Як знайти нетривіальне та фундаментальне рішення системи лінійних однорідних рівнянь. Фундаментальний набір рішень однорідної системи лінійних рівнянь

Метод Гауса має ряд недоліків: не можна дізнатися, спільна система чи ні, доки не будуть проведені всі перетворення, необхідні в методі Гауса; метод Гауса не придатний для систем із літерними коефіцієнтами.

Розглянемо інші методи розв'язання систем лінійних рівнянь. Ці методи використовують поняття рангу матриці і зводять рішення будь-якої спільної системи до вирішення системи, до якої застосовується правило Крамера.

приклад 1.Знайти загальне рішення наступної системи лінійних рівнянь за допомогою фундаментальної системи рішень наведеної однорідної системи та приватного розв'язання неоднорідної системи.

1. Складаємо матрицю Aта розширену матрицю системи (1)

2. Досліджуємо систему (1) на спільність. Для цього знаходимо ранги матриць Aі https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). (1) несумісна. Якщо ж отримаємо, що , то ця система спільна і ми її вирішуватимемо. (Дослідження на спільність засноване на теоремі Кронекера-Капеллі).

a. Знаходимо rA.

Щоб знайти rA, будемо розглядати послідовно відмінні від нуля мінори першого, другого і т. д. порядків матриці Aі мінори, що їх облямують.

М1=1≠0 (1 беремо з лівого верхнього кута матриці А).

Облямовуємо М1другим рядком і другим стовпцем цієї матриці. . Продовжуємо облямовувати М1другим рядком і третім стовпцем..gif" width="37" height="20 src=">. М2′другого порядку.

Маємо: (т. до. два перші стовпці однакові)

(Тобто другий і третій рядки пропорційні).

Ми бачимо, що rA=2, а - базовий мінор матриці A.

b. Знаходимо.

Достатньо базисний мінор М2′матриці Aобрамити стовпцем вільних членів і всіма рядками (у нас тільки останнім рядком).

. Звідси випливає, що й М3′′залишається базовим мінором матриці width="168" (2)

Так як М2′- базисний мінор матриці Aсистеми (2) , то ця система еквівалентна системі (3) , що складається з перших двох рівнянь системи (2) (бо М2′знаходиться у перших двох рядках матриці A).

(3)

Так як базисний мінор width="153" (4)

У цій системі два вільні невідомі ( x2 і x4 ). Тому ФСР системи (4) складається із двох рішень. Щоб їх знайти, надамо вільним невідомим у (4) спочатку значення x2=1 , x4=0 , а потім - x2=0 , x4=1 .

При x2=1 , x4=0 отримаємо:

.

Ця система вже має єдине рішення (його можна знайти за правилом Крамера або будь-яким іншим способом). Віднімаючи з другого рівняння перше, отримаємо:

Її рішенням буде x1= -1 , x3=0 . Враховуючи значення x2 і x4 , які ми додали, отримуємо перше фундаментальне рішення системи (2) : .

Тепер гадаємо у (4) x2=0 , x4=1 . Отримаємо:

.

Вирішуємо цю систему за теоремою Крамера:

.

Отримуємо друге фундаментальне рішення системи (2) : .

Рішення β1 , β2 і становлять ФСР системи (2) . Тоді її спільним рішенням буде

γ= З 1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Тут З 1 , С2 - Довільні постійні.

4. Знайдемо одне приватне Рішення неоднорідної системи(1) . Як і у пункті 3 замість системи (1) розглянемо еквівалентну їй систему (5) , що складається з перших двох рівнянь системи (1) .

(5)

Перенесемо у праві частини вільні невідомі x2і x4.

(6)

Надамо вільним невідомим x2 і x4 довільні значення, наприклад, x2=2 , x4=1 і підставимо їх у (6) . Отримаємо систему

Ця система має єдине рішення (бо її визначник М2′0). Вирішуючи її (за теоремою Крамера або методом Гауса), отримаємо x1=3 , x3=3 . Враховуючи значення вільних невідомих x2 і x4 , отримаємо приватне вирішення неоднорідної системи(1)α1=(3,2,3,1).

5. Тепер залишилось записати загальне рішення α неоднорідної системи(1) : воно дорівнює сумі приватного рішенняцієї системи та загального вирішення її наведеної однорідної системи (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Це означає: (7)

6. Перевірка.Щоб перевірити, чи правильно ви вирішили систему (1) , Треба загальне рішення (7) підставити в (1) . Якщо кожне рівняння обернеться в тотожність ( З 1 і С2 повинні знищитися), то рішення знайдено правильно.

Ми підставимо (7) для прикладу лише останнє рівняння системи (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Отримаємо: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Звідки –1=–1. Здобули тотожність. Так чинимо з усіма іншими рівняннями системи (1) .

Зауваження.Перевірка зазвичай досить громіздка. Можна рекомендувати таку «часткову перевірку»: у загальному вирішенні системи (1) довільним постійним надати деякі значення і підставити отримане приватне рішення тільки у відкинуті рівняння (тобто ті рівняння з (1) , які не увійшли до (5) ). Якщо отримаєте тотожності, то, швидше за все, вирішення системи (1) знайдено правильно (але повної гарантії правильності така перевірка не дає!). Наприклад, якщо в (7) покласти С2=- 1 , С1 = 1, Отримаємо: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Підставляючи останнє рівняння системи (1), маємо: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , Т. е. -1 = -1. Здобули тотожність.

приклад 2.Знайти загальне рішення системи лінійних рівнянь (1) висловивши основні невідомі через вільні.

Рішення.як і в приклад 1, складаємо матриці Aі цих матриць. Залишаємо тепер тільки ті рівняння системи (1) , Коефіцієнти з яких входять в цей базисний мінор (тобто у нас - перші два рівняння) і розглядаємо систему, що складається з них, еквівалентну системі (1).

Перенесемо у праві частини цих рівнянь вільні невідомі.

Систему (9) вирішуємо шляхом Гаусса, вважаючи праві частини вільними членами.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Варіант 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Варіант 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Варіант 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Варіант 6

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Системи лінійних рівнянь, у яких усі вільні члени дорівнюють нулю, називаються однорідними :

Будь-яка однорідна система завжди спільна, оскільки завжди має нульовим (тривіальним ) Рішенням. Виникає питання, за яких умов однорідна система матиме нетривіальне рішення.

Теорема 5.2.Однорідна система має нетривіальне рішення тоді і лише тоді, коли ранг основної матриці менший за кількість її невідомих.

Слідство. Квадратна однорідна система має нетривіальне рішення і тоді, коли визначник основний матриці системи не дорівнює нулю.

Приклад 5.6.Визначити значення параметра l, за яких система має нетривіальні рішення, і знайти ці рішення:

Рішення. Ця система матиме нетривіальне рішення тоді, коли визначник основної матриці дорівнює нулю:

Отже, система нетривіальна, коли l=3 чи l=2. При l=3 ранг основної матриці системи дорівнює 1. Тоді залишаючи лише одне рівняння і вважаючи, що y=aі z=b, отримаємо x=b-a, тобто.

При l=2 ранг основної матриці системи дорівнює 2. Тоді, вибираючи як базисний мінор:

отримаємо спрощену систему

Звідси знаходимо, що x=z/4, y=z/2. Вважаючи z=4a, отримаємо

Безліч всіх рішень однорідної системи має дуже важливе значення. лінійною властивістю : якщо стовпці X 1 та X 2 - рішення однорідної системи AX = 0, то всяка їхня лінійна комбінація a X 1 + b X 2 також буде вирішенням цієї системи. Справді, оскільки AX 1 = 0 і AX 2 = 0 , то A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Саме внаслідок цієї властивості, якщо лінійна система має більше одного рішення, то цих рішень буде нескінченно багато.

Лінійно незалежні стовпці E 1 , E 2 , E k, що є рішеннями однорідної системи, називається фундаментальною системою рішень однорідної системи лінійних рівнянь, якщо загальне рішення цієї системи можна записати у вигляді лінійної комбінації цих стовпців:

Якщо однорідна система має nзмінних, а ранг основної матриці системи дорівнює r, то k = n-r.

Приклад 5.7.Знайти фундаментальну систему розв'язків наступної системи лінійних рівнянь:

Рішення. Знайдемо ранг основної матриці системи:

Таким чином, безліч рішень даної системи рівнянь утворює лінійний підпростір розмірності n - r= 5 - 2 = 3. Виберемо як базисний мінор

.

Тоді залишаючи тільки базисні рівняння (інші будуть лінійною комбінацією цих рівнянь) і базисні змінні (інші, так звані вільні, змінні переносимо вправо), отримаємо спрощену систему рівнянь:

Вважаючи, x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, знаходимо

, .

Вважаючи a= 1, b = c= 0, отримаємо перше базисне рішення; вважаючи b= 1, a = c= 0, отримаємо друге базисне рішення; вважаючи c= 1, a = b= 0, отримаємо третє базисне рішення. В результаті, нормальна фундаментальна система рішень набуде вигляду

З використанням фундаментальної системи загальне рішення однорідної системи можна записати як

X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . à

Зазначимо деякі властивості розв'язків неоднорідної системи лінійних рівнянь AX=Bта їх взаємозв'язок відповідною однорідною системою рівнянь AX = 0.

Загальне рішення неоднорідної системидорівнює сумі загального рішення відповідної однорідної системи AX = 0 та довільного приватного вирішення неоднорідної системи. Справді, нехай Y 0 довільне окреме рішення неоднорідної системи, тобто. AY 0 = B, і Y- загальне рішення неоднорідної системи, тобто. AY = B. Віднімаючи одну рівність з іншої, отримаємо
A(Y-Y 0) = 0, тобто. Y - Y 0 є загальне рішення відповідної однорідної системи AX=0. Отже, Y - Y 0 = X, або Y = Y 0 + X. Що і потрібно було довести.

Нехай неоднорідна система має вигляд AX = B 1 + B 2 . Тоді загальне рішення такої системи можна записати у вигляді X = X 1 + X 2 , де AX 1 = B 1 та AX 2 = B 2 . Ця властивість виражає універсальну властивість взагалі будь-яких лінійних систем (алгебраїчних, диференціальних, функціональних і т.д.). У фізиці ця властивість називається принципом суперпозиції, в електро- та радіотехніці - принципом накладення. Наприклад, в теорії лінійних електричних ланцюгів струм у будь-якому контурі може бути отриманий як сума алгебри струмів, що викликаються кожним джерелом енергії окремо.

Однорідна система завжди спільна і має тривіальне рішення
. Для існування нетривіального рішення необхідно, щоб ранг матриці був меншим від числа невідомих:

.

Фундаментальною системою рішень однорідної системи
називають систему рішень у вигляді векторів-стовпців
, що відповідають канонічного базису, тобто. базису, в якому довільні постійні
по черзі покладаються рівними одиниці, тоді як інші дорівнюють нулю.

Тоді загальне рішення однорідної системи має вигляд:

де
- Довільні постійні. Інакше кажучи, загальне рішення є лінійна комбінація фундаментальної системи рішень.

Таким чином, базисні рішення можуть бути отримані із загального рішення, якщо вільним невідомим по черзі надавати значення одиниці, вважаючи всі інші рівні нулю.

приклад. Знайдемо рішення системи

Приймемо, тоді отримаємо рішення у вигляді:

Побудуємо тепер фундаментальну систему рішень:

.

Загальне рішення запишеться у вигляді:

Вирішення системи однорідних лінійних рівнянь мають властивості:

Іншими словами, будь-яка лінійна комбінація рішень однорідної системи знову є рішенням.

Вирішення систем лінійних рівнянь методом Гауса

Вирішення систем лінійних рівнянь цікавить математиків кілька століть. Перші результати було отримано у XVIII столітті. У 1750 р. Г. Крамер (1704 –1752) опублікував свої праці з детермінантам квадратних матриць і запропонував алгоритм перебування зворотної матриці. У 1809 р. Гаус виклав новий метод рішення, відомий як метод виключення.

Метод Гаусса, чи метод послідовного виключення невідомих, у тому, що з допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівносильної системі ступінчастого (чи трикутного) виду. Такі системи дозволяють послідовно знаходити всі невідомі у порядку.

Припустимо, що в системі (1)
(Що завжди можливо).

(1)

Помножуючи по черзі перше рівняння так звані відповідні числа

і складаючи результат множення з відповідними рівняннями системи, ми отримаємо еквівалентну систему, в якій у всіх рівняннях, крім першого, не буде відома х 1

(2)

Помножимо тепер друге рівняння системи (2) на відповідні числа, вважаючи, що

,

і складаючи його з нижчестоящими, виключимо змінну із усіх рівнянь, починаючи з третього.

Продовжуючи цей процес, після
кроку ми отримаємо:

(3)

Якщо хоча б одне із чисел
не дорівнює нулю, то відповідна рівність суперечлива і система (1) несумісна. Назад, для будь-якої спільної системи числа
рівні нулю. Число - це що інше, як ранг матриці системи (1).

Перехід від системи (1) до (3) називається прямим ходом методу Гауса, а знаходження невідомих (3) – зворотним ходом .

Зауваження : Перетворення зручніше робити не з самими рівняннями, а з розширеною матрицею системи (1).

приклад. Знайдемо рішення системи

.

Запишемо розширену матрицю системи:

.

Додамо до рядків 2,3,4 перший, помножений на (-2), (-3), (-2) відповідно:

.

Поміняємо рядки 2 і 3 місцями, потім в матриці, що вийшла, додамо до рядка 4 рядок 2, помножений на :

.

Додамо до рядка 4 рядок 3, помножений на
:

.

Очевидно, що
, Отже, система спільна. З отриманої системи рівнянь

знаходимо рішення зворотною підстановкою:

,
,
,
.

приклад 2.Знайти рішення системи:

.

Вочевидь, що система несумісна, т.к.
, а
.

Переваги методу Гауса :

Менш трудомісткий, ніж метод Крамера.

Однозначно встановлює спільність системи та дозволяє знайти рішення.

Дає можливість визначити ранг будь-яких матриць.

Нехай М 0 – безліч розв'язків однорідної системи (4) лінійних рівнянь.

Визначення 6.12.Вектори з 1 ,з 2 , …, з p, що є рішеннями однорідної системи лінійних рівнянь, називаються фундаментальним набором рішень(скорочено ФНР), якщо

1) вектори з 1 ,з 2 , …, з pлінійно незалежні (тобто жоден з них не можна виразити через інші);

2) будь-яке інше рішення однорідної системи лінійних рівнянь можна виразити через рішення з 1 ,з 2 , …, з p.

Зауважимо, що якщо з 1 ,з 2 , …, з p- будь-який ф.н.р., то виразом k 1 × з 1 + k 2 × з 2 + … + k p× з pможна описати все безліч М 0 рішень системи (4), тому його називають загальним видом вирішення системи (4).

Теорема 6.6.Будь-яка невизначена однорідна система лінійних рівнянь має фундаментальний набір рішень.

Спосіб знаходження фундаментального набору рішень полягає в наступному:

Знайти загальне рішення однорідної системи лінійних рівнянь;

Побудувати ( n – r) приватних рішень цієї системи, при цьому значення вільних невідомих повинні утворювати одиничну матрицю;

Виписати загальний вигляд рішення, що входить до М 0 .

Приклад 6.5.Знайти фундаментальний набір рішень наступної системи:

Рішення. Знайдемо загальне рішення цієї системи.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ У цій системі п'ять невідомих ( n= 5), їх головних невідомих два ( r= 2), вільних невідомих три ( n – r), тобто у фундаментальному наборі рішень міститься три вектори рішення. Побудуємо їх. Маємо x 1 і x 3 – головні невідомі, x 2 , x 4 , x 5 – вільні невідомі

Значення вільних невідомих x 2 , x 4 , x 5 утворюють одиничну матрицю Eтретього порядку. Отримали, що вектори з 1 ,з 2 , з 3 утворюють ф.н.р. даної системи. Тоді безліч рішень цієї однорідної системи буде М 0 = {k 1 × з 1 + k 2 × з 2 + k 3 × з 3 , k 1 , k 2 , k 3 Î R).

З'ясуємо тепер умови існування ненульових рішень однорідної системи лінійних рівнянь, тобто умови існування фундаментального набору рішень.

Однорідна система лінійних рівнянь має ненульові рішення, тобто є невизначеною, якщо

1) ранг основної матриці системи менший за кількість невідомих;

2) в однорідній системі лінійних рівнянь число рівнянь менше від числа невідомих;

3) якщо в однорідній системі лінійних рівнянь число рівнянь дорівнює числу невідомих і визначник основної матриці дорівнює нулю (тобто | A| = 0).

Приклад 6.6. При якому значенні параметра aоднорідна система лінійних рівнянь має ненульові рішення?

Рішення. Складемо основну матрицю цієї системи та знайдемо її визначник: = = 1×(–1) 1+1 × = – а– 4. Визначник цієї матриці дорівнює нулю при a = –4.

Відповідь: –4.

7. Арифметичне n-мірний векторний простір

Основні поняття

У попередніх розділах вже зустрічалося поняття про набір із дійсних чисел, розташованих у певному порядку. Це матриця-рядок (або матриця-стовпець) і рішення системи лінійних рівнянь з nневідомими. Ці відомості можна узагальнити.

Визначення 7.1. n-мірним арифметичним векторомназивається впорядкований набір з nдійсних чисел.

Значить а= (a 1 , a 2 , …, a n), де a iÎ R, i = 1, 2, …, n- Загальний вигляд вектора. Число nназивається розмірністювектора, а числа a iназиваються його координатами.

Наприклад: а= (1, -8, 7, 4, ) - П'ятимірний вектор.

Все безліч n-мірних векторів прийнято позначати як R n.

Визначення 7.2.Два вектори а= (a 1 , a 2 , …, a n) та b= (b 1 , b 2 , …, b n) однакової розмірності рівнітоді й лише тоді, коли рівні їхні відповідні координати, тобто a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Визначення 7.3.Сумоюдвох n-мірних векторів а= (a 1 , a 2 , …, a n) та b= (b 1 , b 2 , …, b n) називається вектор a + b= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a n+ b n).

Визначення 7.4. Творомдійсного числа kна вектор а= (a 1 , a 2 , …, a n) називається вектор k× а = (k×a 1 , k×a 2 , …, k×a n)

Визначення 7.5.Вектор о= (0, 0, …, 0) називається нульовим(або нуль-вектором).

Легко перевірити, що дії (операції) складання векторів і множення їх на дійсне число мають такі властивості: " a, b, c Î R n, " k, lÎ R:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + о = a;

4) a+ (–a) = о;

5) 1× a = a, 1 R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Визначення 7.6.Безліч R nіз заданими на ньому операціями складання векторів та множення їх на дійсне число називається арифметичним n-вимірним векторним простором.

Рішеннязнаходимо за допомогою калькулятора. Алгоритм розв'язання такий самий, як і для систем лінійних неоднорідних рівнянь.
Оперуючи тільки з рядками, знаходимо ранг матриці, базовий мінор; оголошуємо залежні та вільні невідомі та знаходимо спільне рішення.

Приклад 2 . Знайти загальне рішення та фундаментальну систему рішень системи
Рішення.



,
звідси випливає, що ранг матриці дорівнює 3 і дорівнює числу невідомих. Отже, система немає вільних невідомих, тому має єдине рішення – тривіальне.

Завдання. Дослідити та вирішити систему лінійних рівнянь.
Приклад 4

Завдання. Знайти загальне та приватне рішення кожної системи.
Рішення.Випишемо основну матрицю системи:

Завдання. Знайти фундаментальний набір розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь.