Як знайти площу поверхні утвореної обертанням. Площа поверхні обертання при параметрично заданій лінії

Дана формула називається формулою об'єму тіла за площею паралельних перерізів.

приклад. Знайти обсяг еліпсоїда x 2 + y 2 + z 2 = 1. a 2b 2c 2

Розтинаючи еліпсоїд площиною, паралельною площині Oyz і на відстані від неї (-а ≤х ≤а ), отримаємо еліпс (див. рис. 15):

Площа цього еліпса дорівнює

Тому, за формулою (16), маємо

Обчислення площі поверхні обертання

Нехай крива АВ є графіком функції = f (x) ≥ 0, де [а, b], a функція = f (x) і її похідна у" = f" (x) безперервні на цьому відрізку.

Тоді площа поверхні S, утвореної обертанням кривої АВ навколо осіОх обчислюється за формулою

Якщо крива АВ задана параметричними рівняннями = x (t), у = у (t), t 1 ≤ t ≤ t 2, то формула для площі поверхні обертання набуває вигляду

S x = 2 ?

Приклад Знайти площу поверхні кулі радіуса R. Рішення:

Можна вважати, що поверхня кулі утворена обертанням півкола y = R 2 − x 2 ,- R ≤х ≤R навколо осіОх. За формулою (19) знаходимо

2 π ∫ R2 − x2 + x2 dx= 2 π Rx− R R = 4 π R2 .

−R

Приклад. Дано циклоїду x = a (t − sin t), 0 ≤ t ≤ 2 π. y = a (1 - cost ) ,

Знайти площу поверхні, утвореної обертанням її навколо осі Ох. Рішення:

При обертанні половини дуги циклоїди навколо осі Ох площа поверхні обертання дорівнює

Обчислення довжини дуги плоскої кривої

Прямокутні координати

Нехай у дугу, коли число ланок ламаної необмежено зростає, а довжина найбільшого прямокутних координат дана плоска крива АВ, рівняння якої у = f(x), де, а ≤ х≤ b.

Під довжиною дуги АВ розуміється межа, якого прагне довжина ламаної лінії, вписаної у цю ланки її прагне нулю. Покажемо, що якщо функція у = f(x) та її похідна y′ = f′ (x) безперервні на відрізку [а,b], то криваАВ має довжину, рівну

Якщо рівняння кривої АВ встановлено у параметричній формі

x = x(t) , α ≤ t ≤ β , y= y(t) ,

де x (t) і y (t) - безперервні функції з безперервними похідними і x (α) = а, x (β) = b, то довжина кривої АВ знаходиться за формулою

Значить, l = 2π R. Якщо рівняння кола записати у параметричному вигляді = R cost, у = R sint (0 ≤t ≤ 2π ), то

Полярні координати

Нехай крива АВ задана рівнянням у полярних координатах r = r (ϕ), α ϕ ≤ β. Припустимо, щоr(ϕ) іr"(ϕ) безперервні на відрізку [α,β].

Якщо рівності х = r cosϕ ,у =r sinϕ , що пов'язують полярні і декартові координати,

параметром вважати кут ϕ , то криву АВ можна задати параметрично x = r (ϕ ) cos ϕ ,

y = r (ϕ) sinϕ.

Застосовуючи формулу (15), отримуємо l = r 2 + r 2 d ϕ .

Приклад Знайти довжину кардіоїди r =a (1 + cosϕ). Рішення:

Кардіоїда r =a (1 + cosϕ ) має вигляд, зображений на малюнку 14. Вона симетрична щодо полярної осі. Знайдемо половину довжини кардіоїди:

Отже, 1 2 l = 4 a . Значить, l = 8а.

Якщо крива задана параметричними рівняннями, то площа поверхні, отриманої обертанням даної кривої навколо осі, розраховується за формулою . При цьому «напрямок промальовування» лінії, про який було зламано стільки копій у статті, байдуже. Але, як і в попередньому пункті, важливо, щоб крива розташовувалася вищеосі абсцис – інакше функція , що «відповідає за ігреки», прийматиме негативні значення і перед інтегралом доведеться поставити знак «мінус».

Приклад 3

Обчислити площу сфери, отриманої обертанням кола навколо осі .

Рішення: із матеріалів статті про площу та об'єм при параметрично заданій лініїви знаєте, що рівняння задають коло із центром на початку координат радіуса 3.

Ну а сфера для тих, хто забув, – це поверхня кулі(або кульова поверхня).

Дотримуємось напрацьованої схеми рішення. Знайдемо похідні:

Складемо і спростимо «формульний» корінь:

Що й казати, вийшла цукерка. Ознайомтеся для порівняння, як Фіхтенгольц бадьорився з площею еліпсоїда обертання.

Відповідно до теоретичної ремарки, розглядаємо верхнє півколо. Вона промальовується при зміні значення параметра в межах (легко бачити, що на даному проміжку), таким чином:

Відповідь:

Якщо вирішити завдання у вигляді, то вийде точно шкільна формула площі сфери , де – її радіус.

Щось дуже просте завдання, навіть соромно стало…. пропоную вам виправити таку недоробку =)

Приклад 4

Обчислити площу поверхні, отриманої обертанням першої арки циклоїди навколо осі.

Завдання креативне. Намагайтеся вивести або інтуїтивно здогадатися про формулу обчислення площі поверхні, отриманої обертанням кривої навколо осі ординат. І, звісно, ​​знову слід зазначити перевагу параметричних рівнянь – їх треба якось видозмінювати; не потрібно морочитися зі знаходженням інших меж інтегрування.

Графік циклоїди можна переглянути на сторінці Площа та об'єм, якщо лінія задана параметрично. Поверхня обертання нагадуватиме… навіть не знаю з чим порівняти… щось неземне – округлої форми з гострим заглибленням посередині. Ось для випадку обертання циклоїди навколо осі асоціація в голову миттєво спала - довгастий м'яч для гри в регбі.

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Завершуємо наш цікавий огляд нагодою полярних координат. Так, саме огляд, якщо ви заглянете в підручники з математичного аналізу (Фіхтенгольца, Бохана, Піскунова, ін. авторів), то зможете роздобути добрий десяток (а то й помітно більше) стандартних прикладів, серед яких цілком можливо знайдеться потрібне завдання.

Як обчислити площу поверхні обертання,
якщо лінія задана у полярній системі координат?

Якщо крива задана в полярних координатахрівнянням , і функція має безперервну похідну на даному проміжку, площа поверхні, отриманої обертанням даної кривої навколо полярної осі, розраховується за формулою , де - Кутові значення, що відповідають кінцям кривої.

Відповідно до геометричного змісту завдання підінтегральна функція , а це досягається лише за умови (і свідомо невід'ємні). Отже, необхідно розглядати значення кута з діапазону , тобто крива повинна розташовуватися вищеполярної осі та її продовження. Як бачите, та сама історія, що й у двох попередніх параграфах.

Приклад 5

Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кардіоїди навколо полярної осі.

Рішення: графік даної кривої можна подивитися в Прикладі 6 уроку полярної системи координат. Кардіоїда симетрична щодо полярної осі, тому розглядаємо її верхню половинку на проміжку (що, власне, обумовлено і сказаним вище зауваженням).

Поверхня обертання нагадуватиме яблучко.

Техніка рішення стандартна. Знайдемо похідну за «фі»:

Складемо і спростимо корінь:

Сподіваюся, із заштатними тригонометричними формуламині в кого не виникло труднощів.

Використовуємо формулу:

На проміжку , отже: (про те, як правильно позбавлятися кореня, я докладно розповів у статті Довжина дуги кривої).

Відповідь:

Цікаве та коротке завдання для самостійного вирішення:

Приклад 6

Обчислити площу шарового пояса ,

Що таке кульовий пояс? Покладіть на стіл круглий апельсин неочищений і візьміть в руки ніж. Зробіть два паралельнихрозрізу, розділивши цим фрукт на 3 частини довільних розмірів. Тепер візьміть серединку, у якої соковита м'якоть оголилася з обох боків. Це тіло називається шаровим шаром, А обмежує її поверхню (помаранчева шкірка) - кульовим поясом.

Читачі, добре знайомі з полярними координатами, легко представили креслення завдання: рівняння задає коло з центром у полюсі радіуса, від якого промені відсікають меншудугу. Ця дуга обертається навколо полярної осі і таким чином виходить кульовий пояс.

Тепер можна з чистою совістю та легким серцем з'їсти апельсинку, на цій смачній ноті і завершимо заняття, не псувати вам апетит іншими прикладами =)

Рішення та відповіді:

Приклад 2:Рішення : обчислимо площу поверхні, утвореної обертанням верхньої гілки навколо осі абсцис. Використовуємо формулу .
В даному випадку: ;

Таким чином:


Відповідь:

Приклад 4:Рішення : використовуємо формулу . Перша арка циклоїди визначена на відрізку .
Знайдемо похідні:

Складемо і спростимо корінь:

Таким чином, площа поверхні обертання:

На проміжку тому

Перший інтегралінтегруємо частинами :

У другому інтегралі використовуємотригонометричну формулу .


Відповідь:

Приклад 6:Рішення : використовуємо формулу:


Відповідь:

Вища математика для заочників і не лише >>>

(Перехід на головну сторінку)

Як визначити певний інтеграл
за формулою трапецій та методом Сімпсона?

Чисельні методи - досить великий розділ вищої математики та серйозні підручники з цієї теми налічують сотні сторінок. На практиці, у контрольних роботах традиційно пропонуються для вирішення деякі завдання за чисельними методами, і одним із поширених завдань є наближене обчислення певних інтегралів. У цій статті я розгляну два методи наближеного обчислення певного інтегралу. метод трапеційі метод Сімпсона.

Що потрібно знати, щоб освоїти ці методи? Прозвучить кумедно, але можна взагалі не вміти брати інтеграли. І навіть взагалі не розуміти, що таке інтеграли. З технічних засобів буде потрібно мікрокалькулятор. Так-так, на нас чекають рутинні шкільні розрахунки. А ще краще – закачайте мій калькулятор-напівавтомат для методу трапецій та методу Сімпсона. Калькулятор написаний в Екселі і дозволить у десятки разів зменшити час вирішення та оформлення завдань. Для екселевський чайників додається відеомануал! До речі, перший відеозапис із моїм голосом.

Спочатку поставимо питання, а навіщо взагалі потрібні наближені обчислення? Начебто можна знайти первісну функцію і використовувати формулу Ньютона-Лейбніца, обчисливши точне значення певного інтеграла. Як відповідь питанням відразу розглянемо демонстраційний приклад із малюнком.

Обчислити певний інтеграл

Все було б добре, але в даному прикладі інтеграл не береться - перед вами так, що не береться, так званий інтегральний логарифм. А чи взагалі існує цей інтеграл? Зобразимо на кресленні графік підінтегральної функції:

Все нормально. Підінтегральна функція безперервнана відрізку та певний інтеграл чисельно дорівнює заштрихованій площі. Та ось тільки одна проблема – інтеграл не береться. І в подібних випадках на допомогу приходять чисельні методи. При цьому завдання зустрічається у двох формулюваннях:

1) Обчислити певний інтеграл приблизно , округляючи результат до певного знака після коми. Наприклад, до двох знаків після коми, до трьох знаків після коми тощо. Припустимо, вийшла наближена відповідь 5,347. Насправді він може бути не зовсім вірним (насправді, скажімо, точніша відповідь 5,343). Наше завдання складається лише в томудля округлення результату до трьох знаків після коми.

2) Обчислити певний інтеграл приблизно, з певною точністю. Наприклад, обчислити певний інтеграл приблизно з точністю до 0,001. Що це означає? Це означає, що якщо отримано наближену відповідь 5,347, то всіцифри мають бути залізобетонними правильними. А точніше кажучи, відповідь 5,347 повинна відрізнятись від істини по модулю (в той чи інший бік) не більше ніж на 0,001.

Існують кілька основних методів наближеного обчислення певного інтеграла, який зустрічається у завданнях:

Метод прямокутників. Відрізок інтегрування розбивається кілька частин і будується ступінчаста постать ( гістограма), яка за площею близька до шуканої площі:

Чи не судіть строго за креслення, точність не ідеальна - вони лише допомагають зрозуміти суть методів.

У даному прикладі проведено розбиття відрізка інтегрування на три відрізки:
. Очевидно, що чим частіше розбиття (більш дрібніших проміжних відрізків), тим вища точність. Метод прямокутників дає грубе наближення площі, мабуть, тому дуже рідко зустрічається на практиці (пригадав лише один практичний приклад). У зв'язку з цим я не розглядатиму метод прямокутників, і навіть не наведу просту формулу. Не тому, що ліньки, а через принцип мого рішника: що вкрай рідко зустрічається в практичних завданнях, то – не розглядається.

Метод трапецій. Ідея аналогічна. Відрізок інтегрування розбивається на кілька проміжних відрізків і графік підінтегральної функції наближається ламаноюлінією:

Таким чином наша площа (синя штрихування) наближається сумою площ трапецій (червоний колір). Звідси й назва методу. Легко помітити, що метод трапецій дає значно краще наближення ніж метод прямокутників (при однаковій кількості відрізків розбиття). І, природно, що більше дрібніших проміжних відрізків ми розглянемо, тим вище точність. Спосіб трапецій іноді зустрічається в практичних завданнях, і в цій статті буде розібрано кілька прикладів.

Метод Сімпсона (метод парабол). Це досконаліший спосіб – графік підінтегральної функції наближається не ламаною лінією, а дрібними параболками. Скільки проміжних відрізків – стільки й невеликих парабол. Якщо взяти самі три відрізка, то метод Сімпсона дасть ще більш точне наближення, ніж метод прямокутників або метод трапецій.

Креслення будувати не бачу сенсу, оскільки візуально наближення накладатиметься на графік функції (ламана лінія попереднього пункту – і то практично збіглася).

Завдання на обчислення певного інтеграла за формулою Сімпсона – найпопулярніше завдання практично. І методу парабол буде приділено значну увагу.

Вітаю вас, шановні студенти ВНЗ Аргемони!

Сьогодні ми продовжимо вчитися матеріалізації предметів. Минулого разу ми обертали плоскі фігури та отримували об'ємні тіла. Деякі з них - дуже привабливі і корисні. Думаю, що багато чого, що винаходить маг, можна надалі знайти застосування.

Сьогодні ми будемо обертати криві. Зрозуміло, що таким чином ми можемо отримати якийсь предмет з дуже тонкими гранями (колбочка або флакон для зіл, ваза для квітів, склянка для напоїв тощо), тому що крива, що обертається, саме такого роду предмети і може створити. Іншими словами, обертанням кривої ми можемо отримати якусь поверхню – замкнуту з усіх боків чи ні. Чому прямо зараз згадалася дірка, з якої весь час пив сер Шурф Лонлі-Локлі.

Ось ми і створимо діряву чашу і недиряву, і підрахуємо площу створеної поверхні. Думаю, для чогось вона (взагалі площа поверхні) буде потрібна - ну хоча б для нанесення спеціальної магічної фарби. А з іншого боку, площі магічних артефактів можуть знадобитися для розрахунку прикладених до них магічних сил чи ще чогось. Ми навчимося це знаходити, а вже де застосувати – знайдемо.

Отже, форму чаші цілком може дати шматок параболи. Візьмемо найпростішу y=x2 на проміжку. Видно, що при обертанні її навколо осі OY виходить саме чаша. Без дна.

Заклинання для розрахунку площі поверхні обертання виглядає так:

Тут | y | - це відстань від осі обертання до будь-якої точки кривої, що обертається. Як відомо, відстань – це перпендикуляр.
Дещо важче з другим елементом заклинання: ds - це диференціал дуги. Ці слова нам нічого не дають, тому не морочимось, а перейдемо на мову формул, де цей диференціал явно представлений для всіх відомих нам випадків:
- Декартової системи координат;
- записи кривої у параметричному вигляді;
- Полярної системи координат.

Для нашого випадку відстань від осі обертання до будь-якої точки на кривій дорівнює х. Вважаємо площу поверхні дірявої чаші, що вийшла:

Щоб зробити чашу з дном, потрібно взяти ще шматочок, але інший кривій: на інтервалі це лінія y=1.

Зрозуміло, що з її обертанні навколо осі OY вийде денце чаші як кола одиничного радіусу. І ми знаємо, як вважається площа кола (за формулою пі*r^2. Для нашого випадку площа кола дорівнюватиме пі), але обчислимо його за новою формулою - для перевірки.
Відстань від осі обертання до будь-якої точки цього шматочка кривої також дорівнює х.

Ну ось, розрахунки наші вірні, що тішить.

А зараз домашнє завдання.

1. Знайти площу поверхні, отриманої обертанням ламаної ABC, де A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2) навколо осі ОХ.
Порада. Записати всі відрізки у параметричному вигляді.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
До речі, на що схожий предмет, що вийшов?

2. Ну, а тепер придумайте щось самі. Трьох предметів, гадаю, вистачить.

Тому відразу перейду до основних понять та практичних прикладів.

Подивимося на лаконічну картинку

І згадаємо: що можна обчислити за допомогою певного інтегралу?

Насамперед, звичайно, площа криволінійної трапеції. Знайоме зі шкільних часів.

Якщо ж ця фігура обертається навколо координатної осі, то вже йдеться про знаходження об'єму тіла обертання. Теж просто.

Що ще? Нещодавно була розглянута завдання про довжину дуги кривої .

І сьогодні ми навчимося розраховувати ще одну характеристику – ще одну площу. Уявіть, що лінія обертаєтьсянавколо осі. Внаслідок цієї дії виходить геометрична фігура, звана поверхнею обертання. У цьому випадку вона нагадує такий горщик без дна. І без кришки. Як би сказав ослик Іа-Іа, несамовите видовище =)

Щоб виключити двозначне трактування, зроблю занудне, але важливе уточнення:

з геометричного погляду наш «горщик» має нескінченно тонкустінку та двіповерхні з однаковими площами – зовнішню та внутрішню. Так ось, всі подальші викладки мають на увазі площу тільки зовнішньої поверхні.

У прямокутній системі координат площа поверхні обертання розраховується за такою формулою:

або, якщо компактніше: .

До функції та її похідної пред'являються ті самі вимоги, що й під час перебування довжини дуги кривої, але, крім того, крива повинна розташовуватися вищеосі. Це суттєво! Неважко зрозуміти, що якщо лінія розташовується підвіссю, то підінтегральна функція буде негативною: , І тому до формули доведеться додати символ «мінус» щоб зберегти геометричний зміст завдання.

Розглянемо незаслужено обійдену увагою фігуру:

Площа поверхні тора

У двох словах, тор - це бублик. Хрестоматійний приклад, що розглядається практично у всіх підручниках з матану, присвячений знаходженню обсягутора, і тому з метою різноманітності я розберу більш рідкісне завдання про площі його поверхні. Спочатку з конкретними числовими значеннями:

Приклад 1

Обчислити площу поверхні тора, отриманого обертанням кола навколо осі.

Рішення: як ви знаєте, рівняння ставить колоодиничного радіусу з центром у точці. При цьому легко отримати дві функції:

- Задає верхню півколо;
- Задає нижню півколо:

Суть кристально прозора: колообертається навколо осі абсцис та утворює поверхнябублик. Єдине, тут, щоб уникнути грубих застережень, слід виявити акуратність у термінології: якщо обертати коло, обмежений колом , то вийде геометричне тіло, тобто сам бублик. І зараз розмова про площу його поверхні, яку, очевидно, потрібно розрахувати як суму площ:

1) Знайдемо площу поверхні, яка виходить обертанням «синьої» дуги навколо осі абсцис. Використовуємо формулу . Як я вже неодноразово радив, дії зручніше проводити поетапно:

Беремо функцію і знаходимо її похідну:

І, нарешті, заряджаємо результат у формулу:

Зауважте, що в даному випадку виявилося раціональнішим подвоїти інтеграл від парної функціїпо ходу рішення, ніж попередньо міркувати про симетрію фігури щодо осі ординат.

2) Знайдемо площу поверхні, яка виходить обертанням «червоної» дуги навколо осі абсцис. Всі дії відрізнятимуться фактично лише одним знаком. Оформлю рішення в іншому стилі, що, само собою, теж має право на життя:


3) Таким чином, площа поверхні тора:

Відповідь:

Завдання можна було вирішити в загальному вигляді - обчислити площу поверхні тора, отриманого обертанням кола навколо осі абсцис, і отримати відповідь . Однак для наочності та більшої простоти я провів рішення на конкретних числах.

Якщо вам необхідно розрахувати обсяг самого бублика, будь ласка, зверніться до підручника як експрес-довідку:

Відповідно до теоретичної ремарки, розглядаємо верхнє півколо. Вона промальовується при зміні значення параметра в межах (легко бачити, що на даному проміжку), таким чином:

Відповідь:

Якщо вирішити завдання у вигляді, то вийде точно шкільна формула площі сфери , де – її радіус.

Щось дуже просте завдання, навіть соромно стало…. пропоную вам виправити таку недоробку =)

Приклад 4

Обчислити площу поверхні, отриманої обертанням першої арки циклоїди навколо осі.

Завдання креативне. Намагайтеся вивести або інтуїтивно здогадатися про формулу обчислення площі поверхні, отриманої обертанням кривої навколо осі ординат. І, звісно, ​​знову слід зазначити перевагу параметричних рівнянь – їх треба якось видозмінювати; не потрібно морочитися зі знаходженням інших меж інтегрування.

Графік циклоїди можна переглянути на сторінці Площа та об'єм, якщо лінія задана параметрично. Поверхня обертання нагадуватиме… навіть не знаю з чим порівняти… щось неземне – округлої форми з гострим заглибленням посередині. Ось для випадку обертання циклоїди навколо осі асоціація в голову миттєво спала - довгастий м'яч для гри в регбі.

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Завершуємо наш цікавий огляд нагодою полярних координат. Так, саме огляд, якщо ви заглянете в підручники з математичного аналізу (Фіхтенгольца, Бохана, Піскунова, ін. авторів), то зможете роздобути добрий десяток (а то й помітно більше) стандартних прикладів, серед яких цілком можливо знайдеться потрібне завдання.

Як обчислити площу поверхні обертання,
якщо лінія задана у полярній системі координат?

Якщо крива задана в полярних координатахрівнянням , і функція має безперервну похідну на даному проміжку, площа поверхні, отриманої обертанням даної кривої навколо полярної осі, розраховується за формулою , де - Кутові значення, що відповідають кінцям кривої.

Відповідно до геометричного змісту завдання підінтегральна функція , а це досягається лише за умови (і свідомо невід'ємні). Отже, необхідно розглядати значення кута з діапазону , тобто крива повинна розташовуватися вищеполярної осі та її продовження. Як бачите, та сама історія, що й у двох попередніх параграфах.

Приклад 5

Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кардіоїди навколо полярної осі.

Рішення: графік даної кривої можна подивитися в Прикладі 6 уроку полярної системи координат. Кардіоїда симетрична щодо полярної осі, тому розглядаємо її верхню половинку на проміжку (що, власне, обумовлено і сказаним вище зауваженням).

Поверхня обертання нагадуватиме яблучко.

Техніка рішення стандартна. Знайдемо похідну за «фі»:

Складемо і спростимо корінь:

Сподіваюся, із заштатними