Як знайти найбільше значення функції? Найбільше та найменше значення функції.

З практичної точки зору найбільший інтерес представляє використання похідної для знаходження найбільшого та найменшого значення функції. З чим це пов'язано? Максимізація прибутку, мінімізація витрат, визначення оптимального завантаження устаткування... Інакше кажучи, у багатьох сферах життя доводиться вирішувати завдання оптимізації будь-яких параметрів. А це і є завдання на знаходження найбільшого та найменшого значення функції.

Слід зазначити, що найбільше і найменше значення функції зазвичай шукається на деякому інтервалі X , який є всією областю визначення функції або частиною області визначення. Сам інтервал X може бути відрізком, відкритим інтервалом , нескінченним проміжком.

У цій статті ми говоритимемо про знаходження найбільшого та найменшого значень явно заданої функції однієї змінної y=f(x) .

Навігація на сторінці.

Найбільше та найменше значення функції – визначення, ілюстрації.

Стисло зупинимося на основних визначеннях.

Найбільшим значенням функції , що для будь-кого справедлива нерівність.

Найменшим значенням функції y=f(x) на проміжку X називають таке значення , що для будь-кого справедлива нерівність.

Ці визначення інтуїтивно зрозумілі: найбільше (найменше) значення функції - це найбільше (маленьке) значення, що приймається на аналізованому інтервалі при абсцисі.

Стаціонарні точки– це значення аргументу, у яких похідна функції перетворюється на нуль.

Для чого нам стаціонарні точки при знаходженні найбільшого та найменшого значень? Відповідь це питання дає теорема Ферма. З цієї теореми випливає, що якщо функція, що диференціюється, має екстремум (локальний мінімум або локальний максимум) в деякій точці, то ця точка є стаціонарною. Таким чином, функція часто приймає своє найбільше (найменше) значення на проміжку X в одній зі стаціонарних точок цього проміжку.

Також часто найбільше та найменше значення функція може приймати в точках, в яких не існує перша похідна цієї функції, а функція визначена.

Відразу відповімо на одне з найпоширеніших питань на цю тему: "Чи завжди можна визначити найбільше (найменше) значення функції"? Ні не завжди. Іноді межі проміжку X збігаються з межами області визначення функції або інтервал X нескінченний. А деякі функції на нескінченності та на межах області визначення можуть набувати як нескінченно великих так і нескінченно малих значень. У цих випадках нічого не можна сказати про найбільше та найменше значення функції.

Для наочності дамо графічну ілюстрацію. Подивіться малюнки – і багато проясниться.

На відрізку

На першому малюнку функція приймає найбільше (max y) та найменше (min y) значення в стаціонарних точках, що знаходяться всередині відрізка [-6;6].

Розглянемо випадок, зображений другого малюнку. Змінимо відрізок на . У цьому прикладі найменше значення функції досягається в стаціонарній точці, а найбільше - у точці з абсцисою, що відповідає правій межі інтервалу.

На малюнку №3 граничні точки відрізка [-3;2] є абсцисами точок, що відповідають найбільшому та найменшому значенню функції.

На відкритому інтервалі

На четвертому малюнку функція приймає найбільше (max y) і найменше (min y) значення в стаціонарних точках, що знаходяться всередині відкритого інтервалу (-6; 6).

На інтервалі про найбільше значення ніяких висновків зробити не можна.

На нескінченності

У прикладі, представленому на сьомому малюнку, функція приймає найбільше значення (max y) у стаціонарній точці з абсцисою x = 1, а найменше значення (min y) досягається на правій межі інтервалу. На мінус нескінченності значення функції асимптотично наближаються до y=3.

На інтервалі функція не досягає найменшого, ні найбільшого значення. При прагненні до x=2 праворуч значення функції прагнуть мінус нескінченності (пряма x=2 є вертикальною асимптотою), а при прагненні абсциси до плюс нескінченності, значення функції асимптотично наближаються до y=3 . Графічна ілюстрація цього прикладу наведено малюнку №8.

Алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значення безперервної функції на відрізку.

Запишемо алгоритм, що дозволяє знаходити найбільше та найменше значення функції на відрізку.

1. Знаходимо область визначення функції та перевіряємо, чи міститься у ній весь відрізок .
2. Знаходимо всі точки, в яких не існує перша похідна і які містяться у відрізку (зазвичай такі точки збігаються у функцій з аргументом під знаком модуля і у статечних функцій з дрібно-раціональним показником). Якщо таких точок немає, переходимо до наступного пункту.
3. Визначаємо всі стаціонарні точки, що потрапляють у відрізок. Для цього, прирівнюємо її до нуля, вирішуємо отримане рівняння і вибираємо відповідне коріння. Якщо стаціонарних точок немає або жодна з них не потрапляє у відрізок, переходимо до наступного пункту.
4. Обчислюємо значення функції у відібраних стаціонарних точках (якщо такі є), у точках, у яких не існує перша похідна (якщо такі є), а також при x=a та x=b .
5. З отриманих значень функції вибираємо найбільше та найменше - вони і будуть шуканими найбільшим та найменшим значеннями функції відповідно.

Розберемо алгоритм при вирішенні прикладу на знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку.

приклад.

Знайти найбільше та найменше значення функції

• на відрізку;
• на відрізку [-4;-1].

Рішення.

Областью визначення функції є безліч дійсних чисел, крім нуля, тобто . Обидва відрізки потрапляють у область визначення.

Знаходимо похідну функції по:

Очевидно, похідна функції існує у всіх точках відрізків та [-4;-1] .

Стаціонарні точки визначимо з рівняння. Єдиним дійсним коренем є x=2. Ця стаціонарна точка потрапляє у перший відрізок.

Для першого випадку обчислюємо значення функції на кінцях відрізка і в стаціонарній точці, тобто при x = 1 x = 2 і x = 4 :

Отже, найбільше значення функції досягається при x=1 , а найменше значення - При x = 2 .

Для другого випадку обчислюємо значення функції лише на кінцях відрізка [-4;-1] (оскільки він не містить жодної стаціонарної точки):

У цій статті я розповім про те, як застосовувати вміння знаходити до дослідження функції: знаходження її найбільшого чи найменшого значення. А потім ми вирішимо кілька завдань із Завдання В15 із Відкритого банку завдань для .

Як завжди, спочатку згадаємо теорію.

На початку будь-якого дослідження функції знаходимо її

Щоб знайти найбільше чи найменше значення функції , необхідно досліджувати, яких проміжках функція зростає, і яких убуває.

Для цього треба знайти похідну функції та досліджувати її проміжки знакостійності, тобто проміжки, на яких похідна зберігає знак.

Проміжки, на яких позитивна похідна функції, є проміжками зростання функції.

Проміжки, у яких похідна функції негативна, є проміжками зменшення функції.

1 . Розв'яжемо завдання В15 (№ 245184)

Для його вирішення слідуватимемо таким алгоритмом:

а) Знайдемо область визначення функції

б) Знайдемо похідну функції.

в) Прирівняємо її до нуля.

г) Знайдемо проміжки знаковості функції.

д) Знайдемо точку, в якій функція набуває найбільшого значення.

е) Знайдемо значення функції у цій точці.

Докладне рішення цього завдання я розповідаю у ВІДЕОУРОКУ:

Ймовірно, ваш браузер не підтримується. Щоб використати тренажер "Година ЄДІ", спробуйте скачати
Firefox

2 . Розв'яжемо завдання В15 (№282862)

Знайдіть найбільше значення функції на відрізку

Очевидно, що найбільше значення на відрізку функція набуває у точці максимуму, при х=2. Знайдемо значення функції у цій точці:

Відповідь: 5

3 . Розв'яжемо завдання В15 (№245180):

Знайдіть найбільше значення функції

1. title="(!LANG:ln5>0"">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Оскільки область визначення вихідної функції title="(!LANG:4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Чисельник дорівнює нулю при . Перевіримо, чи належить ОДЗ функції. Для цього перевіримо, чи виконується умова title="(!LANG:4-2x-x^2>0""> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

отже, точка належить ОДЗ функції

Досліджуємо знак похідної праворуч і ліворуч від точки:

Ми бачимо, що найбільше значення функція набуває в точці . Тепер знайдемо значення функції при:

Примітка 1. Зауважимо, що у цьому завдання ми знаходили область визначення функції: ми лише зафіксували обмеження і перевірили, чи належить точка, у якій похідна дорівнює нулю області визначення функції. У цьому завдання цього виявилося достатньо. Проте так буває не завжди. Це залежить від завдання.

Примітка 2. При дослідженні поведінки складної функції можна скористатися таким правилом:

• якщо зовнішня функція складної функції зростаюча, то функція набуває найбільшого значення у тій точці, у якій внутрішня функція приймає найбільше значення. Це випливає з визначення зростаючої функції: функція зростає на проміжку I, якщо більшому значенню аргументу цього проміжку відповідає більше значення функції.
• якщо зовнішня функція складної функції спадна, то функція набуває найбільшого значення в тій же точці, в якій внутрішня функція набуває найменшого значення . Це випливає з визначення спадної функції: функція зменшується на проміжку I, якщо більшому значенню аргументу цього проміжку відповідає менше значення функції

У прикладі зовнішня функція - зростає по всій області визначення. Під знаком логарифму стоїть вираз - квадратний тричлен, який при негативному старшому коефіцієнті набуває найбільшого значення в точці . Далі підставляємо це значення х рівняння функції та знаходимо її найбільше значення.

У багатьох сферах життя можна зіткнутися з тим, що потрібно щось вирішити за допомогою цифр, наприклад, в економіці та бухгалтерії дізнатися мінімум і максимум якихось показників можна лише за допомогою оптимізації заданих параметрів. А це і є не що інше, як знаходження найбільшого та найменшого значень на заданому відрізку функції. Тепер розглянемо, як знайти максимальне значення функції.

Знаходимо найбільше значення: інструкція

1. З'ясувати, якому відрізку функції потрібно обчислити значення, позначити його точками. Цей проміжок може бути відкритим (коли функція дорівнює відрізку), закритим (коли функція знаходиться на відрізку) та нескінченним (коли функція не закінчується).
2. Знайти похідну функцію.
3. Знайти на відрізку функції точки, де похідна дорівнює нулю, і критичні точки. Потім обчислити значення функції даних точках, вирішити рівняння. Знайти серед набутих значень найбільше.
4. Виявити значення функції на кінцевих точках, визначити більше їх
5. Порівняти дані з найбільшим значенням, вибрати їх більше. Саме воно і буде найбільшим значенням функції.

Як знайти найбільше значення функції? Потрібно обчислити, чи є функція парної або непарної, а потім вирішити конкретний приклад. Якщо число вийшло з дробом, не враховуйте його, результатом найбільшого значення функції буде лише ціле число.

Дослідження такого об'єкта математичного аналізу як функція має велике значеннята в інших галузях науки. Наприклад, в економічному аналізі постійно потрібно оцінити поведінку функціїприбутку, а саме визначити її найбільше значеннята розробити стратегію його досягнення.

Інструкція

Дослідження поведінки будь-якої завжди слід починати з пошуку області визначення. Зазвичай за умовою конкретного завдання потрібно визначити найбільше значення функціїабо по всій цій галузі, або на конкретному її інтервалі з відкритими або закритими межами.

Виходячи з , найбільшим є значення функції y(x0), при якому для будь-якої точки області визначення виконується нерівність y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). Графічно ця точка буде найвищою, якщо розташувати значення аргументу на осі абсцис, а саму функцію на осі ординат.

Щоб визначити найбільше значення функції, дотримуйтесь алгоритму з трьох етапів. Врахуйте, що ви повинні вміти працювати з односторонніми та , а також обчислювати похідну. Отже, нехай задана деяка функція y(x) і потрібно знайти її найбільше значенняна деякому інтервалі з граничними значеннями А та В.

З'ясуйте, чи входить цей інтервал до області визначення функції. Для цього необхідно її знайти, розглянувши всі можливі обмеження: присутність у виразі дробу, квадратного кореня тощо. Область визначення – це безліч значень аргументу, у яких функція має сенс. Визначте, чи цей інтервал є його підмножиною. Якщо так, переходьте до наступного етапу.

Знайдіть похідну функціїі розв'яжіть отримане рівняння, прирівнявши похідну до нуля. Таким чином, ви отримаєте значення так званих стаціонарних точок. Оцініть, чи належить хоч одна їх інтервалу А, У.

Розгляньте на третьому етапі ці точки, підставте їх значення функцію. Залежно від типу інтервалу виконайте такі додаткові дії. За наявності відрізка виду [А, В] граничні точки входять до інтервалу, про це говорять дужки. Обчисліть значення функціїпри х = А і х = У. Якщо відкритий інтервал (А, У), граничні значення є виколотими, тобто. не входять до нього. Вирішіть односторонні межі для х→А та х→В. Комбінований інтервал виду [А, В) або (А, В), одна з меж якого належить йому, інша – ні, знайдіть односторонню межу при х, що прагне до виколотого значення, а інше підставте в функцію. +∞) або односторонні нескінченні проміжки виду: , (-∞, B) Для дійсних меж А та В дійте відповідно до вже описаних принципів, а для нескінченних шукайте межі для х→-∞ та х→+∞ відповідно.

Завдання цьому етапі

Методичні рекомендації для вивчення теми «Багато значень функції. Найбільше та найменше значення функції».

У самій математиці кошти

досягти істини - індукція та аналогія.

Дано: - функція. Позначимо
- Область визначення функції.

Множиною (областю) значень функції називається безліч усіх тих значень, які може набувати функції
.Геометрично це означає проекція графіка функції на вісь
.

Якщо існує точка така, що для будь-кого з множини має місце нерівність
, то кажуть, що функція на безлічі приймає в точці свою найменше значення

Якщо існує точка така, що для будь-якої з безлічі має місце нерівність
, то кажуть, що функція на безлічі приймає в точці свою найбільше значення .

Функція називається обмеженою знизуна множині, якщо існує таке число
. Геометрично це означає, що графік функції знаходиться не нижче прямої
.

Функція називається обмеженою зверхуна множині, якщо існує таке число , що для будь-якої з безлічі справедлива нерівність
. Геометрично це означає, що графік функції знаходиться не вище прямої

Функція називається обмеженоюна множині, якщо вона обмежена на цій множині знизу і зверху. Обмеженість функції означає, що її графік знаходиться всередині деякої горизонтальної смуги.

Нерівність Коші про середнє арифметичне та середнє геометричне
:

>,>0) Приклад:

Найбільше та найменше значення функції на проміжку

(Відрізок, інтервал, промінь)

Властивості безперервних на відрізку функцій.

1.Якщо функція безперервна на відрізку, то вона досягає на ньому і свого найбільшого і свого найменшого значень.

2.Найбільшого та найменшого значень безперервна функція може досягати як на кінцях відрізка, так і всередині нього

3. Якщо найбільше (або найменше) значення досягається всередині відрізка, то лише у стаціонарній чи критичній точці.

Алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значень безперервної функції на відрізку

1. Знайти похідну
.

2. Знайти стаціонарні та критичні точки, що лежать усередині відрізка .

3.Найти значення функції у відібраних стаціонарних і критичних точках і кінцях відрізка, тобто.
і
.

4.Среди знайдених значень вибрати найменше (це буде
) і найбільше (це буде
)

Властивості безперервних монотонних на відрізку функцій:

Безперервна зростаюча на відрізку функція досягає свого найбільшого значення при
, найменшого – при
.

Безперервна спадна на відрізку функція досягає свого найбільшого значення за , найменшого – за .

Якщо значення функції
невід'ємно на деякому проміжку, то ця функція та функція
, де n - натуральне число, приймає найбільше (найменше) значення в одній і тій же точці.

Знаходження найбільшого та найменшого значень безперервної функції на інтервалі
або на промені

(Завдання на оптимізацію).

Якщо безперервна функція має на інтервалі чи промені єдину точку екстремуму і цей екстремум максимум чи мінімум, то цій точці досягається найбільше чи найменше значення функції ( чи )

Застосування якості монотонності функцій.

1.Складна функція, складена з двох зростаючих функцій, є зростаючою.

2.Якщо функція зростає, а функція
зменшується, то функція
- спадна.

3. Сума двох зростаючих (зменшуваних) функцій, функція зростаюча (зменшується).

4. Якщо у рівнянні
ліва частина - зростаюча (або спадна) функція, то рівняння має не більше одного кореня.

5.Якщо функція - зростаюча (зменшується), а функція - спадна (зростаюча), то рівняння
має трохи більше рішення.

6. Рівняння
має хоча б один корінь у тому і тільки тому випадку, коли

належить безлічі значень
функції .

Застосування якості обмеженості функций.

1. Якщо ліва частина рівняння (нерівності) (
менше чи дорівнює деякого числа (
), а права частина більше або дорівнює цьому числу (), то має місце система
розв'язання якої є рішенням самого рівняння (нерівності).

Завдання для самоконтролю

Застосування:

3. Знайти всі значення, при яких рівняння
має рішення.

Домашнє завдання

1. Знайдіть найбільше значення функції:

, якщо
.

2. Знайдіть найменше значення функції:

.

3. Знайдіть найбільше ціле значення функції:

. тими, що відповідають у найбільшою. Ідеал-...