За допомогою характеристичного рівняння. Вирішення систем диференціальних рівнянь матричним способом
Матричний запис системи звичайних диференціальних рівнянь(СОДУ) з постійними коефіцієнтами
Лінійну однорідну СОДУ з постійними коефіцієнтами $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_(2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) +a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\right.$,
де $ y_ (1) \ left (x \ right), \; y_(2) \ left (x \ right), \; \ldots,\; y_(n) \left(x\right)$ -- необхідні функції незалежної змінної $x$, коефіцієнти $a_(jk) ,\; 1 \ le j, k \ le n $ - задані дійсні числа представимо в матричному записі:
- матриця шуканих функцій $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) \ left (x \ right)) \ end (array) \ right) $;
- матриця похідних рішень $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(array)\right)$;
- матриця коефіцієнтів СОДУ $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(array)\right)$.
Тепер на основі правила множення матриць дану СОДУ можна записати у вигляді матричного рівняння $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.
Загальний метод вирішення СОДУ з постійними коефіцієнтами
Нехай є матриця деяких чисел $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _ (n) ) \end(array)\right)$.
Рішення СОДУ знаходиться в наступному вигляді: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^(k\cdot x) $, \ dots $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. У матричній формі: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right )=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _(n) ) \end(array)\right)$.
Звідси отримуємо:
Тепер матричного рівнянняданої СОДУ можна надати вигляду:
Отримане рівняння можна так:
Остання рівність показує, що вектор $ \ alpha $ за допомогою матриці $ A $ перетворюється на паралельний йому вектор $ k \ cdot \ alpha $. Це означає, що вектор $\alpha $ є власним векторомматриці $A$, відповідний власним значенням$k$.
Число $k$ можна визначити з рівняння$\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right|=0$.
Це рівняння називається характерним.
Нехай усе коріння $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ характеристичного рівняннярізні. Для кожного значення $k_(i) $ із системи $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)=0$ може бути визначена матриця значень $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i\right)) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(array)\right)$.
Одне із значень у цій матриці вибирають довільно.
Остаточно, рішення даної системи в матричній формі записується так:
$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right)=\ left(\begin(array)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n ) \cdot x) ) \end(array)\right)$,
де $ C_ (i) $ - довільні постійні.
Завдання
Розв'язати систему ДУ $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(array)\right.$.
Записуємо матрицю системи: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.
У матричній формі дана СОДУ записується так: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)\cdot \left(\begin( array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)$.
Отримуємо характеристичне рівняння:
$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(array)\right|=0$, тобто $k^( 2) -10 cdot k + 9 = 0 $.
Коріння характеристичного рівняння: $ k_(1) = 1 $, $ k_ (2) = 9 $.
Складаємо систему для обчислення $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\) right)) ) \end(array)\right)$ при $k_(1) =1$:
\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) \end (array) \ right) = 0, \]
тобто $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right)) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) = 0 $.
Поклавши $ \ alpha _ (1) ^ ( \ left (1 \ right)) = 1 $, отримуємо $ \ alpha _ (2) ^ ( \ left (1 \ right)) = -1 $.
Складаємо систему для обчислення $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\) right)) ) \end(array)\right)$ при $k_(2) =9$:
\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) \end (array) \ right) = 0, \]
тобто $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right)) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) = 0 $.
Поклавши $ \ alpha _ (1) ^ ( \ left (2 \ right)) = 1 $, отримуємо $ \ alpha _ (2) ^ ( \ left (2 \ right)) = 1 $.
Отримуємо рішення СОДУ в матричній формі:
\[\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(array)\right).\]
У звичайній формі рішення СОДУ має вигляд: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(array ) \right.$.
Диференціальне рівняння у символічній формі
Диференціальне рівняння у класичній формі
Однорідне диференціальне рівняння
Характеристичне рівняння
Характеристичний поліном
Передатна функція
Коріння характеристичного рівняння:
Загальне вирішення диференціального рівняння
Так як коріння є комплексним попарно пов'язаним, то характер перехідного процесу є немонотонним (коливальним).
Коріння характеристичного рівняння знаходиться в лівій напівплощині. Система стійка.
Частотну передатну функцію, або комплексний коефіцієнт посилення W(j), можна ввести двома способами:
1. Шляхом знаходження реакції на синусоїдальний (гармонічний сигнал).
2. За допомогою перетворення Фур'є.
Почнемо з першого способу та знайдемо реакцію системи (2.2.1) на гармонійний сигнал, який представимо у показовій формі
де Хm і - амплітуда та кругова частота.
Бо в лінійної системивідсутні нелінійні спотворення, то в режимі, що встановився, на виході також буде гармонійний сигнал тієї ж частоти, в загальному випадкукоїться з іншими амплітудою і фазою, тобто.
Для визначення амплітуди та фази підставимо вирази сигналів (2.4.11), (2.4.12) та їх похідних у диференціальне рівняння та після скорочення на еjt 0 та елементарних перетвореньотримаємо тотожність
Ці співвідношення можна як визначення частотної передавальної функції. У них полягає фізичний сенсчастотної передавальної функції і їх випливає спосіб її експериментального знаходження шляхом вимірювання амплітуд гармонійних сигналів на вході і виході і зсуву по фазі між ними однієї і тієї ж частоти.
У разі другого способу визначення частотної передавальної функції порівняємо (2.4.13) та (2.2.15). З порівняння випливає, що частотна передатна функція є окремим випадком передавальної функції за Лапласом при р = j, тобто.
Так як передатна функція Лапласу застосовна до сигналів довільної (будь-якої) форми, то і частотна передатна функція застосовна для знаходження реакції на сигнал довільної форми, а не обов'язково гармонійний. З (2.4.5) для Фур'є-зображення реакції маємо
Сама реакція, тобто оригінал, є за формулою звернення
Таким чином, з другого визначення частотної передавальної функції випливає частотний метод (метод перетворення Фур'є) знаходження реакції:
1. Для заданого вхідного сигналузнаходимо зображення по Фур'є
2. Знаходимо Фур'є-зображення реакції, використовуючи (2.4.16)
Y(j) = X(j)W(j). (2.4.20)
3. За формулою звернення ( зворотного перетворенняФур'є) знаходимо реакцію
Характер перетворення вхідного сигналу ланкою або системою визначається частотною функцією передачі або відповідними їй частотними характеристиками. Види частотних характеристик тісно пов'язані з формами запису комплексних чисел, Оскільки частотна передатна функція є комплексним числом.
Основні частотні характеристики (рис.2.4.3-2.4.6).
1. Амплітудно-фазова характеристика (АФХ) - залежність W(j) на комплексної площинипри зміні від - до + (Рис. 2.4.3). Оскільки Wх() = Wх(-) - парна функція, а Wу() = Wу(-) - непарна функція, то АФХ для< 0 симметрична относительно вещественной оси характеристике для >0 та її зазвичай не зображують.
2. Речовизна Wх() і уявна Wу() частотні характеристики (рис. 2.4.4) - залежності речовинної та уявної частини від частоти. Маючи на увазі парність речової характеристики та непарність уявної, їх для< 0 обычно не изображают. Четность Wх() и нечетность Wу() вытекают из правила (2.4.22) их выделения из W(j), так как в знаменателе четная функция, а в числителе j в парного ступеня - дійсне число(відходить до Wх()), а в непарної -уявне (відходить до Wy()).
3. Амплітудна (АЧХ) та фазова (ФЧХ) частотні характеристики - залежності А() та () від частоти (рис.2.4.5). Через парність А() і непарність (), їх для< 0 обычно не изображают. Амплитудная частотная характеристика определяет инерционность (пропускную способность) звена или системы. Фазовая частотная характеристика определяет величину фазового сдвига на соответствующей круговой частоте.
4. Зворотна частотна характеристика W-1(j) = 1/W(j). Визначаючи амплітуду та аргумент (фазу) для дробу за правилом (2.4.6), знайдемо
Зі зв'язку між формами запису комплексних чисел випливає, що АФХ можна побудувати Wх(), Wу() або А(), (), а також W-1(j) і навпаки. На рис.2.4.6 зображено зворотний для характеристики на рис.2.4.3 характеристика. На малюнку побудовано коло одиничного радіусу. Відповідно до правила (2.4.22) точки, відповідні А() > 1, лежать усередині кола одиничного радіусу. Точка А() = 1 залишається на колі, але фаза змінюється протилежну (на 180).
Проте, розглядаються ланки, котрим умова фізичної здійсненності не виконується. Це правомірно у певному діапазоні частот. Якщо спектр сигналу на вході ланки виходить за межі цього діапазону, то виникнуть спотворення реакції, не передбачені передатною функцією ланки.
5. Логарифмічні частотні показники.
Найбільш широке застосуванняВиявили логарифмічні характеристики. Для їх пояснення представимо частотну передатну функцію у показовій формі та візьмемо натуральний логарифмвід:
Він дорівнює комплексному виразу; речова його частина є логарифмом від модуля, а уявна - фазою.
На практиці береться десятковий логарифм, так що логарифмічні амплітудні (ЛАХ) і фазові (ЛФГ) характеристики визначаються виразами:
По осі абсцис на графіках відкладається частота логарифмічному масштабі, тобто. lg. Однак бажано робити оцифрування безпосередньо у значеннях кругової частоти, а для розмітки можна скористатися табл.2.4.1. Значення
Таблиця 2.4.1
Амплітуда вимірюється у децибелах, фаза – у градусах. Для розмітки осі абсцис безпосередньо у значеннях (рад/с) можна скористатися будь-якою із трьох шкал (основної, квадратичної та кубічної) логарифмічної лінійки (рис.2.4.7).
Якщо взяти за декаду D мм, то, наприклад, 0.301 грудня (відповідає = 2 рад/с) складе 0.301D мм, 1.301 грудня (відповідає 20 рад/с) складе D+0.301D мм і т.д. Таким чином, точки з оцифровкою в межах від 1 до 10 зміщуємо вправо на декаду і оцифровуємо від 10 до 100 і т.д. (рис.2.4.7), зміщуємо вліво від вихідного становищана одну декаду та оцифровуємо від 0.1 до 1 і т.д.
Якщо 2/1 = 10, то відстань між частотами дорівнює одній декаді (lg10=1), якщо 2/1 = 2, то відстань дорівнює одній октаві.
Так як lg (= 0) = -, то точка = 0 знаходиться на нескінченності зліва. Тому вісь ординат проводять у будь-якому місці з таким розрахунком, щоб на графік потрапив діапазон частот, що цікавить. Оскільки 20lg1 = 0, то L() > 0, якщо А()>1 і L()< 0, если А() < 1. Если А() 0, то L() -.
Розглянемо Лах інерційної ланки. Маємо
A() = ; . (2.4.24)
Лівіше частоти сполучення 0, тобто. у разі 0, знехтуємо під знаком радикала величиною 2 порівняно з 02.
L() 20lg(k). (2.4.25)
Отже, лівіше 0 асимптотична ЛАХ є горизонтальною прямою на висоті 20lg(k). Якщо k = 1, ця пряма збігається з віссю частот.
Правіше частоти сполучення 0 де 0, аналогічно отримаємо пряму з нахилом -20 дБ/дек, так як по осі абсцис відкладається lg.
L() 20lg(k) - 20lg, (2.4.26)
У точці 0 маємо похибку заміни точної (реальної) характеристики на асимптотичну, рівну
Lточ(0)=Lприб(0)+L(0),
реальна характеристика в точці 0 розташована нижче асимптотичної на 3дБ. Насправді похибка в 3дБ вважається невеликий і враховується.
Логарифмічні характеристики ланок
Таблиця 2.4.6
З табл.2.4.6 випливає:
1. Нахил і відповідно зсув фазою на низьких частотах можуть дати тільки інтегруючі або диференціюючі ланки. Якщо, наприклад, в передавальній функції є r інтегруючих ланок, то нахил ЛАХ на низьких частотах дорівнює, а зсув по фазі відповідно.
2. n коріння знаменника (полюсів передавальної функції), тобто. ступеня знаменника n відповідає нахил ЛАХ на верхніх частотах, рівний, і у разі мінімально фазової системи - відповідно зсув по фазі на високих частотах, рівних.
3. корінням чисельника (нулям передавальної функції) на високих частотах аналогічно відповідають нахил ЛАХ, рівний, і зсув по фазі.
4. У разі передавальної функції
мінімально-фазової системи з n полюсами і n1 нулями нахил ЛАХ на високих частотах дорівнює, а зсув фазою дорівнює градусів.
Побудова логарифмічних характеристик систем
та відновлення передавальної функції по ЛАХ
Якщо ланки системи з'єднані послідовно, то
і для модуля та аргументу комплексного коефіцієнта посилення розімкнутої системи відповідно маємо:
Очевидно,
Отже, для побудови ЛАХ та ЛФГ слід підсумувати відповідні характеристики окремих ланок.
Приклад 2.4.3. Побудувати ЛАХ та ЛФГ за передатною функцією
де; с; с. Відповідно сполучні частоти рівні; ;.
Передаточну функцію представимо у вигляді додавання передавальних функцій інтегруючої ланки
інерційних ланок
та форсуючого
Логарифмічні амплітудні та фазові характеристикиокремих ланок, а також результуючі ЛАХ та ЛФГ системи побудовані на рис.2.4.13 та 2.4.14.
На рис.2.4.13 жирними лініями показані асимптотичні лахи ланок. Характеристики двох інерційних ланок з передатними функціями та на графіках зливаються, але їх необхідно враховувати двічі. Це стосується також і ЛФГ цих ланок. Для побудови результуючої ЛАХ до ЛАХ інтегруючої ланки послідовно додавалися характеристики інших ланок при переміщенні вздовж осі частот зліва направо в міру зустрічі частот, що сполучають. Після чергової частоти сполучення нахил ЛАХ змінювався. Приріст нахилу відповідало ланці, якій належала сполучна частота.
Аналізуючи результати прикладу і характеристики типових ланок (табл.2.4.6), можна дійти невтішного висновку, що ЛАХ розімкнутої системи можна побудувати відразу, минаючи проміжні побудови ЛАХ ланок і підсумовування їх, за правилом:
1. Знайти сполучні частоти та відкласти їх на осі частот. Вісь ординат провести для зручності лівіше найнижчої частоти, що сполучає.
2. При щ = 1 відкласти 20 lgk і через цю точку провести пряму з нахилом -20 дБ/г, якщо в системі є інтегруючих ланок, або з нахилом +20 дБ/г, якщо в системі є диференційних ланок (при = 0 низькочастотна асимптота ЛАХ паралельна осі абсцис).
3. При проходженні зліва направо кожній із частот сполучення характеристика відчуває збільшення нахилу -20 дБ/дек (для інерційної ланки), -40 дБ/дек (для коливальної ланки), +20 дБ/дек (для форсуючої ланки), +40 дБ / Дек (для ланки, зворотного коливальному). Якщо сполучні частоти декількох ланок однакові, то збільшення нахилу ЛАХ дорівнює сумарному приросту від усіх ланок. Якщо є хоча одна частота сполучення, менша одиниці, то точка 20lgk при щ = 1 нічого очікувати лежати на результуючої ЛАХ.
4. Ввести поправку до асимптотичної ЛАХ за наявності коливальних або зворотних ланок.
Для контролю правильності побудови ЛАХ та ЛФГ корисно пам'ятати, що нахил ЛАХ в області високих частот (щ > ?) дорівнює 20 (m-n) дБ/дек, де m – порядок чисельника, n – порядок знаменника передавальної функції системи. Крім того
де знак мінус береться за наявності інтегруючих, а плюс диференціюють ланок. З аналізу методики побудови ЛАХ по передавальної функції випливає можливість зворотного переходу, тобто відновлення передавальної функції мінімально-фазової системи по ЛАХ.
При відновленні передавальної функції мінімально-фазової системи по ЛАХ записуємо дріб, у чисельнику якого ставимо загальний коефіцієнт посилення і далі робимо начинку дробу. За величиною нахилу низькочастотної ділянки визначаємо кількість інтегруючих або диференціюючих ланок (формально негативному нахилу відповідають інтегруючі ланки і, відповідно, множник у знаменнику, позитивному нахилу - множник у чисельнику, - кратність нахилу 20 децибелам). У разі нульового нахилу інтегруючі або диференційні ланки відсутні. Далі при русі зліва направо в міру зустрічі частот сполучення аналізуємо збільшення (зміна) нахилу. Якщо збільшення становить +20 Дб/дек, то в чисельник записуємо для форсуючої ланки виду, якщо збільшення становить -20 Дб/дек, то знаменник записуємо для інерційної ланки виду. У разі збільшення нахилу +40 Дб/дек у чисельник записуємо дві форсуючі ланки, у разі збільшення нахилу -20 Дб/дек у знаменник записуємо для двох інерційних ланки виду. Якщо на ЛАХ показана поправка на коефіцієнт загасання, то замість двох форсуючих або інерційних ланок записуємо зворотну коливальну або коливальну ланку (множник у чисельнику чи знаменнику). Якщо кратність нахилу 3 і більше, записуємо відповідну кількість ланок з однаковими частотами сполучення. Для визначення коефіцієнта посилення знаходимо точку перетину продовження низькочастотного ділянку ЛАХ з вертикальною прямою з абсцисою і по ординаті цієї точки визначаємо.
У разі мінімально-фазової системи у двочленах та тричленах, згаданих вище, беремо знаки “+”. Якби були не мінімально-фазові ланки, потрібно було б узяти знак “-“. При цьому ЛАХ залишилася колишньою, а ЛФГ була б іншою. Тож у разі мінімально-фазової системи відновлення однозначно немає необхідності контролювати АФХ.
Приклад 2.4.4. Відновити передатну функцію мінімально-фазової системи з ЛАХ рис.2.4.15.
Рис.2.4.15.
У відповідність до наведених міркувань передатна функція мінімально-фазової системи дорівнюватиме
За RLC-ланцюгом завдання 1 записати частотну передатну функцію та аналітичні вирази частотних характеристик.
5. Побудувати амплітудно-фазову характеристику (АФГ).
6. Побудувати амплітудну та фазову частотні характеристики.
7. Побудувати речовинну та уявну частотні характеристики.
8. Побудувати логарифмічні характеристики (ЛАХ та ЛФГ). Визначити до якого типу коригувальних ланок відноситься дана ланка (інтегруюча, диференціююча, інтегруюча). Яких частот цей фільтр.
9. АФХ побудувати зворотну частотну характеристику.
Частотна передатна функція у параметричній формі
Амплітудна частотна характеристика
Фазова частотна характеристика
Речовинна частотна характеристика
Вільний режим схеми залежить від джерел енергії, визначається лише структурою схеми та параметрами її елементів. З цього випливає, що коріння характеристичного рівняння p1, p2, ... pn будуть однаковими для всіх змінних функцій(струмів і напруг).
Характеристичне рівнянняможна скласти різними методами. Перший метод – класичний, коли характеристичне рівняння складається строго відповідно до диференціального за класичною схемою. Під час розрахунку перехідних процесів у складній схемі складається система з “m” диференціальних рівнянь за законами Кірхгофа для схеми ланцюга після комутації. Оскільки коріння характеристичного рівняння є спільними всім змінних, то рішення системи диференціальних рівнянь виконується щодо будь-якої змінної (на вибір). В результаті рішення одержують неоднорідне диференціальне рівняння з однією змінною. Складають характеристичне рівняння відповідно до отриманого диференціального і визначають його коріння.
приклад. Скласти характеристичне рівняння та визначити його коріння для змінних у схемі рис. 59.1. Параметри елементів задані у загальному вигляді.
Система диференціальних рівнянь за законами Кірхгофа:
Розв'яжемо систему рівнянь щодо змінної i 3 в результаті отримаємо неоднорідне диференціальне рівняння:
Другий спосіб складання характеристичного рівняння полягає у прирівнюванні нуля головного визначника системи рівнянь Кірхгофа для вільних складових змінних.
Нехай вільна складова довільного струму має вигляд i ксв =А k e pt тоді:
Система рівнянь для вільних складових виходить із системи диференціальних рівнянь Кірхгофа шляхом заміни похідних від змінних на множник р, а інтегралів – на 1/р. Для прикладу, що розглядається, система рівнянь для вільних складових має вигляд:
Характеристичне рівняння та його корінь:
Третій спосіб складання характеристичного рівняння (інженерний) полягає в прирівнюванні нуля вхідного операторного опору схеми щодо її гілки.
Операторний опір елемента виходить з його комплексного опору шляхом простої заміни множника jω на р, отже
Для прикладу, що розглядається:
Третій спосіб є найбільш простим та економічним, тому він частіше за інших застосовується при розрахунку перехідних процесів в електричних ланцюгах.
Коріння характеристичного рівняння характеризує вільний перехідний процес у схемі без джерел енергії. Такий процес протікає із втратами енергії і тому згасає у часі. З цього випливає, що коріння характеристичного рівняння має бути негативним або мати негативну речову частину.
У загальному випадку порядок диференціального рівняння, яким описується перехідний процес у схемі, і, отже, ступінь характеристичного рівняння та число його коренів дорівнюють числу незалежних початкових умов, або числу незалежних накопичувачів енергії (котушок L і конденсаторів C). Якщо в схемі ланцюга містяться паралельно включені конденсатори С1, С2, ... або послідовно включені котушки L1, L2, ..., то при розрахунку перехідних процесів вони повинні бути замінені одним еквівалентним елементом СЕ = С1 + С2 + ... або L Е = L1 + L2+…
Таким чином, загальний виглядрішення для будь-якої змінної при розрахунку перехідного процесу може бути складений лише з аналізу схеми ланцюга, без складання та розв'язання системи диференціальних рівнянь.
Для прикладу, що розглядається вище.
