Як знайти коріння, що належить відрізку. Тригонометричні рівняння

Мета уроку:

Повторити формули розв'язання найпростіших тригонометричних рівнянь.
Розглянути три основні способи відбору коренів під час вирішення тригонометричних рівнянь:
відбір нерівністю, відбір знаменником та добір у проміжок.

Обладнання:Мультимедійна апаратура.

Методичний коментар.

Звернути увагу учнів на важливість уроку.
Тригонометричні рівняння, в яких потрібно провести відбір коренів, часто зустрічаються у тематичних тестах ЄДІ;
вирішення таких завдань дозволяє закріпити та поглибити раніше отримані знання учнів.

Хід уроку

Повторення. Корисно згадати формули розв'язання найпростіших тригонометричних рівнянь (екран).

Значення	Рівняння	Формули розв'язання рівнянь
	sinx=a
	sinx=a	у рівняння рішень не має
а=0	sinx=0
а=1	sinx = 1
а=-1	sinx = -1
	cosx=a
	cosx=a	рівняння рішень не має
а=0	cosx=0
а=1	cosx = 1
а=-1	cosx=-1
	tgx=a
	ctgx=a

При відборі коренів у тригонометричних рівняннях запис рішень рівнянь sinx=a, сosx=aяк сукупність більш виправдана. У цьому ми переконаємося під час вирішення завдань.

Розв'язання рівнянь.

Завдання. Вирішити рівняння

Рішення.Дане рівняння рівносильне наступній системі

Розглянемо коло. Відзначимо на ній коріння кожної системи та відзначимо дугою ту частину кола, де виконується нерівність ( Рис. 1)

Рис. 1

Отримуємо, що може бути рішенням вихідного рівняння.

Відповідь:

У цьому ми провели відбір коренів нерівністю.

У наступному завданні проведемо відбір знаменником. Для цього виберемо коріння чисельника, але такі, що вони не будуть корінням знаменника.

Завдання 2.Вирішити рівняння.

Рішення. Запишемо рішення рівняння, використовуючи послідовні рівносильні переходи.

Вирішуючи рівняння та нерівність системи, у рішенні ставимо різні літери, які позначають цілі числа. Ілюструючи малюнку, відзначимо на колі коріння рівняння кружальцями, а коріння знаменника хрестиками (рис.2.)

Рис. 2

З малюнка добре видно, що - Вирішення вихідного рівняння.

Звернімо увагу учнів те що, що відбір коренів простіше було проводити, використовуючи систему з нанесенням відповідних точок на окружности.

Відповідь:

Завдання 3.Вирішити рівняння

3sin2x = 10 cos 2 x – 2/

Знайти всі коріння рівняння, що належать відрізку .

Рішення.У цьому завдання проводиться відбір коренів у проміжок, який задається умовою задачі. Відбір коренів у проміжок можна виконувати двома способами: перебираючи значення змінної цілих чисел або вирішуючи нерівність.

У цьому рівнянні відбір коренів проведемо першим способом, а наступному завданні – шляхом розв'язання нерівності.

Скористаємося основною тригонометричною тотожністю та формулою подвійного кута для синуса. Отримаємо рівняння

6sinxcosx = 10cos 2 x – sin 2 x – cos 2 x,тобто. sin 2 x – 9cos 2 x+ 6sinxcosx = 0

Т.к. в іншому випадку sinx = 0, що може бути, оскільки немає кутів, котрим одночасно синус і косинус рівні нулю у вигляді sin 2 x + cos 2 x = 0.

Розділимо обидві частини рівняння на cos 2 x.Отримаємо tg 2 x + 6tgx - 9 = 0/

Нехай tgx = tтоді t 2 + 6t - 9 = 0, t 1 = 2, t 2 = -8.

tgx = 2 або tg = -8;

Розглянемо кожну серію окремо, знаходячи точки всередині проміжку і по одній точці зліва і праворуч від нього.

Якщо до=0, то x=arctg2. Цей корінь належить розглянутому проміжку.

Якщо к=1, то x=arctg2+.Цей корінь теж належить розглянутому проміжку.

Якщо к=2, то . Зрозуміло, що цей корінь не належить нашому проміжку.

Ми розглянули одну точку праворуч від даного проміжку, тому до=3,4,…не розглядаються.

Якщо до = -1,отримаємо - не належить проміжку.

Значення до = -2, -3, ...не розглядаються.

Таким чином, з цієї серії два корені належать проміжку

Аналогічно попередньому випадку переконаємося, що за п = 0і п = 2,а, отже, при п = -1, -2, ... п = 3,4, ...ми отримаємо коріння, що не належить проміжку. Лише за п=1отримаємо , що належить цьому проміжку.

Відповідь:

Завдання 4.Вирішити рівняння 6sin 2 x+2sin 2 2x=5і вказати коріння, що належить проміжку .

Рішення.Наведемо рівняння 6sin 2 x+2sin 2 2x=5до квадратного рівняння щодо cos2x.

Звідки cos2x

Тут застосуємо спосіб відбору в проміжок за допомогою подвійної нерівності

Так як донабуває лише цілі значення, то можливо лише до = 2, до = 3.

При к=2отримаємо , при до=3отримаємо.

Відповідь:

Методичний коментар.Наведені чотири завдання рекомендується вирішувати вчителю біля дошки із залученням учнів. Для вирішення наступного завдання краще викликати до дочки сильного учня, надавши йому максимальну самостійність у міркуваннях.

Завдання 5.Вирішити рівняння

Рішення.Перетворюючи чисельник, наведемо рівняння до більш простого вигляду

Отримане рівняння рівносильне сукупності двох систем:

Відбір коренів на проміжку (0; 5) проведемо двома способами. Перший спосіб -для першої системи сукупності, другий спосіб - для другої системи сукупності.

, 0.

Так як до- ціле число, то к=1. Тоді х =- Вирішення вихідного рівняння.

Розглянемо другу систему сукупності

Якщо n=0, то . При п = -1; -2;рішень не буде.

Якщо п=1, - Розв'язання системи і, отже, вихідного рівняння.

Якщо п=2, то

За рішень не буде.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.

Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.

Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.

У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

На ваші прохання!

13. Розв'яжіть рівняння 3-4cos 2 x=0. Знайдіть суму його коріння, що належить проміжку .

Понизимо ступінь косинуса за такою формулою: 1+cos2α=2cos 2 α. Отримуємо рівносильне рівняння:

3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Ділимо обидві частини рівності на (-2) і отримуємо найпростіше тригонометричне рівняння:

14. Знайдіть b 5 геометричної прогресії, якщо b 4 =25 і b 6 =16.

Кожен член геометричної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному сусіднім з ним членам:

(b n) 2 = b n-1 ∙ b n+1 . У нас (b 5) 2 = b 4 ∙ b 6 ⇒ (b 5) 2 = 25 · 16 ⇒ b 5 = ± 5 · 4 ⇒ b 5 = ±20.

15. Знайдіть похідну функції: f(x)=tgx-ctgx.

16. Знайдіть найбільше та найменше значення функції y(x)=x 2 -12x+27

на відрізку.

Щоб знайти найбільше та найменше значення функції y=f(x) на відрізку, потрібно знайти значення цієї функції на кінцях відрізка і тих критичних точках, які належать даному відрізку, та був з усіх отриманих значень вибрати найбільше і найменше.

Знайдемо значення функції за х=3 і за х=7, тобто. на кінцях відрізка.

y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;

y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.

Знаходимо похідну цієї функції: y'(x)=(x 2 -12x+27)' =2x-12=2(x-6); критична точка х = 6 належить даному проміжку. Знайдемо значення функції за х = 6.

y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. А тепер вибираємо із трьох отриманих значень: 0; -8 і -9 максимальне і менше: у наиб. =0; у найм. =-9.

17. Знайдіть загальний вигляд первісних для функції:

Цей проміжок – це область визначення цієї функції. Відповіді повинні починатися з F(x), а не з f(x) – адже ми шукаємо первісну. За визначенням функція F(x) є першорядною функції f(x), якщо виконується рівність: F’(x)=f(x). Так що можна просто знаходити похідні запропонованих відповідей, поки не вийде ця функція. Суворе рішення – це обчислення інтеграла від цієї функції. Застосовуємо формули:

19. Складіть рівняння прямої, що містить медіану BD трикутника АВС, якщо його вершини А(-6; 2), В(6; 6) С(2; -6).

Для складання рівняння прямої потрібно знати координати 2-х точок цієї прямої, а нам відомі координати тільки точки В. Оскільки медіана BD ділить протилежну сторону навпіл, то точка D є серединою відрізка АС. Координати середини відрізка є напівсуми відповідних координат кінців відрізка. Знайдемо координати точки D.

20. Обчислити:

24. Площа правильного трикутника, що лежить в основі прямої призми, дорівнює

Це завдання — обернене до завдання № 24 з варіанта 0021.

25. Знайдіть закономірність і вставте недостатнє число: 1; 4; 9; 16; …

Очевидно, що це число 25 , тому що нам дана послідовність квадратів натуральних чисел:

1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …

Всім удачі та успіхів!