Як із формули виразити число. Рівняння

Рівняння

Як розв'язувати рівняння?

У цьому розділі ми згадаємо (чи вивчимо – вже кому як) найпростіші рівняння. Отже, що таке рівняння? Говорячи людською мовою, це якийсь математичний вираз, де є знак рівності та невідомий. Яке, як правило, позначається буквою «х». Вирішити рівняння- це знайти такі значення ікса, які при підстановці в вихідневираз, дадуть нам вірну тотожність. Нагадаю, що тотожність – це вираз, який не викликає сумніву навіть у людини, абсолютно не обтяженої математичними знаннями. Типу 2 = 2, 0 = 0, ab = ab і т.д. То як вирішувати рівняння?Давайте розберемося.

Рівняння бувають всякі (ось здивував, так?). Але все їхнє нескінченне різноманіття можна розбити всього на чотири типи.

4. Всі решта.)

Усіх інших, зрозуміло, найбільше, так...) Сюди входять і кубічні, і показові, і логарифмічні, і тригонометричні та інші. З ними ми у відповідних розділах щільно попрацюємо.

Відразу скажу, що іноді й рівняння перших трьох типів так накрутить, що й не впізнаєш їх… Нічого. Ми навчимося їх розмотувати.

І навіщо нам ці чотири типи? А потім, що лінійні рівняннявирішуються одним способом, квадратнііншим, дробові раціональні - третім,а іншіне наважуються зовсім! Ну, не те, щоб зовсім ніяк не наважуються, це я даремно математику образив.) Просто для них існують свої спеціальні прийоми і методи.

Але для будь-яких (повторюю - для будь-яких!) рівнянь є надійна та безвідмовна основа для вирішення. Працює скрізь і завжди. Ця основа – звучить страшно, але штука дуже проста. І дуже (дуже!)важлива.

Власне, рішення рівняння і складається з цих перетворень. на 99%. Відповідь на запитання: " Як розв'язувати рівняння?" лежить, саме, у цих перетвореннях. Натяк зрозумілий?)

Тотожні перетворення рівнянь.

У будь-яких рівнянняхдля знаходження невідомого треба перетворити та спростити вихідний приклад. Причому так, щоб при зміні зовнішнього вигляду суть рівняння не змінювалася.Такі перетворення називаються тотожнимичи рівносильними.

Зазначу, що ці перетворення відносяться саме до рівнянь.У математиці ще є тотожні перетворення виразів.Це інша тема.

Зараз ми з вами повторимо всі базові тотожні перетворення рівнянь.

Базові тому, що їх можна застосовувати до будь-якимрівнянням – лінійним, квадратним, дробовим, тригонометричним, показовим, логарифмічним тощо. і т.п.

Перше тотожне перетворення: до обох частин будь-якого рівняння можна додати (забрати) будь-яке(але те саме!) число чи вираз (зокрема і вираз із невідомим!). Суть рівняння від цього змінюється.

Ви, між іншим, постійно користувалися цим перетворенням, тільки думали, що переносите якісь складові з однієї частини рівняння до іншої зі зміною знака. Типу:

Справа знайома, переносимо двійку вправо, і отримуємо:

Насправді ви відібраливід обох частин рівняння двійку. Результат виходить той самий:

х+2 - 2 = 3 - 2

Перенесення доданків ліворуч-праворуч зі зміною знака є просто скорочений варіант першого тотожного перетворення. І навіщо нам такі глибокі знання? - Запитайте ви. В рівняннях нізащо. Переносьте, заради бога. Тільки знак не забувайте міняти. А ось у нерівностях звичка до перенесення може і в глухий кут поставити….

Друге тотожне перетворення: обидві частини рівняння можна помножити (розділити) на те саме відмінне від нулячисло чи вираз. Тут вже з'являється зрозуміле обмеження: на нуль множити безглуздо, а ділити взагалі не можна. Це перетворення ви використовуєте, коли вирішуєте щось круте, типу

Зрозуміла справа, х= 2. А як ви його знайшли? Підбором? Чи просто осяяло? Щоб не підбирати і не чекати осяяння, потрібно зрозуміти, що ви просто поділили обидві частини рівнянняна 5. При розподілі лівої частини (5х) п'ятірка скоротилася, залишився чистий ікс. Чого нам і потрібно. А при розподілі правої частини (10) на п'ять, вийшла, звісно, ​​двійка.

От і все.

Смішно, але ці два (всього два!) тотожні перетворення лежать в основі рішення всіх рівнянь математики.ВО як! Чи має сенс подивитися на прикладах, що і як, правда?)

Приклади тотожних перетворень рівнянь. Основні проблеми.

Почнемо з першогототожного перетворення. Перенесення вліво-вправо.

Приклад для молодших.)

Припустимо, треба вирішити таке рівняння:

3-2х = 5-3х

Згадуємо заклинання: "з іксами - вліво, без іксів - вправо!"Це заклинання - інструкція із застосування першого тотожного перетворення.) Який вираз з іксом у нас справа? 3х? Відповідь неправильна! Праворуч у нас - 3х! Мінустри ікс! Отже, при перенесенні вліво, символ зміниться на плюс. Вийде:

3-2х +3х = 5

Так, ікси зібрали в купку. Займемося числами. Зліва стоїть трійка. З яким знаком? Відповідь "з ніякою" не приймається!) Перед трійкою дійсно нічого не намальовано. А це означає, що перед трійкою стоїть плюс.Так уже математики домовились. Нічого не написано, отже, плюс.Отже, у праву частину трійка перенесеться з мінусом.Отримаємо:

-2х +3х = 5-3

Залишилися дрібниці. Зліва – привести подібні, праворуч – порахувати. Відразу виходить відповідь:

У цьому прикладі вистачило одного тотожного перетворення. Друге не знадобилося. Ну і добре.)

Приклад для старших.)

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Змінні. Для цього введіть одну змінну m тільки для одного рівняння або дві змінні m та n для обох рівнянь.

Приклад I. Виразіть одну зміннучерез іншу в рівнянь: │x–2y=1,│x²+xy–y²=11. Перетворіть перше рівняння даної системи: перенесіть одночлен (–2y) у праву частину рівності, змінивши знак. Звідси отримаєте: x=1+2y.

Підставте рівняння x²+xy–y²=11 замість x вираз 1+2y. Система рівнянь набуде вигляду: │(1+2y)²+(1+2y)y–y²=11,│x=1+2y.Отримана система рівносильна вихідній. Ви висловили змінну x у цій системі рівнянь через y.

Приклад ІІ. Виразіть одну зміннучерез іншу у системі рівнянь: │x²–y²=5,│xy=6. Перетворіть друге рівняння системи: обидві рівняння xy=6 розділіть на x≠0. Звідси: y=6/x.

Підставте отриманий вираз рівняння x²–y²=5. Ви отримаєте систему:│x²–(6/x)²=5,│y=6/x. Остання система рівносильна вихідній. Ви висловили змінну y у цій системі рівнянь через x.

Приклад ІІІ. Виразіть змінні y та z через нові змінні m і n:│2/(y+z)+9/(2y+z)=2;│4/(y+z)=12/(2y+z) –1. Нехай 1/(y+z)=m та 1/(2y+z)=n. Тоді система рівнянь виглядатиме наступним :│2/m+9/n=2,│4/m=12/n–1.Ви виразили змінні y та z у вихідній системі рівнянь через нові змінні m і n.

Зверніть увагу

Прийом введення нової змінної використовується під час вирішення деяких квадратних рівнянь. Наприклад, у рівнянні (x²+1)/x+x/(x²+1)=–2,5 виразіть змінну x через нову змінну y. Нехай y=(x²+1)/x, тоді вихідне рівняння набуде вигляду: y+1/y=–2,5.

Ви висловили змінну x у цьому рівнянні через y.

Джерела:

• Системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими
• як вирішити систему з однією змінною

Для організації інтерактивного спілкування відвідувача з веб-сайтом (точніше - браузера з веб-сервером) програмісту необхідно передбачити сценарії обміну даними між ними. Розглянемо кілька нескладних варіантів організації передачі змінних від клієнтського JavaScrip-сценарію до серверного PHP-скрипту та назад.

Вам знадобиться

• Початкові знання мов PHP, JavaScript та HTML

Інструкція

На стадії формування сторінки передати зміннуразом з її значенням з php-скрипту JavaScript-сценарій не становить складності. PHP-скрипт сам формує HTML-код запитуваної сторінки, в тому числі і скрипти, що містяться в ньому. Це , що він може вписати в код JavaScript будь-які змінні, які потрібно передати разом з їх значеннями. Наприклад, цей php-скрипт передасть клієнтському сценарію зміннуз ім'ям "serverTime", що містить поточний формат ЧАС:ХВИЛИНА:
$JSvarName = "serverTime";
$JSvarValue = date("H:i");
print ""
?>

Найпростіший варіант передачі імен та значень змінних у зворотному напрямку (від JS-скрипта до клієнта до PHP-скрипту на веб-сервері) може виглядати в HTML-коді сторінки так:

Цей сценарій відправить скрипту з ім'ям test2.php ім'я змінної "clientTime" та її значення, що містить поточний час у тому ж форматі ГОД:ХВИЛИНА. Такий метод передачі даних називають синхронним - він призведе до негайного перезавантаження сторінки. Точніше - замість поточної сторінки буде завантажено результат роботи скрипта test2.php. Код цього php-сценарію може виглядати так:
?>
Об'єднати всі три розглянуті частини коду передачі змінних з браузер і назад в один php-файл можна таким чином:
if($_GET) echo "Отримана змінна ".key($_GET)."=".$_GET;
$JSvarName = "serverTime";
$JSvarValue = date("H:i");
$JScode = $JSvarName."="".$JSvarValue."";";
print ""
?>



Надіслати дані на серверУ цьому об'єднаному (PHP + JavaScript) сценарії php-код сформує JavaScript-код, «передаючи» йому зміннуз ім'ям "serverTime" та значенням, що містить поточний час сервера. При завантаженні сторінки до браузера JavaScript-сценарій покаже повідомлення з цим часом. Потім клацання

Математичних операцій – перенесення членів, розподілу однією число обидві записи та інших. Тобто, слід спрощувати і працювати з формулою, як із алгебраїчним рівнянням. Виконуючи дані дії, необхідно враховувати зміну знака, правила виведення величини з , зведення на ступінь.

У найпростішому випадку за наявності виразу виду v = 2*g + 11 для пошуку величини g виконайте такі дії. Перенесіть усі члени, що не містять змінну g в одну (краще ліву) частину цього рівняння, не забуваючи змінити їхній знак при перенесенні на протилежний: -2*g = 11 - v. Інші величини та константи перенесіть за знак рівності. Якщо при шуканій величині стоїть коефіцієнт, як у цьому випадку (-2), розділіть на цю константу обидві частини рівняння: g = -(11 – v)/2.

При вираженні з формуливеличини, зведеної в ступінь, як, наприклад, у наступному варіанті: S = a*t²/4, виконайте спочатку вищезгадані дії. Поставте змінну по ліву рівняння, причому для виведення константи помножте на це число обидві частини формули: a*t² = 4*S. Розділіть на змінну а і вийде: t² = 4*S/а. Щоб прибрати ступінь змінної, що шукається, візьміть корінь цього ж ступеня (тут квадратний) як з лівої, так і з правої частини виразу: t = √4*S/а. Зустрічається і зворотна ситуація, коли шукана величина стоїть під знаком кореня, в цьому випадку потрібно виконати зведення рівняння в ступінь, вказаний при . Так, вираз "S = v + g перетворюється на вигляд S = (v + g)".

За наявності складних виразів, отриманих у результаті багаторазових підстановок різних формул, часто виникають труднощі у вираженні невідомої величини. Наприклад, у конструкції виду S = (√t²*k/(1+g))*f – 15 при пошуку величини k бажано провести попереднє спрощення рівняння за допомогою введення змінної підстановки. Прийміть за х вираз у великих дужках: х = (√t²*k/(1+g)), тоді початкове рівняння виглядатиме так: S = х*f – 15. Звідси легко знаходиться х = (S + 15)/f . Далі поверніть замість х дужковий вираз (√t²*k/(1+g)) = (S + 15)/f . Після чого можна продовжувати спрощення за допомогою аналогічних підстановок або відразу висловити потрібну величину: k = ((1 + g) * (S + 15) / f) 2 / t².

Джерела:

• вираз величин

Іноді під час вирішення завдань виникає потреба висловити дробове у відсотках. Перевести у відсотки можна і десятковий дріб, і звичайний, і правильний, і неправильний. Розглянемо як це зробити.

Інструкція

Нехай дано десятковий дріб. Наприклад, 0.54. Щоб висловити в десятковий дріб, необхідно саме числопомножити на сто (у разі десяткового дробу це перенести крапку на два розряди праворуч) і поставити праворуч від числа знак . Отримуємо, що 0.54 = 54%. Ще кілька прикладів: 1.3 = 130%, 0.218 = 21.8%, 0.02 = 2%.

Як вставити математичні формули на сайт?

Якщо потрібно колись додавати одну-дві математичні формули на веб-сторінку, то найпростіше зробити це, як описано в статті: математичні формули легко вставляються на сайт у вигляді картинок, які автоматично генерує Вольфрам Альфа. Окрім простоти, цей універсальний спосіб допоможе покращити видимість сайту у пошукових системах. Він працює давно (і, гадаю, працюватиме вічно), але морально вже застарів.

Якщо ви постійно використовуєте математичні формули на своєму сайті, я рекомендую вам використовувати MathJax - спеціальну бібліотеку JavaScript, яка відображає математичні позначення у веб-браузерах з використанням розмітки MathML, LaTeX або ASCIIMathML.

Є два способи, як почати використовувати MathJax: (1) за допомогою простого коду можна швидко підключити до вашого сайту скрипт MathJax, який автоматично підвантажуватиметься з віддаленого сервера (список серверів); (2) завантажити скрипт MathJax з віддаленого сервера на свій сервер та підключити до всіх сторінок свого сайту. Другий спосіб – більш складний та довгий – дозволить прискорити завантаження сторінок вашого сайту, і якщо батьківський сервер MathJax з якихось причин стане тимчасово недоступним, це ніяк не вплине на ваш власний сайт. Незважаючи на ці переваги, я вибрав перший спосіб, як більш простий, швидкий і не потребує технічних навичок. Наслідуйте мій приклад, і вже через 5 хвилин ви зможете використовувати всі можливості MathJax на своєму сайті.

Підключити скрипт бібліотеки MathJax з віддаленого сервера можна за допомогою двох варіантів коду, взятого на головному сайті MathJax або на сторінці документації:

Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати та вставити в код вашої веб-сторінки, бажано між тегами іабо відразу після тега . За першим варіантом MathJax підвантажується швидше і менше гальмує сторінку. Натомість другий варіант автоматично відстежує та підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки завантажуватимуться повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.

Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі керування сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант завантаженого коду, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). От і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX та ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.

Будь-який фрактал будується за певним правилом, яке послідовно застосовується необмежену кількість разів. Щоразу називається ітерацією.

Ітеративний алгоритм побудови губки Менгера досить простий: вихідний куб зі стороною 1 ділиться площинами, що паралельні його граням, на 27 рівних кубів. З нього видаляються один центральний куб і 6 прилеглих до нього на грані кубів. Виходить безліч, що складається з 20 менших кубів, що залишилися. Поступаючи так само з кожним із цих кубів, отримаємо безліч, що складається вже з 400 менших кубів. Продовжуючи цей процес безкінечно, отримаємо губку Менгера.

То позбавтеся і його, звівши обидві частини тотожності в , рівну показнику кореня. Для прикладу, наведеного вище, ця дія має виразитися у перетворенні до такого виду: 36*Y² = X. Іноді операцію цього кроку зручніше зробити до дії з кроку попереднього.

Перетворіть вираз таким чином, щоб усі члени тотожності, що містять потрібну змінну, опинилися в лівій частині рівності Наприклад, якщо формула має вигляд 36*Y-X*Y+5=X і вас цікавить змінна X, достатньо буде поміняти місцями ліву та праву половини тотожності. А якщо виразити потрібно Y, то формула в результаті цієї дії має набути вигляду 36*Y-X*Y=X-5.

Спростіть вираз у лівій частині формулитак, щоб шукана змінна стала одним із . Наприклад, для формулиз попереднього кроку можна зробити так: Y*(36-X)=X-5.

Розділіть вирази по обидва знаки рівності на співмножники змінної, що вас цікавить. У результаті лівої частини тотожності має залишитися лише ця змінна. Використаний вище після цього кроку набув такого вигляду: Y = (X-5)/(36-X).

Якщо змінна в результаті всіх перетворень буде зведена в яку в ступінь, то позбавтеся ступеня вилученням кореня з обох частин формули. Наприклад, формула з другого кроку до цього етапу перетворень має набути вигляду Y²=X/36. А її остаточний вигляд має стати таким: Y=√X/6.

Змінні

Основним показником змінної і те, що вона записується , а буквою. Під умовним позначенням найчастіше ховається певне значення. Змінна дістала свою назву завдяки тому, що її значення змінюється залежно від рівняння. Як правило, будь-яка може бути використана як позначення для такого елемента. Наприклад, якщо ви знаєте, що у вас є 5 рублів і ви хочете купити яблука, які коштують 35 копійок, кінцева кількість яблук, які можна купити (наприклад, «С»).

Приклад використання

Якщо є змінна, яка була обрана на вашу думку, необхідно скласти рівняння алгебри. Воно пов'язуватиме між собою відомі та невідомі величини, а також показуватиме зв'язок між ними. Цей вираз буде включати цифри, змінні і одну алгебраїчну операцію. Важливо, що вираз міститиме знак рівності.

Повне рівняння містить значення вираження загалом. Воно відокремлено від решти рівняння знаком рівності. У попередньому прикладі з яблуками 0.35 або 35 копійок, помножених на "С", є виразом. Щоб створити повне рівняння, необхідно записати таке:

Мономіальні висловлювання

Існують дві основні класифікації виразів: одночлени. Мономи є одиничною змінною, числом або твором змінної та числа. Крім того, вираз із кількох змінних або виразів з показниками також є мономом. Наприклад, число 7, змінна х, і добуток 7x - це моном. Вирази з показниками, зокрема x^2 чи 3x^2y^3 також одночлени.

Поліноми

Поліноми є виразами, які включають комбінацію зі складання або віднімання двох або більше. Будь-який тип одночленів, у тому числі цифр, окремих змінних або виразів з числами та невідомими, можуть бути включені в поліном. Наприклад, вираз х+7 є многочленом, який складають разом моном х і моном 7. 3x^2 - також багаточлен. 10x+3xy-2y^2 – багаточлена, який поєднує три одночлени з використанням складання та віднімання.

Залежні та незалежні змінні

У незалежних змінних є невідомі, які визначають інші частини рівняння. Вони стоять окремо у виразах і не змінюються разом з іншими змінними.

Значення залежних змінних визначаються незалежними. Їх значення найчастіше визначаються емпірично.