Як складати дроби з однаковим чисельником. Знаходження числа за його відсотками

Події з дробами.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Отже, що являють собою дроби, види дробів, перетворення - ми згадали. Займемося основним питанням.

Що можна робити із дробами?Та все те, що і зі звичайними числами. Складати, віднімати, множити, ділити.

Всі ці дії з десятковимидробами нічим не відрізняються від дій із цілими числами. Власне, цим вони й добрі, десяткові. Єдино, кому правильно поставити треба.

Змішані числаЯк я вже казав, малопридатні для більшості дій. Їх все одно треба переводити у звичайні дроби.

А ось дії з звичайними дробамихитрішими будуть. І набагато важливіше! Нагадаю: всі дії з дробовими виразами з літерами, синусами, невідомими та інші та інші нічим не відрізняються від дій зі звичайними дробами! Дії зі звичайними дробами – це основа для всієї алгебри. Саме тому ми дуже докладно розберемо тут всю цю арифметику.

Складання та віднімання дробів.

Скласти (відібрати) дроби з однаковими знаменниками кожен зможе (дуже сподіваюся!). Ну вже зовсім забудькуватим нагадаю: при складанні (відніманні) знаменник не змінюється. Чисельники складаються (віднімаються) і дають чисельник результату. Типу:

Коротше, у загальному вигляді:

А якщо знаменники різні? Тоді, використовуючи основну властивість дробу (ось воно і знову знадобилося!), робимо знаменники однаковими! Наприклад:

Тут нам із дробу 2/5 довелося зробити дріб 4/10. Винятково з метою зробити знаменники однаковими. Зауважу, про всяк випадок, що 2/5 та 4/10 це один і той же дріб! Тільки 2/5 нам незручно, а 4/10 дуже нічого.

До речі, у цьому є суть рішень будь-яких завдань з математики. Коли ми з незручноговирази робимо те саме, але вже зручне для вирішення.

Ще приклад:

Ситуація є аналогічною. Тут ми із 16 робимо 48. Простим множенням на 3. Це все зрозуміло. Але ось нам трапилося щось типу:

Як бути?! З сімки дев'ятку важко зробити! Але ми розумні, ми знаємо правила! Перетворюємо кожнудріб так, щоб знаменники стали однаковими. Це називається «приведемо до спільного знаменника»:

Ось як! Звідки я дізнався про 63? Дуже просто! 63 це число, яке ціле ділиться на 7 і 9 одночасно. Таке число можна отримати перемноженням знаменників. Якщо ми якесь число помножили на 7, наприклад, то результат точно на 7 ділитися буде!

Якщо треба скласти (відняти) кілька дробів, немає потреби робити це попарно, по кроках. Просто треба знайти знаменник, загальний для всіх дробів, і привести кожен дріб до цього знаменника. Наприклад:

І який спільний знаменник буде? Можна, звичайно, перемножити 2, 4, 8 і 16. Отримаємо 1024. Кошмар. Простіше прикинути, що число 16 відмінно ділиться і на 2, і на 4, і на 8. Отже, з цих чисел легко отримати 16. Це число буде спільним знаменником. 1/2 перетворимо на 8/16, 3/4 на 12/16, ну і так далі.

До речі, якщо за загальний знаменник взяти 1024, теж все вийде, наприкінці все скорочується. Тільки до цього кінця не всі дістануться, через обчислення...

Дорішайте приклад самостійно. Чи не логарифм який... Повинно вийти 29/16.

Отже, зі складанням (відніманням) дробів ясно, сподіваюся? Звичайно, простіше працювати в скороченому варіанті з додатковими множниками. Але це задоволення є тим, хто чесно працював у молодших класах... І нічого не забув.

А зараз ми поробимо ті самі дії, але не з дробами, а з дробовими виразами. Тут виявляться нові граблі, та...

Отже, нам треба скласти два дробові вирази:

Потрібно зробити знаменники однаковими. Причому лише за допомогою множення! Така основна властивість дробу велить. Тому я не можу в першому дробі у знаменнику до ікса додати одиницю. (А ось би добре було!). А от якщо перемножити знаменники, дивишся, все й зростеться! Так і записуємо, межу дробу, зверху порожнє місце залишимо, потім допишемо, а знизу пишемо твір знаменників, щоб не забути:

І, звичайно, нічого у правій частині не перемножуємо, дужки не відкриваємо! А тепер, дивлячись на загальний знаменник правої частини, розуміємо: щоб у першому дробі вийшов знаменник х(х+1), треба чисельник та знаменник цього дробу помножити на (х+1). А у другому дробі – на х. Вийде ось що:

Зверніть увагу! Тут з'явилися дужки! Це і є ті граблі, на які багато хто наступає. Не дужки, звісно, ​​а їхня відсутність. Дужки з'являються тому, що ми множимо весьчисельник та весьзнаменник! А не їхні окремі шматочки...

У чисельнику правої частини записуємо суму чисельників, як у числових дробах, потім розкриваємо дужки в чисельнику правої частини, тобто. перемножуємо все та наводимо подібні. Розкривати дужки у знаменниках, перемножувати щось не потрібно! Взагалі, у знаменниках (будь-яких) завжди приємніший твір! Отримаємо:

Ось і отримали відповідь. Процес здається довгим та важким, але це від практики залежить. Розв'язуєте приклади, звикніть, все стане просто. Ті, хто освоїв дроби в належний час, всі ці операції однією лівою роблять на автоматі!

І ще одне зауваження. Багато хто хвацько розправляються з дробами, але зависають на прикладах з цілимичислами. Типу: 2+1/2+3/4=? Куди пристебнути двійку? Нікуди не треба пристібати, треба з двійки дріб зробити. Це не просто, а дуже просто! 2 = 2/1. Ось так. Будь-яке ціле число можна записати як дробу. У чисельнику - саме число, у знаменнику - одиниця. 7 це 7/1, 3 це 3/1 тощо. З літерами – те саме. (а+в) = (а+в)/1, х=х/1 тощо. А далі працюємо з цими дробами за всіма правилами.

Ну, за додаванням - віднімання дробів знання освіжили. Перетворення дробів з одного виду на інший - повторили. Можна й перевіритись. Вирішуємо трохи?)

Обчислити:

Відповіді (безладно):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Множення/розподіл дробів - у наступному уроці. Там же завдання на всі дії з дробами.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Розглянемо дріб $ frac63 $. Її величина дорівнює 2, тому що $ frac63 = 6:3 = 2 $. А що станеться, якщо чисельник та знаменник помножити на 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Очевидно, величина дробу не змінилася, так як $\frac(12)(6)$ як у дорівнює 2. Можна помножити чисельник та знаменникна 3 і отримати $ frac (18) (9) $, або на 27 і отримати $ frac (162) (81) $ або на 101 і отримати $ frac (606) (303) $. У кожному з цих випадків величина дробу, яку ми отримуємо, розділивши чисельник на знаменник, дорівнює 2. Це означає, що не змінилася.

Така сама закономірність спостерігається й у разі інших дробів. Якщо чисельник і знаменник дробу $\frac(120)(60)$ (рівний 2) розділити на 2 (результат $\frac(60)(30)$), або на 3 (результат $\frac(40)(20) $), або 4 (результат $\frac(30)(15)$) тощо, то кожному разі величина дробу залишається незмінною і дорівнює 2.

Це правило поширюється також на дроби, які не рівні цілого числа.

Якщо чисельник і знаменник дробу $ frac (1) (3) $ помножити на 2, ми отримаємо $ frac (2) (6) $, тобто величина дробу не змінилася. І справді, якщо ви розділите пиріг на 3 частини та візьмете одну з них або розділите його на 6 частин та візьмете 2 частини, ви в обох випадках отримаєте однакову кількість пирога. Отже, числа $ frac (1) (3) $ і $ frac (2) (6) $ ідентичні. Сформулюємо загальне правило.

Чисельник і знаменник будь-якого дробу можна помножити або розділити на те саме число, і при цьому величина дробу не змінюється.

Це правило виявляється дуже корисним. Наприклад, воно дозволяє в ряді випадків, але не завжди уникнути операцій з великими числами.

Наприклад, ми можемо розділити чисельник і знаменник дробу $\frac(126)(189)$ на 63 і отримати дріб $\frac(2)(3)$ з яким набагато простіше робити розрахунки. Ще один приклад. Чисельник і знаменник дробу $\frac(155)(31)$ можемо розділити на 31 і отримати дріб $\frac(5)(1)$ або 5, оскільки 5:1=5.

У цьому прикладі ми вперше зустрілися з дробом, знаменник якого дорівнює 1. Такі дроби відіграють важливу роль під час обчислень. Слід пам'ятати, що будь-яке число можна розділити на 1 і його величина не зміниться. Тобто $ \ frac (273) (1) $ дорівнює 273; $\frac(509993)(1)$ дорівнює 509993 і так далі. Отже, ми можемо не розділяти числа на , оскільки кожне ціле число можна подати у вигляді дробу зі знаменником 1.

З такими дробами, знаменник яких дорівнює 1, можна робити ті ж арифметичні дії, що і з усіма іншими дробами: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

Ви можете запитати, яка користь від того, що ми представимо ціле число у вигляді дробу, у якого під рисою стоятиме одиниця, адже з цілим числом працювати зручніше. Але справа в тому, що уявлення цілого числа у вигляді дробу дає нам можливість ефективніше робити різні дії, коли ми маємо справу одночасно і з цілими, і з дробовими числами. Наприклад, щоб навчитися складати дроби з різними знаменниками. Припустимо, нам треба скласти $\frac(1)(3)$ і $\frac(1)(5)$.

Ми знаємо, що складати можна лише ті дроби, знаменники яких рівні. Отже, нам треба навчитися приводити дроби до такого виду, коли їхні знаменники є рівними. У цьому випадку нам знову знадобиться те, що можна множити чисельник і знаменник дробу на те саме число без зміни його величини.

Спочатку помножимо чисельник і знаменник дробу $\frac(1)(3)$ на 5. Отримаємо $\frac(5)(15)$, величина дробу не змінилася. Потім помножимо чисельник і знаменник дробу $ frac (1) (5) $ на 3. Отримаємо $ frac (3) (15) $, знову величина дробу не змінилася. Отже, $ frac (1) (3) + frac (1) (5) = frac (5) (15) + frac (3) (15) = frac (8) (15) $.

Тепер спробуємо застосувати цю систему до додавання чисел, що містять як цілу, так і дробову частини.

Нам треба скласти $3 + frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Спочатку переведемо всі складові у форму дробів і отримаємо: $ frac31 + frac (1) (3) + frac (5) (4) $. Тепер нам треба привести всі дроби до спільного знаменника, для цього ми чисельник і знаменник першого дробу множимо на 12, другого - на 4, а третього - на 3. У результаті отримуємо $\frac(36)(12) + \frac(4) )(12)+\frac(15)(12)$, що дорівнює $\frac(55)(12)$. Якщо ви хочете позбутися неправильного дробу, її можна перетворити на число, що складається з цілої та дробової частин: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ або $4\frac(7)( 12) $.

Усі правила, що дозволяють проводити операції з дробами, які ми з вами щойно вивчили, також справедливі у разі негативних чисел. Так, -1: 3 можна записати як $ frac (-1) (3) $, а 1: (-3) як $ frac (1) (-3) $.

Оскільки як при розподілі негативного числа на позитивне, так і при розподілі позитивного числа на негативне в результаті ми отримуємо негативні числа, в обох випадках отримаємо відповідь у вигляді негативного числа. Тобто

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ або $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. Знак мінус при такому написанні відноситься до всього дробу цілком, а не окремо до чисельника чи знаменника.

З іншого боку, (-1) : (-3) можна записати як $\frac(-1)(-3)$, а оскільки при розподілі негативного числа на негативне число ми отримуємо позитивне число, то $\frac(-1 )(-3)$ можна записати як $+\frac(1)(3)$.

Додавання і віднімання негативних дробів проводять за тією ж схемою, що і додавання, і віднімання позитивних дробів. Наприклад, що таке $1-1\frac13$? Представимо обидва числа у вигляді дробів і отримаємо $ frac (1) (1) - frac (4) (3) $. Приведемо дроби до спільного знаменника і отримаємо $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, тобто $\frac(3)(3)-\frac(4) (3)$, або $-\frac(1)(3)$.

Правила складання дробів із різними знаменниками дуже прості.

Розглянемо правила складання дробів із різними знаменниками по кроках:

1. Знайти НОК (найменше загальне кратне) знаменників. Отриманий НОК буде спільним знаменником дробів;

2. Привести дроби до спільного знаменника;

3. Скласти дроби, наведені до спільного знаменника.

На простому прикладі навчимося застосовувати правила складання дробів із різними знаменниками.

приклад

Приклад додавання дробів з різними знаменниками.

Скласти дроби з різними знаменниками:

Вирішуватимемо по кроках.

1. Знайти НОК (найменше загальне кратне) знаменників.

Число 12 ділиться на 6.

Звідси робимо висновок, що 12 є найменшим загальним кратним чисел 6 і 12.

Відповідь: нок чисел 6 і 12 дорівнює 12:

НОК(6, 12) = 12

Отриманий НОК і буде спільним знаменником двох дробів 1/6 та 5/12.

2. Привести дроби до спільного знаменника.

У нашому прикладі привести до спільного знаменника 12 потрібно лише перший дріб, адже у другого дробу знаменник вже дорівнює 12.

Розділимо загальний знаменник 12 на знаменник першого дробу:

2 є додатковий множник.

Помножимо чисельник і знаменник першого дробу (1/6) на додатковий множник 2.

На даному уроці буде розглянуто додавання та віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками. Ми вже знаємо, як складати і віднімати прості дроби з різними знаменниками. Для цього дробу необхідно привести до спільного знаменника. Виявляється, що алгебраїчні дроби підкоряються тим самим правилам. При цьому ми вже вміємо приводити дроби алгебри до спільного знаменника. Додавання та віднімання дробів з різними знаменниками - одна з найбільш важливих і складних тем в курсі 8 класу. При цьому ця тема зустрічатиметься у багатьох темах курсу алгебри, які ви вивчатимете надалі. У рамках уроку ми вивчимо правила складання та віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками, а також розберемо цілу низку типових прикладів.

Розглянемо найпростіший приклад для звичайних дробів.

приклад 1.Скласти дроби: .

Рішення:

Згадаймо правило додавання дробів. Для початку дробу необхідно привести до спільного знаменника. У ролі спільного знаменника для звичайних дробів виступає найменше загальне кратне(НОК) вихідних знаменників.

Визначення

Найменше натуральне число, яке ділиться одночасно на числа і .

Для знаходження НОК необхідно розкласти знаменники на прості множники, а потім вибрати всі прості множники, які входять до розкладання обох знаменників.

; . Тоді до НОК чисел повинні входити дві двійки та дві трійки: .

Після знаходження спільного знаменника, необхідно для кожного з дробів знайти додатковий множник (фактично поділити спільний знаменник на знаменник відповідного дробу).

Потім кожен дріб множиться на отриманий додатковий множник. Виходять дроби з однаковими знаменниками, складати та віднімати які ми навчилися на минулих уроках.

Отримуємо: .

Відповідь:.

Розглянемо тепер додавання алгебраїчних дробів із різними знаменниками. Спочатку розглянемо дроби, знаменники яких числами.

приклад 2.Скласти дроби: .

Рішення:

Алгоритм рішення абсолютно аналогічний до попереднього прикладу. Легко підібрати загальний знаменник цих дробів: і додаткові множники кожної з них.

.

Відповідь:.

Отже, сформулюємо алгоритм складання та віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками:

1. Знайти найменший загальний знаменник дробів.

2. Знайти додаткові множники для кожного дробу (поділивши спільний знаменник на знаменник даного дробу).

3. Примножити чисельники на відповідні додаткові множники.

4. Скласти або відняти дроби, користуючись правилами додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Розглянемо тепер приклад із дробами, у знаменнику яких є буквені вирази.

приклад 3.Скласти дроби: .

Рішення:

Оскільки буквені вирази в обох знаменниках однакові, слід знайти загальний знаменник для чисел . Підсумковий загальний знаменник матиме вид: . Таким чином, рішення цього прикладу має вигляд:.

Відповідь:.

приклад 4.Відняти дроби: .

Рішення:

Якщо «схитрувати» при підборі спільного знаменника не вдається (не можна розкласти на множники або скористатися формулами скороченого множення), то як спільний знаменник доводиться брати добуток знаменників обох дробів.

Відповідь:.

Загалом, при вирішенні подібних прикладів, найскладнішим завданням є знаходження спільного знаменника.

Розглянемо складніший приклад.

Приклад 5.Спростити: .

Рішення:

При знаходженні спільного знаменника необхідно насамперед спробувати розкласти знаменники вихідних дробів на множники (щоб спростити спільний знаменник).

У даному конкретному випадку:

Тоді легко визначити спільний знаменник: .

Визначаємо додаткові множники та вирішуємо даний приклад:

Відповідь:.

Тепер закріпимо правила складання та віднімання дробів з різними знаменниками.

Приклад 6.Спростити: .

Рішення:

Відповідь:.

Приклад 7.Спростити: .

Рішення:

.

Відповідь:.

Розглянемо тепер приклад, у якому складаються не два, а три дроби (адже правила додавання та віднімання для більшої кількості дробів залишаються такими ж).

Приклад 8.Спростити: .

Щоб до дробу додати ціле число, достатньо виконати ряд дій, а точніше підрахунків.

Наприклад, у вас 7 - ціле число, його потрібно додати до дробу 1/2.

Діємо наступним чином:

• 7 множимо на знаменник (2), виходить 14,
• до 14 додаємо верхню частину (1), виходить 15,
• та підставляємо знаменник.
• у результаті виходить 15/2.

Таким нехитрим способом можна додавати цілі числа до дрібних.

А щоб виділити ціле число з дробу, треба поділити чисельник на знаменник, а залишок – і буде дріб.

Операція додавання до правильного звичайного дробу цілого числа не складна і часом полягає просто в утворенні змішаного дробу, в якому ціла частина ставиться ліворуч від дробової частини, наприклад такий дріб буде змішаним:

Однак частіше при додаванні до дробу цілого числа виходить неправильний дріб, у якого чисельник виявляється більшим за знаменник. Виконується ця операція так: ціле число представляють у вигляді неправильного дробу з тим же знаменником, що і дроб, що додається і потім просто складають чисельники обох дробів. На прикладі це виглядатиме так:

5+1/8 = 5*8/8+1/8 = 40/8+1/8 = 41/8

На мою думку, це дуже просто.

Наприклад, ми маємо дріб 1/4 (це те саме, що 0,25, тобто чверть від цілого числа).

І до цієї чверті можна додати будь-яке ціле число, наприклад, 3. Вийде три з чвертю:

3,25. Або в дробі це виражається так: 3 1/4

Ось на прикладі цього прикладу можна складати будь-які дроби з будь-якими цілими числами.

Потрібно звести ціле число на дріб зі знаменником 10 (6/10). Далі, привести наявний дріб до спільного знаменника 10 (35 = 610). Та й здійснити операцію як зі стандартними дробами 610+610=1210 всього 12.

Можна зробити це двома способами.

1). Дроб можна перевести в ціле число і здійснити додавання. Наприклад, 1/2 це 0,5; 1/4 дорівнює 0,25; 2/5 це 0,4 тощо.

Беремо ціле число 5, до якого потрібно додати дріб 4/5. Перетворимо дріб: 4/5 це 4 розділити на 5 і одержуємо 0,8. Додає 0,8 до 5 і отримуємо 5,8 або 5 4/5.

2). Другий спосіб: 5+4/5=29/5=5 4/5.

Додавання дробів проста математична дія, наприклад, вам потрібно скласти ціле число 3 і дріб 1/7. Щоб скласти ці два числа, у вас має бути один знаменник, тому ви повинні три помножити на сім і розділити на цю цифру, тоді ви отримуєте 21/7+1/7, знаменник один, складаєте 21 та 1, виходить відповідь 22/7 .

Просто взяти і додати ціле число до цього дробу. Допустимо треба 6+1/2=6 1/2. Ну і якщо це десятковий дріб, то можна наприклад так 6+1,2=7,2.

Щоб скласти дріб і ціле число, потрібно до цілого числа додати дробове і записати їх, у вигляді комплексного числа, наприклад, при складанні звичайного дробу з цілим числом, отримаємо: 1/2 +3 =3 1/2; при додаванні десяткового дробу: 0,5 +3 =3,5.

Дроб сам по собі не є цілим числом, тому що він за своєю кількістю до нього не дотягує, а тому немає необхідності переводити ціле число в цей дріб. Тому ціле число залишається цілим і повноцінно демонструє повний номінал, а дріб до нього плюсується, і демонструє те, що цьому числу не вистачає до додавання наступного повного бала.

Академічний приклад.

10 + 7/3 = 10 цілих та 7/3.

Якщо, звичайно, є цілі, то вони підсумовуються з цілими.

12 + 5 7/9 = 17 та 7/9.

Дивлячись, яке ціле число і який дріб.

Якщо обидва доданки позитивні, слід приписати до цілого числа цей дріб. Вийде змішане число. Причому можуть бути 2 випадки.

Випадок 1.

• Дроб правильний, тобто. чисельник менший за знаменник. Тоді отримане після приписування змішане число буде відповіддю.

4/9 + 10 = 10 4/9 (десять цілих чотири дев'ятих).



Випадок 2

• Дроб неправильний, тобто. чисельник більший за знаменник. Тоді потрібне невелике перетворення. Неправильну дріб слід перетворити на змішане число, тобто виділити цілу частину. Робиться це так:



Після цього до цілого числа потрібно додати цілу частину неправильного дробу та до отриманої суми приписати її дробову частину. Так само до змішаного числа додається ціле.

1) 11/4 + 5 = 2 3/4 + 5 = 7 3/4 (7 цілих три четверті).

2) 5 1/2 + 6 = 11 1/2 (11 цілих одна друга).

Якщо один із доданків або обидва негативні, то додавання виконуємо за правилами складання чисел з різними чи однаковими знаками. Ціле число представляється у вигляді відношення цього числа і 1, а потім і чисельник, і знаменник множиться на число, що дорівнює знаменнику того дробу, до якого додається ціле число.

3) 1/5 + (-2) = 1/5 + -2/1 = 1/5 + -10/5 = -9/5 = -1 4/5 (мінус 1 ціла чотири п'ятих).

4) -13/3 + (-4) = -13/3 + -4/1 = -13/3 + -12/3 = -25/3 = -8 1/3 (мінус 8 цілих одна третя).

Зауваження.

Після знайомства з негативними числами, щодо дій з ними учні 6 класу повинні розуміти, що до негативного дробу додати позитивне ціле число те саме, що віднімати з натурального числа дріб. Ця дія, як відомо, виконується так:



Для того щоб зробити додавання дробу і цілого числа потрібно просто привести існуюче ціле число до дробового, а зробити це простіше простого. Потрібно просто взяти знаменник дробу (є в прикладі) і зробити його знаменником цілого числа, помноживши його на цей знаменник і розділивши, ось приклад:

2+2/3 = 2*3/3+2/3 = 6/3+2/3 = 8/3