Як знаходити рівняння кола. Рівняння кола та прямої

Рівняння лінії на площині

Введемо для початку поняття рівняння лінії у двовимірній системі координат. Нехай у декартовій системі координат побудовано довільну лінію $L$ (Рис. 1).

Малюнок 1. Довільна лінія у системі координат

Визначення 1

Рівняння з двома змінними $x$ і $y$ називається рівнянням лінії $L$, якщо цьому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки, що належить лінії $L$ і не задовольняє жодна точка, що не належить лінії $L.$

Рівняння кола

Виведемо рівняння кола в декартовій системі координат $xOy$. Нехай центр кола $C$ має координати $(x_0,y_0)$, а радіус кола дорівнює $r$. Нехай точка $ M $ з координатами $ (x, y) $ - довільна точка цього кола (рис. 2).

Малюнок 2. Окружність у декартовій системі координат

Відстань від центру кола до точки $M$ обчислюється так

Але оскільки $M$ лежить на колі, то отримуємо $CM=r$. Тоді отримаємо наступне

Рівняння (1) і є рівняння кола з центром у точці $(x_0,y_0)$ та радіусом $r$.

Зокрема, якщо центр кола збігається із початком координат. То рівняння кола має вигляд

Рівняння прямої.

Виведемо рівняння прямої $l$ у декартовій системі координат $xOy$. Нехай точки $A$ і $B$ мають координати $\left\(x_1,\ y_1\right\)$ і $\(x_2,\ y_2\)$ відповідно, причому точки $A$ і $B$ обрані так, що пряма $l$ - серединний перпендикуляр до відрізка $AB$. Виберемо довільну точку $M=\(x,y\)$, що належить прямій $l$ (рис. 3).

Оскільки пряма $l$ - серединний перпендикуляр до відрізка $AB$, точка $M$ рівновіддалена від кінців цього відрізка, тобто $AM=BM$.

Знайдемо довжини даних сторін за формулою відстані між точками:

Отже

Позначимо через $ a = 2 \ left (x_1-x_2 \ right), \ b = 2 \ left (y_1-y_2 \ right), \ c = (x_2) ^ 2 + (y_2) ^ 2- (x_1) ^ 2 -(y_1)^2$, Отримуємо, що рівняння прямої в декартовій системі координат має такий вигляд:

Приклад завдання на знаходження рівнянь ліній у системі декартової координат

Приклад 1

Знайти рівняння кола з центром у точці $ (2, 4) $. Проходить через початок координат і пряму, паралельну до осі $Ox,$ проходить через її центр.

Рішення.

Знайдемо спочатку рівняння цього кола. Для цього будемо використовувати загальне рівняння кола (виведене вище). Так як центр кола лежить у точці $ (2, 4) $, отримаємо

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

Знайдемо радіус кола як відстань від точки $(2,4)$ до точки $(0,0)$

Отримуємо, рівняння кола має вигляд:

\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]

Знайдемо тепер рівняння кола, використовуючи окремий випадок 1. Отримаємо

Тема урока: Рівняння кола

Цілі уроку:

Освітні: Вивести рівняння кола, розглянувши розв'язання цього завдання як з можливостей застосування методу координат.

Вміти:

– Розпізнати рівняння кола за запропонованим рівнянням, навчити учнів складати рівняння кола за готовим кресленням, будувати коло за заданим рівнянням.

Виховні : Формування критичного мислення.

Розвиваючі : Розвиток уміння складати алгоритмічні розпорядження та вміння діяти відповідно до запропонованого алгоритму.

Вміти:

– Бачити проблему та намітити шляхи її вирішення.

– Коротко викладати свої думки усно та письмово.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

Устаткування Кабіна: ПК, мультимедійний проектор, екран.

План уроку:

1. Вступне слово – 3 хв.

2. Актуалізація знань – 2 хв.

3. Постановка проблеми та її вирішення –10 хв.

4. Фронтальне закріплення нового матеріалу – 7 хв.

5. Самостійна робота у групах – 15 хв.

6. Презентація роботи: обговорення – 5 хв.

7. Підсумок уроку. Домашнє завдання – 3 хв.

Хід уроку

1. Організаційний момент.

3 хвилини

Хлопці! З колом ви познайомилися ще у 5 та 8 класах. А що ви про неї знаєте?

Знаєте ви багато, і ці дані можна використовувати під час вирішення геометричних завдань. Але вирішення завдань, у яких застосовується метод координат, цього недостатньо.Чому?

Абсолютно вірно.

Тому головною метою сьогоднішнього уроку я ставлю виведення рівняння кола за геометричними властивостями цієї лінії та застосування його для вирішення геометричних завдань.

І нехайдевізом уроку стануть слова середньоазіатського вченого-енциклопедиста Ал-Біруні: «Знання - найчудовіше з володінь. Усі прагнуть до нього, саме воно не приходить».

Записують тему уроку у зошит.

Визначення кола.

Радіус.

Діаметр.

Хорд. І т.д.

Ми ще не знаємо загального виду рівняння кола.

Учні перераховують усе, що знають про коло.

Слайд 2

Слайд 3

Мета етапу – отримати уявлення якість засвоєння учнями матеріалу, визначити опорні знання.

2. Актуалізація знань.

2 хвилини

При виведенні рівняння кола вам знадобиться вже відоме визначення кола і формула, що дозволяє знайти відстань між двома точками за їх координатами.Давайте згадаємо ці факти /пвідновлення матеріалу, вивченого раніше/:

– Запишіть формулу знаходження координат середини відрізка.

– Запишіть формулу довжини вектора.

– Запишіть формулу знаходження відстані між точками (Довжини відрізка).

Коригування записів…

Геометрична розминка.

Дано крапкиА (-1; 7) і(7; 1).

Обчисліть координати середини відрізка АВ та його довжину.

Перевіряє правильність виконання, коригує розрахунки.

Один учень біля дошки, а інші у зошитах записують формули

Колом називається геометрична фігура, що складається з усіх точок, розташованих на заданій відстані від цієї точки.

|АВ|=√(х –х)²+(у –у)²

М(х;у), А(х;у)

Обчислюють: (3; 4)

| АВ| = 10

З лайд 4

Слайд 5

3. Формування нових знань.

12 хвилин

Мета: формування поняття - рівняння кола.

Розв'яжіть завдання:

У прямокутній системі координат побудовано коло із центром А(х;у). М(х; у) - довільна точка кола. Знайдіть радіус кола.

Чи координати будь-якої іншої точки задовольнятимуть цій рівності? Чому?

Зведемо обидві частини рівності квадрат.В результаті маємо:

r² =(х –х)²+(у –у)²-рівняння кола, де (х;у)-координати центру кола, (х;у)-координати довільної точки, що лежить на колі, r-радіус кола.

Розв'яжіть завдання:

Який вигляд матиме рівняння кола з центром на початку координат?

Отже, що треба знати для складання рівняння кола?

Запропонуйте алгоритм складання рівняння кола.

Висновок: … записати у зошит.

Радіусом називається відрізок, що з'єднує центр кола з довільною точкою, що лежить на колі. Тому r=|АМ|=√(х –х)²+(у –у)²

Будь-яка точка кола лежить на цьому колі.

Учні ведуть записи зошити.

(0; 0)-координати центру кола.

х²+у²=r², де r-радіус кола.

Координати центру кола, радіус, будь-яку точку кола.

Пропонують алгоритм…

Записують алгоритм у зошит.

Слайд 6

Слайд 7

Слайд 8

Вчитель фіксує рівність на дошці.

Слайд 9

4. Первинне закріплення.

23 хвилини

Ціль:відтворення учнями щойно сприйнятого матеріалу попередження втрати уявлень і понять. Закріплення нових знань, уявлень, понять на їх основізастосування.

Контроль ЗУН

Застосуємо отримані знання під час вирішення наступних завдань.

Завдання: Із запропонованих рівнянь назвіть номери тих, що є рівняннями кола. І якщо рівняння є рівнянням кола, то назвіть координати центру та вкажіть радіус.

Не кожне рівняння другого ступеня із двома змінними задає коло.

4х²+у²=4-рівняння еліпса.

х²+у²=0-крапка.

х²+у²=-4-це рівняння не ставить жодної постаті.

Хлопці! А що потрібно знати, щоб скласти рівняння кола?

Розв'яжіть завдання №966 стор.245 (підручник).

Вчитель викликає учня до дошки.

Чи достатньо даних, вказаних в умові завдання, щоб скласти рівняння кола?

Завдання:

Напишіть рівняння кола з центром на початку координат та діаметром 8.

Завдання : побудова кола.

Центр має координати?

Визначте радіус… та виконуйте побудову

Завдання на стор.243 (Підручник) розбирається усно.

Використовуючи план розв'язання задачі зі стор.243, розв'яжіть задачу:

Складіть рівняння кола з центром у точці А(3;2), якщо коло проходить через точку В(7;5).

1) (х-5)²+(у-3)²=36- рівняння кола;(5;3),r=6.

2) (х-1) ² + у ² = 49- рівняння кола; (1; 0), r = 7.

3) х²+у²=7- рівняння кола; (0; 0), r = √7.

4) (х+3)²+(у-8)²=2- рівняння кола; (-3; 8), r = √2.

5) 4х²+у²=4-не є рівнянням кола.

6) х²+у²=0- не є рівнянням кола.

7) х²+у²=-4- не є рівнянням кола.

Знати координати центру кола.

Довжина радіусу.

Підставити координати центру та довжину радіуса в рівняння кола загального вигляду.

Вирішують завдання № 966 стор.245 (підручник).

Даних достатньо.

Вирішують завдання.

Так як діаметр кола в два рази більший за її радіус, то r=8÷2=4. Тому х ² + у ² = 16.

Виконують побудову кіл

Робота з підручника. Завдання на стор.243.

Дано: А(3;2)-центр кола; В(7;5)є(А;r)

Знайти: рівняння кола

Рішення: r² =(х –х)²+(у –у)²

r² =(х –3)²+(у –2)²

r = АВ, r² = АВ²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r² =25

(х –3)²+(у –2)²=25

Відповідь: (х –3)²+(у –2)²=25

Слайд 10-13

Вирішення типових завдань, промовляючи спосіб розв'язання в гучному мовленні.

Вчитель викликає одного учня записати отримане рівняння.

Повернення до слайду 9

Обговорення плану вирішення цього завдання.

Слайд. 15. Вчитель викликає одного учня до дошки вирішувати це завдання.

Слайд 16.

Слайд 17.

5. Підсумок уроку.

5 хвилин

Рефлексія діяльності під час уроку.

Домашнє завдання: §3, п.91, контрольні питання №16,17.

Завдання № 959(б, г, буд), 967.

Завдання на додаткову оцінку (проблемне завдання): Побудувати коло, задане рівнянням

х²+2х+у²-4у=4.

Про що ми говорили на уроці?

Що хотіли здобути?

Яку мету було поставлено на уроці?

Які завдання дозволяє вирішити зроблене нами «відкриття»?

Хто з вас вважає, що досяг мети, поставленої на уроці вчителем на 100%, на 50%; не досяг мети ...?

Виставлення оцінок.

Записують домашнє завдання.

Учні відповідають поставлені вчителем питання. Проводять самоаналіз своєї діяльності.

Учням необхідно висловити у слові результат та способи досягнення.

Коломназивається безліч точок площини, рівновіддалених від цієї точки, яка називається центром.

Якщо точка С – центр кола, R – її радіус, а М – довільна точка кола, то за визначенням кола

Рівність (1) є рівняння коларадіуса R із центром у точці С.

Нехай на площині задано прямокутну декартову систему координат (рис. 104) і точку С( а; b) - Центр кола радіуса R. Нехай М( х; у) - довільна точка цього кола.

Оскільки |СМ| = \(\sqrt((x - a)^2 + (у - b)^2) \), то рівняння (1) можна записати так:

\(\sqrt((x - a)^2 + (у - b)^2) \) = R

(x - a) 2 + (у - b) 2 = R 2 (2)

Рівняння (2) називають загальним рівнянням колаабо рівнянням кола радіуса R з центром у точці ( а; b). Наприклад, рівняння

(x - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25

є рівняння кола радіуса R = 5 із центром у точці (1; -3).

Якщо центр кола збігається з початком координат, то рівняння (2) набуває вигляду

x 2 + у 2 = R2. (3)

Рівняння (3) називають канонічним рівнянням кола .

Завдання 1.Написати рівняння кола радіуса R = 7 із центром на початку координат.

Безпосереднім підстановленням значення радіуса в рівняння (3) отримаємо

x 2 + у 2 = 49.

Завдання 2.Написати рівняння кола радіуса R = 9 із центром у точці С(3; -6).

Підставивши значення координат точки С та значення радіуса у формулу (2), отримаємо

(х - 3) 2 + (у- (-6)) 2 = 81 або ( х - 3) 2 + (у + 6) 2 = 81.

Завдання 3.Знайти центр і радіус кола

(х + 3) 2 + (у-5) 2 =100.

Порівнюючи дане рівняння із загальним рівнянням кола (2), бачимо, що а = -3, b= 5, R = 10. Отже, С(-3; 5), R = 10.

Завдання 4.Довести, що рівняння

x 2 + у 2 + 4х - 2y - 4 = 0

є рівнянням кола. Знайти її центр та радіус.

Перетворимо ліву частину цього рівняння:

x 2 + 4х + 4- 4 + у 2 - 2у +1-1-4 = 0

(х + 2) 2 + (у - 1) 2 = 9.

Це рівняння є рівнянням кола з центром у точці (-2; 1); радіус кола дорівнює 3.

Завдання 5.Написати рівняння кола з центром у точці С(-1; -1), що стосується прямої АВ, якщо A (2; -1), B(- 1; 3).

Напишемо рівняння прямої АВ:

або 4 х + 3y-5 = 0.

Оскільки коло стосується цієї прямої, то радіус, проведений в точку торкання, перпендикулярний до цієї прямої. Для відшукання радіусу необхідно знайти відстань від точки С(-1; -1) - центру кола до прямої 4 х + 3y-5 = 0:

Напишемо рівняння шуканого кола

(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

Нехай у прямокутній системі координат дане коло x 2 + у 2 = R2. Розглянемо її довільну точку М( х; у) (рис. 105).

Нехай радіус-вектор OM> точки М утворює кут величини tз позитивним напрямом осі х, тоді абсцису та ординату точки М змінюються в залежності від t

(0 tх і у через t, знаходимо

x= R cos t ; y= R sin t , 0 t

Рівняння (4) називаються параметричними рівняннями кола з центром на початку координат.

Завдання 6.Окружність задана рівняннями

x= \(\sqrt(3)\)cos t, y= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Записати канонічне рівняння цього кола.

З умови випливає x 2 = 3 cos 2 t, у 2 = 3 sin 2 t. Складаючи ці рівності почленно, отримуємо

x 2 + у 2 = 3 (cos 2 t+ sin 2 t)

або x 2 + у 2 = 3

Аналітична геометрія дає однакові прийоми розв'язання геометричних завдань. Для цього всі задані та шукані точки та лінії відносять до однієї системи координат.

У системі координат можна кожну точку охарактеризувати її координатами, а кожну лінію – рівнянням із двома невідомими, графіком якого ця лінія є. Таким чином, геометрична задача зводиться до алгебраїчної, де добре відпрацьовані всі прийоми обчислень.

Коло є геометричне місце точок з однією певною властивістю (кожна точка кола рівновіддалена від однієї точки, називається центром). Рівняння кола має відображати цю властивість, задовольняти цю умову.

Геометрична інтерпретація рівняння кола – це лінія кола.

Якщо помістити коло в систему координат, то всі точки кола задовольняють одній умові - відстань від них до центру кола має бути однаковим і рівним колу.

Коло з центром у точці А та радіусом R помістимо в координатну площину.

Якщо координати центру (а; b) , а координати будь-якої точки кола (х; у) , то рівняння кола має вигляд:

Якщо квадрат радіуса кола дорівнює сумі квадратів різниць відповідних координат будь-якої точки кола та її центру, це рівняння є рівнянням кола в плоскій системі координат.

Якщо центр кола збігається з точкою початку координат, то квадрат радіуса кола дорівнює сумі квадратів координат будь-якої точки кола. У цьому випадку рівняння кола набуває вигляду:

Приклади розв'язання задач рівняння кола

Завдання. Скласти рівняння заданого кола

Рішення.
Звернемося до формули рівняння кола:
R 2 = (x-a) 2 + (y-b) 2

Підставимо значення формулу.
Радіус кола R = 4
Координати центру кола (відповідно до умови)
a = 2
b = -3

Отримуємо:
(x - 2) 2 + (y - (-3)) 2 = 4 2
або
( x - 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 16 .

Завдання. Чи належить точка рівняння кола

Рішення.
Якщо точка належить колу, її координати задовольняють рівнянню окружности.
Щоб перевірити, чи належить кола точка із заданими координатами, підставимо координати точки в рівняння заданого кола.

В рівняння ( x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
підставимо, за умовою, координати точки А(2;3), тобто
x = 2
y = 3

Перевіримо істинність отриманої рівності
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 рівність невірна

Таким чином, задана точка не належитьзаданому рівнянню кола.