Як порівняти два десяткові дроби. Порівняння кінцевих і нескінченних десяткових дробів, правила, приклади, рішення

Урок засвоєння та закріплення нових знань

Тема : Порівняння десяткових дробів

Дамбаєва Валентина Матвіївна

Учитель математики

МАОУ «ЗОШ № 25» м. Улан-Уде

Тема.Порівняння десяткових дробів.

Дидактична мета:навчити учнів порівнювати два десяткові дроби. Ознайомити учнів із правилом порівняння. Сформувати вміння знаходити більший (менший) дріб.

Виховна ціль.Розвивати творчу активність учнів у вирішенні прикладів. Виховати інтерес до математики, підбором різних типів завдань. Виховувати кмітливість, кмітливість, розвивати гнучке мислення. Продовжувати формувати в учнів уміння самокритично ставитися до результатів виконаної роботи.

Устаткування уроку.Роздатковий матеріал. Сигнальні картки, картки-завдання, копіювальний папір.

Наочні посібники.Таблиці-завдання, плакат-правила.

Тип заняття.Засвоєння нових знань. Закріплення нових знань.

План уроку

Організаційний момент. 1 хв.

Перевірка домашньої роботи. 3 хв.

Повторення. 8 хв.

Пояснення нової теми. 18-20 хв.

Закріплення. 25-27 хв.

Підбиття підсумку роботи. 3 хв.

Домашнє завдання. 1 хв.

Експрес-диктант. 10-13 хв

Хід уроку.

1. Організаційний момент.

2. Перевірка домашньої роботи. Збір зошитів.

3. Повторення(Усно).

а) порівняти прості дроби (робота з сигнальними картками).

4/5 та 3/5; 4/4 та 13/40; 1 та 3/2; 4/2 та 12/20; 3 5/6 та 5 5/6;

б) У якому розряді 4 одиниці, 2 одиниці…..?

57532, 4081

в) порівняти натуральні числа

99 та 1111; 5 4 4 та 5 3 4, 556 та 55 9 ; 4 366 та 7 366;

Як порівняти числа з однаковою кількістю цифр?

(Числа з однаковою кількістю цифр порівнюють порозрядно, починаючи зі старшого розряду. Плакат-правило).

Можна припустити, що однойменні розряди «змагаються», чиє розрядне доданок більше: одиниця з одиницями, десятки з десятками тощо.

4. Пояснення нової теми.

а)Яким знаком (>,< или =) следует заменить вопросительный знак между десятичными дробями на рисунке.

Плакат-завдання

3425, 672678 ? 3425, 672478

14, 24000 ? 14, 24

Для відповіді це питання потрібно навчитися порівнювати десяткові дроби.

12, 3 < 15,3

72,1 > 68,4 Чому?

З двох десяткових дробів більший той, у якого більша ціла частина.

13,5 > 13,4

0, 327 > 0,321

Чому?

Якщо цілі частини порівнюваних дробів рівні між собою, то порівнюють їх дробову частину за розрядами.

3. 0,800 ? 0,8

1,32 ? 1,3

А як бути, якщо цих цифр різна кількість? Якщо до десяткового дробу праворуч приписати один або кілька нулів, значення дробу не зміниться.

Назад, якщо десятковий дріб закінчується нулями, то ці нулі можна відкинути, значення дробу від цього не зміниться.

Розглянемо три десяткові дроби:

1,25 1,250 1,2500

Чим вони відрізняються одна від одної?

Лише кількістю нулів наприкінці запису.

А які числа вони означають?

Щоб з'ясувати це, потрібно записати для кожного дробу суму розрядних доданків.

1,25 = 1+ 2/10 + 5/100

1,250 = 1+ 2/10 + 5/100 1 25/100 = 1,25

1,2500 = 1+ 2/10 + 5/100

У всіх рівностях праворуч написана та сама сума. Отже, всі три дроби позначають одне й те число. Інакше ці три дроби рівні: 1,25 = 1,250 = 1,2500.

Десяткові дроби можна зображати на координатному промені як і, як і звичайні дроби. Наприклад, щоб зобразити на координатному промені десятковий дріб 0,5. Спочатку представимо її у вигляді звичайного дробу: 0,5 = 5/10. Потім відкладемо від початку променя п'ять десятих одиничних відрізків. Отримаємо точку А(0,5)

Рівні десяткові дроби зображуються на координатному промені однією і тією ж точкою.

Менший десятковий дріб лежить на координатному промені лівіше більшого, і більший – правіше меншого

б) Робота з підручником, із правилом.

А тепер спробуй відповісти на запитання, яке було поставлено на початку пояснення: яким знаком (>,< или =) следует заменить вопросительный знак.

5. Закріплення.

№1

Порівняйте: Робота з сигнальними картками

85.09 та 67,99

55,7 та 55,700

0,0025 та 0,00247

98,52 м та 65,39 м

149,63 кг та 150,08 кг

3,55 0 З та 3,61 0 З

6,784 год та 6,718 год

№ 2

Напишіть десятковий дріб

а) із чотирма знаками після коми, що дорівнює 0,87

б) з п'ятьма знаками після коми, що дорівнює 0,541

в) з трьома знаками після коми, що дорівнює 35

г) з двома знаками після коми, що дорівнює 8,40000

2 учні працюють на індивідуальних дошках

№ 3

Смєкалкін приготувався виконувати завдання на порівняння чисел і переписав у зошит кілька пар чисел, між якими потрібно поставити знак > або<. Вдруг он нечаянно уронил тетрадь на мокрый пол. Записи размазались, и некоторые цифры стало невозможно разобрать. Вот что получилось:

а) 4,3** та 4,7**

б) **, 412 та *, 9*

в) 0,742 та 0,741*

г)*, *** та **,**

д) 95,0** та *4,*3*

Смікалкіну сподобалося, що він зміг виконати завдання з розмазаними цифрами. Адже замість завдання вийшли загадки. Він сам вирішив вигадати загадки з розмазаними цифрами і пропонує вам. У наведених нижче записах деякі цифри розмазані. Потрібно вгадати, які це цифри.

а) 2, * 1 і 2,02

б) 6,431 та 6,4*8

в) 1,34 та 1,3*

г) 4,*1 та 4,41

д) 4,5 * 8 і 4, 593

е) 5,657* та 5,68

Завдання на плакаті та на індивідуальних картках.

Перевірка – обґрунтування кожного поставленого знака.

№ 4

Я стверджую:

а) 3,7 менше, ніж 3,278

адже у першому числі цифр менше, ніж у другому.

б) 25,63 і 2,563

Адже в них ті самі цифри йдуть в тому самому порядку.

Виправте моє твердження

«Контрприклад» (усно)

№ 5

Які натуральні числа стоять між числами (Письмово).

а) 3, 7 та 6,6

б) 18,2 та 19,8

в) 43 та 45,42

г) 15 та 18

6. Підсумок уроку.

Як порівняти два десяткові дроби з різними цілими числами?

Як порівняти два десяткові дроби з однаковими цілими числами?

Як порівняти два десяткові дроби з рівною кількістю знаків після коми?

7. Домашнє завдання.

8. Експрес-диктант.

Запишіть числа коротші

0,90 1,40

10,72000 61,610000

Порівняйте дроби

0,3 та 0,31 0,4 та 0,43

0,46 та 0,5 0,38 та 0,4

55,7 та 55,700 88,4 та 88,400

Розставте в порядку

Зменшення Зростання

3,456; 3465; 8,149; 8,079; 0,453

Які натуральні числа стоять між числами?

7,5 та 9,1 3,25 та 5,5

84 та 85,001 0,3 та 4

Поставте цифри, щоб була вірна нерівність:

15,*2 > 15,62 4,60 < 4,*3

6,99 6,8

Перевірка експрес-диктанту з дошки

Додаткове завдання.

1. Напишіть 3 приклади своєму сусідові та перевір!

Література:

Стратілат П.В. «Про систему роботи вчителя математики» Москва «Освіта» 1984

Кабалевський Ю.Д. «Самостійна робота учнів у процесі навчання математики» 1988

Буланова Л.М., Дудніцин Ю.П. «Перевірочні завдання з математики»,

Москва «Привітання» 1992

В.Г. Коваленко «Дидактичні ігри під час уроків математики» Москва «Освіта» 1990

Мінаєва С.С. «Обчислення під час уроків і позакласних заняттях з математики» Москва «Освіта» 1983

РОЗДІЛ 7 ДЕСЯТИЧНІ ДРОБИ І ДІЇ З НИМИ

У розділі дізнаєтесь:

що таке десятковий дріб і яка його будова;

як порівнювати десяткові дроби;

які правила додавання та віднімання десяткових дробів;

як знайти твір та приватне двох десяткових дробів;

що таке округлення числа та як округлювати числа;

як застосувати вивчений матеріал на практиці

§ 29. ЩО ТАКЕ ДЕСЯТИЧНА ДРОБІЛЬ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТИЧНИХ ДРОБІВ

Подивіться на рисунок 220. Ви бачите, що довжина відрізка АВ дорівнює 7 мм, а довжина відрізка DC - 18 мм. Щоб подати довжини цих відрізків у сантиметрах, треба використовувати дроби:

Ви знаєте багато інших прикладів, коли використовуються дроби із знаменниками 10,100, 1000 тощо. Так,

Такі дроби називають десятковими. Для їх запису використовують зручнішу форму, яку нагадує лінійка з вашого приладдя. Звернемося до прикладу.

Ви знаєте, що довжину відрізка DC (рис. 220) можна виразити змішаним числом

Якщо після цілої частини цього числа поставити кому, а після неї - чисельник дробової частини, то отримаємо компактніший запис: 1,8 см. Для відрізка АВ тоді отримаємо: 0,7 см. Дійсно, дріб є правильним, він менший за одинку, тому його ціла частина дорівнює 0. Числа 1,8 та 0,7 - приклади десяткових дробів.

Десятковий дріб 1,8 читають так: «одна ціла вісім десятих», а дріб 0,7 - «нуль цілих сім десятих».

Як записати дроби у вигляді десяткових дробів? Для цього треба знати будову запису десяткового дробу.

У записі десяткового дробу завжди є ціла та дробова частини. їх поділяє кома. У цілій частині класи та розряди такі ж, як у натуральних чисел. Ви знаєте, що це – класи одиниць, тисяч, мільйонів тощо, а в кожному з них по 3 розряди – одиниць, десятків та сотень. У дробовій частині десяткового дробу класи не виділяють, а розрядів може бути скільки завгодно, їх назви відповідають назвам знаменників дробів – десяті, соті, тисячні, десятитисячні, стотисячні, мільйонні, десятимільйонні тощо. Розряд десятих є найстарішим у дрібній частині десяткового дробу.

У таблиці 40 ви бачите назви розрядів десяткового дробу та число «сто двадцять три цілих та чотири тисячі п'ятсот шість стотисячних» або

Назва дробової частини «стотисячних» у звичайному дробі визначає її знаменник, а в десятковій – останній розряд його дробової частини. Ви бачите, що в чисельнику дробової частини числа цифр на одну менше, ніж нулів у знаменнику. Якщо не врахувати цього, то в записі дробової частини отримаємо помилку – замість 4506 стотисячних запишемо 4506 десятитисячних, але

Тому в записі цього числа десятковим дробом треба поставити 0 після коми (у розряді десятих): 123,04506.

Зверніть увагу:

у десятковому дробі після коми має стояти стільки цифр, скільки нулів у знаменнику відповідного звичайного дробу.

Можемо тепер записати дроби

у вигляді десяткових.

Десяткові дроби можна порівнювати так само, як і натуральні числа. Якщо запису десяткових дробів багато цифр, то користуються спеціальними правилами. Розглянемо приклади.

Завдання. Порівняйте дроби: 1) 96,234 та 830,123; 2) 3,574 та 3,547.

Рішення. 1, Ціла частина першого дробу - двоцифрове число 96, а ціла частина дробу другого - трицифрове число 830, тому:

96,234 < 830,123.

2. У записах дробів 3,574 та 3,547 і цілі частини рівні. Тому порівнюємо порозрядно їх дробові частини. Для цього запишемо дані дроби один під одним:

Кожен із дробів має 5 десятих. Але в першому дробі 7 сотих, а в другому - лише 4 соті. Тому перший дріб більший за другий: 3,574 > 3,547.

Правила порівняння десяткових Дробів.

1. З двох десяткових дробів більше те, у якого ціла частина більша.

2. Якщо цілі частини десяткових дробів дорівнюють, то порівнюють їх дробові частини порозрядно, починаючи зі старшого розряду.

Як і прості дроби, десяткові дроби можна розмістити на координатному промені. На малюнку 221 ви бачите, що точки А, В та С мають координати: А(0,2), Б(0,9), С(1,6).

Дізнайтесь більше

Десяткові дроби пов'язані з десятковою позиційною системою числення. Однак їх поява має більш давню історію і пов'язана з ім'ям видатного математика та астронома ал-Каші (повне ім'я – Джемшид ібн-Масудал-Каші). У роботі «Ключ до арифметики» (XV ст.) він уперше сформулював правила дій із десятковими дробами, навів приклади виконання дій із ними. Нічого не знаючи про відкриття ал-Каші, вдруге «відкрив» десяткові дроби приблизно через 150 років фламандський математик та інженер Сімон Стевін. У праці «Децималь» (1585 p.) С. Стевін виклав теорію десяткових дробів. Він всіляко пропагував їх, наголошуючи на зручності десяткових дробів для практичних обчислень.

Відокремлювати цілу частину від дробового десяткового дробу пропонували по-різному. Так, ал-Каші цілу і дробову частини писав різним чорнилом або ставив між ними вертикальну межу. С. Стевін для відокремлення цілої частини від дробової ставив нуль у кружечку. Прийняту нашого часу кому запропонував відомий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571 - 1630).

ВИРІШИТЕ ЗАВДАННЯ

1173. Запишіть у сантиметрах довжину відрізка АВ, якщо:

1) АВ = 5мм; 2) АВ = 8мм; 3) АВ = 9мм; 4) АВ = 2мм.

1174. Прочитайте дроби:

1)12,5; 3)3,54; 5)19,345; 7)1,1254;

2)5,6; 4)12,03; 6)15,103; 8)12,1065.

Назвіть: а) цілу частину дробу; б) дробову частину дробу; в) розряди дробу.

1175. Наведіть приклад десяткового дробу, в якому після коми стоїть:

1) одна цифра; 2) дві цифри; 3) три цифри.

1176. Скільки знаків після коми має десятковий дріб, якщо знаменник відповідного звичайного дробу дорівнює:

1)10; 2)100; 3)1000; 4) 10000?

1177. У якого з дробів більша ціла частина:

1) 12,5 чи 115,2; 4) 789,154 чи 78,4569;

2) 5,25 чи 35,26; 5) 1258,00265 чи 125,0333;

3) 185,25 чи 56,325; 6) 1269,569 чи 16,12?

1178. У числі 1256897 відокремте комою останню цифру та прочитайте число, яке отримали. Потім послідовно переставте кому на одну цифру вліво і називайте дроби, які ви отримали.

1179. Прочитайте дроби та запишіть їх у вигляді десяткового дробу:

1180 Прочитайте дроби та запишіть їх у вигляді десяткового дробу:

1181. Запишіть звичайним дробом:

1) 2,5; 4)0,5; 7)315,89; 10)45,089;

2)125,5; 5)12,12; 8)0,15; 11)258,063;

3)0,9; 6)25,36; 9) 458;,025; 12)0,026.

1182. Запишіть звичайним дробом:

1)4,6; 2)34,45; 3)0,05; 4)185,342.

1183. Запишіть десятковим дробом:

1) 8 цілих 3 десятих; 5) 145 цілих 14 сотих;

2) 12 цілих 5 десятих; 6) 125 цілих 19 сотих;

3) 0 цілих 5 десятих; 7) 0 цілих 12 сотих;

4) 12 цілих 34 сотих; 8) 0 цілих 3 соті.

1184. Запишіть десятковим дробом:

1) нуль цілих вісім тисячних;

2) двадцять цілих чотири сотих;

3) тринадцять цілих п'ять сотих;

4) сто сорок п'ять цілих дві сотих.

1185. Запишіть частку у вигляді звичайного дробу, а потім у вигляді десяткового дробу:

1)33:100; 3)567:1000; 5)8:1000;

2)5:10; 4)56:1000; 6)5:100.

1186. Запишіть у вигляді змішаного числа, а потім у вигляді десяткового дробу:

1)188:100; 3)1567:1000; 5)12548:1000;

2)25:10; 4)1326:1000; 6)15485:100.

1187. Запишіть у вигляді змішаного числа, а потім у вигляді десяткового дробу:

1)1165:100; 3)2546:1000; 5)26548:1000;

2) 69: 10; 4) 1269: 1000; 6) 3569: 100.

1188. Виразіть у гривнях:

1) 35 к.; 2) 6 к.; 3) 12 грн 35 коп.; 4) 123к.

1189. Виразіть у гривнях:

1) 58 к.; 2) 2 к.; 3) 56 грн 55 коп.; 4) 175к.

1190. Запиши у гривнях та копійках:

1) 10,34 грн; 2) 12,03 грн.; 3) 0,52 грн.; 4) 126,05 грн.

1191. Виразіть у метрах і відповідь запишіть десятковим дробом: 1) 5 м 7 дм; 2) 15 м 58 см; 3) 5 м 2 мм; 4) 12 м 4 дм 3 см 2 мм.

1192. Виразіть у кілометрах і відповідь запишіть десятковим дробом: 1) 3 км 175 м; 2) 45 км. 47 м; 3) 15 км. 2 м.

1193. Запишіть у метрах та сантиметрах:

1) 12,55 м; 2) 2,06 м; 3) 0,25 м; 4) 0,08м.

1194. Найбільша глибина Чорного моря становить 2211 км. Виразіть глибину моря за метри.

1195. Порівняйте дроби:

1) 15,5 та 16,5; 5) 4,2 та 4,3; 9) 1,4 та 1,52;

2) 12,4 та 12,5; 6) 14,5 та 15,5; 10) 4,568 та 4,569;

3) 45,8 та 45,59; 7) 43,04 та 43,1; 11) 78,45178,458;

4) 0,4 та 0,6; 8) 1,23 та 1,364; 12) 2,25 та 2,243.

1196. Порівняйте дроби:

1) 78,5 та 79,5; 3) 78,3 та 78,89; 5) 25,03 та 25,3;

2) 22,3 та 22,7; 4) 0,3 та 0,8; 6) 23,569 та 23,568.

1197. Запишіть у порядку зростання десяткові дроби:

1) 15,3; 6,9; 18,1; 9,3; 12,45; 36,85; 56,45; 36,2;

2) 21,35; 21,46; 21,22; 21,56; 21,59; 21,78; 21,23; 21,55.

1198. Запишіть у порядку зменшення десяткові дроби:

15,6; 15,9; 15,5; 15,4; 15,45; 15,95; 15,2; 15,35.

1199. Виразіть у квадратних метрах і запиши десятковим дробом:

1) 5 дм2; 2) 15 см2; 3) 5дм212см2.

1200 . Кімната має форму прямокутника. Її довжина становить 90 дм, а ширина – 40 дм. Знайдіть площу кімнати. Відповідь запишіть у квадратних метрах.

1201 . Порівняйте дроби:

1) 0,04 та 0,06; 5) 1,003 та 1,03; 9) 120,058 та 120,051;

2) 402,0022 та 40,003; 6) 1,05 та 1,005; 10) 78,05 та 78,58;

3) 104,05 та 105,05; 7) 4,0502 та 4,0503; 11) 2,205 та 2,253;

4) 40,04 та 40,01; 8) 60,4007 і 60,04007; 12) 20,12 та 25,012.

1202. Порівняйте дроби:

1) 0,03 та 0,3; 4) 6,4012 та 6,404;

2) 5,03 та 5,003; 5) 450,025 та 450,2054;

1203. Запишіть п'ять десяткових дробів, які знаходяться на координатному промені між дробами:

1) 6,2 та 6,3; 2) 9,2 та 9,3; 3) 5,8 та 5,9; 4) 0,4 та 0,5.

1204. Запишіть п'ять десяткових дробів, які на координатному промені знаходяться між дробами: 1) 3,1 та 3,2; 2) 7,4 та 7,5.

1205. Між якими двома сусідніми натуральними числами розміщується десятковий дріб:

1)3,5; 2)12,45; 3)125,254; 4)125,012?

1206. Запишіть п'ять десяткових дробів, для яких виконується нерівність:

1)3,41 <х< 5,25; 3) 1,59 < х < 9,43;

2) 15,25 < х < 20,35; 4) 2,18 < х < 2,19.

1207. Запишіть п'ять десяткових дробів, для яких виконується нерівність:

1) 3 < х < 4; 2) 3,2 < х < 3,3; 3)5,22 <х< 5,23.

1208. Запишіть найбільший десятковий дріб:

1) із двома цифрами після коми, менше 2;

2) з однією цифрою після коми, меншою за 3;

3) із трьома цифрами після коми, менше 4;

4) із чотирма цифрами після коми, менше 1.

1209. Запишіть найменший десятковий дріб:

1) з двома цифрами після коми, яка більша за 2;

2) з трьома цифрами після коми, яка більша за 4.

1210. Запишіть усі цифри, які можна поставити замість зірочки, щоб отримати правильну нерівність:

1) 0, *3 >0,13; 3) 3,75 > 3, *7; 5) 2,15 < 2,1 *;

2) 8,5* < 8,57; 4) 9,3* < 9,34; 6)9,*4>9,24.

1211. Яку цифру можна поставити замість зірочки, щоб здобути правильну нерівність:

1)0,*3 >0,1*; 2) 8,5* <8,*7; 3)3,7*>3,*7?

1212. Запишіть усі десяткові дроби, ціла частина яких дорівнює 6, а дробова частина містить три десяткові знаки, записані цифрами 7 та 8. Запишіть ці дроби в порядку їх спадання.

1213. Запишіть шість десяткових дробів, ціла частина яких дорівнює 45, а дробова частина складається з чотирьох різних цифр: 1, 2, 3, 4. Запишіть ці дроби в порядку їх зростання.

1214. Скільки можна скласти десяткових дробів, ціла частина яких дорівнює 86, а дробова частина складається з трьох різних цифр: 1,2,3?

1215. Скільки можна скласти десяткових дробів, ціла частина яких дорівнює 5, а дробовий є трицифровим, записаним цифрами 6 і 7? Запишіть ці дроби в порядку їх спадання.

1216. Закресліть у числі 50,004007 три нулі так, щоб утворилося:

1) найбільше число; 2) найменше число.

ЗАСТОСУВАЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

1217. Виміряйте довжину та ширину свого зошита в міліметрах та запишіть відповідь у дециметрах.

1218. Запишіть своє зростання в метрах за допомогою десяткового дробу.

1219. Виміряйте розміри своєї кімнати та обчисліть її периметр та площу. Відповідь запишіть у метрах та квадратних метрах.

ЗАВДАННЯ НА ПОВТОРЕННЯ

1220. За яких значень х дріб є неправильним?

1221. Розв'яжіть рівняння:

1222. Магазин мав продати 714 кг яблук. За перший день було продано всіх яблук, а за другий від того, що продали за перший день. Скільки яблук продали за 2 дні?

1223. Ребро куба зменшили на 10 см і отримали куб, об'єм якого дорівнює 8 дм3. Знайдіть об'єм першого куба.

У цій темі буде розглянуто як загальну схему порівняння десяткових дробів, так і детальний розбір принципу порівняння кінцевих і нескінченних дробів. Теоретичну частину закріпимо розв'язанням типових завдань. Також розберемо на прикладах порівняння десяткових дробів з натуральними чи змішаними числами та звичайними дробами.

Внесемо уточнення: теоретично нижче буде розглянуто порівняння лише позитивних десяткових дробів.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Загальний принцип порівняння десяткових дробів

Для кожного кінцевого десяткового і нескінченного періодичного десяткового дробів існують відповідні їм деякі звичайні дроби. Отже, порівняння кінцевих і нескінченних періодичних дробів можна робити порівняння відповідних їм звичайних дробів. Власне, це твердження є загальним принципом порівняння десяткових періодичних дробів.

На основі загального принципу формулюються правила порівняння десяткових дробів, дотримуючись яких можна не здійснювати переведення порівнюваних десяткових дробів у звичайні.

Те саме можна сказати і про випадки, коли відбувається порівняння десяткового періодичного дробу з натуральними числами або змішаними числами, звичайними дробами - задані числа необхідно замінити звичайними дробами, що їм відповідають.

Якщо ж йдеться про порівняння нескінченних неперіодичних дробів, його зазвичай зводять до порівняння кінцевих десяткових дробів. Для розгляду береться така кількість знаків порівнюваних нескінченних неперіодичних десяткових дробів, що дозволить отримати результат порівняння.

Рівні та нерівні десяткові дроби

Рівні десяткові дроби– це два кінцеві десяткові дроби, які мають відповідні їм звичайні дроби. В іншому випадку десяткові дроби є нерівними.

Спираючись на дане визначення, просто обґрунтувати таке твердження: якщо в кінці заданого десяткового дробу підписати або, навпаки, відкинути кілька цифр 0, то вийде рівний десятковий дроб. Наприклад: 0, 5 = 0, 50 = 0, 500 = …. Або: 130, 000 = 130, 00 = 130, 0 = 130. По суті, дописати або відкинути нуль в кінці дробу праворуч - значить помножити або розділити на 10 чисельник та знаменник відповідного звичайного дробу. Додамо до сказаного основну властивість дробів (помножуючи чи ділячи чисельник і знаменник дробу на те саме натуральне число, отримуємо дріб, рівний вихідної) і маємо доказ вищезазначеного твердження.

Наприклад, десяткового дробу 0 7 відповідає звичайна дріб 7 10 . Дописавши нуль праворуч, отримаємо десятковий дріб 0 , 70 , якому відповідає звичайний дріб 70 100 , 7 · 70 100: 10 . Тобто: 0,7 = 0,70. І навпаки: відкидаючи в десятковому дробі 0,70 нуль праворуч, отримуємо дріб 0,7 – таким чином, від десяткового дробу 70 100 ми переходимо до дробу 7 10 , але 7 10 = 70: 10 100: 10 Тоді: 0 , 70 = 0 , 7 .

Тепер розглянемо зміст поняття рівних та нерівних нескінченних періодичних десяткових дробів.

Визначення 2

Рівні нескінченні періодичні дроби– це нескінченні періодичні дроби, у яких рівні відповідні їм прості дроби. Якщо відповідні їм звичайні дроби не рівні, то задані для порівняння періодичні дроби також є нерівними.

Дане визначення дозволяє зробити такі висновки:

Якщо записи заданих періодичних десяткових дробів збігаються, такі дроби є рівними. Наприклад, періодичні десяткові дроби 0, 21 (5423) та 0, 21 (5423) рівні;

Якщо в заданих десяткових періодичних дробах періоди починаються з однієї і тієї ж позиції, перший дріб має період 0, а другий - 9; значення розряду, що передує періоду 0 , на одиницю більше, ніж значення розряду, що передує періоду 9 то такі нескінченні періодичні десяткові дроби рівні. Наприклад, рівними є періодичні дроби 91, 3 (0) і 91, 2 (9), а також дроби: 135, (0) і 134, (9);

Два будь-які інші періодичні дроби не є рівними. Наприклад: 8, 0 (3) і 6, (32); 0 , (42) та 0 , (131) і т.д.

Залишилося розглянути рівні та нерівні нескінченні неперіодичні десяткові дроби. Такі дроби являють собою ірраціональні числа, і їх неможливо перевести в звичайні дроби. Отже, порівняння нескінченних неперіодичних десяткових дробів не зводиться до порівняння звичайних.

Визначення 3

Рівні нескінченні неперіодичні десяткові дроби- Це неперіодичні десяткові дроби, записи яких повністю збігаються.

Логічним буде питання: як порівняти записи, якщо побачити «закінчений» запис таких дробів неможливо? Порівнюючи нескінченні неперіодичні десяткові дроби, потрібно розглядати лише деяку кінцеву кількість знаків заданих для порівняння дробів так, щоб це дозволило зробити висновок. Тобто. по суті порівняння нескінченних неперіодичних десяткових дробів полягає у порівнянні кінцевих десяткових дробів.

Такий підхід дає можливість стверджувати про рівність нескінченних неперіодичних дробів тільки з точністю до розряду. Наприклад, дроби 6, 73451 … і 6, 73451 … рівні з точністю до стотисячних, т.к. рівними є кінцеві десяткові дроби 6, 73451 і 6, 7345. Дроби 20, 47 … та 20, 47 … рівні з точністю до сотих, т.к. рівними є дроби 20 47 і 20 47 і так далі.

Нерівність нескінченних неперіодичних дробів встановлюється цілком при явних відмінностях у записах. Наприклад, нерівними є дроби 6, 4135 … і 6, 4176 … або 4, 9824 … та 7, 1132 … і так далі.

Правила порівняння десяткових дробів. Рішення прикладів

Якщо встановлено факт нерівності двох десяткових дробів, зазвичай також необхідно визначити, який із них більший, а який – менше. Розглянемо правила порівняння десяткових дробів, які дозволяють вирішити вищезазначене завдання.

Дуже часто досить лише порівняти цілі частини заданих порівняно десяткових дробів.

Визначення 4

Той десятковий дріб, у якого ціла частина більша, є більшою. Меншим є той дріб, у якого ціла частина менша.

Зазначене правило поширюється як у кінцеві десяткові дроби, і на нескінченні.

Приклад 1

Необхідно порівняти десяткові дроби: 7, 54 та 3, 97823 … .

Рішення

Цілком очевидно, що задані десяткові дроби рівними не є. Цілі їх частини рівні відповідно: 7 та 3 . Т.к. 7> 3, то 7, 54> 3, 97823 ….

Відповідь: 7 , 54 > 3 , 97823 … .

У разі коли цілі частини заданих до порівняння дробів рівні, розв'язання задачі зводиться до порівняння дробових частин. Порівняння дробових частин виробляється порозрядно – від розряду десятих до молодшим.

Розглянемо спочатку випадок, коли потрібно порівняти кінцеві десяткові дроби.

Приклад 2

Необхідно виконати порівняння кінцевих десяткових дробів 0,65 і 0,6411.

Рішення

Очевидно, що цілі частини заданих дробів дорівнюють (0 = 0) . Проведемо порівняння дробових частин: у розряді десятих значення рівні (6 = 6), а ось у розряді сотих значення дробу 0,65 більше, ніж значення розряду сотих у дробі 0,6411 (5>4). Отже, 0 , 65 > 0 , 6411 .

Відповідь: 0 , 65 > 0 , 6411 .

У деяких завданнях на порівняння кінцевих десяткових дробів з різною кількістю знаків після коми необхідно до дробу з меншою кількістю десяткових знаків приписувати потрібну кількість нулів праворуч. Зручно зрівнювати таким чином кількість десяткових знаків у заданих дробах до початку порівняння.

Приклад 3

Необхідно порівняти кінцеві десяткові дроби 67, 0205 та 67, 020542.

Рішення

Дані дроби явно є рівними, т.к. записи їх різні. У цьому цілі частини рівні: 67 = 67 . Перш ніж приступити до порозрядного порівняння дробових частин заданих дробів, зрівняємо кількість знаків після коми, дописавши нулі праворуч до дробів із меншою кількістю знаків. Тоді отримаємо порівняння дробу: 67 , 020500 і 67 , 020542 . Проводимо порозрядне порівняння і бачимо, що в розряді стотисячного значення в дробі 67, 020542 більше, ніж відповідне в дробі 67, 020500 (4>0). Таким чином, 67 , 020500< 67 , 020542 , а значит 67 , 0205 < 67 , 020542 .

Відповідь: 67 , 0205 < 67 , 020542 .

Якщо необхідно порівняти кінцевий десятковий дріб з нескінченним, то кінцевий дріб замінюється нескінченним, їй рівним з періодом 0 . Потім провадиться порозрядне порівняння.

Приклад 4

Необхідно порівняти кінцевий десятковий дріб 6 , 24 з нескінченним неперіодичним десятковим дробом 6 , 240012 …

Рішення

Ми, що цілі частини заданих дробів рівні (6 = 6) . У розрядах десятих і сотих значення обох дробів також є рівними. Щоб мати можливість зробити висновок, продовжуємо порівняння, замінюючи кінцевий десятковий дріб рівним йому нескінченним з періодом 0 і отримуємо: 6 , 240000 … . Дійшовши до п'ятого знака після коми, знаходимо різницю: 0< 1 , а значит: 6 , 240000 … < 6 , 240012 … . Тогда: 6 , 24 < 6 , 240012 … .

Відповідь: 6 , 24< 6 , 240012 … .

Порівнюючи нескінченні десяткові дроби, також застосовують порозрядне порівняння, яке закінчиться тоді, коли значення у якомусь розряді у заданих дробів виявляться різними.

Приклад 5

Необхідно порівняти нескінченні десяткові дроби 7, 41 (15) та 7, 42172 … .

Рішення

У заданих дробах – рівні цілі частини, значення десятих також рівні, а ось у розряді сотих ми бачимо відмінність: 1< 2 . Тогда: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

Відповідь: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

Приклад 6

Необхідно порівняти нескінченні періодичні дроби 4, (13) та 4, (131).

Рішення:

Зрозумілими і вірними є рівності: 4, (13) = 4, 131313 … та 4, (133) = 4, 131131 …. Порівнюємо цілі частини і порозрядно дробові, і четвертому знаку після коми фіксуємо розбіжність: 3 > 1 . Тоді: 4, 131313 … > 4, 131131 …, а 4, (13) > 4, (131).

Відповідь: 4 , (13) > 4 , (131) .

Щоб отримати результат порівняння десяткового дробу із натуральним числом, необхідно порівняти цілу частину заданого дробу із заданим натуральним числом. При цьому треба врахувати, що періодичні дроби з періодами 0 або 9 потрібно попередньо подати у вигляді рівних кінцевих десяткових дробів.

Визначення 5

Якщо ціла частина заданого десяткового дробу менша за задане натуральне число, то і весь дріб є меншим по відношенню до заданого натурального числа. Якщо ціла частина заданого дробу більша або дорівнює заданому натуральному числу, то дріб більше за задане натуральне число.

Приклад 7

Необхідно порівняти натуральне число 8 та десятковий дріб 9, 3142 … .

Рішення:

Задане натуральне число менше, ніж ціла частина заданого десяткового дробу (8< 9) , а значит это число меньше заданной десятичной дроби.

Відповідь: 8 < 9 , 3142 … .

Приклад 8

Необхідно порівняти натуральне число 5 та десятковий дріб 5 , 6 .

Рішення

Ціла частина заданого дробу дорівнює заданому натуральному числу, тоді, згідно з вищевказаним правилом, 5< 5 , 6 .

Відповідь: 5 < 5 , 6 .

Приклад 9

Необхідно порівняти натуральне число 4 і періодичний десятковий дріб 3 , (9) .

Рішення

Період заданого десяткового дробу дорівнює 9 , а значить перед порівнянням необхідно замінити заданий десятковий дріб рівним їй кінцевим або натуральним числом. У разі: 3 , (9) = 4 . Таким чином, вихідні дані рівні.

Відповідь: 4 = 3, (9).

Щоб порівняти десятковий дроб зі звичайним дробом або змішаним числом, необхідно:

Записати звичайний дріб або змішане число у вигляді десяткового дробу, а потім виконати порівняння десяткових дробів або
- записати десятковий дріб у вигляді звичайного дробу (за винятком нескінченного неперіодичного), а потім виконати порівняння із заданим звичайним дробом або змішаним числом.

Приклад 10

Необхідно порівняти десятковий дріб 0 , 34 і звичайний дріб 1 3 .

Рішення

Розв'яжемо задачу двома способами.

1. Запишемо заданий звичайний дріб 1 3 у вигляді рівного їй періодичного десяткового дробу: 0, 33333 … . Тоді стає необхідним порівняння десяткових дробів 0 , 34 і 0 , 33333 ... . Отримаємо: 0 , 34 > 0 , 33333 … , отже 0 , 34 > 1 3 .
2. Запишемо заданий десятковий дріб 0 , 34 у вигляді рівного їй звичайного. Тобто: 0, 34 = 34 100 = 17 50 . Порівняємо звичайні дроби з різними знаменниками та отримаємо: 17 50 > 1 3 . Отже, 0 , 34 > 1 3 .

Відповідь: 0 , 34 > 1 3 .

Приклад 11

Необхідно порівняти нескінченну неперіодичну десяткову дріб 4 , 5693 … і змішане число 4 3 8 .

Рішення

Нескінченну неперіодичну десятковий дріб не можна уявити у вигляді змішаного числа, але можна перевести змішане число в неправильний дріб, а його, у свою чергу, записати у вигляді рівного їй десяткового дробу. Тоді: 4 3 8 = 35 8 та

Тобто: 4 3 8 = 35 8 = 4 375 . Проведемо порівняння десяткових дробів: 4, 5693 … і 4, 375 (4, 5693 … > 4, 375) та отримаємо: 4, 5693 … > 4 3 8 .

Відповідь: 4 , 5693 … > 4 3 8 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Відрізка АВ дорівнює 6 см, тобто 60 мм. Оскільки 1 см = дм, то 6 см = дм. Отже, АВ – 0,6 дм. Оскільки 1 мм = дм, то 60 мм = дм. Отже, АВ = 0,60 дм.
Отже, АВ = 0,6 дм = 0,60 дм. Значить, десяткові дроби 0,6 і 0,60 виражають довжину того самого відрізка в дециметрах. Ці дроби дорівнюють один одному: 0,6 = 0,60.

Якщо в кінці десяткового дробу приписати нуль або відкинути нуль, то вийде дріб, рівна даній.
Наприклад,

0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.

Порівняємо два десяткові дроби 5,345 та 5,36. Зрівняємо число десяткових знаків, приписавши до 5,36 праворуч нуль. Отримуємо дроби 5,345 та 5,360.

Запишемо їх у вигляді неправильних дробів:

У цих дробів однакові знаменники. Значить, та з них більша, у якої більший чисельник.
Оскільки 5345< 5360, то отже, 5,345< 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
Щоб порівняти два десяткові дроби, треба спочатку зрівняти у них число десяткових знаків, приписавши до однієї з них справа нулі, а потім, відкинувши кому, порівняти ті, що вийшли. натуральні числа.

Десяткові дроби можна зображати на координатному промені як і, як і звичайні дроби.
Наприклад, щоб зобразити на координатному промені десятковий дріб 0,4, спочатку представимо його у вигляді звичайного дробу: 0,4 = Потім відкладемо від початку променя чотири десятих одиничного відрізка. Отримаємо точку A(0,4) (рис. 141).

Рівні десяткові дроби зображуються на координатному промені однією і тією ж точкою.

Наприклад, дроби 0,6 і 0,60 зображуються однією точкою (див. рис. 141).

Найменший десятковий дріб лежить на координатному променіліворуч більшою, і більша - правіше меншою.

Наприклад, 0,4< 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).

Чи зміниться десятковий дріб, якщо наприкінці його приписати нуль?
А6 нулів?
Сформулюйте правило порівняння десятковихдробів.

1172. Напишіть десятковий дріб:

а) із чотирма знаками після коми, що дорівнює 0,87;
б) з п'ятьма знаками після коми, що дорівнює 0,541;
в) з трьома знаками після зайнятої, що дорівнює 35;
г) з двома знаками після коми, що дорівнює 8,40000.

1173. Приписавши праворуч нулі, зрівняйте число знаків після коми в десяткових дробах: 1,8; 13,54 та 0,789.

1174. Запишіть коротше дробу: 2,5000; 3,02000; 20,010.

85,09 та 67,99; 55,7 та 55,7000; 0,5 та 0,724; 0,908 та 0,918; 7,6431 та 7,6429; 0,0025 та 0,00247.

1176. Розставте в порядку зростання числа:

3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.

0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091

розставте в порядку зменшення.

а) 1,41< х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
б) 0,1< х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
в) 2,7< х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.

1184. Порівняйте величини:

а) 98,52 м та 65,39 м; д) 0,605 т та 691,3 кг;
б) 149,63 кг та 150,08 кг; е) 4,572 км та 4671,3 м;
в) 3,55°З 3,61°С; ж) 3,835 га та 383,7 а;
г) 6,781 год та 6,718 год; з) 7,521 л та 7538 см3.

Чи можна порівняти 3,5 кг та 8,12 м? Наведіть кілька прикладів величин, які не можна порівнювати.

1185. Обчисліть усно:

1186. Відновіть ланцюжок обчислень

1187. Чи можна сказати, скільки цифр після коми в записі десяткового дробу, якщо її назва закінчується словом:

а) сотих; б) десятитисячних; в) десятих; г) мільйонних?