Як розкласти квадратний тричлен на множники Розкладання багаточлена на множники Формула розкладання квадратного багаточлена

У нього – квадрат, а складається з трьох доданків (). Ось і виходить – квадратний тричлен.

Приклади неквадратних тричленів:

$x^3-3x^2-5x+6$ - кубічний чотиричлен
$2x+1$ - лінійний двочлен

Корінь квадратного тричлена:

Приклад:
У тричлена $x^2-2x+1$ корінь $1$, тому що $1^2-2·1+1=0$
У тричлена $x^2+2x-3$ коріння $1$ і $-3$, тому що $1^2+2-3=0$ і $(-3)^ 2-6-3 = 9-9 = 0 $

Наприклад:якщо потрібно знайти коріння для квадратного тричлена $x^2-2x+1$, прирівняємо його до нуля і розв'яжемо рівняння $x^2-2x+1=0$.

$D=4-4\cdot1=0$
$x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1$

Готово. Корінь дорівнює $1$.

Розкладання квадратного тричлена на:

Квадратний тричлен $ax^2+bx+c$ можна розкласти як $a(x-x_1)(x-x_2)$, якщо рівняння $ax^2+bx+c=0$ більше за нуль \ (x_1\) і (x_2\) - коріння того ж рівняння).

Наприклад, Розглянемо тричлен (3x^2+13x-10\).
У квадратного рівняння $3x^2+13x-10=0$ дискримінант дорівнює 289 (більше за нуль), а коріння дорівнює $-5$ і $\frac(2)(3)$. Тому (3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\). У вірності цього твердження легко переконається - якщо ми отримаємо вихідний тричлен.

Квадратний тричлен $ax^2+bx+c$ можна подати як $a(x-x_1)^2$, якщо дискримінант рівняння $ax^2+bx+c=0$ дорівнює нулю.

Наприклад, Розглянемо тричлен (x^2+6x+9\).
У квадратного рівняння $x^2+6x+9=0$ дискримінант дорівнює $0$, а єдиний корінь дорівнює $-3$. Значить, $x^2+6x+9=(x+3)^2$ (тут коефіцієнт (a=1\), тому перед дужкою не пишеться - немає чого). Зверніть увагу, що саме перетворення можна зробити і по .

Квадратний тричлен $ax^2+bx+c$ не розкладається на множники, якщо дискримінант рівняння $ax^2+bx+c=0$ менший за нуль.

Наприклад, у тричленів $x^2+x+4$ та $-5x^2+2x-1$ – дискримінант менше нуля. Тому розкласти їх на множники неможливо.

приклад . Розкладіть на множники (2x^2-11x+12\).
Рішення :
Знайдемо коріння квадратного рівняння (2x^2-11x+12=0)

$D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0$
$x_1=\frac(11-5)(4)=1,5;$ $x_2=\frac(11+5)(4)=4.$

Отже, $2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)$
Відповідь : $2(x-1,5)(x-4)$

Отриману відповідь, можливо, записати інакше: $(2x-3)(x-4)$.

приклад . (Завдання з ОДЕ)Квадратний тричлен розкладений на множники $5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)$. Знайдіть (a).
Рішення:
$5x^2+33x+40=0$
$D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2$
$x_1=\frac(-33-17)(10)=-5$
$x_2=\frac(-33+17)(10)=-1,6$
$5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)$
Відповідь : $-1,6$

На цьому уроці ми з вами навчимося розкладати квадратні тричлени на лінійні множники. Для цього необхідно згадати теорему Вієта та зворотну їй. Дане вміння допоможе нам швидко та зручно розкладати квадратні тричлени на лінійні множники, а також спростить скорочення дробів, що складаються з виразів.

Отже повернемося до квадратного рівняння, де.

Те, що стоїть у нас у лівій частині, називається квадратним тричленом.

Справедлива теорема:Якщо - коріння квадратного тричлена, то справедливо тотожність

Де – старший коефіцієнт, – коріння рівняння.

Отже, маємо квадратне рівняння - квадратний тричлен, де коріння квадратного рівняння також називаються корінням квадратного тричлена. Тому якщо ми маємо коріння квадратного тричлена, цей тричлен розкладається на лінійні множники.

Доведення:

Доказ цього факту виконується за допомогою теореми Вієта, розглянутої нами на попередніх уроках.

Згадаймо, про що говорить нам теорема Вієта:

Якщо - коріння квадратного тричлена, у якого , то .

З цієї теореми випливає таке твердження, що .

Ми бачимо, що, за теоремою Вієта, тобто підставивши дані значення у формулу вище, ми отримуємо наступний вираз

що і потрібно було довести.

Згадаймо, що ми довели теорему, що якщо коріння квадратного тричлена, то справедливе розкладання.

Тепер давайте згадаємо приклад квадратного рівняння, до якого за допомогою теореми Вієта ми підбирали коріння. З цього факту ми можемо отримати таку рівність завдяки доведеній теоремі:

Тепер перевіримо правильність цього факту простим розкриттям дужок:

Бачимо, що на множники ми розклали правильно, і будь-який тричлен, якщо він має коріння, може бути розкладений за цією теоремою на лінійні множники за формулою

Однак давайте перевіримо, чи для будь-якого рівняння можливе таке розкладання на множники:

Візьмемо, наприклад, рівняння. Для початку перевіримо знак дискримінанта

А ми пам'ятаємо, що для виконання вивченої нами теореми D має бути більше 0, тому в даному випадку розкладання на множники з вивченої теореми неможливе.

Тому сформулюємо нову теорему: якщо квадратний тричлен немає коренів, його не можна розкласти на лінійні множники.

Отже, ми розглянули теорему Вієта, можливість розкладання квадратного тричлену на лінійні множники, і тепер вирішимо кілька завдань.

Завдання №1

У цій групі ми за фактом вирішуватимемо завдання, зворотне до поставленої. Ми мали рівняння, і ми знаходили його коріння, розкладаючи на множники. Тут ми діятимемо навпаки. Припустимо, у нас є коріння квадратного рівняння

Зворотне завдання таке: складіть квадратне рівняння, щоб було його корінням.

Для вирішення цього завдання існує 2 способи.

Оскільки - коріння рівняння, то - Це квадратне рівняння, корінням якого є задані числа. Тепер розкриємо дужки та перевіримо:

Це був перший спосіб, за яким ми створили квадратне рівняння із заданим корінням, в якому немає будь-якого іншого коріння, оскільки будь-яке квадратне рівняння має не більше двох коренів.

Цей спосіб передбачає використання зворотної теореми Вієта.

Якщо - коріння рівняння, всі вони задовольняють умові, що .

Для наведеного квадратного рівняння , , т. е. у разі , а .

Таким чином, ми створили квадратне рівняння, яке має задане коріння.

Завдання №2

Необхідно скоротити дріб.

Ми маємо тричлен у чисельнику та тричлен у знаменнику, причому тричлени можуть як розкладатися, так і не розкладатися на множники. Якщо ж і чисельник, і знаменник розкладаються на множники, серед них можуть виявитися рівні множники, які можна скоротити.

Насамперед необхідно розкласти на множники чисельник.

Спочатку необхідно перевірити, чи можна розкласти це рівняння на множники, знайдемо дискримінант. Оскільки , то знак залежить від твору (має бути менше 0), у цьому прикладі , тобто задане рівняння має коріння.

Для вирішення використовуємо теорему Вієта:

В даному випадку, оскільки ми маємо справу з корінням, просто підібрати коріння буде досить складно. Але бачимо, що коефіцієнти врівноважені, т. е. якщо припустити, що , і підставити це значення рівняння, виходить така система: , т. е. 5-5=0. Таким чином, ми підібрали один із коренів даного квадратного рівняння.

Другий корінь ми будемо шукати шляхом підставки вже відомого у систему рівнянь, наприклад, , тобто. .

Таким чином, ми знайшли обидва корені квадратного рівняння і можемо підставити їх значення у вихідне рівняння, щоб розкласти його на множники:

Згадаймо початкове завдання, нам необхідно було скоротити дріб.

Спробуємо вирішити поставлене завдання, підставивши замість чисельника .

Слід забути, що у своїй знаменник неспроможна дорівнювати 0, т. е. , .

Якщо ці умови будуть виконуватися, ми скоротили вихідний дріб до виду .

Завдання №3 (завдання з параметром)

При яких значеннях параметра сума коренів квадратного рівняння

Якщо коріння цього рівняння існує, то , питання: коли .

Цей онлайн-калькулятор призначений для розкладання функції на множники.

Наприклад, розкласти на множники: x2/3-3x+12. Запишемо як x^2/3-3*x+12. Також можна використовувати цей сервіс, де всі викладки зберігаються у форматі Word.

Наприклад, розкласти на доданки. Запишемо як (1-x^2)/(x^3+x) . Щоб переглянути хід рішення, натискаємо Show steps. Якщо необхідно отримати результат у форматі Word, використовуйте цей сервіс.

Примітка: число "пі" (π) записується як pi; корінь квадратний як sqrt, наприклад, sqrt(3), тангенс tg записується як tan. Щоб переглянути відповідь, див. розділ Alternative.

Якщо заданий простий вираз, наприклад, 8*d+12*c*d , вираз розкласти на множники означає подати вираз у вигляді співмножників. Для цього потрібно знайти спільні множники. Даний вираз запишемо як: 4*d*(2+3*c) .
Подати твір у вигляді двох двочленів: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Тут треба знайти кілька спільних співмножників: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Виносимо (x+7z) та отримуємо: (x+7z)(x + 3y) .

див. також Поділ багаточленів куточком (показані всі кроки поділу стовпчиком)

Корисним для вивчення правил розкладання на множники будуть формули скороченого множення, за допомогою яких буде ясно, як розкривати дужки з квадратом:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
(a+b)(a-b) = a 2 - b 2
a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
(a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
(a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Методи розкладання на множники

Вивчивши кілька прийомів розкладання на множникиможна скласти таку класифікацію рішень:

Використання формул скороченого множення.
Пошук загального множника.

Отже повернемося до квадратного рівняння, де.

Те, що стоїть у нас у лівій частині, називається квадратним тричленом.

Справедлива теорема:Якщо - коріння квадратного тричлена, то справедливо тотожність

Де – старший коефіцієнт, – коріння рівняння.

Доведення:

Доказ цього факту виконується за допомогою теореми Вієта, розглянутої нами на попередніх уроках.

Згадаймо, про що говорить нам теорема Вієта:

Якщо - коріння квадратного тричлена, у якого , то .

З цієї теореми випливає таке твердження, що .

Ми бачимо, що, за теоремою Вієта, тобто підставивши дані значення у формулу вище, ми отримуємо наступний вираз

що і потрібно було довести.

Згадаймо, що ми довели теорему, що якщо коріння квадратного тричлена, то справедливе розкладання.

Тепер перевіримо правильність цього факту простим розкриттям дужок:

Однак давайте перевіримо, чи для будь-якого рівняння можливе таке розкладання на множники:

Візьмемо, наприклад, рівняння. Для початку перевіримо знак дискримінанта

Завдання №1

Зворотне завдання таке: складіть квадратне рівняння, щоб було його корінням.

Для вирішення цього завдання існує 2 способи.

Цей спосіб передбачає використання зворотної теореми Вієта.

Якщо - коріння рівняння, всі вони задовольняють умові, що .

Для наведеного квадратного рівняння , , т. е. у разі , а .

Таким чином, ми створили квадратне рівняння, яке має задане коріння.

Завдання №2

Необхідно скоротити дріб.

Насамперед необхідно розкласти на множники чисельник.

Для вирішення використовуємо теорему Вієта:

Другий корінь ми будемо шукати шляхом підставки вже відомого у систему рівнянь, наприклад, , тобто. .

Згадаймо початкове завдання, нам необхідно було скоротити дріб.

Спробуємо вирішити поставлене завдання, підставивши замість чисельника .

Слід забути, що у своїй знаменник неспроможна дорівнювати 0, т. е. , .

Якщо ці умови будуть виконуватися, ми скоротили вихідний дріб до виду .

Завдання №3 (завдання з параметром)

При яких значеннях параметра сума коренів квадратного рівняння

Якщо коріння цього рівняння існує, то , питання: коли .

Розкладання квадратного тричлена на множникиможе стати в нагоді при розв'язанні нерівностей із завдання С3 або задачі з параметром С5. Також багато текстових завдань B13 вирішаться значно швидше, якщо ви володієте теоремою Вієта.

Цю теорему, звичайно, можна розглядати з позицій 8 класу, в якому вона вперше проходить. Але наше завдання – добре підготуватися до ЄДІ та навчитися вирішувати завдання іспиту максимально ефективно. Тому в цьому уроці розглянуто підхід трохи відмінний від шкільного.

Формулу коренів рівняння з теореми Вієтазнають (або хоча б бачили) багато хто:

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 · x_2 = \frac(c)(a),$$

де `a, b` та `c` - коефіцієнти квадратного тричлена `ax^2+bx+c`.

Щоб навчитися легко користуватися теоремою, зрозуміємо, звідки вона береться (так реально легше запам'ятати).

Нехай маємо рівняння `ax^2+ bx+ з = 0`. Для подальшої зручності розділимо його на `a` отримаємо `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Таке рівняння називається наведеним квадратним рівнянням.

Важлива думка уроку: Будь-який квадратний багаточлен, який має коріння, можна розкласти на дужки.Припустимо, що наш можна уявити у вигляді `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, де `k` і ` l` – деякі константи.

Подивимося, як розкриються дужки:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Таким чином, `k+l = frac(b)(a), kl = frac(c)(a)`.

Це трохи відрізняється від класичного трактування теореми Вієта- У ній ми шукаємо коріння рівняння. Я ж пропоную шукати доданки для розкладання на дужки- так не потрібно пам'ятати про мінус із формули (мається на увазі `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Достатньо підібрати два таких числа, сума яких дорівнює середньому коефіцієнту, а твір – вільному члену.

Якщо нам потрібне рішення саме рівняння, то воно очевидне: коріння `x=-k` або `x=-l` (оскільки в цих випадках одна з дужок занульиться, значить, дорівнюватиме нулю і весь вираз).

На прикладі покажу алгоритм, як розкладати квадратний багаточлен на дужки.

Приклад перший. Алгоритм розкладання квадратного тричлена на множники

Шлях у нас є квадртанний тричлен `x^2+5x+4`.

Він наведений (коефіцієнт у `x^2` дорівнює одиниці). Коріння має. (Для вірності можна прикинути дискримінант і переконатися, що він більший за нуль.)

Подальші кроки (їх потрібно вивчити, виконавши всі тренувальні завдання):

Виконати наступний запис: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Замість точок залиште вільне місце, туди будемо дописувати відповідні числа та знаки.
Розглянути всі можливі варіанти, як можна розкласти число `4` на добуток двох чисел. Отримаємо пари "кандидатів" на корені рівняння: `2, 2` та `1, 4`.
Прикинути, із якої пари можна отримати середній коефіцієнт. Очевидно, що це `1, 4`.
$$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
Наступний етап – розставити знаки перед вставленими числами.
Як зрозуміти і назавжди запам'ятати, які знаки мають бути перед числами у дужках? Спробуйте розкрити їх (дужки). Коефіцієнт перед `x` у першому ступені буде `(± 4 ± 1)` (поки що знаків ми не знаємо - потрібно вибрати), і він повинен дорівнювати `5`. Очевидно, що тут будуть два плюси $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Виконайте цю операцію кілька разів (привіт, тренувальні завдання!) і більше проблем із цим ніколи не буде.

Якщо потрібно вирішити рівняння `x^2+5x+4`, то тепер його рішення не складе труднощів. Його коріння: `-4, -1`.

Приклад другий. Розкладання на множники квадратного тричлена з коефіцієнтами різних знаків

Нехай нам потрібно розв'язати рівняння `x^2-x-2=0`. Навскидку дискримінант позитивний.

Ідемо алгоритмом.

$$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
Розкладання двійки на цілі множники є лише одне: `2 · 1`.
Пропускаємо пункт - вибирати нема з чого.
$$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
Добуток наших чисел негативний (`-2` - вільний член), отже, одне з них буде негативним, а інше - позитивним.
Оскільки їх сума дорівнює `-1` (коефіцієнт при `x`), то негативним буде `2` (інтуїтивне пояснення - двійка більша з двох чисел, воно сильніше "перетягне" в негативний бік). Отримаємо $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Третій приклад. Розкладання квадратного тричлена на множники

Рівняння `x^2+5x -84 = 0`.

$$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
Розкладання 84 на цілі множники: `4 · 21, 6 · 14, 12 · 7, 2 · 42 `.
Оскільки нам потрібно щоб різниця (або сума) чисел дорівнювала 5, то нам підійде пара `7, 12`.
$$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
$$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Сподіваюся, розкладання цього квадратного тричлена на дужкиЗрозуміло.

Якщо потрібно рішення рівняння, то воно: `12, -7`.

Завдання для тренування

Пропоную до вашої уваги кілька прикладів, які легко вирішуються за допомогою теореми Вієта.(Приклади взято з журналу "Математика", 2002.)

`x^2+x-2=0`
`x^2-x-2=0`
`x^2+x-6=0`
`x^2-x-6=0`
`x^2+x-12=0`
`x^2-x-12=0`
`x^2+x-20=0`
`x^2-x-20=0`
`x^2+x-42=0`
`x^2-x-42=0`
`x^2+x-56=0`
`x^2-x-56=0`
`x^2+x-72=0`
`x^2-x-72=0`
`x^2+x-110=0`
`x^2-x-110=0`
`x^2+x-420=0`
`x^2-x-420=0`

Через кілька років після написання статті з'явився збірник із 150 завдань для розкладання квадратного багаточлена за теоремою Вієта.

Ставте лайки та ставте запитання у коментарях!