Який вигляд має матриця. Визначники квадратних матриць

Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, що складається з m однакової довжини рядків або n однакової довжини стовпців.

aij- елемент матриці, який знаходиться в i -ому рядку та j -м стовпці.

Для стислості матрицю можна позначати однією великою літероюнаприклад, Аабо У.

У загальному вигляді матрицю розміром m× nзаписують так

Приклади:

Якщо в матриці число рядків дорівнює числу стовпців, то матриця називається квадратний, причому число її рядків або стовпців називається порядкомматриці. У наведених прикладах квадратними є друга матриця – її порядок дорівнює 3, і четверта матриця – її порядок 1.

Матриця, в якій число рядків не дорівнює числу стовпців, називається прямокутної. У прикладах це перша матриця та третя.

Головною діагоналлюквадратної матриці назвемо діагональ, що йде з лівого верхнього в нижній правий кут.

Квадратна матриця, у якої всі елементи, що лежать нижче за головну діагональ, рівні нулю, називається трикутноїматрицею.

Квадратна матриця, у якої всі елементи, крім, можливо, стоять на головній діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональноїматрицею. Наприклад, або .

Діагональна матриця, у якої всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, називається одиничноюматрицею і позначається буквою E. Наприклад, одинична матриця 3-го порядку має вигляд .

назад до змісту

(36) 85. Що таке лінійні операції над матрицями? приклади.

У всіх випадках, коли вводяться нові математичні об'єкти, необхідно домовлятися про правила дій над ними, а також визначити - які об'єкти вважаються рівними між собою.

Природа об'єктів не має жодного значення. Це можуть бути речові чи комплексні числа, вектори, матриці, рядки чи щось інше.

До стандартних дій ставляться лінійні операції, А саме: множення на число та додавання; в даному конкретному випадку - множинні матриці на число та додавання матриць.

При множенні матриці на число кожен матричний елемент множиться на це число, а додавання матриць має на увазі попарне додавання елементів, розташованих в еквівалентних позиціях.

Термінологічний вираз "лінійна комбінація<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.

Матриці A = || a i j|| і B = || a i j|| вважаються рівними, якщо вони мають однакові розміри та їх відповідні матричні елементи попарно рівні:

Додавання матрицьОперація додавання визначена лише для матриць однакових розмірів. Результатом складання матриць A = | a i j|| і B = | b i j|| є матриця C = | c i j|| , елементи якої дорівнюють сумі відповідних матричних елементів.

ВИЗНАЧЕННЯ МАТРИЦІ. ВИДИ МАТРИЦЬ

Матрицею розміром m× nназивається сукупність m·nчисел, розташованих у вигляді прямокутної таблиці з mрядків та nстовпців. Цю таблицю зазвичай укладають у круглі дужки. Наприклад, матриця може мати вигляд:

Для стислості матрицю можна позначати однією великою літерою, наприклад, Аабо У.

У загальному вигляді матрицю розміром m× nзаписують так

Числа, що становлять матрицю, називаються елементами матриці. Елементи матриці зручно постачати двома індексами a ij: перший вказує номер рядка, а другий номер стовпця. Наприклад, a 23– елемент стоїть у другому рядку, третьому стовпці.

Розрізняються також матриці, що мають лише один рядок або один стовпець.

Матриця, яка має лише один рядок , називається матрицею – рядком(або рядковий), а матриця, у якої всього один стовпець, матрицею – стовпцем.

Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовийі позначається (0), або просто 0. Наприклад,

Головною діагоналлюквадратної матриці назвемо діагональ, що йде з лівого верхнього в нижній правий кут.

Діагональна матриця, у якої всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, називається одиничноюматрицею та позначається буквою E. Наприклад, одинична матриця 3-го порядку має вигляд .

ДІЇ НАД МАТРИЦЯМИ

Рівність матриць. Дві матриці Aі Bназиваються рівними, якщо вони мають однакову кількість рядків та стовпців та їх відповідні елементи рівні a ij = b ij. Так якщо і , то A=B, якщо a 11 = b 11 , a 12 = b 12 , a 21 = b 21і a 22 = b 22.

Транспонування. Розглянемо довільну матрицю Aз mрядків та nстовпців. Їй можна порівняти таку матрицю Bз nрядків та mстовпців, у яких кожен рядок є стовпцем матриці Aз тим же номером (отже, кожен стовпець є рядком матриці Aз тим самим номером). Отже, якщо , то .

Цю матрицю Bназивають транспонованоїматрицею A, а перехід від Aдо B транспонуванням.

Таким чином, транспонування – це зміна ролями рядків та стовпців матриці. Матрицю, транспоновану до матриці Aзазвичай позначають A T.

Зв'язок між матрицею Aта її транспонованої можна записати у вигляді .

Наприклад.Знайти матрицю транспоновану даною.

Додавання матриць.Нехай матриці Aі Bскладаються з однакового числа рядків та однакового числа стовпців, тобто. мають однакові розміри. Тоді для того, щоб скласти матриці Aі Bпотрібно до елементів матриці Aдодати елементи матриці B, що стоять на тих же місцях. Таким чином, сумою двох матриць Aі Bназивається матриця Cяка визначається за правилом, наприклад,

приклади.Знайти суму матриць:

Легко перевірити, що додавання матриць підпорядковується наступним законам: комутативному A+B=B+Aта асоціативному ( A+B)+C=A+(B+C).

Множення матриці на число.Для того, щоб помножити матрицю Aна число kпотрібно кожен елемент матриці Aпомножити цього числа. Таким чином, добуток матриці Aна число kє нова матриця, яка визначається за правилом або .

Для будь-яких чисел aі bта матриць Aі Bвиконуються рівності:

приклади.

Розмноження матриць.Ця операція здійснюється за своєрідним законом. Насамперед, зауважимо, що розміри матриць-співмножників повинні бути узгоджені. Перемножувати можна лише ті матриці, у яких число стовпців першої матриці збігається з числом рядків другої матриці (тобто довжина рядка першого дорівнює висоті стовпця другого). Творомматриці Aне матрицю Bназивається нова матриця C=AB, елементи якої складаються наступним чином:

Таким чином, наприклад, щоб отримати у твору (тобто в матриці C) елемент, що стоїть у 1-му рядку та 3-му стовпці з 13, Необхідно в першій матриці взяти перший рядок, у другому – третій стовпець, а потім елементи рядка помножити на відповідні елементи стовпця і отримані твори скласти. Інші елементи матриці-твору виходять за допомогою аналогічного добутку рядків першої матриці на стовпці другої матриці.

У випадку, якщо ми множимо матрицю A = (a ij)розміру m× nна матрицю B = (b ij)розміру n× p, то отримаємо матрицю Cрозміру m× pелементи якої обчислюються наступним чином: елемент c ijвиходить у результаті добутку елементів i-ого рядка матриці Aна відповідні елементи j-го стовпця матриці Bта їх складання.

З цього правила випливає, що завжди можна перемножувати дві квадратні матриці одного порядку, в результаті отримаємо квадратну матрицю того самого порядку. Зокрема, квадратну матрицю можна помножити саму себе, тобто. звести у квадрат.

Іншим важливим випадком є множення матриці-рядки на матрицю-стовпець, причому ширина першої повинна дорівнювати висоті другий, в результаті отримаємо матрицю першого порядку (тобто один елемент). Справді,

приклади.

Отже, ці найпростіші приклади показують, що матриці, взагалі, не перестановочні друг з одним, тобто. A∙B ≠ B∙A . Тому при множенні матриць потрібно ретельно стежити за порядком множників.

Можна перевірити, що множення матриць підпорядковується асоціативному та дистрибутивному законам, тобто. (AB)C=A(BC)і (A+B)C=AC+BC.

Легко також перевірити, що при множенні квадратної матриці Aна одиничну матрицю Eтого ж порядку знову отримаємо матрицю A, причому AE=EA=A.

Можна відзначити такий цікавий факт. Як відомо твір 2-х відмінних від нуля чисел не дорівнює 0. Для матриць це може мати місця, тобто. добуток 2-х не нульових матриць може виявитися рівним нульовій матриці.

Наприклад, якщо , то

ПОНЯТТЯ ВИЗНАЧНИКІВ

Нехай дана матриця другого порядку – квадратна матриця, що складається з двох рядків та двох стовпців .

Визначником другого порядку, Що відповідає даній матриці, називається число, одержуване наступним чином: a 11 a 22 – a 12 a 21.

Визначник позначається символом .

Отже, щоб знайти визначник другого порядку, потрібно від твору елементів головної діагоналі відняти твір елементів по другій діагоналі.

приклади.Обчислити визначники другого порядку.

Аналогічно можна розглянути матрицю третього порядку та відповідний їй визначник.

Визначником третього порядку, відповідним даної квадратної матриці третього порядку, називається число, що позначається та одержується наступним чином:

Таким чином, ця формула дає розкладання визначника третього порядку за елементами першого рядка a 11 , a 12 , a 13та зводить обчислення визначника третього порядку до обчислення визначників другого порядку.

приклади.Обчислити визначник третього порядку.

Аналогічно можна запровадити поняття визначників четвертого, п'ятого тощо. систем, знижуючи їх порядок розкладанням за елементами 1-го рядка, причому символи "+" і "–" у доданків чергуються.

Отже, на відміну від матриці, яка є таблицею чисел, визначник це число, яке певним чином ставиться у відповідність матриці.

Крапки у просторі, твір Rvдає інший вектор, який визначає положення точки після обертання. Якщо v- Вектор-рядок , таке ж перетворення можна отримати, використовуючи vR T , де R T - транспонована до Rматриця.

Енциклопедичний YouTube

1 / 5

C# - Консоль - Олімпіада - Квадратна спіраль

Матриця: визначення та основні поняття

Де брати сили та натхнення Підзарядка 4 квадратної матриці

Сума та різниця матриць, множення матриці на число

Транспонована матриця / Транспонована матриця

Субтитри

Головна діагональ

Елементи a ii (i = 1, ..., n) утворюють головну діагональ квадратної матриці. Ці елементи лежать на уявній прямій, що проходить з верхнього лівого кута в правий нижній кут матриці. Наприклад, головна діагональ 4х4 матриці на малюнку містить елементи a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10.

Діагональ квадратної матриці, що проходить через нижній лівий і верхній правий кути, називається побічний.

Спеціальні види

Назва	Приклад з n = 3
Діагональна-матриця	[ a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\0&a_(22)&0\\0&0&a_(33)\end(bmatrix))))
Нижня, трикутна, матриця	[ a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 ] 32)&a_(33)\end(bmatrix)))
Верхня, трикутна, матриця	[ a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&a_(12)&a_(13)\\0&a_(22)&a_(23)\\ 0&0&a_(33)\end(bmatrix)))

Діагональні та трикутні матриці

Якщо всі елементи поза головною діагоналі нульові, Aназивається діагональною. Якщо всі елементи над (під) головною діагоналлю нульові, Aназивається нижньою (верхньою) трикутною матрицею .

Одинична матриця

Q(x) = x T Ax

приймає тільки позитивні значення (відповідно, негативні значення або ті, й інші). Якщо квадратична форма набуває лише невід'ємних (відповідно, тільки непозитивних) значень, симетрична матриця називається позитивно напіввизначеною (відповідно, негативно напіввизначеною). Матриця буде невизначеною, якщо ні позитивно, ні негативно напіввизначена.

Симетрична матриця позитивно визначена і тоді, коли її власні значення позитивні. Таблиця праворуч показує два можливі випадки для матриць 2×2.

Якщо використовувати два різних вектори, отримаємо білінійну форму, пов'язану з A:

B A (x, y) = x T Ay.

Ортогональна матриця

Ортогональна матриця- це квадратна матриця з речовими елементами, стовпці та рядки якої є ортогональними одиничними векторами (тобто ортонормальними). Можна також визначити ортогональну матрицю як матрицю, обернена до якої дорівнює транспонованій:

A T = A − 1 , (\displaystyle A^(\mathrm (T) )=A^(-1),)

звідки випливає

A T A = A A T = E (\displaystyle A^(T)A=AA^(T)=E),

Ортогональна матриця Aзавжди оборотна ( A −1 = A T), унітарна ( A −1 = A*), і нормальна ( A*A = AA*). Визначник будь-якої ортонормальної матриці дорівнює або +1 або -1. В якості лінійного відображення будь-яка ортонормальна матриця з визначником +1 є простим поворотом , в той час як будь-яка ортонормальна матриця з визначником −1 є або простим відображенням або композицією відображення і повороту.

Операції

Слід

Визначник det( A) чи | A| квадратної матриці A- Це число, що визначає деякі властивості матриці. Матриця оборотна тоді і тільки тоді, коли її визначник ненульовий.

Опр. Прямокутна таблиця, що складається з трядків та пстовпців дійсних чисел називається матрицеюрозміру т×п. Матриці позначають великими латинськими буквами: А, У,…, а масив чисел виділяють круглими чи квадратними дужками.

Числа, що входять до таблиці, називаються елементами матриці та позначаються малими латинськими літерами з подвійним індексом , де i- номер рядка, j- Номер стовпця, на припиненні яких розташований елемент. У загальному вигляді матриця записується так:

Дві матриці вважаються рівнимиякщо рівні їхні відповідні елементи.

Якщо кількість рядків матриці тдорівнює числу її стовпців п, то матриця називається квадратний(інакше – прямокутної).

Матриця розміру
називається матрицею-рядком. Матриця розміру

називається матрицею-стовпцем.

Елементи матриці, що мають рівні індекси (
і т.д.), утворюють головну діагональматриці. Інша діагональ називається побічною.

Квадратна матриця називається діагональноїякщо всі її елементи, розташовані поза головною діагоналі, дорівнюють нулю.

Діагональна матриця, у якої діагональні елементи дорівнюють одиниці, називається одиничноюматрицею і має стандартне позначення Е:

Якщо всі елементи матриці, розташовані вище (або нижче) головної діагоналі дорівнюють нулю, кажуть, що матриця має трикутний вигляд:

§2. Операції над матрицями

1. Транспонування матриці – перетворення, у якому рядки матриці записують як стовпців за збереження їх порядку. Для квадратної матриці це перетворення еквівалентне симетричному відображенню щодо головної діагоналі:

2. Матриці однакової розмірності можна підсумовувати (віднімати). Сумою (різністю) матриць називається матриця тієї ж розмірності, кожен елемент якої дорівнює сумі (різниці) відповідних елементів вихідних матриць:

3. Будь-яку матрицю можна множити на число. Добутком матриці на число називається матриця того ж порядку, кожен елемент якої дорівнює добутку відповідного елемента вихідної матриці на це число:

4. Якщо число стовпців однієї матриці дорівнює числу рядків іншого, можна виконати множення першої матриці на другу. Добутком таких матриць називається матриця, кожен елемент якої дорівнює сумі попарних творів елементів відповідного рядка першої матриці та елементів відповідного стовпця другої матриці.

Слідство. Зведення матриці до ступеня до>1 є добуток матриці А доразів. Визначено лише для квадратних матриць.

приклад.

Властивості операцій над матрицями.

(А+В)+З=А+(В+З);
до(А+В)=кА+кВ;
А(В+З)=АВ+АС;
(А+В)С=АС+ВС;
до(АВ)=(кА)В=А(кВ);
А(ВС)=(АВ)С;
(кА) Т = кА Т;
(А + В) Т = А Т + В Т;
(АВ) Т = В Т А Т;

Наведені вище властивості аналогічні властивостям операцій над числами. Є й специфічні властивості матриць. До них відноситься, наприклад, відмінна властивість множення матриць. Якщо добуток АВ існує, то добуток ВА

Може не існувати

Може відрізнятись від АВ.

приклад. Підприємство випускає продукцію двох видів А і В і використовує при цьому сировину трьох типів S 1 , S 2 і S 3 . Норми витрати сировини задані матрицею N=
, де n ij– кількість сировини j, що витрачається на виробництво одиниці продукції i. План випуску продукції заданий матрицею С=(100 200), а вартість одиниці кожного виду сировини – матрицею . Визначити витрати сировини, необхідні планового випуску продукції і на загальну вартість сировини.

Рішення. Витрати сировини визначимо як добуток матриць С та N:

Загальну вартість сировини обчислимо як добуток S та Р.

У цій темі розглянемо поняття матриці, і навіть види матриць. Так як у цій темі чимало термінів, то я додам короткий зміст, щоб орієнтуватися у матеріалі було простіше.

Визначення матриці та її елемента. Позначення.

Матриця- Це таблиця з $ m $ рядків і $ n $ стовпців. Елементами матриці може бути об'єкти абсолютно різноманітної природи: числа, змінні чи, наприклад, інші матриці. Наприклад, матриця $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ містить 3 рядки і 2 стовпці; Елементами її є цілі числа. Матриця $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ містить 2 рядки та 4 стовпці.

Різні способи запису матриць: показати\сховати

Матриця може бути записана у круглих, а й у квадратних чи подвійних прямих дужках. Тобто, вказані нижче записи означають ту саму матрицю:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

Твір $m\times n$ називають розміром матриці. Наприклад, якщо матриця містить 5 рядків та 3 стовпці, то говорять про матрицю розміру $5\times 3$. Матриця $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\0 & -87\8 & 0\end(array)\right)$ має розмір $3 \times 2$.

Зазвичай матриці позначаються великими літерами латинського алфавіту: $A$, $B$, $C$ і таке інше. Наприклад, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 \end(array) \right)$. Нумерація рядків йде зверху донизу; стовпців - зліва направо. Наприклад, перший рядок матриці $B$ містить елементи 5 та 3, а другий стовпець містить елементи 3, -87, 0.

Елементи матриць зазвичай позначаються дрібними літерами. Наприклад, елементи матриці $A$ позначаються $a_(ij)$. Подвійний індекс $ij$ містить інформацію про положення елемента у матриці. Число $i$ це номер рядка, а число $j$ - номер стовпця, на перетині яких знаходиться елемент $a_(ij)$. Наприклад, на перетині другого рядка і п'ятого стовпця матриці $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \1 \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ розташований елемент $a_(25)= 59$:

Так само на перетині першого рядка і першого стовпця маємо елемент $a_(11)=51$; на перетині третього рядка та другого стовпця - елемент $a_(32)=-15$ тощо. Зауважу, що запис $a_(32)$ читається як "а три два", але не "а тридцять два".

Для скороченого позначення матриці $A$, розмір якої дорівнює $m\times n$, використовується запис $A_(m\times n)$. Можна записати і більш розгорнуто:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

де запис $(a_(ij))$ означає позначення елементів матриці $A$. У повністю розгорнутому вигляді матрицю $A_(m\times n)=(a_(ij))$ можна записати так:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Введемо ще один термін - рівні матриці.

Дві матриці однакового розміру $A_(m\times n)=(a_(ij))$ і $B_(m\times n)=(b_(ij))$ називаються рівними, якщо відповідні елементи рівні, тобто. $a_(ij)=b_(ij)$ для всіх $i=\overline(1,m)$ і $j=\overline(1,n)$.

Пояснення до запису $i=\overline(1,m)$: показати\приховати

Запис "$i=\overline(1,m)$" означає, що параметр $i$ змінюється від 1 до m. Наприклад, запис $i=\overline(1,5)$ говорить про те, що параметр $i$ приймає значення 1, 2, 3, 4, 5.

Отже, для рівності матриць потрібно виконання двох умов: збіг розмірів та рівність відповідних елементів. Наприклад, матриця $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\0 & -87\8 & 0\end(array)\right)$ не дорівнює матриці $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$, оскільки матриця $A$ має розмір $3\times 2$, а розмір матриці $B$ становить $2\times 2 $. Також матриця $A$ не дорівнює матриці $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$, оскільки $a_( 21) \ neq c_ (21) $ (тобто $ 0 \ neq 98 $). А ось для матриці $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\0 & -87\8 & 0\end(array)\right)$ можна сміливо записати $A=F$ оскільки і розміри, і відповідні елементи матриць $A$ та $F$ збігаються.

Приклад №1

Визначити розмір матриці $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\\end(array) \right)$. Вказати, чому рівні елементи $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Дана матриця містить 5 рядків і 3 стовпці, тому розмір $5\times 3$. Для цієї матриці можна також використовувати позначення $A_(5\times 3)$.

Елемент $a_(12)$ знаходиться на перетині першого рядка та другого стовпця, тому $a_(12)=-2$. Елемент $a_(33)$ знаходиться на перетині третього рядка та третього стовпця, тому $a_(33)=23$. Елемент $a_(43)$ знаходиться на перетині четвертого рядка та третього стовпця, тому $a_(43)=-5$.

Відповідь: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Види матриць залежно від їхнього розміру. Головна та побічна діагоналі. Слід матриці.

Нехай задана певна матриця $A_(m\times n)$. Якщо $m=1$ (матриця складається з одного рядка), то задану матрицю називають матриця-рядок. Якщо $n=1$ (матриця складається з одного стовпця), то таку матрицю називають матриця-стовпець. Наприклад, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ - матриця-рядок, а $\left(\begin(array) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ - матриця-стовпець.

Якщо для матриці $A_(m\times n)$ правильна умова $m\neq n$ (тобто кількість рядків не дорівнює кількості стовпців), то часто говорять, що $A$ - прямокутна матриця. Наприклад, матриця $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ має розмір $2\times 4$, тобто. містить 2 рядки та 4 стовпці. Так як кількість рядків не дорівнює кількості стовпців, то ця матриця прямокутна.

Якщо для матриці $A_(m\times n)$ правильна умова $m=n$ (тобто кількість рядків дорівнює кількості стовпців), то кажуть, що $A$ - квадратна матриця порядку $n$. Наприклад, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ - квадратна матриця другого порядку; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ - квадратна матриця третього порядку. Загалом квадратну матрицю $A_(n\times n)$ можна записати так:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Говорять, що елементи $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ знаходяться на головної діагоналіматриці $A_(n\times n)$. Ці елементи називаються головними діагональними елементами(чи просто діагональними елементами). Елементи $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ знаходяться на побічної (другорядної) діагоналі; їх називають побічними діагональними елементами. Наприклад, для матриці $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end(array) \right)$ маємо:

Елементи $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ є головними діагональними елементами; елементи $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ - побічні діагональні елементи.

Сума головних діагональних елементів називається слідом матриціі позначається $\Tr A$ (або $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Наприклад, для матриці $ C = \ left ( \ begin (array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \ -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ маємо:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Поняття діагональних елементів також використовується для неквадратних матриць. Наприклад, для матриці $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ головними діагональними елементами будуть $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Види матриць залежно від значень їх елементів.

Якщо всі елементи матриці $A_(m\times n)$ дорівнюють нулю, то така матриця називається нульовийі зазвичай позначається буквою $O$. Наприклад, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - нульові матриці.

Нехай матриця $A_(m\times n)$ має такий вигляд:

Тоді цю матрицю називають трапецієподібної. Вона може і не містити нульових рядків, але якщо вони є, то розташовуються в низу матриці. У більш загальному вигляді трапецієподібну матрицю можна записати так:

Повторюся, наявність нульових рядків наприкінці не є обов'язковою. Тобто. формально можна виділити такі умови для трапецієподібної матриці:

Усі елементи, розташовані нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю.
Всі елементи від $a_(11)$ до $a_(rr)$, що лежать на головній діагоналі, не дорівнюють нулю: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
Або всі елементи останніх $m-r$ рядків дорівнюють нулю, або $m=r$ (тобто нульових рядків немає взагалі).

Приклади трапецієподібних матриць:

Перейдемо до наступного визначення. Матрицю $A_(m\times n)$ називають ступінчастоюякщо вона задовольняє таким умовам:

Наприклад, ступінчастими матрицями будуть:

Для порівняння, матриця $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1 \\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ не є ступінчастою, оскільки у третього рядка нульова частина така сама, як і у другого рядка. Тобто, порушується принцип "чим нижче рядок - тим більша нульова частина". Додам, що трапецієподібна матриця є окремим випадком ступінчастої матриці.

Перейдемо до наступного визначення. Якщо всі елементи квадратної матриці, розташовані під головною діагоналлю, дорівнюють нулю, то таку матрицю називають верхньою трикутною матрицею. Наприклад, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ - Верхня трикутна матриця. Зауважте, що у визначенні верхньої трикутної матриці нічого не сказано про значення елементів, які розташовані над головною діагоналлю або на головній діагоналі. Вони можуть бути нульовими чи ні – це несуттєво. Наприклад, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - теж верхня трикутна матриця.

Якщо всі елементи квадратної матриці, розташовані над головною діагоналлю, дорівнюють нулю, то таку матрицю називають нижньою трикутною матрицею. Наприклад, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - нижня трикутна матриця. Зверніть увагу, що у визначенні нижньої трикутної матриці нічого не сказано про значення елементів, розташованих під або на головній діагоналі. Вони можуть бути нульовими чи ні – це неважливо. Наприклад, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ і $\left(\begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - теж нижні трикутні матриці.

Квадратна матриця називається діагональноїякщо всі елементи цієї матриці, що не лежать на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Приклад: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(array) \right)$. Елементи на головній діагоналі можуть бути будь-якими (рівними нулю чи ні) – це несуттєво.

Діагональна матриця називається одиничною, якщо всі елементи цієї матриці, розташовані на головній діагоналі, дорівнюють 1. Наприклад, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - одинична матриця четвертого порядку; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ - одинична матриця другого порядку.