Як написати параметричне рівняння прямої. Параметричні рівняння прямої на площині: опис, приклади, розв'язання задач

Рівняння, яке, крім невідомої величини, містить також іншу додаткову величину, яка може приймати різні значення з деякої області, називається параметричним. Ця додаткова величина в рівнянні називається параметр. Насправді з кожним параметричним рівнянням може бути написано багато рівнянь. Ми розглянемо модуль параметричного рівняння та розв'язання простих параметричних рівнянь.

Завдання 1Розв'яжіть рівняння щодо $x$
A) $x + a = 7$
B) $2x + 8a = 4$
C) $ x + a = 2a - x $
D) $ax = 5$
E) $a – x ​​= x + b$
F) $ax = 3a$

Рішення:

A) $x + a = 7 \Leftrightarrow x = 7 – a$, тобто рішення до цього рівняння знайдено.
Для різних значень параметрів рішення є $x = 7 – a$

B) $2x + 8a = 4 \Leftrightarrow 2x = 4 - 8a \Leftrightarrow x = 2 - 4a$

C) $x + a = 2a - x \Leftrightarrow x + x = 2a - a \Leftrightarrow 2x = a \Leftrightarrow x = \frac(a)(2)$

D) $ax = 5$, коли а відрізняється від 0 ми можемо розділити обидві частини на a і ми отримаємо $x = 5$
Якщо $a = 0$, ми отримаємо рівняння, таке як $0.x = 5$, яке не має рішення;

E) $a - x = x + b \Leftrightarrow a - b = x + x \Leftrightarrow 2x = a - b \Leftrightarrow x = \frac(a-b)(2)$

F) Коли a = 0 рівняння ax = 3a дорівнює 0.x = 0
Тому будь-яке x є рішенням. Якщо a відрізняється від 0, тоді
$ax = 3a \Leftrightarrow x = \frac(3a)(a) \Leftrightarrow x = 3$

Завдання 2Якщо a є параметром, розв'яжіть рівняння:
A) $(a + 1)x = 2a + 3$
B) $2a + x = ax + 4$
C) $a^2x - x = a$
D) $a^2x + x = a$

Рішення:

A) Якщо $a + 1$ відмінно від 0, тобто. $a \neq -1$,
тоді $x = \frac(2a+3)(a+1)$;
якщо $a + 1 = 0$, i.e. $a = - 1$
рівняння набуває вигляду $0\cdot x = (2)\cdot(-1) + 3 \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 1$, що немає рішення;

B) $2a + x = ax + 4 \Leftrightarrow$
$x – ax = 4 - 2a \Leftrightarrow$
$(1 – a)\cdot x = 2(2 – a)$
Якщо $(1 – a) \neq 0$, тобто a $\neq 1$; рішення буде
$x = \frac(2(2 - a))((1 - a))$;
Якщо $a = 1$ рівняння набуде вигляду $0\cdot x = 2(2 - 1) \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 2$, що немає рішення

C) $a^2x – x = a \Leftrightarrow$
$x(a^2 -1) = a \Leftrightarrow$
$(a - 1)(a + 1)x = a$
Якщо $a - 1 \neq 0$ і $a + 1 \neq 0$ тобто $a \neq 1, -1$,
рішенням є is $x = \frac(a)((a - 1)(a + 1))$
Якщо $a = 1$ or $a = -1$, рівняння набуває вигляду is $0\cdot x = \pm 1$, що не має рішення

D) $a^2x + x = a \Leftrightarrow$
$(a^2 + 1)x = a$
У цьому випадку $a^2 + 1 \neq 0$ для будь-якого $а$, тому що це сума позитивного числа (1) і одного негативного числа
$(a^2 \geq 0)$ тому $x = \frac(a)(a^2 + 1)$

Завдання 3Якщо a and b є параметрами, розв'яжіть рівняння:
A) $ax + b = 0$
B) $ax + 2b = x$
C) $ (b - 1) y = 1 - a $
D) $(b^2 + 1)y = a + 2$

Рішення:

A) $ax + b = 0 \Leftrightarrow ax = -b$
Якщо $a \neq 0$, тоді рішення є $x = -\frac(b)(a)$.
Якщо $a = 0, b \neq 0$, рівняння набуває вигляду $0\cdot x = -b$ і не має рішення.
Якщо $a = 0$ і $b = 0$, рівняння набуває вигляду $0\cdot x = 0$ і будь-яке $x$ є рішенням;

B) $ax + 2b = x \Leftrightarrow ax - x = -2b \Leftrightarrow (a - 1)x = -2b$
Якщо $a - 1 \neq 0$, i.e. $a \neq 1$, рішення є is $x = -\frac(2b)(a-1)$
Якщо $a - 1 = 0$, тобто $a = 1$, і $b \neq 0$, рівняння набуває вигляду $0\cdot x = - 2b$ і не має рішення

C) Якщо $b - 1 \neq 0$, тобто $b \neq 1$,
рішенням є $y = \frac(1-a)(b-1)$
Якщо $b - 1 = 0$, тобто $b = 1$, але $1 - a \neq 0$,
тобто $a \neq 1$, рівняння набуває вигляду $0\cdot y = 1 – a$ і не має рішення.
Якщо $b = 1$ і $a = 1$ рівняння набуває вигляду $0\cdot y = 0$ і будь-яке $y$ є рішенням

D) $b^2 + 1 \neq 0$ для будь-якого $b$(чому?), тому
$y = \frac(a+2)(b^2)$ є рішенням рівняння.

Завдання $4$Для яких значень $x$ такі вирази мають рівні значення:
A) $5x + a$ і $3ax + 4$
B) $2x - 2$ і $4x + 5a$

Рішення:

Щоб отримати однакові значення, ми повинні знайти рішення рівнянь
$5x + a = 3ax + 4$ і $2x – 2 = 4x + 5a$

A) $5x + a = 3ax + 4 \Leftrightarrow$
$5x - 3ax = 4 – a \Leftrightarrow$
$ (5 - 3a) x = 4 - a $
Якщо $5 - 3a \neq 0$, тобто. $a \neq \frac(5)(3)$, рішення є $x = \frac(4-a)(5-3a)$
Якщо $5 - 3a = 0$, тобто. $a = \frac(5)(3)$, рівняння набуває вигляду $0\cdot x = 4 – \frac(5)(3) \Leftrightarrow$
$0\cdot x = \frac(7)(3)$, що немає рішення

B) $2x - 2 = 4x + 5a \Leftrightarrow$
$-2 - 5a = 4x - 2x \Leftrightarrow$
$2x = - 2 - 5a \Leftrightarrow$
$x = -\frac(2+5a)(2)$

Завдання 5
A) $ | ax + 2 | = 4 $
B) $ | 2x + 1 | = 3a $
C) $ | ax + 2a | = 3 $

Рішення:

A) $ | ax + 2 | = 4 \Leftrightarrow ax + 2 = 4$ або $ax + 2 = -4 \Leftrightarrow$
$ax = 2$ або $ax = - 6$
Якщо $a \neq 0$, рівняння набудуть вигляду $x = \frac(2)(a)$ or $x = -\frac(6)(a)$
Якщо $a = 0$, рівняння не маю рішення

B) Якщо $a Якщо $a > 0$, це еквівалентно $2x + 1 = 3a$
або $2x + 1 = -3a \Leftrightarrow 2x = 3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac(3a-1)(2)$ or
$2x = -3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac(3a-1)(2) = -\frac(3a-1)(2)$

C) $ | ax + 2a | = 3 \Leftrightarrow ax + 2a = 3$ або $ax + 2a = - 3$,
і ми знаходимо $ax = 3 - 2a$ або $ax = -3 - 2a$
Якщо a = 0, тоді немає рішень, якщо $a \neq 0$
рішеннями є: $x = \frac(3-2a)(a)$ і $x = -\frac(3+2a)(a)$

Завдання 6Розв'яжіть рівняння $2 – x = 2b – 2ax$, де a та b є дійсними параметрами. Знайдіть, для яких значеннях a рівняння має як розв'язання натуральне число, якщо $b = 7$

Рішення:

Представимо дане рівняння у такому вигляді: $(2a - 1)x = 2(b - 1)$
Можливі такі варіанти:
Якщо $2a - 1 \neq 0$, тобто. $a \neq \frac(1)(2)$, рівняння має єдине рішення
$x = \frac(2(b-1))(2a-1)$
Якщо $a = \frac(1)(2)$ і $b = 1$, рівняння набуває вигляду $0\cdot x = 0$ і будь-яке $x$ є рішенням
Якщо $a = \frac(1)(2)$ і $b \neq 1$, ми отримуємо $0\cdot x = 2(b - 1)$, де $2(b - 1) \neq 0$
І тут рівняння немає рішення.
Якщо $b = 7$ і $a \neq \frac(1)(2)$ є єдиним рішенням
$x = \frac(2(7-1))(2a-1) = \frac(12)(2a-1)$
Якщо a ціле число, тоді $2a - 1$ також є цілим числом і рішенням є
$x = \frac(12)(2a-1)$ є натуральним числом коли
$2a - 1$ є позитивним дільником для $12$.
Щоб a було цілим числом, дільник числа $12$ має бути непарним. Але тільки $1$ і $3$ є позитивними непарними числами, на які ділиться12
Тому $2a - 1 = 3 \Leftrightarrow a = 2$ або $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow$
$a = 1 a = 2$ або $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow a = 1$

Завдання 7Розв'яжіть рівняння $|ax - 2 – a| = 4 $, де є параметром. Знайдіть, на яких значеннях корінням рівняння є цілі негативні числа.

Рішення:

З визначення модуля ми отримуємо
$ | ax - 2 - x | = 4 \Leftrightarrow ax - 2 - x = 4 $ або $ax - 2 - x = - 4 $
З першої рівності ми отримуємо $x(a - 1) - 2 = 4 \Leftrightarrow$
$(a - 1)x = 4 + 2 \Leftrightarrow (a - 1)x = 6$
З другої рівності ми отримуємо $(a - 1)x = -2$
Якщо $a – 1 = 0$, тобто. $a = 1$, останнє рівняння немає рішення.
Якщо $a \neq 1$ ми бачимо, що $x = \frac(6)(a-1)$ або $x = -\frac(2)(a-1)$
Щоб це коріння було цілими негативними числами, має виконуватися таке:
Для першого рівність $a - 1$ має бути негативним дільником 6, і другого - позитивним дільникам 2
Тоді $a – 1 = -1; -2; -3; - 6$ або $a - 1 = 1; 2$
Ми отримуємо $a - 1 = -1 \Leftrightarrow a = 0; a - 1 = -2 \Leftrightarrow$
$a = -1; a - 1 = -3 \Leftrightarrow a = -2; a - 1 = -6 \Leftrightarrow a = -5$
або $a - 1 = 1 \ Leftrightarrow a = 2; a - 1 = 2 \Leftrightarrow a = 3$
Тоді $a = -5; -2; -1; 0; 2; 3 $ є рішеннями завдання.

Завдання 8Розв'яжіть рівняння:
A) $3ax – a = 1 – x$, де a це параметр;
B) $2ax + b = 2 + x$, де a та b є параметрами

Рішення:

A) $3ax + x = 1 + a \Leftrightarrow (3a + 1)x = 1 + a$.
Якщо $3a + 1 \neq 0$, тобто. $a \neq -11 /3 /3$ , рішення є
$x = \frac(1+a)(3a+1)$
Якщо $a = -\frac(1)(3)$ рівняння набуває вигляду $0\cdot x = \frac(1.1)(3)$, що немає рішення.

B) $2ax – x = 2 – b \Leftrightarrow (2a - 1)x = 2 – b$
Якщо $2a - 1 \neq 0$, тобто. $a \neq \frac(1)(2), x = \frac(2-b)(2a-1)$ є рішенням.
Якщо $a = \frac(1)(2)$ рівняння набуває вигляду $0.x = 2 – b$
Тоді якщо $b = 2$, будь-яке x є рішенням, якщо $b \neq 2$, рівняння не має рішення.

Завдання 9Дано рівняння $6(kx - 6) + 24 = 5kx$ , де до - ціле число. Знайдіть для яких значень k рівняння:
A) має корінь $-\frac(4)(3)$
B) немає рішення;
C) має коріння як натуральне число.

Рішення:

Перепишемо рівняння у вигляді $6kx - 36 + 24 = 5kx \Leftrightarrow kx = 12$

A) Якщо $x = -\frac(4)(3)$, для k ми отримаємо рівняння $-\frac(4)(3k) = 12 \Leftrightarrow k = - 9$

B) Рівняння $kx = 12$ немає рішення, коли $k = 0$

C) Коли $k \neq 0$ є коренем $x = \frac(12)(k)$ і це натуральне число, якщо k є цілим позитивним числом, на яке ділиться 12, тобто. $k = 1, 2, 3, 4, 6, 12$

Завдання 10Розв'яжіть рівняння:
A) $2ax + 1 = x + a$, де a є параметром;
B) $2ax + 1 = x + b$, де a та b є параметрами.

Рішення:

A) $2ax + 1 = x + a \Leftrightarrow 2ax - x = a - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = a - 1$
Якщо $2a - 1 \neq 0$, тобто. $a \neq \frac(1)(2)$, єдиним рішенням рівняння є
$x = \frac(a-1)(2a-1)$
Якщо $2a - 1 = 0$, тобто. $a = \frac(1)(2)$, рівняння набуває вигляду
$0.x = \frac(1)(2)- 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(2)$, що немає рішення

B) $2ax + 1 = x + b \Leftrightarrow$
$2ax – x = b - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = b - 1$
Якщо $2a - 1 \neq 0$, тобто. $a \neq \frac(1)(2)$, рішенням є
$x = \frac(b-1)(2a-1)$
Якщо $a = \frac(1)(2)$, рівняння еквівалентно $0.x = b - 1$
Якщо b = 1, будь-яке x є рішенням, якщо $b \neq 1$ тоді немає рішення.

Завдання 11Дано рівняння $3(ax – 4) + 4 = 2ax$, де параметром є цілим числом. Знайдіть, для яких значень a рівняння як коріння має:
А) $ \ left (- \ frac (2) (3) \ right) $
B) ціле число
C) натуральне число

Рішення:

A) Якщо $x = -\frac(2)(3)$ є рішенням рівняння, тоді має бути дійсним
$3\left + 4 = 2a\left(-\frac(2)(3)\right) \Leftrightarrow$
$-2a - 12 + 4 = -\frac(4a)(3) \Leftrightarrow$
$\frac(4a)(3) - 2a = 8 \Leftrightarrow \frac(4a-6a)(3) = 8 \Leftrightarrow$
$-\frac(2a)(3) = 8 \Leftrightarrow a = -12$

B) $3(ax - 4) + 4 = 2ax \Leftrightarrow 3ax - 2ax = 12 - 4 \Leftrightarrow ax = 8$
Якщо $a \neq 0$ рішенням є $x = \frac(8)(a)$, це ціле число, якщо а є ділимим числом $8$.
Тому; $±2; ±4; ±8$
Якщо $a=0$, рівняння немає рішення

C) Щоб отримати натуральне (ціле позитивне) число для цього рішення $x=\frac(8)(a)$ число має дорівнювати: $a=1, 2, 4, 8$

Завдання 12Дано рівняння $2 – x = 2b – 2ax$, де $a$ та $b$ – параметри. Знайдіть для яких значень a рівняння має рішення у вигляді натурального числа, якщо $b = 7$

Рішення:

До рівняння ми підставляємо $b = 7$ і отримуємо $2 – x = 2.7 - 2ax \Leftrightarrow$
$2ax – x = 14 – 2 \Leftrightarrow (2a - 1)x = 12$
Якщо $2a -1 \neq 0$, тобто. $a \neq \frac(1)(2)$, рівняння набуде вигляду
$x = \frac(12)(2a-1)$ і це буде натуральне число, якщо знаменник $2a - 1$ є позитивним ділимим $12$ і крім того, щоб воно було цілим числом, необхідно, щоб $2a - 1$ було непарним числом.
Тому $2a - 1$ може бути $1$ або $3$
З $2a - 1 = 1 \ Leftrightarrow 2a = 2 \ Leftrightarrow a = 1 $ і $ 2a - 1 = 3 $
$\Leftrightarrow 2a = 4 \Leftrightarrow a = 2$

Завдання 13Дано функцію $f(x) = (3a - 1)x - 2a + 1$, де a - параметр. Знайдіть для яких значень a графік функції:
А) перетинає вісь абсцис;
B) перетинає вісь абсцис

Рішення:

Щоб графік функції перетнув вісь абсцис, необхідно, щоб
$ (3a - 1) \ cdot x -2a + 1 = 0 $ мало рішення і не мало рішення для неперетину осі абсцис.
З рівняння ми отримуємо $(3a - 1)x = 2a - 1$
Якщо $3a - 1 \neq 0$, тобто. $a \neq \frac(1)(3)$, рівняння має рішення
$x = \frac(2a-1)(3a-1)$, тому графік функції перетинає вісь абсцис.
Якщо $a = \frac(1)(3)$, ми отримуємо $0.x = \frac(2)(3) - 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(3)$, що не має рішення.
Тому якщо $a = \frac(1)(3)$, графік функцій не перетинає вісь абсцис.

Завдання 14Розв'яжіть параметричне рівняння:
A) $ | x -2 | = a$
B) $ | ax -1 | = 3 $
C) $ | ax - 1 | = a - 2 $

Рішення:

A) Якщо $a 0$ ми отримуємо:
$ | x - 2 | = a \Leftrightarrow x - 2 = a$ або $x - 2 = -a$
З $ x - 2 = a Rightarrow x = a + 2 $, і з
$x - 2 = -a \Rightarrow x = 2 - a$
Якщо $a = 0$, тоді $x - 2 = 0$ або $x = 2$

B) $ | ax - 1 | = 3 \Leftrightarrow ax - 1 = 3$ або $ax - 1 = -3$
звідки $ax = 4$ або $ax = - 2$
Якщо $a \neq 0$ рішення: $x = \frac(4)(a)$ or $x = -\frac(2)(a)$
Якщо $a = 0$, тут немає рішення

C) Якщо $a - 2 Якщо $a - 2 > 0$, тобто. $a > 2$ ми отримуємо
$ | ax - 1 | = a - 2 \Leftrightarrow ax - 1 = a - 2$ або $ax - 1 = 2 - а$
Отже, ми отримуємо $ax = a - 1$ або $ax = 3 - a$
Тому що $a > 2, a \neq 0$, therefore
$x = \frac(a-1)(a)$ або $x = \frac(3-a)(a)$.
Якщо $a = 2$, рівняння еквівалентно
$2x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac(1)(2)$

Завдання 15Знайдіть, для яких значень параметра m (a), два рівняння еквівалентні:
A) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ і $(-x - 1) ^2 - 1 = x^2$
B) $ frac (x + m) (2) = 1 - m $ і $ frac (x - m) (3) = 1 - 2 m $
C) $ | 3 - x | + x^2 -5x + 3 = 0$ і $ax + 2a = 1 + x$, якщо $x > 3$

Рішення:

A) Розв'яжемо друге рівняння. Запишемо його у вигляді:
$(-x - 1)^2 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$[(-1)(x + 1) ]^2 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$x^2 ​​+ 2x + 1 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$2x = 0 \Leftrightarrow x = 0$
Для першого ми отримаємо
$\frac(x+m)(2) = 1 – m \Leftrightarrow x + m = 2 - 2m \Leftrightarrow x = 2 - 3m$
Ці два рівняння еквівалентні, якщо вони мають однакове коріння, тобто.
$2 - 3m = 0 \Leftrightarrow$ $m = \frac(2)(3)$

B) Для першого рівняння рішенням є $х = 2 - 3m$ і для другого ми отримаємо
$x – m = 3 - 6m \Leftrightarrow$ $x = 3 – 5m$
Вони мають однакове коріння, коли
$2 - 3m = 3 - 5m \Leftrightarrow 5m - 3m = 3 - 2 \Leftrightarrow 2m = 1 \Leftrightarrow m = \frac(1)(2)$

C) Оскільки $x > 3, 3 – x $|3 – x| = -(3 - x) = x - 3 $
Перше рівняння виглядатиме так: $x - 3 + x^2 – 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow$
$x^2 ​​- 4x – 0 \Leftrightarrow x(x - 4) = 0 \Leftrightarrow$
$x = 0$ або $x = 4$
З умовою, що $х> 3$, тож лише $x = 4$ є рішенням. Для другого рівняння ми отримуємо
$ax – x = 1 - 2a \Leftrightarrow (a - 1)x = 1 - 2a$
Якщо $a - 1 = 0$, тут немає рішення (Чому?), якщо $a - 1 \neq 0$, i.e. $a \neq 1$, рішенням є
$x = \frac(1-2a)(a-1)$ Ці два рівняння будуть рівні, якщо $4 = \frac(1-2a)(a-1) \Leftrightarrow$ $4(a - 1) = 1 - 2a \Leftrightarrow 4a + 2a = 1 + 4 \Leftrightarrow 6a = 5 \Leftrightarrow a = \frac(5)(6)$

Прирівнюючи в канонічних рівняннях прямий кожний із дробів деякому параметру t:

Отримаємо рівняння, що виражають поточні координати кожної точки прямої через параметр t.

таким чином параметричні рівняння прямої мають вигляд:

Рівняння прямої через дві задані точки.

Нехай задані дві точки М1 (x 1, y 1, z 1)та М 2 (x 2, y 2, z 2). Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки, виходять так само, як аналогічне таке рівняння на площині. Тому відразу наведемо вигляд цього рівняння.

Пряма на перетині двох площин. Загальне рівняння прямої у просторі.

Якщо розглянути дві не паралельні площини, їх перетином буде пряма.

Якщо нормальні вектори і неколенеарні.

Нижче при розгляді прикладів ми покажемо спосіб перетворення таких рівнянь до канонічних рівнянь.

5.4 Кут між двома прямими. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих.

Кутом між двома прямими в просторі будемо називати будь-який з кутів, утворених двома прямими, проведеними через довільну точку паралельно даним.

Нехай дві прямі задано своїми канонічними рівняннями.

За кут між двома прямими приймемо кут між напрямними векторами.

І

Умова перпендикулярності двох прямих зводиться до умови перпендикулярності напрямних векторів і , тобто до рівності нулю скалярного твору: або в координатній формі: .

Умова паралельності двох прямих зводиться до умови паралельності їх напрямних векторів

5.5 Взаємне розташування прямої та площини.

Нехай задані рівняння прямої:

та площині. Кутом між прямою та площиною будемо називати будь-який із двох суміжних кутів, утворених прямою та її проекцією на площину (Рис 5.5).

Рис 5.5

У разі перпендикулярності прямої до площини напрямний вектор прямий та нормальний вектор до площини колінеарні. Таким чином, умова перпендикулярності прямої та площини зводиться до умови колінеарності векторів.

У разі паралельності прямої та площини їх зазначені вище вектори взаємно перпендикулярні. Тому умова паралельності прямої та площини зводиться до умови перпендикулярності векторів; тобто. їх скалярний добуток дорівнює нулю чи координатної формі: .

Нижче розглянуто приклади вирішення завдань, пов'язаних із темою глави 5.

Приклад 1:

Скласти рівняння площини, що проходить через точку А (1,2,4) перпендикулярну до прямої, заданої рівнянням:

Рішення:

Скористаємося рівнянням площини, що проходить через задану точку, перпендикулярну заданому вектору.

А(х-х 0)+В(у-у 0)+З(z-z 0)=0

Як точка візьмемо точку А (1,2,4), через яку проходить за умовою площину.

Знаючи канонічні рівняння прямої, ми знаємо вектор, паралельний прямий.

В силу того, що за умовою пряма перпендикулярна площині, що шукає, напрямний вектор може бути взятий в якості нормального вектора площини.

Таким чином, рівняння площини отримаємо у вигляді:

2(х-1)+1(у-2)+4(z-4)=0

2х+у+4z-16=0

2х+у+4z-20=0

Приклад 2:

Знайти на площині 4х-7у+5z-20=0таку точку Р, на яку ОР становить з осями координат однакові кути.

Рішення:

Зробимо схематичне креслення. (Мал. 5.6)

у

Рис 5.6

Пуст точка Р має координати. Оскільки вектор становить однакові кути з осями координат, то напрямні косинуси цього вектора рівні між собою

Знайдемо проекції вектора:

тоді легко знаходяться напрямні косинуси цього вектора.

З рівності напрямних косінусів випливає рівність:

х р = у р = z р

Так як точка Р лежить на площині, то підстановка координат цієї точки рівняння площині перетворює його на тотожність.

4х р -7х р +5х р -20 = 0

2х р = 20

х р = 10

Відповідно: у р=10; z р=10.

Таким чином шукана точка Р має координати Р(10; 10; 10)

Приклад 3:

Дано дві точки А (2,-1,-2) і В (8,-7,5). Знайти рівняння площини, що проходить через точку, перпендикулярну відрізку АВ.

Рішення:

Для вирішення задачі скористаємось рівнянням площини, що проходить через задану точку перпендикулярну заданому вектору.

А(х-х 0)+В(у-у 0)+C(z-z 0)=0

В якості точки використовуємо точку (8,-7,5), а в якості вектора, перпендикулярного площині вектор . Знайдемо проекції вектора:

тоді рівняння площини отримаємо у вигляді:

6(х-8)-6(у+7)+7(z-5)=0

6х-48-6у-42+7z-35=0

6х-6у+7z-35=0

6х-6у+7z-125=0

Приклад 4:

Знайти рівняння площини, паралельної осі Y і проходить через точки К(1,-5,1) і М(3,2,-2).

Рішення:

Так як площина паралельна осі ОY, то скористаємося неповним рівнянням площини.

Ax+Cz+D=0

З огляду на те, що точки К і М лежать на площині, отримаємо дві умови.

Виразимо з цих умов коефіцієнти А і через D.

Підставимо знайдені коефіцієнти в неповне рівняння площини:

оскільки , то скорочуємо D:

Приклад 5:

Знайти рівняння площини через три точки М(7,6,7), К(5,10,5), R(-1,8,9)

Рішення:

Скористаємося рівнянням площини, що проходить через 3 задані точки.

підставляючи координати точок М,К,R як першої, другої та третьої отримаємо:

розкриємо визначник по 1-му рядку.

Приклад 6:

Знайти рівняння площини, що проходить через точки М1 (8,-3,1); М 2 (4,7,2) і перпендикулярно до площини 3х+5у-7z-21=0

Рішення:

Зробимо схематичне креслення (Рис 5.7)

Рис 5.7

Позначимо задану площину Р 2, а потрібну площину Р 2. . З рівняння заданої площини Р 1 визначаємо проекції вектора перпендикулярного площині Р 1.

Вектор шляхом паралельного перенесення може бути переміщений у площину Р 2 так як за умовою завдання площина Р 2 перпендикулярна площині Р 1 , а це означає вектор паралельний площині Р 2 .

Знайдемо проекції вектора, що лежить у площині Р 2:

тепер ми маємо два вектори та , що лежать у площині Р 2 . очевидно вектор , рівний векторному добутку векторів і буде перпендикулярний площині Р 2 тому що він перпендикулярний і тому його нормального вектора площини Р 2.

Вектори задані своїми проекціями тому:

Далі використовуємо рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярну вектору. Як точку можна взяти будь-яку з точок М 1 або М 2 наприклад М 1 (8,-3,1); Як нормальний вектор до площини Р 2 беремо .

74(х-8)+25(у+3)+50(z-1)=0

3(х-8)+(у-3)+2(z-1)=0

3х-24+у+3+27-2=0

3х+у+2z-23=0

Приклад 7:

Пряма задана перетином двох площин. Знайти канонічні рівняння прямої.

Рішення:

Маємо рівняння у вигляді:

Треба знайти точку ( х 0 ,у 0 ,z 0), якою проходить пряма і напрямний вектор .

Виберемо довільно одну з координат. Наприклад, z=1, Тоді отримаємо систему двох рівнянь із двома невідомими:

Таким чином, ми знайшли точку, що лежить на прямій (2,0,1).

В якості напрямного вектора прямий візьмемо векторне твори векторів і , що є нормальними векторами т.к. , А значить паралельно шуканої прямої.

Таким чином, напрямний вектор прямої має проекції . Використовуючи рівняння прямої проходить через задану точку паралельно заданому вектору:

Отже шукане канонічне рівняння має вигляд:

Приклад 8:

Знайти координати точки перетину прямої та площини 2x+3y+3z-8=0

Рішення:

Запишемо задане рівняння прямої у параметричному вигляді.

х = 3t-2; y=-t+2; z=2t-1

кожній точці прямої відповідає єдине значення параметра t. Для знаходження параметра tвідповідного пункту перетину прямої і площини підставимо в рівняння площині вираз х, у, zчерез параметр t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

тоді координати шуканої точки

шукана точка перетину має координати (1; 1; 1).

Приклад 9:

Знайти рівняння площини, що проходить через паралельні прямі.

Зробимо схематичне креслення (Рис 5.9)

Рис 5.9

Із заданих рівнянь прямих і визначаємо проекції напрямних векторів цих прямих. Знайдемо проекції вектора, що лежить у площині Р, а точки і беремо з канонічних рівнянь прямих М1(1,-1,2) та М2(0,1,-2).

1. Параметричне рівняння прямої

Нехай дано точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) на прямий і вектор s = (l ,m ,n ), що лежить на

цієї прямої (або їй паралельної). Вектор s ще називають напрямним вектором прямий.

Цими умовами однозначно визначається пряма у просторі. Знайдемо її

рівняння. Візьмемо довільну точку M (x, y, z) на прямій. Зрозуміло, що вектори

M 0 M (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) та s колінеарні.

Отже M 0 M = t s − є векторне рівняння прямої.

У координатному записі останнє рівняння має наступне параметричне подання

двох кутів, утвореними двома прямими, відповідно паралельними даної і проходять через одну точку (для чого можливо потрібно зробити паралельне перенесення однієї з прямих).

З визначення випливає, що один з кутів дорівнює куту між

Прямі перпендикулярні s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 .

4. Кут між прямою та площиною. Умови « » і « »

площині

Нехай пряма L задана своїм канонічним рівнянням x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ,

а площина P – рівнянням

Ax+By+Cz+D=0.

Визначення. Кутом між прямою L

і площиною р називається гострий кут між прямою L та її проекцією на площину.

З визначення (і малюнка) випливає, що кут ϕ є додатковим (до прямого кута) до кута між вектором нормалі n (A , B ,C ) і

напрямним вектором s (l, m, n).

(. береться, щоб отримати гострий кут).

Якщо L Р , тоді s n (s ,n ) = 0

Тепер, якщо підставити знайдене «t» у параметричні рівняння прямої, то знайдемо точку перетину, що шукається.

Однією з основних операцій математичного аналізу є операція граничного переходу, що у курсі у різних формах. Ми почнемо з найпростішої форми операції граничного переходу, що базується на понятті межі так званої числової послідовності. Це полегшить нам запровадження й інший дуже важливої ​​форми операції граничного переходу – межі функції. У подальшому конструкції граничних переходів використовуватимуться у побудові диференціального та інтегрального обчислення.



 Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності

 Зв'язок нескінченно великих та нескінченно малих послідовностей.

 Найпростіші властивості нескінченно малих послідовностей

 Межа послідовності.

 Властивості послідовностей, що сходяться

 Арифметичні операції над послідовностями, що сходяться.

 Монотонні послідовності

 Критерій збіжності Коші

 Число е та його економічна ілюстрація.

 Застосування меж в економічних розрахунках

§ 1. Числові послідовності та найпростіші властивості

1. Поняття числової послідовності. Арифметичні операції над послідовностями

Числові послідовності являють собою нескінченні множини чисел. Приклади послідовностей відомі зі школи:

1) послідовність всіх членів нескінченної арифметичної та геометричної прогресій;

2) послідовність периметрів правильних n -кутників, вписаних у дане коло;

будемо називати числовою послідовністю (або просто послідовністю).

Окремі числа x 3 , x 5 , x n називатимемо елементами або членами послідовності (1). Символ x n називають загальним або n членом даної послідовності. Надаючи значення n = 1, 2, … у загальному члені x n ми отримуємо, відповідно, перший x 1 другий x 2 і т.д. члени.

Послідовність вважається заданою (див. Опр.), якщо вказано спосіб отримання будь-якого її елемента. Часто послідовність задають формулою загального члена послідовності.

Для скорочення запису послідовність (1) іноді записують як

Структура загального члена (його формула) може бути складною. Наприклад,

Іноді послідовність задається так званими рекурентними формулами, тобто. формулами, що дозволяють знаходити наступні члени послідовності за відомими попередніми.

Приклад (числа Фібоначчі).Нехай x 1 = x 2 = 1 і задано рекурентну формулу x n = x n − 1 + x n − 2 для n = 3, 4, … . Тоді маємо послідовність 1, 1,

2, 3, 5, 8, … (числа Леонардо з Пізи на прізвисько Фібоначчі). Геометрично числову послідовність можна зобразити на чис-

лової осі у вигляді послідовності точок, координати яких рівні соот-

членам послідовності. Наприклад, (x n) = 1 n.

Лекція №8-9 Основи математичного аналізу проф. Димков М.П. 66

Розглянемо поряд з послідовністю (x n) ще одну послідовність (y n): y 1, y 2, y, n (2).

Визначення. Сумою (різницею, твором, приватним) після-

( xn ) і ( yn ) називається послідовність ( zn ) , члени кото-

Добутком послідовності (xn) на число c R називається послідовність (c xn).

Визначення. Послідовність ( xn ) називається обмеженою

зверху (знизу), якщо існує речовинне число М (m), таке, що кожен елемент цієї послідовності xn задовольняє нерівний-

ству xn ≤ M (xn ≥ m) . Послідовність називається обмеженою, якщо вона обмежена зверху і знизу m ≤ xn ≤ M . Послідовність xn називає-

ється необмеженою, якщо для позитивного числа А (скільки завгодно більшого) знайдеться хоча бодин елемент послідовності xn , задовольняючи-

який нерівності xn > A.

( x n ) = ( 1n ) - Обмежена, т.к. 0 ≤ x n ≤ 1.

( x n ) = ( n ) − обмежена знизу 1, але є необмеженою.

( x n ) = ( − n ) − обмежена зверху (–1), але також необмежена.

Визначення. Послідовність ( x n ) називається нескінченно малою,

якщо для будь-якого позитивного речового числа ε (як би малим його не взяли) існує номер N , що залежить, взагалі кажучи від ε , (N = N (ε )) такий, що за всіх n ≥ N виконується нерівність x n< ε .

приклад. (x n) = 1 n.

Визначення. Послідовність (xn) називається нескінченно біль-

шой , якщо для позитивного речовинного числа А (яке б велике воно не було) знайдеться номер N (N = N(A)) такий, що при всіх n ≥ N викон-

няється нерівність xn > A.

У цій статті ми розглянемо параметричне рівняння прямої на площині. Наведемо приклади побудови параметричного рівняння прямої, якщо відомі дві точки цієї прямої або якщо відома одна точка і напрямний вектор цієї прямої. Представимо методи перетворення рівняння у параметричному вигляді на канонічний та загальний види.

Параметричне рівняння прямої Lна площині представляється наступною формулою:

де x 1 , y 1 координати деякої точки M 1 на прямий L. Вектор q={m, p) є напрямним вектором прямої L, t− деякий параметр.

Зазначимо, що при записі рівняння прямої в параметричному вигляді, напрямний вектор прямий не повинен бути нульовим вектором, тобто хоча б один координат напрямного вектора qмає бути відмінним від нуля.

Для побудови прямої на площині в декартовій системі координат, заданої параметричним рівнянням (1), достатньо задати параметру tдві різні значення, обчислити xі yта провести через ці точки пряму лінію. При t=0 маємо точку M 1 (x 1 , y 1) при t=1, отримаємо точку M 2 (x 1 +m, y 1 +p).

Для складання параметричного рівняння прямої на площині Lдостатньо мати точку на прямій Lі напрямний вектор прямої або дві точки, що належать прямій L. У першому випадку для побудови параметричного рівняння прямої потрібно координати точки і напрямного вектора вставити в рівняння (1). У другому випадку спочатку потрібно знайти напрямний вектор прямий q={m, p), обчислюючи різниці відповідних координат точок M 1 і M 2: m=x 2 −x 1 , p=y 2 −y 1 (Рис.1). Далі, аналогічно першому випадку, підставити координати однієї з точок (не має значення якої саме) і напрямного вектора qпрямий (1).

Приклад 1. Пряма проходить через точку M=(3,−1) і має напрямний вектор q= (-3, 5). Побудувати параметричне рівняння прямої.

Рішення. Для побудови параметричного рівняння прямої, підставимо координати точки і напрямного вектора рівняння (1):

Спростимо отримане рівняння:

З виразів (3) можемо записати канонічне рівняння прямої на площині:

Привести це рівняння прямий до канонічного вигляду.

Рішення: Виразимо параметр tчерез змінні xі y:

(5)

З виразів (5) можемо записати.

Нехай пряма проходить через точку M1 (x1, y1, z1) і паралельна вектору (m, n, l). Складемо рівняння цієї прямої.

Візьмемо довільну точку M (x, y, z) на цій прямій і знайдемо залежність між x, y, z. Побудуємо вектор

Вектори іколінеарні.

- канонічне рівняння прямої у просторі.

44 Параметричні рівняння прямої

Т.к. цьому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки прямої, отримане рівняння – параметричне рівняння прямої.

Це векторне рівняння може бути подане в координатній формі:

Перетворивши цю систему і прирівнявши значення параметра t, отримуємо канонічні рівняння прямої в просторі:

Визначення. Напрямними косинусами прямої називаються напрямні косинуси вектора, які можуть бути обчислені за формулами:

Звідси отримаємо: m: n: p = cosa: cosb: cosg.

Числа m, n, p називаються кутовими коефіцієнтами прямої. Оскільки ненульовий вектор, то m, n і p не можуть дорівнювати нулю одночасно, але одне або два з цих чисел можуть дорівнювати нулю. І тут у рівнянні прямої слід прирівняти нулю відповідні чисельники.

45 Рівняння прямої у просторі, що проходить через дві різні дані точки.

Аналітична геометрія

Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки.

Нехай на площині дані М1(х1у1) та М2(х2у2). Складемо канонічне рівняння прямої, що проходить через ці дві точки як напрямний вектор S візьмемо M1M2

трійка.

Це рівняння прямої, що проходить через дві дані точки (х1 у1) та (х2, у2)

Перейдемо тепер до рівнянь прямої та площини у просторі.

Аналітична геометрія у 3-мірному просторі

Аналогічно двовимірному випадку будь-яке рівняння першого ступеня відносно трьох змінних x, y, z є рівняння площини в просторі Оxyz. площині. Канонічне рівняння площини, що проходить через точку М(х0,у0,z0) і має нормаль N(А,В,С) А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0)=0 – що є це рівняння?

Значення х –х0, у-у0 та z –z0 – це різниці координат поточної точки та фіксованої точки. Отже, вектор а (х-х 0, у-у0, z-z0) -це вектор, що лежить в площині, а вектор N - вектор, перпендикулярний до площини, а значить, вони перпендикулярні між собою.

Тоді їхній скалярний твір має дорівнювати нулю.

У координатній формі (N,a)=0 виглядає так:

А·(х-х0)+В·(у-у0)+С·(z-z0)=0

У просторі розрізняють праві та ліві трійки векторів. Трійка некомпланарних векторів а, b, з називається правою, якщо спостерігачеві з їх загального початку обхід кінців векторів a, b, з у вказаному порядку здається таким, що відбувається за годинниковою стрілкою. В іншому випадку a, b, c – ліва.

46 Кут між прямими у просторі

Кутом між прямими в просторі будемо називати будь-який із суміжних кутів, утворених двома прямими, проведеними через довільну точку паралельно даним.

Нехай у просторі задані дві прямі:

Очевидно, що за кут між прямими можна прийняти кут між їх напрямними векторами і. Так як, то за формулою для косинуса кута між векторами отримаємо

Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих рівносильні умовам паралельності та перпендикулярності їх напрямних векторів та:

Дві прямі паралельні тоді й тільки тоді ми, коли відповідні коефіцієнти пропорційні, тобто. l1 паралельна l2 тоді і тільки тоді, коли паралельна .

Дві прямі перпендикулярні і тоді, коли сума творів відповідних коефіцієнтів дорівнює нулю: .

Знайти рівняння прямої, що проходить через точку М1(1;2;3) паралельно прямої l1:

Оскільки шукана пряма l паралельна l1, то як напрямний вектор шуканої прямої l можна взяти напрямний вектор прямої l1.