Як знайти площу повної поверхні прямої призми. Для куба вірні формули

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Призма. Паралелепіпед

Призмоюназивається багатогранник, дві грані якого – рівні n-кутники (основи) , що у паралельних площинах, інші n граней – паралелограммы (Бічні грані) . Боковим ребром призми називається сторона бічної грані, яка не належить підставі.

Призма, бічні ребра якої перпендикулярні до площин основ, називається прямий призмою (рис. 1). Якщо бічні ребра не перпендикулярні до площин основ, то призма називається похилій . Правильною призмою називається пряма призма, основи якої – правильні багатокутники.

Висотоюпризми називається відстань між площинами основ. Діагоналлю призми називається відрізок, що з'єднує дві вершини, що не належать до однієї грані. Діагональним перетином називається переріз призми площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать до однієї грані. Перпендикулярним перетином називається переріз призми площиною, перпендикулярною до бокового ребра призми.

Площею бічної поверхні призми називається сума площ усіх бічних граней. Площею повної поверхні називається сума площ усіх граней призми (тобто. сума площ бічних граней та площ основ).

Для довільної призми вірні формули:

де l- Довжина бічного ребра;

H- Висота;

P

Q

S бік

S повний

S осн– площа основ;

V- Обсяг призми.

Для прямої призми вірні формули:

де p– периметр основи;

l- Довжина бічного ребра;

H- Висота.

Паралелепіпедомназивається призма, основою якої є паралелограм. Паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні до основ, називається прямим (Рис. 2). Якщо бічні ребра не перпендикулярні основам, то паралелепіпед називається похилим . Прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник, називається прямокутним. Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.

Грані паралелепіпеда, що не мають спільних вершин, називаються протилежними . Довжини ребер, що виходять з однієї вершини, називаються вимірами паралелепіпеда. Оскільки паралелепіпед – це призма, основні його елементи визначаються аналогічно тому, як вони визначені для призм.

Теореми.

1. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл.

2. У прямокутному паралелепіпеді квадрат довжини діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів:

3. Усі чотири діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні між собою.

Для довільного паралелепіпеда вірні формули:

де l- Довжина бічного ребра;

H- Висота;

P- Періметр перпендикулярного перерізу;

Q- Площа перпендикулярного перерізу;

S бік- Площа бічної поверхні;

S повний- Площа повної поверхні;

S осн– площа основ;

V- Обсяг призми.

Для прямого паралелепіпеда вірні формули:

де p– периметр основи;

l- Довжина бічного ребра;

H- Висота прямого паралелепіпеда.

Для прямокутного паралелепіпеда вірні формули:

(3)

де p– периметр основи;

H- Висота;

d– діагональ;

a, b, c- Виміри паралелепіпеда.

Для куба вірні формули:

де a- Довжина ребра;

d- Діагональ куба.

приклад 1.Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює 33 дм, а його виміри відносяться, як 2: 6: 9. Знайти виміри паралелепіпеда.

Рішення.Для знаходження вимірів паралелепіпеда скористаємося формулою (3), тобто. тим фактом, що квадрат гіпотенузи прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його вимірів. Позначимо через kкоефіцієнт пропорційності. Тоді виміри паралелепіпеда дорівнюватимуть 2 k, 6kта 9 k. Запишемо формулу (3) для даних завдання:

Вирішуючи це рівняння щодо k, Отримаємо:

Отже, вимірювання паралелепіпеда дорівнюють 6 дм, 18 дм і 27 дм.

Відповідь: 6 дм, 18 дм, 27 дм.

приклад 2.Знайти об'єм похилої трикутної призми, основою якої служить рівносторонній трикутник зі стороною 8 см, якщо бічне ребро дорівнює стороні основи і нахилено під кутом 60º до основи.

Рішення . Зробимо рисунок (рис. 3).

Для того, щоб знайти обсяг похилої призми необхідно знати площу її основи та висоту. Площа підстави цієї призми – це площа рівностороннього трикутника зі стороною 8 см. Обчислимо її:

Висотою призми є відстань між її основами. З вершини А 1 верхньої основи опустимо перпендикуляр на площину нижньої основи А 1 D. Його довжина і буде заввишки призми. Розглянемо D А 1 АD: так як це кут нахилу бокового ребра А 1 Адо площини основи, А 1 А= 8 см. З цього трикутника знаходимо А 1 D:

Тепер обчислюємо обсяг за формулою (1):

Відповідь: 192 см 3 .

приклад 3.Бокове ребро правильної шестикутної призми дорівнює 14 см. Площа найбільшого діагонального перерізу дорівнює 168 см 2 . Знайти площу повної поверхні призми.

Рішення.Зробимо малюнок (рис. 4)

Найбільший діагональний переріз – прямокутник AA 1 DD 1 , оскільки діагональ ADправильного шестикутника ABCDEFє найбільшою. Для того, щоб обчислити площу бічної поверхні призми, необхідно знати бік основи та довжину бічного ребра.

Знаючи площу діагонального перерізу (прямокутника), знайдемо діагональ основи.

Оскільки , то

Бо те АВ= 6 див.

Тоді периметр основи дорівнює:

Знайдемо площу бічної поверхні призми:

Площа правильного шестикутника зі стороною 6 см дорівнює:

Знаходимо площу повної поверхні призми:

Відповідь:

приклад 4.Підставою прямого паралелепіпеда служить ромб. Площі діагональних перерізів 300 см 2 та 875 см 2 . Знайти площу бічної поверхні паралелепіпеда.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 5).

Позначимо бік ромба через а, діагоналі ромба d 1 і d 2 , висоту паралелепіпеда h. Щоб знайти площу бічної поверхні прямого паралелепіпеда необхідно периметр основи помножити на висоту: (формула (2)). Периметр основи р = АВ + НД + CD + DA = 4AB = 4a, так як ABCD- Ромб. Н = АА 1 = h. Т.о. Необхідно знайти аі h.

Розглянемо діагональні перерізи. АА 1 СС 1 – прямокутник, одна сторона якого діагональ ромба АС = d 1 , друга – бічне ребро АА 1 = hтоді

Аналогічно для перерізу ВВ 1 DD 1 отримаємо:

Використовуючи властивість паралелограма така, що сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх його сторін, отримаємо рівність. Отримаємо таке.

Визначення.

Це шестигранник, основами якого є два рівні квадрати, а бічні грані є рівними прямокутниками.

Бокове ребро- це спільна сторона двох суміжних бічних граней

Висота призми- це відрізок, перпендикулярний до основ призми

Діагональ призми- відрізок, що з'єднує дві вершини основ, що не належать до однієї грані

Діагональна площина- площина, яка проходить через діагональ призми та її бічні ребра

Діагональний переріз- межі перетину призми та діагональної площини. Діагональний переріз правильної чотирикутної призми є прямокутником.

Перпендикулярний переріз (ортогональний переріз)- це перетин призми та площини, проведеної перпендикулярно її бічним ребрам.

Елементи правильної чотирикутної призми

На малюнку зображено дві правильні чотирикутні призми, у яких позначені відповідними літерами:

• Підстави ABCD і A 1 B 1 C 1 D 1 рівні та паралельні один одному
• Бічні грані AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C та CC 1 D 1 D, кожна з яких є прямокутником
• Бічна поверхня - сума площ усіх бічних граней призми
• Повна поверхня - сума площ усіх основ та бічних граней (сума площі бічної поверхні та основ)
• Бічні ребра AA 1 , BB 1 , CC 1 та DD 1 .
• Діагональ B 1 D
• Діагональ основи BD
• Діагональний переріз BB 1 D 1 D
• Перпендикулярний переріз A2B2C2D2.

Властивості правильної чотирикутної призми

• Підставами є два рівні квадрати
• Підстави паралельні одна одній
• Боковими гранями є прямокутники
• Бічні грані рівні між собою
• Бічні грані перпендикулярні основам
• Бічні ребра паралельні між собою та рівні
• Перпендикулярний перетин перпендикулярно всім бічним ребрам і паралельно основам
• Кути перпендикулярного перерізу – прямі
• Діагональний переріз правильної чотирикутної призми є прямокутником.
• Перпендикулярний (ортогональний переріз) паралельно основам

Формули для правильної чотирикутної призми

Вказівки до вирішення завдань

Правильна призма- призма в основі якої лежить правильний багатокутник, а бічні ребра перпендикулярні до площин основи. Тобто правильна чотирикутна призма містить у своїй основі квадрат. (Див. вище властивості правильної чотирикутної призми) Примітка. Це частина уроку із завданнями з геометрії (розділ стереометрія – призма). Тут розміщені завдання, які викликають труднощі під час вирішення. Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі. Для позначення дії вилучення квадратного кореня у розв'язках задач використовується символ√ .

Завдання.

Діагональ правильної призми утворює з діагоналлю основи та висотою призми прямокутний трикутник. Відповідно, за теоремою Піфагора діагональ заданої правильної чотирикутної призми дорівнюватиме:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см

Відповідь: 22 см

Завдання

Рішення.
Оскільки в основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат, то бік основи (позначимо як a) знайдемо за теоремою Піфагора:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Висота бічної грані (позначимо як h) тоді дорівнюватиме:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Площа повної поверхні дорівнюватиме сумі площі бічної поверхні та подвоєної площі основи

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

Відповідь : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

Різні призми не схожі один на одного. У той же час вони мають багато спільного. Щоб знайти площу підстави призми, потрібно розібратися в тому, який вигляд має.

Загальна теорія

Призмою є будь-який багатогранник, бічні сторони якого мають вигляд паралелограма. При цьому в її підставі може бути будь-який багатогранник - від трикутника до n-кутника. Причому підстави призми завжди дорівнюють один одному. Що не стосується бічних граней - вони можуть істотно відрізнятися за розмірами.

При вирішенні завдань зустрічається не тільки площа підстави призми. Може знадобитися знання бічної поверхні, тобто всіх граней, які не є підставами. Повною поверхнею вже буде поєднання всіх граней, які становлять призму.

Іноді у завданнях фігурує висота. Вона є перпендикуляром до основ. Діагоналлю багатогранника є відрізок, який попарно з'єднує дві будь-які вершини, що не належать одній грані.

Слід зазначити, що площа основи прямої призми або похилої не залежить від кута між ними та бічними гранями. Якщо вони однакові фігури у верхній і нижній гранях, їх площі будуть рівними.

Трикутна призма

Вона має в основі фігуру, що має три вершини, тобто трикутник. Він, як відомо, буває різним. Якщо досить згадати, що його площа визначається половиною твору катетів.

Математичний запис виглядає так: S = ½ ав.

Щоб дізнатися площу основи у загальному вигляді, стануть у нагоді формули: Герона і та, в якій береться половина сторони на висоту, проведену до неї.

Перша формула має бути записана так: S = √(р(р-а)(р-в)(р-с)). У цьому записі є напівпериметр (р), тобто сума трьох сторін, розділена на дві.

Друга: S = ½ н а * а.

Якщо потрібно дізнатися площу основи трикутної призми, яка є правильною, трикутник виявляється рівностороннім. Для нього існує своя формула: S = ¼ а 2 * √3.

Чотирикутна призма

Її основою є будь-який із відомих чотирикутників. Це може бути прямокутник або квадрат, паралелепіпед або ромб. У кожному разі для того, щоб обчислити площу підстави призми, буде потрібна своя формула.

Якщо основа — прямокутник, його площа визначається так: S = ав, де а, в — сторони прямокутника.

Коли йдеться про чотирикутну призму, то площа основи правильної призми обчислюється за формулою для квадрата. Тому що саме він виявляється лежачим у основі. S = а2.

У разі коли основа — це паралелепіпед, знадобиться така рівність: S = а * н а. Буває таке, що дано сторону паралелепіпеда та один із кутів. Тоді для обчислення висоти потрібно скористатися додатковою формулою: н а = в * sin А. Причому кут А прилягає до сторони "в", а висота н а протилежна до цього куту.

Якщо підставі призми лежить ромб, то визначення його площі буде необхідна та сама формула, що у паралелограма (оскільки є його окремим випадком). Але можна скористатися і такою: S = ½ d 1 d 2 . Тут d 1 і d 2 – дві діагоналі ромба.

Правильна п'ятикутна призма

Цей випадок передбачає розбиття багатокутника на трикутники, площі яких простіше дізнатися. Хоча буває, що фігури можуть бути з іншою кількістю вершин.

Оскільки основа призми — правильний п'ятикутник, він може бути розділений п'ять рівносторонніх трикутників. Тоді площа підстави призми дорівнює площі одного такого трикутника (формулу можна переглянути вище), помноженою на п'ять.

Правильна шестикутна призма

За принципом, описаним для п'ятикутної призми, вдається розбити шестикутник основи на 6 рівносторонніх трикутників. Формула площі підстави такої призми подібна до попередньої. Тільки у ній слід множити на шість.

Виглядатиме формула таким чином: S = 3/2 а 2 * √3.

Завдання

№ 1. Дана правильна пряма Її діагональ дорівнює 22 см, висота багатогранника - 14 см. Обчислити площу основи призми та всієї поверхні.

Рішення.Підставою призми є квадрат, але його сторона не відома. Знайти її значення можна з діагоналі квадрата (х), яка пов'язана з діагоналлю призми (d) та її висотою (н). х 2 = d 2 - н 2. З іншого боку, цей відрізок «х» є гіпотенузою в трикутнику, катети якого дорівнюють стороні квадрата. Тобто х2 = а2+а2. Отже виходить, що а 2 = (d 2 - н 2)/2.

Підставити замість d число 22, а "н" замінити його значенням - 14, то виходить, що сторона квадрата дорівнює 12 см. Тепер просто дізнатися площу основи: 12 * 12 = 144 см 2 .

Щоб дізнатися площу всієї поверхні, потрібно скласти подвоєне значення площі основи та чотиристоронню бічну. Останню легко знайти за формулою для прямокутника: перемножити висоту багатогранника та бік основи. Тобто 14 і 12, це число дорівнюватиме 168 см 2 . Загальна площа поверхні призми виявляється 960 см2.

Відповідь.Площа основи призми дорівнює 144 см 2 . Всієї поверхні - 960 см 2 .

№ 2. Дана В основі лежить трикутник зі стороною 6 см. При цьому діагональ бічної грані становить 10 см. Обчислити площі: основи та бічній поверхні.

Рішення.Оскільки призма правильна, її основою є рівносторонній трикутник. Тому його площа виявляється дорівнює 6 квадраті, помноженому на ¼ і на корінь квадратний з 3. Просте обчислення призводить до результату: 9√3 см 2 . Це площа однієї підстави призми.

Усі бічні грані однакові і є прямокутниками зі сторонами 6 і 10 см. Щоб обчислити їх площі, достатньо перемножити ці числа. Потім помножити їх на три, бо бічних граней призми саме стільки. Тоді площа бічної поверхні виявляється раною 180 см 2 .

Відповідь.Площа: підстави - 9√3 см 2 , бічної поверхні призми - 180 см 2 .

Визначення. Призма- це багатогранник, всі вершини якого розташовані в двох паралельних площинах, причому в цих же двох площинах лежать дві грані призми, що є рівними багатокутниками з відповідно паралельними сторонами, а всі ребра, що не лежать у цих площинах, паралельні.

Дві рівні грані називаються підставами призми(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Всі інші грані призми називаються бічними гранями(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Усі бічні грані утворюють бічну поверхню призми .

Усі бічні грані призми є паралелограмами .

Ребра, що не лежать в основах, називаються бічними ребрами призми( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Діагоналлю призми називається відрізок, кінцями якого служать дві вершини призми, що не лежать на одній її грані (AD 1).

Довжина відрізка, що з'єднує основи призми і перпендикулярна одночасно обом основам,називається висотою призми .

Позначення:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Спочатку в порядку обходу вказують вершини однієї основи, а потім у тому ж порядку - вершини іншої; кінці кожного бокового ребра позначають однаковими літерами, тільки вершини, що лежать в одній підставі, позначаються літерами без індексу, а в іншій - з індексом)

Назву призми пов'язують з числом кутів у фігурі, що лежить у її підставі, наприклад, на малюнку 1 у підставі лежить п'ятикутник, тому призму називають п'ятикутною призмою. Але т.к. у такої призми 7 граней, то вона семигранник(2 грані - підстави призми, 5 граней - паралелограми, - її бічні грані)

Серед прямих призм виділяється окремий вид: правильні призми.

Пряма призма називається правильною,якщо її підстави - правильні багатокутники.

У правильної призми всі бічні грані рівні прямокутники. Приватним випадком призми є паралелепіпед.

Паралелепіпед

Паралелепіпед- це чотирикутна призма, в основі якої лежить паралелограм (похилий паралелепіпед). Прямий паралелепіпед- паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні площинам основи.

Прямокутний паралелепіпед- Прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник.

Властивості та теореми:

Деякі властивості паралелепіпеда аналогічні відомим властивостям паралелограма. Прямокутний паралелепіпед, що має рівні виміри, називаються кубом .У куба всі грані рівні квадрати.Квадрат діагоналі, дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів

,

де d – діагональ квадрата;
a – сторона квадрата.

Подання про призм дають:

• різні архітектурні споруди;
• дитячі іграшки;
• пакувальні коробки;
• дизайнерські предмети тощо.

Площа повної та бічної поверхні призми

Площа повної поверхні призминазивається сума площ усіх її граней Площа бічної поверхніназивається сума площ її бічних гранейТ.к. Основи призми - рівні багатокутники, їх площі рівні. Тому

S повн = S бік + 2S осн,

де S повний- площа повної поверхні, S бік-площа бічної поверхні, S осн- площа основи

Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми.

S бік= P осн * h,

де S бік-площа бічної поверхні прямої призми,

P осн - периметр основи прямої призми,

h - висота прямої призми, що дорівнює бічному ребру.

Обсяг призми

Обсяг призми дорівнює добутку площі основи висоту.