Як визначити зворотну та пряму пропорцію. Пряма та зворотна пропорційні залежності

Поруч із прямо пропорційними величинами в арифметиці розглядалися також і величини обернено пропорційні.

Наведемо приклади.

1) Довжини основи та висоти прямокутника при постійній площі.

Нехай потрібно виділити для городу прямокутну ділянку площею

Ми можемо довільно встановити, наприклад, довжину ділянки. Але тоді ширина ділянки залежатиме від того, яку довжину ми вибрали. Різні (можливі) значення довжини та ширини наведені в таблиці.

Взагалі, якщо позначити довжину ділянки через х, а ширину через у, то залежність між ними можна виразити формулою:

Виразивши через х, отримаємо:

Даючи х довільні значення, отримуватимемо відповідні значення у.

2) Час та швидкість рівномірного руху при певній відстані.

Нехай відстань між двома містами дорівнює 200 км. Чим більше буде швидкість руху, тим менше часу знадобиться, щоб проїхати цю відстань. Це видно з наступної таблиці:

Взагалі, якщо позначити швидкість через х, а час руху через у, то залежність між ними виразиться формулою:

Визначення. Залежність між двома величинами виражена рівністю , де k - певне число (не рівне нулю), називається обернено пропорційною залежністю.

Число і називається коефіцієнтом пропорційності.

Так само, як і у разі прямої пропорційності, в рівності величини х і у загальному випадку можуть набувати позитивних і негативних значень.

Але у всіх випадках зворотної пропорційності жодна з величин не може дорівнювати нулю. Справді, якщо хоч одна з величин х або у дорівнюватиме нулю, то в рівності ліва частина дорівнюватиме ну

А права - деякому числу, що не дорівнює нулю (за визначенням), тобто вийде неправильна рівність.

2. Графік обернено пропорційної залежності.

Побудуємо графік залежності

Виразивши через х, отримаємо:

Будемо давати довільні (допустимі) значення і обчислимо відповідні значення у. Отримаємо таблицю:

Побудуємо відповідні точки (чорт. 28).

Якщо брати значення х через менші проміжки, то й точки розташуються вже.

При всіляких значеннях x відповідні точки розташуються на двох гілках графіка, симетричних щодо початку координат і проходять в І та ІІІ чвертях координатної площини (чорт. 29).

Отже, бачимо, що графіком зворотної пропорційності є крива лінія. Ця лінія складається із двох гілок.

Одна гілка вийде за позитивних, інша - при негативних значеннях х.

Графік обернено пропорційної залежності називається гіперболою.

Щоб отримати точніший графік, треба будувати якомога більше точок.

З досить великою точністю гіпербол можна накреслити, користуючись, наприклад, лекалами.

На кресленні 30 побудований графік обернено пропорційної залежності з негативним коефіцієнтом. Склавши, наприклад, таку таблицю:

отримаємо гіперболу, гілки якої розташовані у II та IV чвертях.

приклад

Коефіцієнт пропорційності

Постійне відношення пропорційних величин називається коефіцієнтом пропорційності. Коефіцієнт пропорційності показує, скільки одиниць однієї величини посідає одиницю інший .

Пряма пропорційність

Пряма пропорційність- функціональна залежність , коли він певна величина залежить від іншої величини в такий спосіб, що й ставлення залишається постійним. Інакше кажучи, ці змінні змінюються пропорційно, у рівних частках, тобто, якщо аргумент змінився вдвічі у якомусь напрямі, те й функція змінюється також удвічі у тому напрямі.

Математично пряма пропорційність записується у вигляді формули:

f(x) = ax,a = const

Зворотня пропорційність

Зворотня пропорційність- це функціональна залежність, при якій збільшення незалежної величини (аргументу) викликає пропорційне зменшення залежної величини (функції).

Математично зворотна пропорційність записується у вигляді формули:

Властивості функції:

Джерела

Wikimedia Foundation. 2010 .

I. Прямо пропорційні величини.

Нехай величина yзалежить від величини х. Якщо при збільшенні ху кілька разів величина узбільшується в стільки ж разів, то такі величини хі уназиваються прямо пропорційними.

приклади.

1 . Кількість купленого товару та вартість покупки (при фіксованій ціні однієї одиниці товару – 1 штуки або 1 кг тощо). У скільки разів більше товару купили, у стільки разів більше й заплатили.

2 . Пройдений шлях і витрачений нею час (за постійної швидкості). У скільки разів довша дорога, у стільки разів більше витратимо часу на те, щоб її пройти.

3 . Обсяг будь-якого тіла та його маса. ( Якщо один кавун у 2 рази більший за інший, то і маса його буде в 2 рази більша)

ІІ. Властивість прямої пропорційності величин.

Якщо дві величини прямо пропорційні, то відношення двох довільно взятих значень першої величини дорівнює відношенню двох відповідних значень другої величини.

Завдання 1.Для малинового варення взяли 12 кгмалини та 8 кгцукру. Скільки цукру потрібно, якщо взяли 9 кгмалини?

Рішення.

Міркуємо так: нехай буде потрібно х кгцукру на 9 кгмалини. Маса малини і маса цукру - прямо пропорційні величини: у скільки разів менше малини, у стільки ж разів потрібно менше цукру. Отже, відношення взятої (за масою) малини ( 12:9 ) буде дорівнює відношенню взятого цукру ( 8:х). Отримуємо пропорцію:

12: 9=8: х;

х = 9 · 8: 12;

х = 6. Відповідь:на 9 кгмалини потрібно взяти 6 кгцукру.

Рішення завданняможна було оформити і так:

Нехай на 9 кгмалини потрібно взяти х кгцукру.

(Стрілки на малюнку спрямовані в один бік, а вгору чи вниз — не має значення. Сенс: у скільки разів число 12 більше числа 9 , у стільки ж разів число 8 більше числа х, Т. е. тут пряма залежність).

Відповідь:на 9 кгмалини треба взяти 6 кгцукру.

Завдання 2.Автомобіль за 3:00проїхав відстань 264 км. За який час він проїде 440 кмякщо буде їхати з тією ж швидкістю?

Рішення.

Нехай за х годинавтомобіль пройде відстань 440 км.

Відповідь:автомобіль пройде 440 км за 5 годин.

Головні цілі:

• запровадити поняття прямої та зворотної пропорційної залежності величин;
• навчити вирішувати задачі, використовуючи ці залежності;
• сприяти розвитку вміння вирішувати завдання;
• закріпити навичку розв'язання рівнянь за допомогою пропорції;
• повторити події зі звичайними та десятковими дробами;
• розвивати логічне мислення учнів.

ХІД УРОКУ

I. Самовизначення до діяльності(Організаційний момент)

- Хлопці! Сьогодні на уроці ми познайомимося із завданнями, які вирішуються за допомогою пропорції.

ІІ. Актуалізація знань та фіксація утруднення в діяльності

2.1. Усна робота (3 хв)

– Знайдіть значення виразів та дізнайтесь слово, зашифроване у відповідях.

14 - с; 0,1 - і; 7 – л; 0,2 - а; 17 - в; 25 – до

– Вийшло слово – сила. Молодці!
– Девіз нашого уроку сьогодні: Сила – у знаннях! Я шукаю – значить навчаюсь!
– Складіть пропорцію з чисел, що виходять. (14: 7 = 0,2: 0,1 і т.д.)

2.2. Розглянемо залежність між відомими нам величинами (7 хв)

– шляхом, пройденим автомашиною з постійною швидкістю, та часом її руху: S = v · t (зі збільшенням швидкості (часу) збільшується шлях);
- Швидкістю автомашини і витраченим на шлях часом: v = S: t(Зі збільшенням часу на проходження шляху, швидкість зменшується);
– вартістю товару, купленого за однією ціною та його кількістю: С = а · n (зі збільшенням (зменшенням) ціни, збільшується (зменшується) вартість покупки);
– ціни товару та його кількістю: а = С: n (зі збільшенням кількості, зменшується ціна)
– площі прямокутника та його довжини (ширини): S = a · b (зі збільшенням довжини (ширини) збільшується площа;
– довжини прямокутника та ширини: a = S: b (зі збільшенням довжини зменшується ширина;
- Числом робітників, що виконують з однаковою продуктивністю праці деяку роботу, і часом виконання цієї роботи: t = А: n (зі збільшенням числа робочих час, витрачене на виконання роботи зменшується) і т.д.

Ми отримали залежності, в яких зі збільшенням однієї величини в кілька разів, тут же в стільки ж разів збільшується інша (приклади показати стрілками) і залежності, в яких із збільшенням однієї величини в кілька разів, друга величина зменшується в цю кількість разів.
Такі залежності називаються прямими та зворотними пропорційностями.
Прямо-пропорційна залежність- Залежність, в якій зі збільшенням (зменшенням) однієї величини в кілька разів, збільшується (зменшується) друга величина в стільки ж разів.
Зворотно-пропорційна залежність- Залежність, в якій зі збільшенням (зменшенням) однієї величини в кілька разів, зменшується (збільшується) друга величина в стільки ж разів.

ІІІ. Постановка навчального завдання

– Яка проблема постала перед нами? (Навчитися розрізняти прямі та зворотні залежності)
– Це – метанашого уроку. А тепер сформулюйте темууроку. (Пряма та зворотна пропорційна залежність).
– Молодці! Запишіть тему уроку у зошитах. (Учитель записує тему на дошці.)

IV. «Відкриття» нового знання(10 хв)

Розберемо завдання №199.

1. Принтер друкує 27 сторінок за 4,5 хв. За скільки часу він друкує 300 сторінок?

27 стор. – 4,5 хв.
300 стор - х?

2. У коробці 48 пачок чаю по 250 г у кожній. Скільки вийде з цього чаю пачок по 150г?

48 пачок – 250 г.
х? - 150 р.

3. Автомобіль проїхав 310 км, витративши 25 л бензину. Яка відстань може проїхати автомобіль на повному баку, що вміщує 40л?

310 км – 25 л
х? - 40 л

4. На одній із зчеплювальних шестерень 32 зубці, а на іншій – 40. Скільки обертів зробить друга шестерня, тоді як перша зробить 215 обертів?

32 зубці - 315 про.
40 зубців – х?

Для складання пропорції необхідний один напрямок стрілок, для цього у зворотній пропорційності одне відношення замінюють зворотним.

У дошки учні знаходять значення величин, на місцях учні вирішують одну на вибір завдання.

– Сформулюйте правило вирішення завдань із прямою та зворотною пропорційною залежністю.

На дошці з'являється таблиця:

V. Первинне закріплення у зовнішній промові(10 хв)

Завдання на аркушах:

1. З 21 кг бавовняного насіння одержали 5,1 кг олії. Скільки олії вийде з 7 кг бавовняного насіння?
2. Для будівництва стадіону 5 бульдозерів розчистили майданчик за 210 хв. За який час 7 бульдозерів розчистили цей майданчик?

VI. Самостійна робота із самоперевіркою за зразком(5 хв)

Два учні виконують завдання № 225 самостійно на прихованих дошках, а решта – у зошитах. Потім вони перевіряють роботу з алгоритму та зіставляють із рішенням на дошці. Помилки виправляються, з'ясовуються причини. Якщо завдання виконано, вірно, то поруч учні ставлять знак «+».
Учні, які припустилися помилок у самостійній роботі можуть використовувати консультантів.

VII. Включення в систему знань та повторення№ 271, № 270.

Шестеро людей працюють біля дошки. Через 3–4 хвилини учні, які працювали біля дошки, представляють свої рішення, а інші – перевіряють завдання та беруть участь у їх обговоренні.

VIII. Рефлексія діяльності (підсумок уроку)

- Що нового ви дізналися на уроці?
– Що повторили?
– Який алгоритм розв'язання задач на пропорцію?
– Ми досягли поставленої мети?
– Як оцінюєте свою роботу?