Як розв'язувати системи диференціальних однорідних рівнянь. Лінійні неоднорідні системи диференціальних рівнянь

Загальне рішення неоднорідної системи є сума загального рішення однорідної системи та деякого окремого рішення неоднорідної системи.

Для знаходження загального рішення неоднорідної системи можна застосувати метод Лагранжа варіації довільних постійних.

Розглянемо лінійну однорідну системузвичайних диференціальних рівнянь виду

яка в векторної формизаписується у вигляді

Матриця Φ , стовпцями якої є n лінійно незалежних рішень Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) однорідної лінійної системи Y" = A(x)Y називається фундаментальною матрицею рішень системи:

Фундаментальна матриця рішень однорідної лінійної системи Y" = A(x)Y задовольняє матричного рівнянняΦ" = A(x)Φ.

Нагадаємо, що визначник Вронського лінійно незалежних рішень Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) відмінний від нуля на .

Розглянемо лінійну систему диференціальних рівнянь n-го порядку:

Лінійна система стійка за Ляпуновим при t ≥ t0, якщо кожне її рішення x = φ(t) стійке за Ляпуновим при t ≥ t0.

Лінійна система асимптотично стійка за Ляпуновим при t → ∞ , якщо кожне її рішення x = φ(t) стійке за Ляпуновим при t → ∞ .

Рішення лінійної системи або всі стійкі, або всі нестійкі. Справедливі такі твердження.

Теорема про стійкість розв'язків лінійної системи диференціальних рівнянь. Нехай у неоднорідній лінійній системі x" = A(t)x + b(t) матриця A(t) та вектор-функція b(t) безперервні на проміжку)