Ортогональна проекція вектор формули. Вектор проекції на осі координат

а на вісь або якийсь інший вектор існують поняття її геометричної проекції та числової (або алгебраїчної) проекції. Результатом геометричної проекції буде вектор, а алгебраїчною результатом – неотрицательное дійсне число. Але перед тим, як перейти до цих понять згадаємо необхідну інформацію.

Попередні відомості

Основне поняття – безпосередньо поняття вектора. Для того щоб ввести визначення геометричні векторЗгадаймо, що таке відрізок . Введемо таке визначення.

Визначення 1

Відрізком називатимемо частину прямої, яка має дві межі у вигляді точок.

Відрізок може мати 2 напрямки. Для позначення напрямку називатимемо одну з меж відрізка його початком, а іншу межу - його кінцем. Напрямок вказується від початку до кінця відрізка.

Визначення 2

Вектором або спрямованим відрізком називатимемо такий відрізок, для якого відомо, яка з меж відрізка вважається початком, а яка його кінцем.

Позначення: Двома літерами: $ \ overline (AB) $ - (де $ A $ його початок, а $ B $ - його кінець).

Однією маленькою літерою: $ \ overline (a) $ (рис. 1).

Введемо ще кілька понять, пов'язаних із поняттям вектора.

Визначення 3

Два ненульові вектори називатимемо колінеарними, якщо вони лежать на одній і тій же прямій або на прямих, паралельних один одному (рис.2).

Визначення 4

Два ненульові вектори називатимемо співспрямованими, якщо вони задовольняють двом умовам:

1. Ці вектори є колінеарними.
2. Якщо вони будуть направлені в один бік (рис. 3).

Позначення: $\overline(a)\overline(b)$

Визначення 5

Два ненульові вектори називатимемо протилежно спрямованими, якщо вони задовольняють двом умовам:

1. Ці вектори є колінеарними.
2. Якщо вони направлені в різні сторони(Рис. 4).

Позначення: $\overline(a)↓\overline(d)$

Визначення 6

Довжиною вектора $\overline(a)$ називатимемо довжину відрізка $a$.

Позначення: $|\overline(a)|$

Перейдемо до визначення рівності двох векторів

Визначення 7

Два вектори називатимемо рівними, якщо вони задовольняють двох умов:

1. Вони співспрямовані;
2. Їхні довжини рівні (рис. 5).

Геометрична проекція

Як ми вже сказали раніше, результатом геометричної проекції буде вектор.

Визначення 8

Геометричною проекцією вектора $\overline(AB)$ на вісь називатимемо такий вектор, який виходить наступним чином: Точка початку вектора $A$ проектується на дану вісь. Отримуємо точку $A"$ - початок вектора, що шукається. Точка кінця вектора $B$ проектується на дану вісь. Отримуємо точку $B"$ - кінець вектора, що шукається. Вектор $\overline(A"B")$ і буде шуканим вектором.

Розглянемо завдання:

Приклад 1

Побудуйте геометричну проекцію $overline(AB)$ на вісь $l$, зображені на малюнку 6.

Проведемо з точки $A$ перпендикуляр до осі $l$, отримаємо на ній точку $A"$. Далі проведемо з точки $B$ перпендикуляр до осі $l$, отримаємо на ній точку $B"$ (рис. 7).

Ось – це напрямок. Отже, проекція на вісь чи спрямовану пряму вважається одним і тим самим. Проекція буває алгебраїчна та геометрична. У геометричному розуміють проекцію вектора на вісь як вектор, а алгебраїчному – число. Тобто застосовуються поняття проекція вектора на вісь та числова проекція вектора на вісь.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Якщо маємо вісь L і ненульовий вектор A B → , то можемо побудувати вектор A 1 B 1 ⇀ , позначивши його проекції точок A 1 і B 1 .

A 1 B → 1 буде проекцією вектора A B → L .

Визначення 1

Вектор проекції на вісьназивають вектор, початок і кінець якого є проекції початку та кінця за даного вектора. n p L A B → → прийнято позначати проекцію A B → на L . Для побудови проекції L опускають перпендикуляри на L .

Приклад 1

Приклад векторної проекції на вісь.

на координатної площиниОх задається точка M 1 (x 1 , y 1) . Необхідно побудувати проекції на О х і О у зображення радіус-вектора точки M 1 . Отримаємо координати векторів (x 1, 0) та (0, y 1) .

Якщо йде мовапро проекції a → на ненульовий b → або проекції a → на напрямок b → , то мають на увазі проекція a → на вісь, з якою збігається напрямок b → . Проекція a → на пряму, що визначається b → має позначення n p b → a → → . Відомо, що коли кут між a → і b → можна вважати n p b → a → → і b → сонаправленными. У разі коли кут тупий, n p b → a → → і b → протилежно спрямовані. У ситуації перпендикулярності a → та b → , причому a → - нульовий, проекція a → у напрямку b → є нульовим вектором.

Числова характеристика векторної проекції на вісь – числова проекція вектора на задану вісь.

Визначення 2

Числовою проекцією вектора на вісьназивають число, яке дорівнює добутку довжини даного вектора на косинус кута між даним вектором та вектором, який визначає напрямок осі.

Числова проекція A B → L має позначення n p L A B → , а a → b → - n p b → a → .

Виходячи з формули, отримаємо n p b → a → = a → a a , b → ^ , звідки a → є довжиною вектора a → , a ⇀ , b → ^ - кут між векторами a → і b → .

Отримаємо формулу обчислення числової проекції: n p b → a → = a → cos a → , b → ^ . Вона може бути застосована при відомих довжинах a → і b → і вугіллі між ними. Формула застосовна при відомих координатах a → та b → , але є її спрощений вигляд.

Приклад 2

Дізнатися числову проекцію a → на пряму у напрямку b → при довжині a → 8 і кутом між ними в 60 градусів. За умовою маємо a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60°. Значить, підставляємо числові значенняу формулу n p ​​b ⇀ a → = a → cos a → b → ^ = 8 cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Відповідь: 4.

При відомому cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → b → , маємо a → , b → як скалярний добуток a → та b → . Дотримуючись формули n p b → a → = a → cos a ⇀ , b → ^ , ми можемо знайти числову проекцію a → спрямовану вектором b → і отримаємо n p b → a → = a → , b → b → . Формула еквівалента визначенню, вказаному на початку пункту.

Визначення 3

Числовою проекцією вектора a → на вісь, що збігається у напрямку з b → називають відношення скалярного твору векторів a → і b → до довжини b → . Формула n p b → a → = a → , b → b → застосовна для знаходження числової проекції a → на пряму, яка збігається у напрямку з b → при відомих a → і b → координатах.

Приклад 3

Заданий b → = (- 3, 4). Знайти числову проекцію a → = (1, 7) на L.

Рішення

На координатній площині n → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → a → b → ) і b → = b x, b y. Щоб знайти числову проекцію вектора a → на вісь L , потрібно: n = → → → → → → → → → → → → → x = b x + a x b + b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (-3) 2 + 4 2 = 5 .

Відповідь: 5.

Приклад 4

Знайти проекцію a → на L , яка збігається з напрямком b → , де є a → = - 2 , 3 , 1 і b → = (3 , - 2 , 6) . Задано тривимірний простір.

Рішення

За заданими a → = a x , a y , a z і b → = b x , b y , b z обчислимо скалярний добуток: a ⇀ , b = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Довжину b → знайдемо за формулою b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Звідси випливає, що формула визначення числової проекції a → буде: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Підставляємо числові значення: n p L a → = n p b → a → = (-2) · 3 + 3 · (- 2) + 1 · 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Відповідь: - 6 7 .

Переглянемо зв'язок між a → на L та довжиною проекції a → на L . Накреслимо вісь L , додавши a і b з точки на L , після чого проведемо перпендикулярну пряму з кінця a на L і проведемо проекцію на L . Існують 5 варіацій зображення:

Першийвипадок при a → = n p b → a → → означає a → = n p b → a → → , звідси випливає n p b → a → a = a cos (a , b → ^) n p b → a → → .

Другийвипадок передбачає застосування n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , отже, n p b → a → a = a cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Третійвипадок пояснює, що при n p b → a → → = 0 → отримуємо n p b ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0 , тоді n p b → a → → = 0 n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Четвертийвипадок показує n p b → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^), слід n p b → a → = a → cos (a → , b → ^) = - n p b → a → → .

П'ятийвипадок показує a → = n p b → a → → , що означає a → = n p b → a → → , звідси маємо n p b → = - n p b → a →.

Визначення 4

Числовою проекцією вектора a → на вісь L , яка спрямована як і b → має значення:

• довжини проекції вектора a → на L за умови, якщо кут між a → та b → меншим за 90 градусів або дорівнює 0: n p b → a → = n p b → a → → з умовою 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• нуля за умови перпендикулярності a → і b → : n p b → a → = 0, коли (a → , b → ^) = 90 °;
• довжини проекції a → на L , помноженої на -1, коли є тупий або розгорнутий кут векторів a → і b → : n p b →< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Приклад 5

Дана довжина проекції a → на L 2 . Знайти числову проекцію a → за умови, що кут дорівнює 5 π 6 радіан.

Рішення

З умови видно, що даний кутє тупим: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Відповідь: - 2 .

Приклад 6

Дана площина О х y z з довжиною вектора a → 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) з кутом в 30 градусів. Знайти координати проекції a → на вісь L .

Рішення

Для початку обчислюємо числову проекцію вектора a → : n p L a → = n p b → a = a → cos (a → b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

За умовою кут гострий, тоді числова проекція a → = довжині проекції вектора a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Даний випадок показує, що вектори n p L a → → і b → сонаправлены, отже є число t , у якому правильна рівність: n p L a → → = t · b → . Звідси бачимо, що n p L a → → = t · b → , отже, можемо знайти значення параметра t: t = n p L a → b → = 9 (-2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Тоді n p L a → → = 3 · b → з координатами проекції вектора a → на вісь L дорівнюють b → = (- 2 , 1 , 2) , де необхідно помножити значення на 3. Маємо n p L a → → = (- 6 , 3, 6) . Відповідь: (- 6, 3, 6).

Необхідно повторити раніше вивчену інформацію про умову колінеарності векторів.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Проектування різних ліній та поверхонь на площину дозволяє побудувати наочне зображенняпредметів як креслення. Розглянемо прямокутне проектування, при якому проектують промені перпендикулярні площині проекції. ПРОЕКЦІЄЮ ВЕКТОРА НА ПЛОЩИНІ вважають вектор = (рис. 3.22), укладений між перпендикулярами, опущеними з початку і кінця.

Мал. 3.23. Вектор проектор вектор на вісь.

У векторної алгебричасто доводиться проектувати вектор на ОСЬ, тобто на пряму, яка має певну орієнтацію. Таке проектування виконується легко, якщо вектор та вісь L лежать в одній площині (рис. 3.23). Однак завдання ускладнюється, коли ця умова не виконана. Побудуємо проекцію вектора на вісь, коли вектор та вісь не лежать в одній площині (рис. 3.24).

Мал. 3.24. Проектування вектора на вісь
у загальному випадку.

Через кінці вектора проводимо площини, перпендикулярні до прямої L. У перетині з цієї прямої дані площини визначають дві точки А1 і B1 - вектор , який будемо називати векторною проекцією даного вектора. Завдання знаходження векторної проекції може бути вирішена простіше, якщо вектор наведено в одну площину з віссю, що можна здійснити, оскільки у векторній алгебрі розглядаються вільні вектори.

Поряд з векторною проекцією, існує і СКАЛЯРНА ПРОЕКЦІЯ, яка дорівнює модулю векторної проекції, якщо векторна проекція збігається з орієнтацією осі L і дорівнює величині, їй протилежної, якщо векторна проекція і вісь L мають протилежну орієнтацію. Скалярну проекцію позначатимемо:

Векторна і скалярна проекції який завжди термінологічно поділяються суворо практично. Зазвичай використовують термін «проекція вектора», маючи на увазі під цим скалярну проекцію вектора. При вирішенні необхідно чітко ці поняття розрізняти. Наслідуючи встановлену традицію, будемо використовувати терміни «проекція вектора», маючи на увазі скалярну проекцію, і «векторна проекція» - відповідно до встановленого змісту.

Доведемо теорему, що дозволяє обчислювати скалярну проекцію заданого вектора.

ТЕОРЕМА 5. Проекція вектора на вісь L дорівнює добутку його модуля на косинус кута між вектором та віссю, тобто

(3.5)

Мал. 3.25. Знаходження векторної та скалярної
Вектор проекції на вісь L
(і вісь L однаково орієнтовані).

ДОВЕДЕННЯ. Виконаємо попередньо побудови, що дозволяють знайти кут GМіж вектором та віссю L. Для цього побудуємо пряму MN, паралельну осі L і проходить через точку О - початок вектора (рис. 3.25). Кут і буде шуканим кутом. Проведемо через точки А та Про дві площини, перпендикулярні осі L. Отримаємо:

Тому що вісь L і пряма MN паралельні.

Виділимо два випадки взаємного розташуваннявектор і осі L.

1. Нехай векторна проекція та вісь L однаково орієнтовані (рис. 3.25). Тоді відповідна скалярна проекція .

2. Нехай і L орієнтовані у різні сторони (рис. 3.26).

Мал. 3.26. Знаходження векторної та скалярної проекцій вектора на вісь L (і вісь L орієнтовані у протилежні сторони).

Таким чином, в обох випадках справедливе затвердження теореми.

ТЕОРЕМА 6. Якщо початок вектора приведено до певної точки осі L, і ця вісь розташована в площині s, вектор утворює з векторною проекцією на площину s кут, а з векторною проекцією на вісь L - кут, крім того, самі векторні проекції утворюють між собою кут , то

Нехай у просторі дано два вектори та . Відкладемо від довільної точки Oвектори та . Кутомміж векторами і називається найменший з кутів. Позначається .

Розглянемо вісь lі відкладемо у ньому одиничний вектор (тобто. вектор, довжина якого дорівнює одиниці).

Під кутом між вектором та віссю lрозуміють кут між векторами та .

Отже, нехай l- Деяка вісь і - вектор.

Позначимо через A 1і B 1проекції на вісь lвідповідно точок Aі B. Припустимо, що A 1має координату x 1, а B 1– координату x 2на осі l.

Тоді проекцієювектор на вісь lназивається різниця x 1 – x 2між координатами проекцій кінця та початку вектора на цю вісь.

Вектор проекції на вісь lбудемо позначати.

Зрозуміло, що якщо кут між вектором та віссю lгострий, то x 2> x 1, та проекція x 2 – x 1> 0; якщо цей кут тупий, то x 2< x 1та проекція x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, то x 2= x 1і x 2– x 1=0.

Таким чином, проекція вектора на вісь l- Це довжина відрізка A 1 B 1взята з певним знаком. Отже, проекція вектора на вісь це чи скаляр.

Аналогічно визначається проекція одного вектора іншою. У цьому випадку знаходяться проекції кінців даного вектора на ту пряму, на якій лежить другий вектор.

Розглянемо деякі основні властивості проекцій.

ЛІНІЙНО ЗАЛЕЖНІ І ЛІНІЙНО НЕЗАЛЕЖНІ СИСТЕМИ ВЕКТОРІВ

Розглянемо кілька векторів.

Лінійною комбінацієюданих векторів називається будь-який вектор виду , де - Деякі числа. Числа називаються коефіцієнтами лінійної комбінації. Говорять також, що у разі лінійно виявляється через дані вектори , тобто. виходить із них за допомогою лінійних дій.

Наприклад, якщо дані три вектори то їх лінійної комбінації можна розглядати вектори:

Якщо вектор представлений як лінійна комбінація якихось векторів, кажуть, що він розкладенийза цими векторами.

Вектори називаються лінійно залежнимиякщо існують такі числа, не всі рівні нулю, що . Зрозуміло, що задані векторибудуть лінійно залежними, якщо якийсь із цих векторів лінійно виражається через інші.

Інакше, тобто. коли співвідношення виконується тільки за ці вектори називаються лінійно незалежними.

Теорема 1.Будь-які два вектори лінійно залежні тоді і лише тоді, коли вони колінеарні.

Доведення:

Аналогічно можна довести таку теорему.

Теорема 2.Три вектори лінійно залежні тоді і лише тоді, коли вони є компланарними.

Доведення.

БАЗИС

Базисомназивається сукупність відмінних від нулів лінійно незалежних векторів. Елементи базису будемо позначати.

У попередньому пункті ми бачили, що два неколлінеарні вектори на площині лінійно незалежні. Тому згідно з теоремою 1, з попереднього пункту, базисом на площині є будь-які два неколлінеарні вектори на цій площині.

Аналогічно в просторі лінійно незалежні будь-які три некомпланарні вектори. Отже, базисом у просторі назвемо три некомпланарні вектори.

Справедливим є наступне твердження.

Теорема.Нехай у просторі заданий базис. Тоді будь-який вектор можна подати у вигляді лінійної комбінації , де x, y, z- Деякі числа. Таке розкладання єдине.

Доведення.

Отже, базис дозволяє однозначно зіставити кожному вектору трійку чисел – коефіцієнти розкладання цього вектора за векторами базису: . Вірно і зворотне, кожній трійці чисел x, y, zза допомогою базису можна зіставити вектор, якщо скласти лінійну комбінацію .

Якщо базис і , то числа x, y, zназиваються координатамивектора у даному базисі. Координати вектора позначають.

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ

Нехай у просторі задана точка Oі три некомпланарні вектори.

Декартовою системоюкоординату просторі (на площині) називається сукупність точки та базису, тобто. сукупність точки та трьох некомпланарних векторів (2-х неколлінеарних векторів), що виходять із цієї точки.

Крапка Oназивається початком координат; Прямі, що проходять через початок координат у напрямку базисних векторів, називаються осями координат - віссю абсцис, ординат та аплікат. Площини, що проходять через осі координат називають координатними площинами.

Розглянемо у вибраній системі координат довільну точку M. Введемо поняття координати точки M. Вектор, що з'єднує початок координат з точкою M. називається радіус-векторомкрапки M.

Вектор у вибраному базисі можна зіставити трійку чисел – його координати: .

Координати радіус-вектор точки M. називаються координатами точки M. у системі координат. M(x, y, z). Перша координата називається абсцисою, друга – ординатою, третя – аплікатою.

Аналогічно визначаються декартові координатина площині. Тут точка має лише дві координати – абсцису та ординату.

Легко бачити, що за заданій системікоординат кожна точка має певні координати. З іншого боку, кожної трійки чисел знайдеться єдина точка, має ці числа як координат.

Якщо вектори, взяті як базис, у вибраній системі координат, мають одиничну довжину і попарно перпендикулярні, то система координат називається декартовий прямокутний.

Неважко показати, що .

Напрямні косинуси вектора повністю визначають його напрям, але нічого не говорять про його довжину.

Позначимо через кут між вектором і віссю проекції і перенесемо вектор

так, щоб його початок збігся з якоюсь точкою осі. Якщо напрями складової вектора і осі однакові, то кут буде гострим і, як видно з рис. 24, а,

де а – модуль вектора а. Якщо ж напрямки вектора та осі протилежні, то, враховуючи знак проекції, будемо мати (див. рис. 24, б)

т. е. попередній вираз (потрібно пам'ятати, що в даному випадкукут а тупий і

Таким чином, проекція вектора на вісь дорівнює добутку модуля вектора на косинус кута між вектором і віссю:

Крім цієї має виключно важливе значенняДля проекції вектора на вісь можна дати ще одну дуже просту формулу. Встановимо на осі початок відліку та виберемо масштаб, спільний із масштабом векторів. Як відомо, координатою точки називається число, що виражає в обраному масштабі відстань від початку відліку осі до проекції даної точки на вісь, причому це число береться зі знаком плюс, якщо проекція точки віддалена від початку відліку у бік напрямку осі, і зі знаком мінус в іншому випадку. Так, наприклад, координатою точки А (рис. 23 б) буде взяте зі знаком число, що виражає довжину відрізка а координатою точки В буде взяте зі знаком - число, що визначає довжину відрізка (ми не зупиняємося на цьому

докладніше, вважаючи, що читач знайомий із поняттям координат точки з курсу елементарної математики).

Позначимо через координату початку, а через координату кінця вектора на вісь х. Тоді, як видно із рис. 23, а, матимемо

Проекція вектора на вісь х дорівнюватиме

або, враховуючи попередні рівністі,

Легко бачити, що ця формула має загальний характері не залежить від розташування вектора щодо осі та початку відліку. Справді, розглянемо випадок, зображений на рис. 23, б. З визначення координат точок та проекції вектора послідовно отримаємо

(читач легко перевірить справедливість формули і при іншому розташуванні вектора щодо осі і початку відліку).

З (6.11) випливає, що проекція вектора на вісь дорівнює різниці координат кінця та початку вектора.

Обчислення проекції вектора на вісь зустрічається дуже часто в різних питаннях. Тому необхідно виробити жорсткі навички обчислення проекцій. Можна зазначити деякі прийоми, які полегшують процес обчислення проекцій.

1. Знак проекції вектора на вісь, як правило, можна визначити безпосередньо з креслення, а модуль проекції можна обчислити за формулою

де - гострий кутміж вектором і віссю проекцій - якщо а якщо це прийом, не вносячи нічого принципово нового, кілька

полегшує обчислення проекції, оскільки не вимагає тригонометричних перетворень.

2. Якщо потрібно визначити проекції вектора на дві взаємноперпендикулярні осі х і у (передбачається, що вектор лежить у площині цих осей) і гострий кут між вектором і віссю х, то

(Знак проекцій визначається з креслення).

приклад. Знайти проекції на осі координат х і сили зображеної на рис. 25. З креслення видно, що обидві проекції будуть негативними. Отже,

3. Іноді застосовується правило подвійного проектування, яке полягає наступного. Нехай дано вектор і вісь, що лежить у площині Опустимо з кінця вектора перпендикуляри на площину і пряму і з'єднаємо потім основи перпендикулярів відрізком прямої лінії (рис. 26). Позначимо кут між вектором і площиною через кут між і через кут між вектором і віссю проекцій через а. Так як кут прямий (за побудовою), то