Історія зворотних тригонометричних функцій. Зворотні тригонометричні функції, їх графіки та формули

Зворотні тригонометричні функції - це математичні функції, що є зворотними тригонометричним функцій.

Функція y=arcsin(x)

Арксинусом числа α називають таке число α із проміжку [-π/2;π/2], синус якого дорівнює α.
Графік функції
Функція у= sin⁡(x) на відрізку [-π/2;π/2], строго зростає і безперервна; отже, вона має зворотну функцію, що строго зростає і безперервну.
Функція, обернена до функції у= sin⁡(x), де х ∈[-π/2;π/2], називається арксинусом і позначається y=arcsin(x),де х∈[-1;1].
Отже, згідно з визначенням зворотної функції, областю визначення арксинусу є відрізок [-1;1], а безліччю значень - відрізок [-π/2;π/2].
Зазначимо, що графік функції y = arcsin (x), де х ∈ [-1; 1]. симетричний графіку функції у = sin (⁡ x), де х ∈ [-π / 2; першої та третьої чвертей.

Область значення функції y = arcsin (x).

Приклад №1.

Знайти arcsin(1/2)?

Оскільки область значень функції arcsin(x) належить проміжку [-π/2;π/2], то підходить тільки значення π/6 .
Відповідь:π/6

Приклад №2.
Знайти arcsin(-(√3)/2)?

Оскільки область значень arcsin(x) х ∈[-π/2;π/2], то підходить тільки значення -π/3.Отже arcsin(-(√3)/2) =- π/3.

Функція y=arccos(x)

Арккосинусом числа α називають таке число α із проміжку , косинус якого дорівнює α.

Графік функції

Функція у = cos(⁡x) на відрізку , суворо зменшується і безперервна; отже, вона має зворотну функцію, суворо спадаючу та безперервну.
Функція, обернена до функції у= cos⁡x, де х ∈, називається арккосинусомі позначається y = arccos (x), де х ∈ [-1; 1].
Отже, згідно з визначенням зворотної функції, областю визначення арккосинусу є відрізок [-1;1], а безліччю значень - відрізок .
Зазначимо, що графік функції y = arccos (x), де х ∈ [-1; 1] симетричний графіку функції у = cos (⁡ x), де х ∈, щодо бісектриси координатних кутів першої та третьої чвертей.

Область значення функції y = arccos (x).

Приклад №3.

Знайти arccos(1/2)?

Оскільки область значень функції arccos(x) належить проміжку , то підходить лише значення 3π/4.Отжеarccos(-(√2)/2) =3π/4.

Відповідь: 3π/4

Функція y=arctg(x)

Арктангенсом числа α називають таке число α із проміжку [-π/2;π/2], тангенс якого дорівнює α.

Графік функції

Функція тангенс безперервна і строго зростаюча на інтервалі(-π/2;π/2); отже вона має зворотну функцію, яка безперервна і строго зростає.
Функція, обернена до функції у= tg⁡(x), де х∈(-π/2;π/2); називається арктангенсом і позначається y=arctg(x), де х∈R.
Отже, згідно з визначенням зворотної функції, областю визначення арктангенса є інтервал(-∞;+∞), а безліччю значень - інтервал
(-π/2;π/2).
Зазначимо, що графік функції y=arctg(x), де х∈R, симетричний графіку функції у= tg⁡x, де х ∈ (-π/2;π/2), щодо бісектриси координатних кутів першої та третьої чвертей.

Область значення функції y=arctg(x).

Приклад №5?

Знайти arctg((√3)/3).

Так як область значень arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то підходить тільки значення π/6. Отжеarctg((√3)/3) =π/6.
Приклад №6.
Знайти arctg(-1)?

Оскільки область значень arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то підходить тільки значення -π/4. Отжеarctg(-1) = - π/4.

Функція y=arcctg(x)

Графік функції

На інтервалі (0; π), функція котангенс суворо зменшується; крім того, вона безперервна в кожній точці цього інтервалу; отже, на інтервалі (0;π), ця функція має зворотну функцію, яка є строго спадною і безперервною.
Функція, обернена до функції у=ctg(x), де х ∈(0;π), називається арккотангенсом і позначається y=arcctg(x),де х∈R.
Отже, згідно з визначенням зворотної функції, областю визначення арккотангенса буде R, а безліччю значень – інтервал (0; π). ;π),щодо бісектриси координатних кутів першої та третьої чвертей.

Область значення функції y = arcctg (x).

Приклад №8.
Знайти arcctg(-(√3)/3)?

Оскільки область значень arcctg(x) х∈(0;π), то підходить тільки значення 2π/3.Отже arccos(-(√3)/3) =2π/3.

Редактори: Агєєва Любов Олександрівна, Гаврилина Ганна Вікторівна

Дано визначення зворотних тригонометричних функцій та їх графіки. А також формули, що пов'язують зворотні тригонометричні функції, формули сум та різниць.

Визначення зворотних тригонометричних функцій

Оскільки тригонометричні функції періодичні, то зворотні до них функції однозначні. Так, рівняння y = sin xпри заданому , має нескінченно багато коренів. Справді, через періодичність синуса, якщо x такий корінь, то й x + 2πn(де n ціле) теж буде коренем рівняння. Таким чином, зворотні тригонометричні функції багатозначні. Щоб з ними було простіше працювати, запроваджують поняття їхніх головних значень. Розглянемо, наприклад, синус: y = sin x. Якщо обмежити аргумент x інтервалом, то на ньому функція y = sin xмонотонно зростає. Тому вона має однозначну зворотну функцію, яку називають арксинусом: x = arcsin y.

Якщо особливо не обумовлено, то під зворотними тригонометричними функціями мають на увазі головні значення, які визначаються такими визначеннями.

Арксинус ( y = arcsin x) - це функція, зворотна до синуса ( x = sin y

Арккосинус ( y = arccos x) - це функція, зворотна до косинусу ( x = cos y), що має область визначення та безліч значень .

Арктангенс ( y = arctg x) - це функція, зворотна до тангенсу ( x = tg y), що має область визначення та безліч значень .

Арккотангенс ( y = arcctg x) - це функція, зворотна до котангенсу ( x = ctg y), що має область визначення та безліч значень .

Графіки зворотних тригонометричних функцій

Графіки зворотних тригонометричних функцій виходять із графіків тригонометричних функцій дзеркальним відображенням щодо прямої y = x. розділи Синус, косинус, Тангенс, котангенс.

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctg x

y = arcctg x

Основні формули

Тут слід особливо звернути увагу до інтервали, котрим справедливі формули.

arcsin(sin x) = xпри
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = xпри
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = xпри
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = xпри
ctg(arcctg x) = x

Формули, що зв'язують зворотні тригонометричні функції

Формули суми та різниці

при або

при і

при і

при або

при і

при і

при

при

при

при

Зворотні тригонометричні функціїмають широке застосування у математичному аналізі. Однак у більшості старшокласників завдання, пов'язані з цим видом функцій, викликають значні труднощі. Здебільшого це з тим, що у багатьох підручниках і навчальних посібниках завданням такого виду приділяється занадто мало уваги. І якщо із завданнями на обчислення значень зворотних тригонометричних функцій учні хоч якось справляються, то рівняння та нерівності, що містять такі функції, здебільшого ставлять хлопців у глухий кут. Насправді, в цьому немає нічого дивного, адже практично в жодному підручнику не пояснюється методика розв'язання найпростіших рівнянь і нерівностей, що містять зворотні тригонометричні функції.

Розглянемо кілька рівнянь і нерівностей, що містять зворотні тригонометричні функції, і розв'яжемо їх з докладним поясненням.

приклад 1.

Вирішити рівняння: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

Рішення.

Виразимо з рівняння зворотну тригонометричну функцію, отримаємо:

arccos (2x + 3) = 5π/6. Тепер скористаємося визначенням арккосинусу.

Арккосинусом деякого числа a, що належить відрізку від -1 до 1, є такий кут y з відрізка від 0 до π, що його косинус і дорівнює числу x. Тому можна записати так:

2x + 3 = cos 5?/6.

Розпишемо праву частину отриманого рівняння за формулою приведення:

2x + 3 = cos (π - π / 6).

2x + 3 = -cos π/6;

2x + 3 = -√3/2;

2x = -3 - √3/2.

Наведемо праву частину до спільного знаменника.

2x = -(6 + √3)/2;

x = -(6 + √3)/4.

Відповідь: -(6 + √3) / 4 .

приклад 2.

Розв'язати рівняння: cos (arccos (4x - 9)) = x 2 - 5x + 5.

Рішення.

Оскільки cos (arcсos x) = x при x належить [-1; 1], то дане рівняння рівносильне системі:

(4x - 9 = x 2 - 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1).

Вирішимо рівняння, що входить до системи.

4x - 9 = x 2 - 5x + 5.

Воно квадратне, тому отримаємо, що

x 2 - 9x + 14 = 0;

D = 81 - 4 · 14 = 25;

x 1 = (9 + 5) / 2 = 7;

x 2 = (9 - 5) / 2 = 2.

Вирішимо подвійну нерівність, що входить до системи.

1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Додамо до всіх частин 9, матимемо:

8 ≤ 4x ≤ 10. Розділимо кожне число на 4, отримаємо:

2 ≤ x ≤ 2,5.

Тепер поєднаємо отримані відповіді. Легко бачити, що корінь x = 7 не відповідає відповіді нерівності. Тому єдиним розв'язком рівняння буде x = 2.

Відповідь: 2.

приклад 3.

Вирішити рівняння: tg (arctg (0,5 – x)) = x 2 – 4x + 2,5.

Рішення.

Так як tg (arctg x) = x при всіх дійсних числах, то дане рівняння дорівнює рівнянню:

0,5 - x = x 2 - 4x + 2,5.

Розв'яжемо отримане квадратне рівняння за допомогою дискримінанта, попередньо привівши його у стандартний вигляд.

x 2 - 3x + 2 = 0;

D = 9 - 4 · 2 = 1;

x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;

x 2 = (3 - 1) / 2 = 1.

Відповідь: 1; 2.

приклад 4.

Розв'язати рівняння: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).

Рішення.

Оскільки arcctg f(x) = arcctg g(x) і тоді, коли f(x) = g(x), то

2x - 1 = x 2 / 2 + x / 2. Вирішимо отримане квадратне рівняння:

4x - 2 = x 2 + x;

x 2 - 3x + 2 = 0.

За теоремою Вієта отримаємо, що

x = 1 чи x = 2.

Відповідь: 1; 2.

Приклад 5.

Розв'язати рівняння: arcsin (2x – 15) = arcsin (x 2 – 6x – 8).

Рішення.

Оскільки рівняння виду arcsin f(x) = arcsin g(x) рівносильне системі

(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],

то вихідне рівняння рівносильне системі:

(2x - 15 = x 2 - 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1).

Вирішимо отриману систему:

(x 2 - 8x + 7 = 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16).

З першого рівняння за теоремою Вієта маємо, що x = 1 або x = 7. Вирішуючи другу нерівність системи, отримуємо, що 7 ≤ x ≤ 8. Тому в остаточну відповідь підходить тільки корінь x = 7.

Відповідь: 7.

Приклад 6.

Розв'язати рівняння: (arccos x) 2 – 6 arccos x + 8 = 0.

Рішення.

Нехай arccos x = t, тоді t належить відрізку і рівняння набуває вигляду:

t 2 – 6t + 8 = 0. Розв'яжемо отримане квадратне рівняння за теоремою Вієта, отримаємо, що t = 2 або t = 4.

Оскільки t = 4 не належить відрізку , отримаємо, що t = 2, тобто. arccos x = 2, отже x = cos 2.

Відповідь: cos 2.

Приклад 7.

Розв'язати рівняння: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.

Рішення.

Скористаємося рівністю arcsin x + arccos x = π/2 і запишемо рівняння у вигляді

(arcsin x) 2 + (π/2 - arcsin x) 2 = 5π 2 /36.

Нехай arcsin x = t, тоді t належить відрізку [-π/2; π/2] і рівняння набуває вигляду:

t 2 + (π/2 - t) 2 = 5π 2 /36.

Вирішимо отримане рівняння:

t 2 + π 2 /4 - πt + t 2 = 5π 2 /36;

2t 2 – πt + 9π 2 /36 – 5π 2 /36 = 0;

2t 2 - πt + 4π 2 / 36 = 0;

2t 2 – πt + π 2 /9 = 0. Помножимо кожен доданок на 9, щоб позбутися дробів у рівнянні, отримаємо:

18t 2 - 9πt + π 2 = 0.

Знайдемо дискримінант і вирішимо отримане рівняння:

D = (-9π) 2 - 4 · 18 · π 2 = 9π 2 .

t = (9π - 3π) / 2 · 18 або t = (9π + 3π) / 2 · 18;

t = 6π/36 або t = 12π/36.

Після скорочення маємо:

t = π/6 або t = π/3. Тоді

arcsin x = π/6 або arcsin x = π/3.

Таким чином, x = sin π/6 або x = sin π/3. Тобто x = 1/2 чи x =√3/2.

Відповідь: 1/2; √3/2.

Приклад 8.

Знайти значення виразу 5nx 0 де n – кількість коренів, а x 0 – негативний корінь рівняння 2 arcsin x = - π – (x + 1) 2 .

Рішення.

Оскільки -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, то -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. Крім того, (x + 1) 2 ≥ 0 при всіх дійсних x,
тоді -(x + 1) 2 ≤ 0 та -π - (x + 1) 2 ≤ -π.

Отже, рівняння може рішення, якщо обидві його частини одночасно рівні –π , тобто. рівняння рівносильне системі:

(2 arcsin x = -π,
(-π - (x + 1) 2 = -π.

Розв'яжемо отриману систему рівнянь:

(arcsin x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.

З другого рівняння маємо, що x = -1, відповідно n = 1, тоді 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5.

Відповідь: -5.

Як показує практика, вміння вирішувати рівняння із зворотними тригонометричними функціями є необхідною умовою успішного складання іспитів. Саме тому тренування у вирішенні таких завдань просто необхідне і є обов'язковим при підготовці до ЄДІ.

Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати рівняння?
Щоб отримати допомогу репетитора – .
Перший урок – безкоштовно!

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Уроки 32-33. Зворотні тригонометричні функції

Ціль: розглянути зворотні тригонометричні функції, їх використання для запису розв'язків тригонометричних рівнянь.

I. Повідомлення теми та мети уроків

ІІ. Вивчення нового матеріалу

1. Зворотні тригонометричні функції

Розгляд цієї теми почнемо з такого прикладу.

Приклад 1

Розв'яжемо рівняння: a) sin x = 1/2; б) sin x = а.

а) На осі ординат відкладемо значення 1/2 і збудуємо кути x 1 та х2, для яких sin x = 1/2. При цьому х1 + х2 = π, звідки х2 = π - x 1 . За таблицею значень тригонометричних функцій знайдемо величину х1 = π/6 тодіВрахуємо періодичність функції синуса та запишемо розв'язання даного рівняння:де k ∈ Z.

б) Очевидно, що алгоритм розв'язування рівняння sin х = а такий самий, як і в попередньому пункті. Зрозуміло, тепер осі ординат відкладається величина а. Виникає необхідність якось позначити кут х1. Умовились такий кут позначати символом arcsin а. Тоді рішення даного рівняння можна записати у виглядіЦі дві формули можна поєднати в одну:при цьому

Аналогічним чином вводяться та інші зворотні тригонометричні функції.

Дуже часто буває необхідно визначити величину кута за відомим значенням його тригонометричної функції. Така задача є багатозначною - існує безліч кутів, тригонометричні функції яких рівні одному й тому ж значенню. Тому, з монотонності тригонометричних функцій, для однозначного визначення кутів вводять такі зворотні тригонометричні функції.

Арксинус числа a (arcsin , синус якого дорівнює а, тобто.

Арккосинус числа a (arccos а) - такий кут з проміжку , косинус якого дорівнює а, тобто.

Арктангенс числа a (arctg а) - такий кут а з проміжкутангенс якого дорівнює а, тобто.tg а = а.

Арккотангенс числа a (arcctg а) - такий кут з проміжку (0; π), котангенс якого дорівнює а, тобто. ctg а = а.

Приклад 2

Знайдемо:

Враховуючи визначення зворотних тригонометричних функцій отримаємо:

Приклад 3

Обчислимо

Нехай кут а = arcsin 3/5, тоді за визначенням sin a = 3/5 та . Отже, треба знайти cos а. Використовуючи основне тригонометричне тотожність, отримаємо:Враховано, що cos a ≥ 0. Отже,

Наведемо ще ряд типових прикладів, пов'язаних із визначеннями та основними властивостями зворотних тригонометричних функцій.

Приклад 4

Знайдемо область визначення функції

Для того щоб функція була визначена, необхідно виконання нерівностіяка еквівалентна системі нерівностейРішенням першої нерівності є проміжок х∈ (-∞; +∞), другого -Цей проміжок і є рішенням системи нерівностей, а отже, і областю визначення функції

Приклад 5

Знайдемо область зміни функції

Розглянемо поведінку функції z = 2х – х2 (див. малюнок).

Видно, що z ∈ (-∞; 1]. Враховуючи, що аргумент z функції арккотангенса змінюється у зазначених межах, з даних таблиці отримаємо, щоТаким чином, область зміни

Приклад 6

Доведемо, що функція у = arctg х непарна. НехайТоді tg а = -х або х = - tg а = tg (-a), причому Отже, - a = arctg х або а = - arctg х. Таким чином, бачимо, щот. е. у(х) - функція непарна.

Приклад 7

Виразимо через усі зворотні тригонометричні функції

Нехай Очевидно, що Тоді так як

Введемо кут Так як то

Аналогічно тому і

Отже,

Приклад 8

Побудуємо графік функції у = cos (arcsin x).

Позначимо а = arcsin x тоді Врахуємо, що х = sin а та у = cos а, тобто x 2 + у2 = 1, та обмеження на х (х∈ [-1; 1]) і у (у ≥ 0). Тоді графіком функції у = cos (arcsin х) є півколо.

Приклад 9

Побудуємо графік функції у = arccos (cos x).

Оскільки функція cos х змінюється на відрізку [-1; 1], то функція у визначена по всій числовій осі і змінюється на відрізку . Маємо на увазі, що у = arccos (cos x ) = х на відрізку; функція у є парною та періодичною з періодом 2π. Враховуючи, що ці властивості мають функцію cos x , Тепер легко побудувати графік.

Зазначимо деякі корисні рівності:

Приклад 10

Знайдемо найменше та найбільше значення функціїПозначимо тоді Отримаємо функцію Ця функція має мінімум у точці z = π/4, і він дорівнює Найбільше значення функції досягається у точці z = -π/2, і воно одно Таким чином, і

Приклад 11

Розв'яжемо рівняння

Врахуємо, що Тоді рівняння має вигляд:або звідки За визначенням арктангенсу отримаємо:

2. Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь

Аналогічно прикладу 1 можна отримати рішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

Приклад 12

Розв'яжемо рівняння

Так як функція синус непарна, то запишемо рівняння у виглядіРозв'язки цього рівняння:звідки знаходимо

Приклад 13

Розв'яжемо рівняння

За наведеною формулою запишемо рішення рівняння:і знайдемо

Зауважимо, що у окремих випадках (а = 0; ±1) під час вирішення рівнянь sin х = а та cos х = а простіше та зручніше використовувати не загальні формули, а записувати рішення на підставі одиничного кола:

для рівняння sin х = 1 рішення

для рівняння sin х = 0 рішення х = π k;

для рівняння sin х = -1 рішення

для рівняння cos х = 1 рішення х = 2π k;

для рівняння cos х = 0 рішення

для рівняння cos х = -1 рішення

Приклад 14

Розв'яжемо рівняння

Так як у даному прикладі є окремий випадок рівняння, то за відповідною формулою запишемо рішення:звідки знайдемо

ІІІ. Контрольні питання (фронтальне опитування)

1. Дайте визначення та перерахуйте основні властивості зворотних тригонометричних функцій.

2. Наведіть графіки зворотних тригонометричних функцій.

3. Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

IV. Завдання під час уроків

§ 15, № 3 (а, б); 4 (в, г); 7(а); 8(а); 12 (б); 13 (а); 15 (в); 16 (а); 18 (а, б); 19 (в); 21;

§ 16, № 4 (а, б); 7(а); 8 (б); 16 (а, б); 18 (а); 19 (в, г);

§ 17, № 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 7 (в, г); 9 (б); 10 (а, в).

V. Завдання додому

§ 15, № 3 (в, г); 4 (а, б); 7 (в); 8 (б); 12 (а); 13 (б); 15 (г); 16 (б); 18 (в, г); 19 (г); 22;

§ 16, № 4 (в, г); 7 (б); 8(а); 16 (в, г); 18 (б); 19 (а, б);

§ 17, № 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 7 (а, б); 9 (г); 10 (б, г).

VI. Творчі завдання

1. Знайдіть область визначення функції:

Відповіді:

2. Знайдіть область значень функції:

Відповіді:

3. Побудуйте графік функції:

VII. Підбиття підсумків уроків