У початковому курсі виділяють такі концентри: десяток, сотня (2 етапи – від 11 до 20; від 21 до 100); тисячі, багатозначні числа.

Кінцева мета вивчення нумерації - засвоєння низки загальних принципів, що лежать в основі десяткової системи числення, усної та письмової нумерації, підведення учнів до систематичних узагальнень, уміння виділяти та підкреслювати те загальне, що виявляється у новій області чисел, та розгляд нового на основі із раніше вивченим.

Основними освітніми завданнями вивчення нумерації можна назвати:

1. Сформувати систему знань:

Про натуральне число та число «0»;

Про натуральну послідовність;

Про усну та письмову нумерацію.

2. Ознайомити з обчислювальними прийомами, що ґрунтуються на знанні нумерації.

При вивченні цієї теми у учнів мають бути сформовані такі вміння:

позначати число письмово;

Порівнювати будь-які числа різними способами;

Замінювати число сумою розрядних доданків;

Дати характеристику будь-якого числа.

Розглянемо методику ознайомлення з основними математичними поняттями, що вивчаються у цій темі.

Поняття натурального числа дається на емпіричному рівні.

Число позначається у порядку встановлення взаємно-однозначної відповідності між предметами даної сукупності та словами – числівниками.

У початковій школі:

Число - це кількісна характеристика класу еквівалентних множин.

Число - це елемент впорядкованої множини, член натуральної послідовності.

При вивченні дій число постає як об'єкт, над яким виконується арифметична дія.

У учнів необхідно сформувати такі знання та вміння:

Виділити число інших понять;

Правильно назвати число;

Знати способи утворення числа (в результаті рахунку; в результаті виміру; в результаті виконання арифметичних дій);

Знати способи позначення чисел за допомогою цифр; цифра – це знак для позначення числа;

Знати різні функції числа (кількісна функція, функція порядку, функція вимірювання).

Число та цифра «0».

Нуль розглядаємо як кількісну характеристику класу порожніх множин (2-2, 4-4), тобто. множини, що не містить жодного елемента.

Нуль розглядаємо як цифру, що означає на лінійці початок виміру (відмірювання).

Нуль розглядаємо як компонент дій I та II ступеня (5+0, 05).

4. Число нуль використовується в тому випадку, якщо відсутні одиниці будь-якого розряду (але немає розряду).

Наприклад, серед 300 відсутні одиниці I і II розряду, тобто. одиниці та десятки, позначимо число одиниць та десятків нулями.

Натуральна послідовність чисел.

За традиційною програмою натуральна послідовність вводиться як ряд чисел, яким ведеться рахунок.

Властивості відрізка натурального ряду:

Натуральний ряд чисел починається із одиниці.

Кожне число має місце. Кожне наступне число на одиницю більше за попереднє; кожне попереднє на одиницю менше наступного.

Усі числа, що стоять до виділеного числа, менші за його; стоять після - більше вивченого числа.

Нескінченність натурального ряду чисел.

У натуральному ряду чисел учні повинні вміти виділити кінцеві послідовності: однозначних, двозначних, n-значних чисел.

9, 99, 999, 9999 - найбільші однозначне, двозначне, тризначне, чотиризначне, n-значне числа.

Чому? Якщо додамо до кожного їх 1, то отримаємо найменше число наступної послідовності.

10, 100, 1000, 10000 ... - Найменше двозначне, тризначне, n-значне число, т.к. при відніманні з кожної одиниці отримаємо найбільшу кількість попередньої послідовності.

Розрізняють усну та письмову нумерацію.

Усна нумерація - сукупність правил, що дають можливість за допомогою небагатьох слів складати назви для багатьох чисел. У результаті вивчення усної нумерації необхідно розкрити правила рахунки, читання, освіти чисел; знати цифри від 0 до 9, слова-числильні - сорок, дев'яносто, сто, тисяча, мільйон, мільярд. Правила рахунку:

Кінцеве число при рахунку відносити до всієї множини.

Правила утворення назв та читання чисел.

1. Назви чисел від 10 до 20 утворюються з використанням назв, прийнятих для перших десяти чисел, але має свою особливість - при читанні спочатку називається нижній розряд, потім решта (один-на-дцять; дві-на-дцять).

2. Інші назви чисел утворюються за принципом порозрядності; Читання чисел починається з одиниць вищого розряду.

3. При освіті та читанні багатозначних чисел дотримується принцип читання за класами.

Письмова нумерація - це сукупність правил, що дають можливість за допомогою небагатьох знаків позначати будь-які числа.

У результаті вивчення письмової нумерації вводиться поняття «цифри».

Цифра – це знак для позначення числа. Проводиться цілеспрямована систематична робота з розрізнення понять «число» та «цифра».

Вводяться знаки (цифри) позначення перших дев'яти чисел. Запис всіх інших чисел виконується з використанням тих самих десяти цифр (від 0 до 9), але за допомогою двох або більше цифр, значення яких залежить від місця, яке займає цифра запису числа (тобто помісне значення цифри або позиційний принцип запису чисел ).

Усна та письмова нумерація чисел спирається на знання десяткової системи числення. У математиці системою числення називають набір знаків, правил операцій та порядку запису цих знаків під час утворення числа. Розрізняють два типи систем числення:

Непозиційна система, яка характеризується тим, що кожному знаку незалежно форми запису числа приписується одне цілком певне значення (наприклад, римська нумерація).

Позиційна система (наприклад, десяткова система числення), яка характеризується такими властивостями:

Кожна цифра набуває різних значень залежно від її положення у записі числа (позиційний принцип запису).

Кожна цифра, залежно від її положення, називається розрядною одиницею; розрядні одиниці такі: одиниці, десятки, сотні тощо.

10 одиниць одного розряду становлять одну одиницю наступного розряду, тобто. співвідношення розрядних одиниць дорівнює десяти (10 од. = 1 дес.; 10 дес. = 1 сот. і т.д.).

Починаючи праворуч ліворуч і поспіль, кожні 3 розрядні одиниці утворюють розрядні класи (одиниць, тисяч, мільйонів та ін.).

Додаток до дев'яти одиниць ще однієї одиниці даного розряду дає одиницю наступного, вищого (старшого) розряду.

Слід виділити основні поняття десяткової системи числення:

Рахункова одиниця – те, що беремо за основу рахунку. Кожна наступна рахункова одиниця більша за попередню в 10 разів.

Розряд – місце цифри у записі числа.

3. Одиниці І, ІІ, ІІІ розрядів і т.д. - одиниці, що стоять на першому (одиниці), другому (десятки), третьому (сотні) місці в записі числа, вважаючи праворуч наліво.

4. Розрядне число – число, що складається з одиниць одного розряду.

5. Нерозрядне число – число, що складається з одиниць різних розрядів.

6. Клас - поєднання за певними ознаками одиниць трьох розрядів. Кожна одиниця наступного класу більша за попередню в тисячу разів. (Так, перша одиниця класу одиниць менша в 1000 разів першої одиниці класу тисяч і т.д.)

Порядок вивчення нумерації можна відобразити у таблиці:

Методика вивчення нумерації цілих невід'ємних чисел передбачає можливість різних підходів.

У методиці початкового навчання зазвичай вивчення нумерації за концентрами. Цей підхід відбито у підручниках математики, розроблених Бантової М.А., Бельтюкової Г.В. та ін.

Поступове розширення числової області створює хороші умови для формування знань, умінь, навичок нумерації: поступово збагачуються знання про числа і способи їх позначення; ускладнюються практичні дії з числами (освіта, назва, запис, порівняння, перетворення та ін.).

Виділяються три основні етапи вивчення нумерації: підготовчий, ознайомлення з новим матеріалом, закріплення знань та умінь.

На підготовчому етапі необхідно сформувати в учнів психологічну установку на вивчення нумерації, активізувати їхній попередній досвід та наявні знання, викликати інтерес до нових чисел. З цією метою пропонується заздалегідь включати вправи на повторення основних питань нумерації чисел попереднього концентру: співвідношення вивчених лічильних одиниць, десятковий склад чисел, натуральна послідовність, правила запису та способи порівняння чисел; прийоми складання та віднімання, засновані на знанні нумерації. Також розроблені вправи в рахунку предметів або в називанні чисел натуральної послідовності з виходом у новий концентр, це допомагає учням зрозуміти, що існують числа та поза вивченим концентром і що вони чимось схожі на вже знайомі дітям числа.

При ознайомленні з нумерацією вправи допомагають учням виділити суттєві ознаки понять, що формуються, опанувати способами досліджуваних дій.

Проведено відбір питань та визначено порядок вивчення у кожному концентрі:

спочатку розглядається утворення лічильної одиниці, ведеться рахунок предметів за допомогою цієї лічильної одиниці;

на основі рахунку вводяться нові розрядні числа, розкривається їх освіта та назви;

на основі рахунку за допомогою всіх відомих рахункових одиниць показується освіта та усне позначення нерозрядних чисел; їх склад із розрядних;

включаються вправи у рахунку предметів із використанням нових чисел; засвоюється натуральна послідовність чисел;

на основі знання десяткового складу та помісного значення цифр розкривається письмова нумерація чисел;

у всіх концентрах поряд з рахунком розглядається вимір таких величин, як довжина, маса, вартість; одиниці виміру цих величин та їх співвідношення вивчаються у порівнянні з відповідними рахунковими одиницями та допомагають їх засвоєнню, (наприклад, 1 дм = 10 см; 1 р. = 100 к.; 1 кг = 1000 г і т.д.);

вводяться способи порівняння чисел на основі:

принцип освіти натуральної послідовності;

встановлення взаємно-однозначної відповідності між елементами множин;

знання розрядного складу чисел;

знання класового складу;

у кожному концентрі вводяться обчислювальні прийоми, що ґрунтуються на знанні нумерації:

а) принципу утворення натуральної послідовності вводяться випадки виду а + 1 де а - будь-яке натуральне число;

б) розрядного складу чисел (вправи у додаванні розрядних чисел та зворотні вправи у заміні нерозрядних чисел сумою розрядних, а також у відніманні з нерозрядних чисел окремих, що складають їх розрядних чисел) наприклад:

400+70+3=473; 506=500+6; 842-40=802;

842-800=42; 842-2=840.

При ознайомленні із нумерацією необхідно спиратися на предметні дії учнів. Для цього пропонується використовувати різні засоби навчання: лічильний матеріал, на якому легко ілюструвати десяткове угруповання предметів при рахунку (палички, пучки паличок, квадрати, смужки квадратів, трикутники з 10-ма кружками); наочні посібники, що формують уявлення про натуральну послідовність чисел (лінійки, рулетки, стрічки з виділеними сантиметрами, дециметрами, метрами); наочні посібники, що допомагають усвідомити позиційний принцип запису чисел (нумераційні таблиці розрядів та класів, абаки).

Після введення проводиться цілеспрямована робота на закріплення знань та відпрацювання умінь. Тренувальні вправи поєднуються з вправами творчого характеру.

Даються завдання на аналіз типових помилок, порівняння, класифікацію, узагальнення, для характеристики будь-якого числа. Схема (план) розбору чисел, починаючи з однозначного, до багатозначного поступово розширюватиметься, поглиблюватиметься, збагачуватиметься новим теоретичним матеріалом. На початковому етапі вона може складатися на основі узагальнення сформульованих відповідей учнів та включати такі питання:

Читання числа.

Місце числа за рахунку.

Десятковий склад.

Запис числа за допомогою цифр.

При вивченні нумерації багатозначних чисел схема аналізу буде включати більшу кількість завдань.

Ця робота дозволить узагальнити та систематизувати знання учнів щодо нумерації цілих невід'ємних чисел.

Можливий інший підхід до вивчення нумерації чисел, який знайшов відображення у програмі та підручниках, розроблених Істоміною Н.Б.

У зв'язку з тематичним побудовою курсу у ньому виділяються не концентри, а теми: «Однозначні числа», «Двозначні числа», «Тризначні числа», «Чотиризначні числа», «П'ятизначні та шестизначні числа», у процесі вивчення яких у дітей формуються свідомі навички читання та запису чисел.

Виділення тим, назви яких зорієнтовані кількість знаків у числі, сприяє розумінню дітьми відмінностей між числом і цифрою.

На першому етапі в темі «Однозначні числа» у учнів формуються уявлення про кількісне та порядкове число, навички рахунку; вони знайомляться із записом чисел та з відрізком натурального ряду однозначних чисел. Потім вони засвоюють зміст додавання і віднімання та склад однозначних чисел. Робота з засвоєння нумерації починається з усвідомлення, що двозначне число складається з десятків і одиниць.

Наступна робота, спрямовану засвоєння десяткової системи числення і формування навички читати і записувати двозначні числа, пов'язані з встановленням відповідності між предметної моделлю числа та її символічним записом. Як предметна модель десятка використовується наочний посібник у вигляді трикутника з 10-ма кружками.

Пропонуються завдання:

На виявлення ознак подібності та відмінності двозначних та тризначних чисел;

на запис чисел певними цифрами;

На порівняння чисел;

На виявлення правила (закономірності) побудови низки чисел.

Перелічені види завдань використовують і щодо інших тем.

Завдання: Порівняйте вправи у процесі виконання, яких учні засвоюють усну та письмову нумерацію чисел у різних підручниках математики для початкових класів. Які особливості цих вправ у кожному підручнику?

Мета будь-якої нумерації – зображення будь-якого натурального числа за допомогою невеликої кількості індивідуальних знаків. Цього можна було б досягти за допомогою одного знака – 1 (одиниці). Кожне натуральне число записувалося б повторенням символу одиниці стільки разів, скільки в цьому числі вміщається одиниць. Додавання зводилося б до простого приписування одиниць, а віднімання - до викреслювання (витирання) їх. Ідея, що лежить в основі такої системи, проста, проте ця система дуже незручна. Для запису великих чисел вона практично не придатна, і нею користуються тільки народи, у яких рахунок не виходить за межі одного-двох десятків.

З розвитком людського суспільства збільшуються знання людей і все більше стає потреба рахувати та записувати результати рахунку досить великих множин, виміру великих величин.

У первісних людей був писемності, був ні літер, ні цифр, кожну річ, кожну дію зображували малюнком. Це були реальні малюнки, що відображають ту чи іншу кількість. Поступово вони спрощувалися, ставали дедалі зручнішими для запису. Йдеться про запис чисел ієрогліфами. Ієрогліфи древніх єгиптян свідчать, що мистецтво рахунки було розвинене вони досить високо, з допомогою ієрогліфів зображалися великі числа. Однак для подальшого вдосконалення рахунку було необхідно перейти до зручнішого запису, який дозволяв би позначати числа спеціальними, зручнішими знаками (цифрами). Походження цифр у кожного народу різне.

Перші цифри зустрічаються більш як за 2 тис. років до н.е. у Вавилоні. Вавилонці писали паличками на плитах з м'якої глини і потім свої записи висушували. Писемність давніх вавилонян називалася клинописом.Клиночки розміщувалися і горизонтально, і вертикально, залежно від їх значення. Вертикальні клинки позначали одиниці, а горизонтальні, звані десятки - одиниці другого розряду.

Деякі народи для запису чисел використовували літери. Замість цифр писали початкові літери слів-числових. Така нумерація, наприклад, мала древні греки. На ім'я вченого, який запропонував її, вона увійшла до історії культури під назвою геродіанованумерація. Так, у цій нумерації число "п'ять" називалося "pinta" і позначалося буквою "Р", а число десять називалося "deka" і позначалося буквою "Д". Нині цією нумерацією не користується ніхто. На відміну від неї римськанумерація збереглася та дійшла до наших днів. Хоча тепер римські цифри зустрічаються не так часто: на циферблатах годинника, для позначення розділів у книгах, століть, на старих будівлях і т.д. У римській нумерації є сім вузлових знаків: I, V, X, L, С, D, М.

Можна припустити, як ці знаки. Знак (1) – одиниця – це ієрогліф, який зображує I палець (каму), знак V – зображення руки (зап'ястя руки з відставленим великим пальцем), а для числа 10 – зображення разом двох п'ятірок (X). Щоб записати числа II, III, IV, користуються тими самими знаками, відображаючи події з ними. Так, числа II та III повторюють одиницю відповідне число разів. Для запису числа IV перед п'ятьма ставиться I. У цьому записі одиниця, поставлена ​​перед п'ятіркою, віднімається з V, а одиниці, поставлені за V,

додаються до неї. І так само одиниця, записана перед десятьма (X), віднімається від десяти, а та, що стоїть праворуч, - додається до неї. Число 40 позначається XL. У цьому випадку від 50 забирається 10. Для запису числа 90 від 100 забирається 10 і записується ХС.

Римська нумерація дуже зручна для запису чисел, але майже придатна щодо обчислень. Жодних дій письмово (розрахунки «стовпчиками» та інші прийоми обчислень) з римськими цифрами зробити практично неможливо. Це дуже великий недолік римської нумерації.

У деяких народів запис чисел здійснювався літерами алфавіту, якими користувалися у граматиці. Цей запис мав місце у слов'ян, євреїв, арабів, грузинів.

Алфавітнасистема нумерації вперше була використана у Греції. Найдавніший запис, зроблений за цією системою, відносять до середини V ст. до н.е. У всіх алфавітних системах від 1 до 9 числа позначали індивідуальними символами за допомогою відповідних букв алфавіту. У грецькій та слов'янській нумераціях над літерами, які позначали цифри, щоб відрізнити числа від звичайних слів, ставилася рисочка «титло» (~). Наприклад, а, б,<Г и Т -Д-Все числа от 1 до 999 записывали на основе принципа при­бавления из 27 индивидуальных знаков для цифр. Пробы записать в этой системе числа больше тысячи привели к обозначениям, которые можно рассматривать как зародыши позиционной системы. Так, для обозначения единиц тысяч использовались те же буквы, что и для единиц, но с чер­точкой слева внизу, например, @, q; і т.д.

Сліди алфавітної системи збереглися до нашого часу. Так часто літерами ми нумеруємо пункти доповідей, резолюцій і т.д. Однак алфавітний спосіб нумерації зберігся у нас лише для позначення порядкових числівників. Кількісні числа ми ніколи не позначаємо буквами, тим більше ніколи не оперуємо з числами, записаними в абетковій системі.

Стародавня російська нумерація також була абетковою. Слов'янське алфавітне позначення чисел виникло у X ст.

Зараз існує індійська системазапису чисел. Завезена вона до Європи арабами, тому й отримала назву арабськоюнумерації. Арабська нумерація поширилася у всьому світі, витіснивши всі інші записи чисел. У цій нумерації для запису чисел використовується 10 піктограм, які називаються цифрами. Дев'ять їх позначають числа від 1 до 9.

2 Замовлення 1391

Десятий значок – нуль (0) – означає відсутність певного розряду чисел. За допомогою цих десяти знаків можна записати які завгодно великі числа. До XVIII ст. на Русі письмові знаки, крім нуля, називалися знаменнями.

Отже, народи різних країн мали різну письмову нумерацію: ієрогліфічна - у єгиптян; клинописна - у вавилонян; геродіанова - у давніх греків, фінікійців; алфавітна - у греків та слов'ян; римська – у західних країнах Європи; арабська – на Близькому Сході. Слід сказати, що тепер майже всюди використовується арабська нумерація.

Аналізуючи системи запису чисел (нумерації), які мали місце історії культур різних народів, можна дійти невтішного висновку у тому, що це письмові системи діляться на великі групи: позиційні і непозиційні системи числення.

До непозиційних систем числення належать: запис чисел ієрогліфами, алфавітний, римський ідеякі інші системи. Непозиційна система числення - це система запису чисел, коли зміст кожного символу залежить від місця, де він написан. Ці символи є вузловими числами, а алгорифмічні числа комбінуються з цих символів. Наприклад, число 33 у непозиційній римській нумерації записується так: XXXIII. Тут знаки X (десять) та I (одиниця) використовуються в записі числа кожен по три рази. Причому кожен раз цей знак позначає ту саму величину: X - десять одиниць, I - одиниця, незалежно від місця, на якому вони стоять у ряді інших знаків.

У позиційних системах кожен знак має різне значення залежно від того, на якому місці у записі числа він стоїть. Наприклад, серед 222 цифра «2» повторюється тричі, але перша цифра справа позначає дві одиниці, друга - два десятки, а третя - дві сотні. У цьому випадку ми маємо на увазі десяткову систему числення.Поруч із десятковою системою числення історія розвитку математики мали місце двійкова, п'ятирічна, двадцятирична та інших.

Позиційні системи числення зручні тим, що вони дозволяють записувати великі числа з допомогою порівняно невеликої кількості знаків. Важлива перевага позиційних систем – простота та легкість виконання арифметичних операцій над числами, записаними у цих системах.

Поява позиційних систем позначення чисел було одним із основних віх історія культури. Слід сказати, що це сталося невипадково, бо як закономірна щабель у культурному розвитку народів. Підтвердженням цього є самостійне виникнення позиційних систем урізних народів: у вавилонян – більш ніж за 2 тис. років до н.е.; у племен майя (центральна Америка) - на початку нової "ери; у індусів - в IV-VI ст. н.е.

Походження позиційного принципу насамперед слід пояснити появою мультиплікативної форми запису. Мультиплікативний запис – це запис за допомогою множення. До речі, цей запис з'явився одночасно з винаходом першого лічильника, який у слов'ян називався абак. Так, у мультиплікативному записі число 154 можна записати: 1хЮ 2+5х10+4. Як бачимо, у цьому записі відображається той факт, що при рахунку деякі кількості одиниць першого розряду, в даному випадку десять одиниць, беруться за одну одиницю наступного розряду, певна кількість одиниць другого розряду береться, у свою чергу, за одиницю третього розряду і т.д. буд. Це дозволяє зображення кількості одиниць різних розрядів використовувати одні й самі числові символи. Цей запис можлива за рахунку будь-яких елементів кінцевих множин.

У п'ятирічній системі рахунок здійснюється «п'ятами» – по п'ять. Так, африканські негри рахують на камінчиках або горіхах і складають їх у купи по п'ять предметів у кожній. П'ять таких куп вони об'єднують у нову купку і т.д. При цьому спочатку перераховують камінчики, потім купки, потім великі купи. При такому способі рахунку підкреслюється та обставина, що з купами камінців слід робити ті самі операції, що і з окремими камінцями. Техніку рахунку за цією системою ілюструє російський мандрівник Міклухо-Маклай. Так, характеризуючи процес перерахування товару тубільцями Нової Гвінеї, він пише, що щоб порахувати кількість смужок паперу, які позначали кількість днів до повернення корвету «Витязь», папуаси робили таке: перший, розкладаючи смужки паперу на колінах, при кожному відкладанні повторював «каре» (один), «каре» (два) і так до десяти, другий повторював це слово, але при цьому загинав пальці спочатку на одній, потім на іншій руці. Дорахувавши до десяти і загнувши пальці обох рук, папуас опускав обидва кулаки на коліна, промовляючи «ібен каре» – дві руки. Третій папуас у своїй загинав один палець на руці. З іншим десятком було

виконано те саме, причому третій папуас загинав другий палець, а для третього десятка - третій палець і т.д. Подібний рахунок був у інших народів. Для такого рахунку необхідні були не менш як три особи. Один рахував одиниці, інший – десятки, третій – сотні. Якщо ж замінити пальці тих, хто вважав, камінчиками, поміщеними в різні виїмки глиняної дошки або нанизаними на прутики, то вийшов би найпростіший лічильний прилад.

Згодом назви розрядів під час запису чисел почали пропускати. Однак для завершення позиційної системи бракувало останнього кроку – запровадження нуля. При порівняно невеликій основі рахунку, якою було число 10, і оперуванні порівняно великими числами, особливо після того, як назви розрядних одиниць почали пропускати, введення нуля стало просто необхідним. Символ нуля спочатку міг бути зображенням порожнього абакового жетона або видозміненої простої точки, яку могли поставити на місці пропущеного розряду. Так чи інакше, проте введення нуля було абсолютно неминучим етапом закономірного процесу розвитку, який і призвів до створення сучасної системи позицій.

В основі системи числення може бути будь-яке число, крім 1 (одиниці) та 0 (нуля). У Вавилоні, наприклад, було число 60. Якщо за основу системи числення береться велике число, запис числа буде дуже коротким, проте виконання арифметичних дій буде більш складним. Якщо ж, навпаки, взяти число 2 чи 3, то арифметичні дії виконуються дуже легко, але запис стане громіздкою. Можна було б замінити десяткову систему більш зручною, але перехід до неї був би пов'язаний з великими труднощами: перш за все довелося б передруковувати наново всі наукові книги, переробляти всі лічильні прилади та машини. Навряд чи така заміна була б доцільною. Десяткова система стала звичною, а отже, і зручною.

Вправи для самоперевірки

Послідовний ряд чисел визна-

алгорифмічних

операція

віднімання

Для запису чисел різні народи винаходили різні. Так до наших

днів дійшли такі види запису: ....... ,

геродіанова, ..., римська та ін.

І зараз люди іноді
користуються алфавітною і.., нумераціями, римської

найчастіше при позначенні порядкових числівників.

У суспільстві більшість
народів користується арабською (...) нумером. індуської

Письмові нумерації (системи) де
ляться на дві великі групи: позиціон
ні та... системи числення. непозиційні

§ 6. Рахункові прилади

Найдавнішими приладами для полегшення рахунку та обчислень були людська рука та камінці. Завдяки рахунку на пальцях виникли п'ятирічна та десятирічна (десяткова) системи числення. Правильно помічено вченим математиком М.Н.Лузіним, що «переваги десяткової системи не математичні, а зоологічні. Якби у нас на руках було не десять пальців, а вісім, то людство мало б восьмирічну систему».

У практичній діяльності при рахунку предметів люди використовували камінці, бирки з зарубками, мотузки з вузликами та ін Першим і більш удосконаленим пристроєм, спеціально призначеним для обчислень, був простий абак, з якого і почався розвиток обчислювальної техніки. Рахунок за допомогою абака, відомий вже в Китаї, Стародавньому Єгипті та Стародавній Греції задовго до нашої ери, проіснував багато тисячоліть, коли на зміну абаку прийшли письмові обчислення. При цьому слід зауважити, що абак служив не так для полегшення власне обчислень, як для запам'ятовування проміжних результатів.

Відомо кілька різновидів абака: грецький, який був виконаний у вигляді глиняної дощечки, на якій твердим предметом проводили лінії і в поглиблення (борозенки), що вийшли, клали камені. Ще більш простим був римський абак, на якому камінці могли пересуватися не жолобами, а просто лініями, нанесеними на дошці.

У Китаї схожий на абак прилад називали суан-пан, а Японії - соробан. Основою для цих приладів були кулі-

ки, нанизані на прутики; рахункові таблиці, що складаються з горизонтальних ліній, що відповідають одиницям, десяткам, сотням і т.д., і вертикальних, призначених для окремих доданків та співмножників. На ці лінії викладалися жетони – до чотирьох.

У наших предків теж був абак – російські рахунки. Вони з'явилися у XVI-XVII ст., ними користуються й у наші дні. Основна заслуга винахідників абака полягає у використанні позиційної системи числення.

Наступним важливим етапом у розвитку обчислювальної техніки було створення підсумовувальних машин та арифмометрів. Такі машини були сконструйовані незалежно один від одного різними винахідниками.

У рукописах італійського вченого Леонардо да Вінчі (1452-1519) є ескіз 13-розрядного підсумовування. Німецьким ученим В.Шикардом (1592-1636) було розроблено 6-розрядний ескіз, а сама машина була побудована приблизно 1623 року. Слід зазначити, що ці винаходи стали відомі лише в середині XX ст., тому ніякого впливу на розвиток обчислювальної техніки вони не надали. Вважалося, що першу підсумовуючу машину (8-розрядну) сконструював у 1641 році, а побудував у 1645 році Б.Паскаль. За цим проектом було налагоджено їхнє серійне виробництво. Декілька екземплярів цих машин збереглося до наших днів. Перевагою їх було те, що вони дозволяли виконувати всі чотири арифметичні дії: додавання, віднімання, множення та поділ.

Під терміном «обчислювальна техніка» розуміють сукупність технічних систем, тобто. обчислювальних машин, математичних засобів, методів та прийомів, що використовуються для полегшення та прискорення вирішення трудомістких завдань, пов'язаних з обробкою інформації (обчисленнями), а також галузь техніки, що займається розробкою та експлуатацією обчислювальних машин. Основні функціональні елементи сучасних обчислювальних машин або комп'ютерів виконані на електронних приладах, тому їх називають електронними обчислювальними машинами - ЕОМ. За способом подання інформації обчислювальні машини ділять на три групи;

Аналогові обчислювальні машини (АВМ), у яких інформація постає у вигляді змінних, що безперервно змінюються, виражених будь-якими фізичними величинами;

Цифрові обчислювальні машини (ЦВМ), у яких
інформація подається у вигляді дискретних значень пе
ремінних (чисел), виражених комбінацією дискретних знань
чень будь-якої фізичної величини (цифри);

Гібридні обчислювальні машини (ГВМ), в кото
рих використовуються обидва способи подання інформації.

Перший аналоговий обчислювальний пристрій з'явився XVII в. То була логарифмічна лінійка.

У XVIII-XIX ст. продовжувалося вдосконалення механічних арифмометрів з електричним приводом. Це вдосконалення мало суто механічний характер і з переходом на електроніку втратило своє значення. Виняток становлять лише машини англійського вченого Ч.Бе-біджа: різницеві (1822) та аналітичні (1830).

Різнисна машина призначалася для табулювання багаточленів і з сучасної точки зору була спеціалізованою обчислювальною машиною з фіксованою (жорсткою) програмою. Машина мала пам'ять - кілька регістрів для зберігання чисел. За виконання заданого числа кроків обчислень спрацьовував лічильник числа операцій - лунав дзвінок. Результати виводилися на друк - принтер. Причому за часом ця операція поєднувалася з обчисленнями.

Працюючи над різницевою машиною Бебідж дійшов ідеї створення цифрової обчислювальної машини до виконання різноманітних наукових і технічних розрахунків. Працюючи автоматично, ця машина виконувала задану програму. Автор назвав цю машину аналітичною. Ця машина - прообраз сучасних ЕОМ. Аналітична машина Бебіджа включала наступні пристрої:

Для зберігання цифрової інформації (тепер це назва
ється запам'ятовуючим пристроєм);

Для виконання операцій над числами (тепер це
арифметичний пристрій);

Пристрій, для якого Бебідж не вигадав назву
ня і яке керувало послідовністю дій ма
шини (зараз це пристрій управління);

Для введення та виведення інформації.

Як носії інформації при введенні та виведенні Бебідж передбачав використовувати перфоровані картки (перфокарти) типу тих, що застосовуються в управлінні ткацьким верстатом. Бебідж передбачив уведення в машину таблиць значень функцій з контролем. Вихідна інформація могла друкуватись, а також пробиватися на перфокартах,

що давало можливість у разі потреби знову вводити її в машину.

Таким чином, аналітична машина Бебіджа була першою у світі програмно-керованою обчислювальною машиною. Для цієї машини було складено і перші у світі програми. Першим програмістом була дочка англійського поета Байрона – Августа Ада Лавлейс (1815–1852). На її честь одна із сучасних мов профамування називається «Ада».

Першою електронно-обчислювальною машиною прийнято вважати машину, розроблену в Пенсинвальському університеті США. Ця машина ЕНІАК була збудована у 1945 році, мала автоматичне програмне управління. Недоліком цієї машини була відсутність пристрою для зберігання команд.

Першою ЕОМ, що має всі компоненти сучасних машин, була англійська машина ЕДСАК, побудована в 1949 році в Кембриджському університеті. У пристрої цієї машини розміщуються числа (записані в двійковому коді) і сама програма. Завдяки числовій формі запису команд програми машина може здійснювати різні операції.

Під керівництвом С.А.Лебедєва (1902-1974) розробили перша вітчизняна ЕОМ (електронна обчислювальна машина). МЕСМ виконувала лише 12 команд, номінальна швидкість дій - 50 операцій на секунду. Оперативна пам'ять МЕСМ могла зберігати 31 сімнадцятирозрядне двійкове число та 64 двадцятирозрядні команди. Крім цього, були зовнішні запам'ятовуючі пристрої. У 1966 році під керівництвом цього ж конструктора була розроблена велика електронно-лічильна машина (БЕСМ).

Електронно-обчислювальні машини використовують різні мови програмування – це система позначень для опису даних інформації та програм (алгоритмів).

Профама машинною мовою має вигляд таблиці з цифр, кожен її рядок відповідає одному оператору - машинній команді. У цьому команді, наприклад, перші кілька цифр є кодом операції, тобто. вказують машині, що треба робити (складати, множити і т.д.), інші цифри вказують, де у пам'яті машини перебувають потрібні числа (доданки, сомножители) і слід запам'ятати результат операцій (суму творів тощо.) .

Мова програмування задається трьома компонентами: алфавітом, синтаксисом та семантикою.

Більшість мов програмування (БЕЙСІК, ФОРТРАН, ПАСКАЛЬ, ПЕКЛА, КОБОЛ, ЛИСП), розроблених до теперішнього часу, є послідовними. Профами, написані ними, є послідовність наказів (інструкцій). Вони послідовно один за одним обробляються на машині за допомогою так званих трансляторів.

Продуктивність обчислювальних машин підвищуватиметься за рахунок паралельного (одночасного) виконання операцій, тоді як більшість існуючих мов програмування розраховано на послідовне виконання операцій. Тому майбутнє, мабуть, за такими мовами програмування, які дозволять описувати завдання, а не послідовність виконання операторів.

Вправи для самоперевірки

Розвиток... приладів в історії мате- рахункових
матики відбувалося поступово. Від іс
користування частин власного тіла - пальці руки
... - до використання різних спеці- абак
ально створюваних пристроїв: ... ліній- логарифмічна
ка, рахунки, ... , аналітична машина та обчислювальна
електронно-... машина.

Програмами для... машин є електронно-обчисли-

таблиці цифр. тільних

Компонентами мов програмування
ня є алфавіт, ... та семантика. синтаксис

§ 7. Становлення, сучасний стан та перспективи

розвинена методика навчання елементам математики дітей

дошкільного віку

Питання математичного розвитку дітей дошкільного віку своїм корінням сягають у класичну і народну педагогіку. Різні лічилки, прислів'я, приказки, загадки, потішки були хорошим матеріалом у навчанні дітей рахунку, дозволяли сформувати у дитини поняття про числа, форму, величину, простір і час. Наприклад,

Цьому дала, Цьому дала І цьому дала, А цьому не дала:

Ти води не носив, Дрова не рубав, Кашу не варив - Нема тобі нічого.

Перша друкована навчальна книжка І.Федорова «Буквар» (1574 р.) включала думки необхідність навчання дітей рахунку у процесі різних вправ. Питання змісту методів навчання математики дітей дошкільного віку та формування у них знань про розмір, вимір, час і простір можна знайти в педагогічних працях Я.А. Коменського, М.Г.Песталоцці, К.Д.Ушинського, Ф.Фребеля, Л.Н.Толстого та інших.

Так, Я.А.Коменський (1592-1670) у книзі «Материнська школа» рекомендує ще до школи навчати дитину рахунку в межах двадцяти, вмінню розрізняти числа більші-менші, парні-непарні, порівнювати предмети за величиною, впізнавати та називати деякі геометричні фігури, користуватися в практичній діяльності одиницями виміру: дюйм, п'ядь, крок, фунт та ін.

У класичних системах сенсорного навчання Ф.Фребеля (1782-1852) та М.Монтессорі (1870-1952) представлено методику ознайомлення дітей з геометричними фігурами, величинами, виміром та рахунком. Створені Фребелем «дарунки» і в даний час використовуються як дидактичний матеріал для ознайомлення дітей з числом, формою, величиною та просторовими відносинами.

Про значення навчання дітей рахунку до школи неодноразово писав К.Д.Ушинський (1824-1871). Він вважав за важливе навчити дитину вважати окремі предмети та їх групи, виконувати дії додавання та віднімання, формувати поняття про десяток як одиницю рахунку. Проте це було лише побажаннями, які мають жодного наукового обгрунтування.

Особливого значення питання методики математичного розвитку набувають у педагогічній літературі початкової школи межі XIX-XX ст. Авторами методичних рекомендацій тоді були передові вчителі та методисти. Досвід практичних працівників не завжди був науково обґрунтований.

ним, зате був перевірений на практиці. Згодом він удосконалився, сильніше і повніше у ньому виявилася прогресивна педагогічна думка. Наприкінці XIX – на початку XX століття у методистів виникла потреба у розробці наукового фундаменту методики арифметики. Значний внесок у розробку методики зробили передові російські вчителі та методисти П.С.Гур'єв, А.І.Гольденберг, Д.Ф.Єгоров, ВАЄвтушевський, ДД.Галанін та інші.

Перші методичні посібники з методики навчання дошкільнят рахунку, як правило, були адресовані одночасно вчителям, батькам та вихователям. На основі досвіду практичної роботи з дітьми В.А.Кемніц видала методичний посібник «Математика в дитсадку» (Київ, 1912), де основними методами роботи з дітьми пропонуються бесіди, ігри, практичні вправи. Автор вважає за необхідне знайомити дітей з такими поняттями, як: один, багато, кілька, пара, більше, менше, стільки ж, порівну, рівний, такий самийта ін Основним завданням є вивчення чисел від 1 до 10, причому кожне число розглядається окремо. Одночасно діти засвоюють події над цими числами. Широко використовується наочний матеріал.

У ході розмов і занять діти отримують знання про форму, простір і час, про поділ цілого на частини, про величини та їх вимір.

Питання про методи, зміст навчання дітей рахунку та математичний розвиток в цілому, які могли б стати основою для успішного подальшого навчання їх у школі, особливо гостро дебатувалися у дошкільній педагогіці з моменту створення широкої мережі суспільного дошкільного виховання.

Найбільш крайня позиція зводилася до заборони будь-якого цілеспрямованого навчання математики. Найбільш чітко вона відображена у роботах К.ФЛебединцева. У книзі «Розвиток числових вистав у ранньому дитинстві» (Київ, 1923) автор дійшов висновку, що перші уявлення про числа в межах 5 виникають у дітей на основі розрізнення груп предметів, сприйняття множин. А далі, поза цих невеликих сукупностей, основна роль формуванні поняття числа належить рахунку, який витісняє симультанне (цілісне) сприйняття множин. При цьому він вважав бажаним, щоб дитина здобувала знання в цей період «непомітно», самостійно. Такого висновку К.Ф.Лебединцев дійшов основі спостережень за засвоєнням дітьми перших числових уявлень і оволодінням ними

рахунком. Діти насправді дуже рано починають виділяти деякі невеликі групи однорідних предметів і, наслідуючи дорослих, називати це числом. Але ці знання ще неглибокі, мало свідомі. Вміння дітей називати числа не завжди є об'єктивним показником математичних здібностей. І все-таки в 20-ті роки багато методистів, вихователів прийняли думку К.Ф.Лебединце-ва. На їхню думку, числові уявлення виникають у дитини головним чином завдяки цілісному сприйняттю невеликих груп однорідних предметів, що знаходяться в навколишньому середовищі (руки, ноги, ніжки столу, колеса машини і т.д.). На цій підставі вважалося необов'язковим навчати дітей рахунку.

Проте передові педагоги-«дошкільнята» у 20-30-ті роки (Є.І.Тихєєва, Л.К.Шлегер та ін.) зазначали, що процес формування числових уявлень у дітей дуже складний, і тому необхідно цілеспрямовано навчати їхньому рахунку. Основним способом навчання дітей рахунку визнавалася гра. Так, автори книги «Живі числа, живі думки та руки за роботою» (Київ, 1920) Є.Горбунов-Пасадов та І.Цунзер писали, що у свою діяльність - гру дитина намагається впровадити те, що їй цікаво на даний момент. Тому ознайомлення з елементами математики має ґрунтуватися на активній діяльності дитини. Вважалося, що граючи, діти краще засвоюють рахунок, краще знайомляться з числами та діями над ними.

Більшість педагогів 20-30-х років негативно ставилися до необхідності створення програм дитячого садка, до цілеспрямованого навчання. Зокрема, Л.К.Шлегер стверджувала, що мають вільно вибирати собі заняття, за власним бажанням, тобто. кожен може робити те, що він задумав, вибирати відповідний матеріал, ставити собі цілі та досягати їх. Ця програма, на її думку, має спиратися на природні нахили та прагнення дітей. Роль вихователя полягала лише у створенні умов, сприяють самонавчання дітей. Л.К.Шлегер вважала, що рахунок слід поєднувати з різними видами діяльності дитини, а вихователь повинен використовувати різні моменти життя дітей для вправ їх у рахунку.

Післядрукарська обробка - складова та важлива частина всього поліграфічного процесу. Саме вона впливає на властивості та кінцевий вид поліграфічних виробів. У друкарні виконуються такі види робіт з післядрукарської обробки як нумерація, перфорація, брошурування навивкою, брошурування на скріпку, склеювання в блоки, ламінування, круглення кутів.

Нумерація

Під нумерацією розуміють друк на примірниках поліграфічних видань змінних даних, а саме присвоєних ним номерів, що змінюються. Нумерація використовується вже на готових бланках. Нумерація полегшує споживачеві пошук потрібної інформації, а деяких випадках є обов'язковою процедурою, передбаченої законодавчо. Нумерація у друкарнях здійснюється за допомогою нумератора.

Нумерація застосовується:

1. Для навігації за текстом
2. Для запобігання фальсифікації
3. Для дотримання вимог законодавства
4. Для контролю та обліку відповідних бланків.

Види нумерації

Найбільш поширені види нумерації:

1. Пряма наскрізна нумерація. Кожному першому аркушу відповідає номер Х наступного Х+1 і т.д.
2. Зворотна наскрізна нумерація.
3. Пряма чи зворотна нумерація із заданим кроком.

Види нумераціїможуть використовуватись на вимогу замовника, якщо це не порушує вимогу відповідних нормативно-правових документів (лотерейні квитки, бланки суворої звітності тощо)

Брошурування навивкою

При такому брошуруванні поліграфічне видання навивається на пружину довільного діаметра та кольору, як правило, металевого. Найчастіше навивка на пружину застосовується виготовлення календарів.

Ламінування

При ламінації поліграфічна продукція покривається спеціальною плівкою, що захищає його від механічних пошкоджень та забруднень, зберігаючи привабливий зовнішній вигляд. Ми готові запропонувати Вам одно- та двосторонню матову та глянсову ламінацію різної щільності.

Брошурівка, фальцювання, бігівка

Брошура - технологія, що дозволяє з'єднувати в зошит (брошуру) кілька листів. Брошурування, при якому листи скріплюються металевими скріпками, називається брошуруванням на скобу.

Фальцювання (нім. згинати) - нанесення лінії згину на тонкому та середньому папері. Надалі лінії згину проводиться згинання поліграфічних виробів.

Біговка – нанесення на листи прямих ліній, заглиблено-опуклих. Надалі це полегшує згинання виробів.

Круглення кутів

Під кругленням кутів розуміють надання кутам листових виробів малого формату округлої форми. Ці вироби виготовляються з щільного паперу або картону. Радіус круглення може становити 10R, 6R, 3.5R.

Метою будь-якої нумерації є зображення будь-якого натурального числа за допомогою невеликої кількості індивідуальних знаків. Цього можна було б досягти за допомогою одного знака – 1 (одиниці). Кожне натуральне число записувалося б повторенням символу одиниці стільки разів, скільки в цьому числі вміщається одиниць. Додавання зводилося б до простого приписування одиниць, а віднімання - до викреслювання (витирання) їх. Ідея, яка є основою такої системи, проста, проте ця система дуже незручна. Для запису великих чисел вона практично непридатна, і нею користуються лише народи, рахунок яких не виходить за межі одного-двох десятків.

З розвитком людського суспільства збільшуються знання людей і все значнішою стає потреба в рахунку та запису результатів рахунку досить великих множин, у вимірі великих величин.

У первісних людей був писемності, був ні літер, ні цифр; кожну річ, кожну дію зображували малюнком. Це були реальні малюнки, які відображали ту чи іншу кількість. Поступово вони спрощувалися, ставали дедалі зручнішими для запису. Йдеться про запис чисел ієрогліфами. Ієрогліфи древніх єгиптян свідчать, що мистецтво рахунки було розвинене вони досить високо, з допомогою ієрогліфів зображалися великі числа. Однак для подальшого вдосконалення рахунку було необхідно перейти до зручнішого запису, який дозволяв би позначати числа спеціальними, зручнішими знаками (цифрами). Походження цифр у кожного народу різне.

Перші цифри зустрічаються за 2 тис. років до зв. е. у Вавилоні. Вавилонці писали паличками на плитах з м'якої глини і потім свої записи висушували. Писемність давніх вавилонян називалася клинописом. Клиночки розміщувалися і горизонтально, і вертикально, залежно від значення. Вертикальні клинки позначали одиниці, а горизонтальні - звані «десятки» - одиниці другого розряду.