Як складати та віднімати з різними знаками. IV

У цій статті ми розберемося зі додаванням чисел з різними знаками. Тут ми наведемо правило додавання позитивного і негативного числа, і розглянемо приклади застосування цього правила при додаванні чисел з різними знаками.

Навігація на сторінці.

Правило складання чисел з різними знаками

Приклади складання чисел з різними знаками

Розглянемо приклади складання чисел з різними знакамиза правилом, розібраним у попередньому пункті. Почнемо із простого прикладу.

приклад.

Складіть числа −5 та 2 .

Рішення.

Нам потрібно скласти числа із різними знаками. Виконаємо всі кроки, вказані правилом складання позитивного та негативного числа.

Спочатку знаходимо модулі доданків, вони дорівнюють 5 і 2 відповідно.

Модуль числа −5 більший, ніж модуль числа 2 тому запам'ятовуємо знак мінус.

Залишилося поставити пам'ятний знак мінус перед отриманим числом, отримуємо −3 . На цьому складання чисел із різними знаками завершено.

Відповідь:

(−5)+2=−3 .

Щоб скласти раціональні числа з різними знаками, які є цілими, їх слід подати у вигляді звичайних дробів (можна працювати і з десятковими дробами , якщо це зручно). Розберемо цей момент під час вирішення наступного прикладу.

приклад.

Складіть позитивне число та від'ємне число −1,25 .

Рішення.

Представимо числа у вигляді звичайних дробів, для цього виконаємо перехід від змішаного числа до неправильного дробу : , і переведемо десятковий дріб у звичайний : .

Тепер можна скористатися правилом складання чисел із різними знаками.

Модулі чисел, що складаються, рівні 17/8 і 5/4 . Для зручності виконання подальших дій, наведемо дроби до спільного знаменника, в результаті маємо 17/8 та 10/8.

Зараз нам потрібно здійснити порівняння звичайних дробів 17/8 та 10/8. Так як 17> 10, то . Таким чином, доданок зі знаком плюс має більший модуль, тому запам'ятовуємо знак плюс.

Тепер з більшого модуля віднімаємо менший, тобто виконуємо віднімання дробів з однаковими знаменниками: .

Залишилося перед отриманим числом поставити запам'ятований знак плюс, отримуємо , але - це число 7/8 .

У цьому уроці ми вивчимо додавання та віднімання цілих чисел, а також правила для їх складання та віднімання.

Нагадаємо, що цілі числа - це всі позитивні та негативні числа, а також число 0. Наприклад, наступні числа є цілими:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Позитивні числа легко і . На жаль, цього не можна сказати про негативні числа, які бентежать багатьох новачків своїми мінусами перед кожною цифрою. Як показує практика, помилки зроблені через негативні числа, засмучують учнів найбільше.

Приклади складання та віднімання цілих чисел

Перше чого слід навчитися, це складати та віднімати цілі числа за допомогою координатної прямої. Зовсім необов'язково малювати координатну пряму. Достатньо уявляти її у своїх думках і бачити, де розташовуються негативні числа, і де позитивні.

Розглянемо найпростіший вираз: 1 + 3. Значення даного виразу дорівнює 4:

Цей приклад можна зрозуміти за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де знаходиться число 1, потрібно зрушити праворуч на три кроки. В результаті ми опинимося в точці, де знаходиться число 4. На малюнку можна побачити, як це відбувається:

Знак плюса у виразі 1+3 вказує нам, що ми повинні рухатися праворуч у бік збільшення чисел.

приклад 2.Знайдемо значення виразу 1-3.

Значення даного виразу дорівнює −2

Цей приклад знову ж таки можна зрозуміти за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де розташовується число 1, потрібно зрушити вліво на три кроки. Через війну ми опинимося у точці, де розташовується негативне число −2. На малюнку можна побачити, як це відбувається:

Знак мінуса у виразі 1 - 3 вказує нам, що ми повинні рухатися вліво у бік зменшення чисел.

Взагалі, слід запам'ятати, що й здійснюється додавання, потрібно рухатися вправо у бік збільшення. Якщо ж здійснюється віднімання, потрібно рухатися вліво у бік зменшення.

приклад 3.Знайти значення виразу -2 + 4

Значення даного виразу дорівнює 2

Цей приклад знову ж таки можна зрозуміти за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де розташовується від'ємне число −2, потрібно зрушити вправо на чотири кроки. В результаті ми опинимося в точці, де знаходиться позитивне число 2.

Видно, що ми зрушили з точки, де розташовується від'ємне число −2 у праву сторону на чотири кроки, і опинилися в точці, де розташовується позитивне число 2.

Знак плюса у виразі −2 + 4 вказує нам, що ми маємо рухатися праворуч у бік збільшення чисел.

приклад 4.Знайти значення виразу −1 − 3

Значення даного виразу дорівнює −4

Цей приклад знову ж таки можна вирішити за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де розташовується від'ємне число −1, потрібно зрушити вліво на три кроки. В результаті ми опинимося в точці, де розташовується від'ємне число -4

Видно, що ми зрушили з точки, де розташовується від'ємне число −1 у ліву сторону на три кроки, і опинилися в точці, де розташовується від'ємне число −4.

Знак мінуса у виразі −1 − 3 вказує нам, що ми маємо рухатися вліво у бік зменшення чисел.

Приклад 5.Знайти значення виразу -2 + 2

Значення даного виразу дорівнює 0

Цей приклад можна вирішити за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де розташовується від'ємне число −2, потрібно зрушити праворуч на два кроки. В результаті ми опинимося в точці, де знаходиться число 0

Видно, що ми зрушили з точки, де розташовується від'ємне число −2 у праву сторону на два кроки і опинилися в точці, де розташовується число 0.

Знак плюса у виразі −2 + 2 вказує нам, що ми маємо рухатися праворуч у бік збільшення чисел.

Правила складання та віднімання цілих чисел

Щоб скласти чи відняти цілі числа, зовсім необов'язково щоразу уявляти координатну пряму, і більше малювати її. Найзручніше скористатися готовими правилами.

Застосовуючи правила, потрібно звертати увагу на знак операції та знаки чисел, які потрібно скласти або відняти. Від цього буде залежати, яке правило застосовувати.

приклад 1.Знайти значення виразу -2 + 5

Тут до негативного числа додається позитивне число. Іншими словами, здійснюється додавання чисел з різними знаками. −2 це від'ємне число, а 5 – позитивне. Для таких випадків застосовується таке правило:

Щоб скласти числа з різними знаками, потрібно з більшого модуля відняти менший модуль, і перед отриманою відповіддю поставити знак числа, модуль якого більше.

Отже, подивимося який модуль більше:

Модуль числа 5 більший, ніж модуль числа −2. Правило вимагає від більшого модуля відняти менший. Тому ми повинні відняти від 5 2, і перед отриманою відповіддю поставити знак того числа, модуль якого більше.

У числа 5 модуль більший, тому знак цього числа буде відповідати. Тобто відповідь буде позитивною:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

Зазвичай записують коротше: −2 + 5 = 3

приклад 2.Знайти значення виразу 3 + (−2)

Тут, як і в попередньому прикладі, здійснюється складання чисел з різними знаками. 3 це позитивне число, а −2 негативне. Зверніть увагу, що число −2 укладено у дужки, щоб зробити вираз зрозумілішим. Це вираз набагато простіше сприйняття, ніж вираз 3+−2.

Отже, застосуємо правило додавання чисел з різними знаками. Як і в минулому прикладі, з більшого модуля віднімаємо менший модуль і перед відповіддю ставимо знак того числа, модуль якого більше:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

Модуль числа 3 більший, ніж модуль числа −2, тому ми з 3 відняли 2 і перед отриманою відповіддю поставили знак того числа модуль, якого більше. У числа 3 модуль більший, тому знак цього числа поставлений у відповіді. Тобто відповідь позитивна.

Зазвичай записують коротше 3 + (−2) = 1

приклад 3.Знайти значення виразу 3 − 7

У цьому вся виразі з меншого числа віднімається більше. Для такого випадку застосовується таке правило:

Щоб від меншого числа відняти більше, потрібно з більшого числавідняти менше, і перед отриманою відповіддю поставити мінус.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

У цьому вся виразі є невелика загвоздка. Згадаймо, що знак рівності (=) ставиться між величинами та виразами тоді, коли вони рівні між собою.

Значення виразу 3 − 7 як ми довідалися одно −4. Це означає, що будь-які перетворення, які ми будемо здійснювати в даному виразі, повинні дорівнювати −4

Але ми бачимо, що на другому етапі розташовується вираз 7 - 3, який не дорівнює -4.

Щоб виправити цю ситуацію, вираз 7-3 потрібно взяти в дужки і перед цією дужкою поставити мінус:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

У цьому випадку рівність дотримуватиметься на кожному етапі:

Після того, як вираз обчислено, дужки можна прибрати, що ми зробили.

Тому, щоб бути точнішим, рішення має виглядати так:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

Це правило можна записати за допомогою змінних. Виглядатиме воно наступним чином:

a − b = − (b − a)

Велика кількість дужок та знаків операцій можуть ускладнювати рішення, здавалося б зовсім просте завдання, тому доцільніше навчитися записувати такі приклади коротко, наприклад 3 − 7 = − 4.

Насправді додавання і віднімання цілих чисел зводиться лише до складання. Це означає, що якщо потрібно здійснити віднімання чисел, цю операцію можна замінити додаванням.

Отже, знайомимося з новим правилом:

Відняти одне число з іншого означає додати до зменшуваного таке число, яке протилежно віднімається.

Наприклад, розглянемо найпростіший вираз 5-3. На початкових етапах вивчення математики ми ставили знак рівності та записували відповідь:

Але зараз ми прогресуємо у вивченні, тому треба пристосовуватись до нових правил. Нове правило каже, що відняти одне число з іншого означає додати до зменшуваного таке число, яке буде віднімати.

На прикладі виразу 5-3 спробуємо зрозуміти це правило. Зменшуване в даному виразі це 5, а віднімається це 3. Правило каже, що для того, щоб з 5 відняти 3 потрібно до 5 додати таке число, яке буде протилежне 3. Протилежне для числа 3 це число -3. Записуємо новий вираз:

А як знаходити значення для таких виразів, ми вже знаємо. Це складання чисел із різними знаками, яке ми розглянули раніше. Щоб скласти числа з різними знаками, ми з більшого модуля віднімаємо менший модуль, і перед отриманою відповіддю поставити знак того числа, модуль якого більше:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

Модуль числа 5 більший, ніж модуль числа −3. Тому ми з 5 відняли 3 і отримали 2. У числа 5 модуль більший, тому знак цього числа поставили у відповіді. Тобто відповідь позитивна.

Спочатку швидко замінювати віднімання додаванням вдається не всім. Це з тим, що позитивні числа записуються без знака плюс.

Наприклад, у виразі 3 - 1 знак мінуса, що вказує на віднімання, є знаком операції і не відноситься до одиниці. Одиниця в даному випадку є позитивним числом, і має свій знак плюсу, але ми його не бачимо, оскільки плюс перед позитивними числами не записують.

А отже, для наочності цей вираз можна записати так:

(+3) − (+1)

Для зручності числа зі своїми знаками укладають у дужки. У такому разі замінити віднімання додаванням набагато простіше.

У виразі (+3) − (+1) це число, що вичитується (+1), а протилежне йому число це (-1).

Замінимо віднімання додаванням і замість віднімається (+1) записуємо протилежне йому число (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

Подальше обчислення не складе особливих труднощів.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

На перший погляд здасться, який сенс у цих зайвих рухах тіла, якщо можна старим добрим методом поставити знак рівності і відразу записати відповідь 2. Насправді це правило ще не раз нас виручить.

Розв'яжемо попередній приклад 3 - 7, використовуючи правило віднімання. Спочатку наведемо вираз до зрозумілого вигляду, розставивши кожному числу свої знаки.

Трійка має знак плюса, оскільки вона є позитивним числом. Мінус, що вказує на віднімання не відноситься до сімки. У сімки знак плюса, оскільки вона є позитивним числом:

Замінимо віднімання додаванням:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

Подальше обчислення нескладно:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

Приклад 7.Знайти значення виразу −4 − 5

Перед нами знову операція віднімання. Цю операцію слід замінити додаванням. До зменшуваного (-4) додамо число, протилежне віднімається (+5). Протилежне число для віднімання (+5) це число (-5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

Ми дійшли ситуації, де потрібно скласти негативні числа. Для таких випадків застосовується таке правило:

Щоб скласти негативні числа, потрібно скласти їх модулі і перед отриманою відповіддю поставити мінус.

Отже, складемо модулі чисел, як від нас вимагає правило, і поставимо перед отриманою відповіддю мінус:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

Запис із модулями необхідно укласти в дужки і перед цими дужками поставити мінус. Так ми забезпечимо мінус, який має стояти перед відповіддю:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

Рішення для цього прикладу можна записати коротше:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

або ще коротше:

−4 − 5 = −9

Приклад 8.Знайти значення виразу −3 − 5 − 7 − 9

Наведемо вираз до зрозумілого вигляду. Тут усі числа, крім числа −3, є позитивними, тому у них будуть знаки плюсу:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

Замінимо віднімання додаваннями. Усі мінуси, крім мінуса, що стоїть перед трійкою, зміняться на плюси, і всі позитивні числа зміняться протилежні:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

Тепер застосуємо правило складання негативних чисел. Щоб скласти негативні числа, потрібно скласти їх модулі та перед отриманою відповіддю поставити мінус:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

Рішення цього прикладу можна записати коротше:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

або ще коротше:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

Приклад 9.Знайти значення виразу −10 + 6 − 15 + 11 − 7

Наведемо вираз до зрозумілого вигляду:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

Тут відразу дві операції: додавання та віднімання. Додавання залишаємо без зміни, а віднімання замінюємо додаванням:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

Дотримуючись, виконаємо по черзі кожну дію, спираючись на раніше вивчені правила. Записи з модулями можна пропустити:

Перша дія:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

Друга дія:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

Третя дія:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

Четверта дія:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Таким чином, значення виразу −10 + 6 − 15 + 11 − 7 дорівнює −15

Примітка. Наводити вираз до зрозумілого вигляду, укладаючи числа у дужки, зовсім необов'язково. Коли відбувається звикання до негативних чисел, цю дію можна пропустити, оскільки вона забирає час і може заплутати.

Отже, для складання та віднімання цілих чисел необхідно запам'ятати такі правила:

Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

План уроку:

I. Організаційний момент

Перевірка індивідуального домашнього завдання.

ІІ. Актуалізація опорних знань учнів

1. Взаємотренаж. Контрольні питання (парна організаційна форма роботи – взаємоперевірка).
2. Усна робота з коментуванням (групова організаційна форма роботи).
3. Самостійна робота (індивідуальна організаційна форма роботи, самоперевірка).

ІІІ. Повідомлення теми уроку

Групова організаційна форма роботи, висунення гіпотези, формулювання правила.

1. Виконання тренувальних завдань за підручником (групова організаційна форма роботи).
2. Робота сильних учнів за картками (індивідуальна організаційна форма роботи).

VI. Фізпауза

IX. Домашнє завдання.

Ціль:формування навички складання чисел з різними знаками.

Завдання:

• Сформулювати правило складання чисел із різними знаками.
• Відпрацьовувати вміння складати числа із різними знаками.
• Розвивати логічне мислення.
• Виховувати вміння працювати у парі, взаємоповагу.

Матеріал до уроку:картки для взаємотренажу, таблиці результатів роботи, індивідуальні картки на повторення та закріплення матеріалу, девіз для індивідуальної роботи, картки із правилом.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент

– Почнемо урок із перевірки індивідуального домашнього завдання. Девізом нашого уроку будуть слова Яна Амоса Каменського. Вдома вам треба було подумати над його словами. Як ви його знаєте? («Вважай нещасним той день або ту годину, коли ти не засвоїв нічого нового і нічого не додав до своєї освіти»)
– Як ви розумієте слова автора? (Якщо ми не дізнаємося нічого нового, не отримуємо нових знань, то цей день можна вважати зниклим чи нещасним. Треба прагнути отримання нових знань).
– І сьогоднішній день не буде нещасним тому, що ми знову дізнаватимемося про щось нове.

ІІ. Актуалізація опорних знань учнів

– Для того, щоб вивчати новий матеріал, треба повторити пройдений.
Вдома було завдання – повторити правила і зараз ви покажете свої знання, попрацювавши із контрольними питаннями.

(Контрольні питання на тему «Позитивні та негативні числа»)

Робота у парі. Взаємоперевірка. Результати роботи зазначають у таблиці)

Відповіді на запитання «+» правильно, «–» неправильно Критерії оцінки: 5 – «5»; 4 - "4"; 3 - "3"

– Які питання були найважчими?
– Що потрібно для успішного складання контрольних питань? (Знати правила)

2. Усна робота з коментуванням

– 45 + (– 45) = (– 90)
– 100 + (– 38) = (– 138)
– 3, 5 + (–2, 4) = (– 5,9)
– 17/70 + (– 26/70) = (– 43/70)
– 20 + (– 15) = (– 35)

- Які знання вам були потрібні для вирішення 1-5 прикладів?

3. Самостійна робота

(Самоперевірка. Відкрити під час перевірки відповіді)

– Чому останній приклад викликав у вас скруту?
– Суму яких чисел потрібно знайти, а суму яких ми знаємо, як знаходити?

ІІІ. Повідомлення теми уроку

– Сьогодні на уроці ми дізнаємося про правило складання чисел з різними знаками. Вчимося складати числа з різними знаками. Самостійна робота наприкінці уроку покаже ваші успіхи.

IV. Вивчення нового матеріалу

– Відкриємо зошити, запишемо дату, класну роботу, тему уроку «Складання чисел з різними знаками».
– Що зображено на дошці? (Координатна пряма)

– Доведіть, що це координатна пряма? (Є початок відліку, напрямок відліку, одиничний відрізок)
– Зараз ми з вами разом навчатимемося складати числа з різними знаками за допомогою координатної прямої.

(Пояснення учнів під керівництвом вчителя.)

– Знайдемо на координатній прямий число 0. До 0 треба додати число 6. Робимо 6 кроків праворуч від початку координат, т.к. число 6 - позитивне (ставимо кольоровий магнітик на число 6, що вийшло). До 6 додамо число (– 10), робимо 10 кроків у ліву сторону від початку координат, тому що (– 10) число негативне (ставимо кольоровий магнітик на число, що вийшло (– 4).)
– Яку отримали відповідь? (– 4)
– Як отримали число 4? (10 – 6)
Зробіть висновок: З числа з більшим модулем відняли число з меншим модулем.
- Як у відповіді отримали знак мінус?
Зробіть висновок: Взяли знак у числа з великим модулем.
– Запишемо приклад у зошит:

6 + (–10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (-3) = + (10 - 3) = 7 (Аналогічно вирішуємо)

Прийнятий запис:

6 + (– 10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (– 3) = + (10 – 3) = 7

– Хлопці, ви зараз самі сформулювали правило складання чисел із різними знаками. Ваші припущення ми назвемо гіпотезою. Ви виконали дуже важливу інтелектуальну роботу. Подібно до вчених висунули гіпотезу і відкрили нове правило. Звіримо вашу гіпотезу з правилом (листок з надрукованим правилом лежить на парті). Прочитаємо хором правилододавання чисел з різними знаками

– Правило дуже важливе! Воно дозволяє скласти числа різних знаків без допомоги координатної прямої.
- Що не зрозуміло?
– Де можна зробити помилку?
– Для того, щоб правильно та без помилок обчислювати завдання з позитивними та негативними числами, треба знати правила.

V. Закріплення вивченого матеріалу

- Чи зможете ви знайти суму цих чисел на координатній прямій?
– За допомогою координатної прямий такий приклад вирішити важко, тому використовуватимемо при вирішенні відкрите вами правило.
Завдання написане на дошці:
Підручник – с. 45; № 179 (в, г); № 180 (а, б); № 181 (б, в)
(Сильний учень працює на закріплення цієї теми з додатковою карткою.)

VI. Фізпауза(Виконують стоячи)

– Людина має позитивні та негативні якості. Розподіліть ці якості на координатній прямій.
(Позитивні якості - праворуч від початку відліку, негативні - ліворуч від початку відліку.)
– Якщо якість негативна – хлопаємо один раз, позитивна – двічі. Будьте уважні!
– Доброта, злість, жадібність , взаємовиручка, порозуміння, грубість, і, звичайно ж, сила воліі прагнення до перемоги, які вам зараз будуть потрібні, тому що попереду у вас самостійна робота)
VII. Індивідуальна робота з подальшою взаємоперевіркою

Індивідуальна робота (для сильнихучнів) з подальшою взаємоперевіркою

VIII. Підбиття підсумків уроку. Рефлексія

– Я вважаю, що ви попрацювали активно, старанно, брали участь у відкритті нових знань, висловлювали свою думку, зараз я можу оцінити вашу роботу.
– Скажіть, хлопці, що ефективніше: отримувати готову інформацію чи розмірковувати?
- Що нового ми дізналися на уроці? (Навчилися складати числа з різними знаками.)
– Назвіть правило додавання чисел з різними знаками.
– Скажіть, наш урок сьогодні недаремно минув?
– Чому? (Отримали нові знання.)
- Повернемося до девізу. Отже, Ян Амос Каменський мав рацію, коли сказав: «Вважай нещасним той день або ту годину, коли ти не засвоїв нічого нового і нічого не додав до своєї освіти».

IX. Домашнє завдання

Вивчити правило (картка), с.45 №184.
Індивідуальне завдання – як ви розумієте слова Роджера Бекона: «Людина, яка не знає математику, не здатна до жодних інших наук. Більше того, він навіть не здатний оцінити рівень свого невігластва?

У цій статті ми розберемося зі додаванням чисел з різними знаками. Тут ми наведемо правило додавання позитивного і негативного числа, і розглянемо приклади застосування цього правила при додаванні чисел з різними знаками.

Навігація на сторінці.

Правило складання чисел з різними знаками

Позитивні та негативні числа можна трактувати як майно та борг відповідно, при цьому модулі чисел показують величину майна та боргу. Тоді додавання чисел з різними знаками можна розглядати як додавання майна та боргу. При цьому зрозуміло, що якщо майно менше боргу, то після взаємозаліку залишиться борг, якщо майно більше боргу, то після взаємозаліку залишиться майно, а якщо майно рівне боргу, то після розрахунків не залишиться ні боргу, ні майна.

Об'єднаємо наведені вище міркування в правило складання чисел з різними знаками. Щоб скласти позитивне та негативне число, треба:

• знайти модулі доданків;
• порівняти отримані числа, причому
  • якщо отримані числа рівні, то вихідні доданки є протилежними числами, та їх сума дорівнює нулю,
  • якщо ж отримані числа не рівні, треба запам'ятати знак числа, модуль якого більше;
• від більшого модуля відняти менший;
• перед отриманим числом поставити знак того доданка, модуль якого більший.

Озвучене правило зводить додавання чисел з різними знаками до віднімання з більшого позитивного числа меншого числа. Також зрозуміло, що в результаті додавання позитивного та негативного числа може вийти або позитивне число, або негативне число, або нуль.

Також зауважимо, що правило додавання чисел з різними знаками справедливе для цілих чисел, для раціональних чисел і для дійсних чисел.

Приклади складання чисел з різними знаками

Розглянемо приклади складання чисел з різними знакамиза правилом, розібраним у попередньому пункті. Почнемо із простого прикладу.

www.cleverstudents.ru

Додавання та віднімання дробів

Дроби – це звичайні числа, їх теж можна складати та віднімати. Але через те, що в них є знаменник, тут потрібні складніші правила, ніж для цілих чисел.

Розглянемо найпростіший випадок, коли є два дроби з однаковими знаменниками. Тоді:

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх числа, а знаменник залишити без змін.

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другий, а знаменник знову ж таки залишити без змін.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Усередині кожного виразу знаменники дробів рівні. За визначенням додавання та віднімання дробів отримуємо:

Як бачите, нічого складного: просто складаємо чи віднімаємо чисельники – і все.

Але навіть у таких простих діях люди примудряються припускатися помилок. Найчастіше забувають, що знаменник не змінюється. Наприклад, при складанні їх теж починають складати, а це докорінно неправильно.

Позбутися шкідливої ​​звички складати знаменники досить просто. Спробуйте зробити те саме при відніманні. У результаті знаменнику вийде нуль, і дріб (раптово!) втратить сенс.

Тому запам'ятайте раз і назавжди: при складанні та відніманні знаменник не змінюється!

Також багато хто припускається помилок при складанні кількох негативних дробів. Виникає плутанина із знаками: де ставити мінус, а де – плюс.

Ця проблема також вирішується дуже просто. Досить, що мінус перед знаком дробу завжди можна перенести в чисельник - і навпаки. Ну і звичайно, не забувайте два простих правила:

• Плюс мінус дає мінус;
• Мінус на мінус дає плюс.

Розберемо все це на конкретних прикладах:



У першому випадку все просто, а в другому внесемо мінуси до чисельників дробів:



Що робити, якщо знаменники різні

Безпосередньо складати дроби з різними знаменниками не можна. Принаймні мені такий спосіб невідомий. Проте вихідні дроби можна переписати так, щоб знаменники стали однаковими.

Існує багато способів перетворення дробів. Три з них розглянуті в уроці «Приведення дробів до спільного знаменника», тому тут ми не зупинятимемося на них. Краще подивимося на приклади:



У першому випадку наведемо дроби до спільного знаменника методом «хрест-навхрест». У другому шукатимемо НОК. Зауважимо, що 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Останні множники у цих розкладаннях рівні, а перші взаємно прості. Отже, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.



Що робити, якщо у дробу є ціла частина

Можу вас порадувати: різні знаменники у дробів – це ще не найбільше зло. Набагато більше помилок виникає тоді, коли в дробах-доданків виділено цілу частину.

Безумовно, для таких дробів існують власні алгоритми складання та віднімання, але вони досить складні та потребують тривалого вивчення. Найкраще використовуйте просту схему, наведену нижче:

• Перевести всі дроби, що містять цілу частину, неправильні. Отримаємо нормальні доданки (нехай навіть із різними знаменниками), які вважаються за правилами, розглянутими вище;
• Власне, обчислити суму чи різницю отриманих дробів. В результаті ми практично знайдемо відповідь;
• Якщо це все, що потрібно завдання, виконуємо зворотне перетворення, тобто. позбавляємося неправильного дробу, виділяючи в ньому цілу частину.

Правила переходу до неправильних дробів та виділення цілої частини докладно описані в уроці «Що таке числове дріб». Якщо не пам'ятаєте – обов'язково повторіть. Приклади:

Тут усе просто. Знаменники всередині кожного виразу рівні, тому залишається перевести всі дроби в неправильні та порахувати. Маємо:



Щоб спростити викладки, я пропустив деякі очевидні кроки в останніх прикладах.

Невелике зауваження до двох останніх прикладів, де віднімаються дроби з цілою частиною. Мінус перед другим дробом означає, що віднімається саме весь дріб, а не тільки його ціла частина.

Перечитайте цю пропозицію ще раз, погляньте на приклади – і подумайте. Саме тут початківці припускаються величезної кількості помилок. Такі завдання люблять давати на контрольних роботах. Ви також неодноразово зустрінетеся з ними у тестах до цього уроку, які будуть опубліковані найближчим часом.

Резюме: загальна схема обчислень

На закінчення наведу загальний алгоритм, який допоможе знайти суму чи різницю двох і більше дробів:

На діях з позитивними та негативними числами заснований практично весь курс математики. Адже як тільки ми починаємо вивчати координатну пряму, числа зі знаками «плюс» і «мінус» починають зустрічатися нам повсюдно, у кожній новій темі. Немає нічого простіше, ніж скласти між собою звичайні позитивні числа, неважко і відняти одне з одного. Навіть арифметичні дії із двома негативними числами рідко стають проблемою.

Однак багато хто плутається у додаванні та відніманні чисел з різними знаками. Нагадаємо правила, за якими відбуваються ці дії.

Додавання чисел з різними знаками

Якщо для розв'язання задачі нам потрібно додати до деякої кількості «а» негативне число «-b», то треба діяти таким чином.

• Візьмемо модулі обох чисел - | та |b| - і порівняємо ці абсолютні значення між собою.
• Зазначимо, який із модулів більше, а який менше, і віднімемо з більшого значення менше.
• Поставимо перед числом, що вийшло, знак того числа, модуль якого більший.

Це буде відповіддю. Можна висловитись простіше: якщо у виразі a + (-b) модуль числа «b» більший, ніж модуль «а», то ми віднімаємо «а» з «b» і ставимо «мінус» перед результатом. Якщо більше модуль «а», то «b» віднімається від «а» - а рішення виходить зі знаком «плюс».

Буває так, що модулі виявляються рівні. Якщо так, то на цьому місці можна зупинитися - йдеться про протилежні числа, і їх сума завжди дорівнюватиме нулю.

Віднімання чисел з різними знаками

З додаванням ми розібралися, тепер розглянемо правило для віднімання. Воно теж досить просте - і, крім того, повністю повторює аналогічне правило для віднімання двох негативних чисел.

Для того, щоб відняти з якогось числа "а" - довільного, тобто з будь-яким знаком - негативне число "с", потрібно додати до нашого довільного числа "а" число, протилежне "с". Наприклад:

• Якщо "а" - позитивне число, а "с" - негативне, і з "а" потрібно відняти "с", то записуємо так: а - (-с) = а + с.
• Якщо "а" - від'ємне число, а "с" - позитивне, і з "а" потрібно відняти "с", то записуємо наступним чином: (-а) - с = - а + (-с).

Таким чином, при відніманні чисел з різними знаками в результаті ми повертаємося до правил додавання, а при додаванні чисел з різними знаками - до правил віднімання. Запам'ятовування цих правил дозволяє вирішувати завдання швидко і легко.