Які з цих постатей рівновеликі. Які дві фігури називають рівними

При обчисленні площ багатокутників використовується простий прийом, який називається методом розбиття. Розглянемо багатокутники та , зображені на рис. 1 де показано, як розбити ці багатокутники на однакове число відповідно рівних частин (рівні частини позначені однаковими цифрами). Про багатокутники і кажуть, що вони рівноскладені. Взагалі, багатокутники і називаються рівноскладеними, якщо, певним чином розрізавши багатокутник на кінцеве число частин, можна розташовуючи ці частини інакше, скласти з них багатокутник . Легко бачити, що справедливою є наступна теорема: рівноскладені багатокутники мають однакову площу, або, як кажуть, рівновеликі. Наприклад, паралелограм рівно складений із прямокутником (рис. 2), і тому, знаючи формулу площі прямокутника, знаходимо, що площа паралелограма дорівнює добутку довжин його сторони та відповідної висоти.

Цей приклад ілюструє метод розбиття, що полягає в тому, що для обчислення площі багатокутника намагаються розбити його на кінцеве число частин таким чином, щоб з цих частин можна було скласти простіший багатокутник, площа якого нам вже відома. Наприклад, трикутник рівноскладний з паралелограмом, що має ту саму основу і вдвічі меншу висоту (рис. 3); із цього легко виводиться формула площі трикутника. Цей спосіб обчислення площ багатокутників був відомий ще Евкліду, який жив понад 2000 років тому.

Чудово, що з наведеної вище теореми справедлива і зворотна теорема: якщо два багатокутники рівновеликі, всі вони рівноскладені. Цю теорему, доведену у першій половині ХІХ ст. угорським математиком Ф. Бойяї та німецьким офіцером і любителем математики П. Гервіном, можна пояснити так: якщо є пряник у формі багатокутника та багатокутна коробка зовсім іншої форми, але тієї ж площі, то можна так розрізати пряник на кінцеве число шматків, що їх вдасться вкласти у цю коробку.

У зв'язку з теоремою Бойяї-Гервіна виникає питання про накладення додаткових обмежень на число чи розташування частин, у тому числі складаються рівновеликі багатокутники. Наприклад, уявімо собі площину у вигляді аркуша кольорового паперу, у якого одна сторона червона, а інша – біла. Якщо з такого паперу вирізані два рівновеликі червоні багатокутники, то виникає питання, чи можна один з них розрізати на частини, з яких вдасться скласти червоний багатокутник, що дорівнює другому. Частині дозволяється перекладати, не перевертаючи їх на білу, виворітну сторону. Відповідь на це питання також позитивна.

Варіант цього завдання був запропонований однією з московських математичних олімпіад у наступній жартівливій формі. Дивак-кондитер іспек торт (а біля торта, на відміну від пряника, верхня сторона вкрита кремом) у формі трикутника різностороннього. Зробили і коробку до торта, але з недогляду склеїли її неправильно, тож торт і коробка виявилися симетричними одне одному (рис. 4). Потрібно (по можливості ощадливо) розрізати торт на частини, які вдалося б укласти в цю коробку. Зрозуміло, частини торта не можна укладати вниз кремом.

Цікавий результат, пов'язаний з накладенням додаткових вимог на розташування частин, був отриманий в 1952 швейцарськими математиками Г. Хадвігером і П. Глюром: рівноскладненість двох рівновеликих багатокутників може бути встановлена ​​за допомогою таких розбиття, в яких відповідні частини мають паралельні сторони. На перший погляд це здається навіть неправдоподібним: важко повірити, що два рівні трикутники, повернені один щодо одного на довільний кут (рис. 5), завжди можна розбити на рівні частини з паралельними сторонами. Тим не менш, існує таке розбиття цих трикутників, що частини, на які розбитий один трикутник, виходять з відповідних частин другого трикутника паралельними переносами або центральними симетріями. Те саме справедливо для будь-яких двох рівновеликих багатокутників. Проте лише паралельними переносами частин обійтися не вдається. Наприклад, як би ми не розрізали паралелограм на частини, неможливо паралельними переносами скласти із цих частин трикутник.

Інтерес до цих питань був пробуджений знаменитою доповіддю «Математичні проблеми», яку прочитали видатний математик Д. Гільберт на Другому Міжнародному конгресі математиків, що відбувся на рубежі XIX і XX ст. З двадцяти трьох поставлених Гільбертом проблем більшість відноситься до нових розділів математики, що швидко розвиваються. І лише одна проблема – третя – пов'язана з питаннями шкільної геометрії. Гільберт звертає увагу на те, що при обчисленні обсягу трикутної піраміди ще з часів Евкліда використовується досить складний граничний перехід (див. Межа) (а в даний час - інтегрування), тоді як при обчисленні площі трикутника ми обходимося без аналогічного граничного переходу. Істота проблеми Гільберта у тому, щоб обгрунтувати використання цього «зайвого» (проти планіметрією) граничного переходу, тобто. довести, що його теорія обсягів багатогранників може бути побудована. У 1900 р. М. Ден вирішив третю проблему Гільберта, довівши, що правильний тетраедр і рівновеликий йому куб не складені. Гільберт передбачав, що це питання може призвести до створення математично цікавої та багатої на результати теорії рівноскладненості багатокутників і багатогранників. Передбачення Гільберта блискуче виправдалося; красива будівля сучасної теорії рівноскладеності є гідною пам'яткою вченому.

Які фігури називаються рівними?

Рівними називають фігури, які збігаються під час накладання.

Частою помилкою на це питання є відповідь, в якій згадуються рівні сторони та кути геометричної фігури. Однак при цьому не береться до уваги, що сторони геометричної фігури не обов'язково бувають прямими. Тому лише збіг геометричних фігур при накладенні може бути ознакою їхньої рівності.

Насправді це легко перевірити за допомогою накладання, вони повинні збігтися.

Все дуже просто і доступно, зазвичай, рівні фігури видно відразу.

Рівними називають ті фігури, у яких збігаються параметри геометрії. Ці параметри: довжина сторін, розмір кутів, товщина.

Найпростіше зрозуміти, що фігури рівні можна за допомогою накладання. Якщо величини фігур однакові – їх називають рівними.

Рівниминазивають лише ті геометричні фігури, які мають абсолютно однакові параметри:

1) периметр;

2) площу;

4) розміри.

Тобто якщо одну фігуру накласти на іншу, то вони збігатимуться.

Помилково вважати, що й фігури мають однакові периметр чи площу, всі вони рівні. Насправді геометричні фігури, у яких рівна площа називаються рівновеликими.

Фігури називаються рівними, якщо вони збігаються при накладенні одна на одну.Рівні фігури мають однакові розміри, форму, площу та периметр. А ось рівні за площею фігури можуть бути і не рівними між собою.

У геометрії, за правилами, рівні фігури повинні мати однакову площу та периметр, тобто у них мають бути абсолютно самотні форми та розміри. І вони повинні повністю збігатися при їхньому накладенні один на одного. Якщо ж є якісь розбіжності, ці фігури вже не можна буде назвати рівними.

Фігури можна назвати рівними за умови, якщо вони повністю збігаються при накладенні одна на одну, тобто. вони мають однакові розміри, форму і отже площу та периметр, а також інші характеристики. В іншому випадку говорити про рівності фігур не можна.

У самому слові рівні закладено суть.

Це постаті, які повністю ідентичні одна одній. Тобто повністю збігаються. Якщо фігуру покласти одну на одну, тоді фігури будуть перекривати себе з усіх боків.

Вони однакові, тобто рівні.

На відміну від рівних трикутників (для визначення яких достатньо виконання однієї з умов - ознак рівності), рівними фігурами називають такі, що мають однакову не лише форму, а й розміри.

Визначити, чи дорівнює одна фігура інший, можна шляхом накладання. При цьому постаті мають збігатися і сторонами та кутами. Це і будуть рівні постаті.

Рівними можуть бути тільки такі постаті, які при їх накладенні повністю збігатимуться сторонами та кутами. Насправді для всіх найпростіших багатокутників рівність їхньої площі свідчить і про рівність самих фігур. Приклад: квадрат зі стороною а завжди дорівнюватиме іншому квадрату з тією ж стороною а. Теж стосується і прямокутників і ромбів - якщо їхні сторони дорівнюють сторонам іншого прямокутника, вони рівні. Більш складний приклад: трикутники будуть рівними, якщо у них рівні сторони та відповідні кути. Але це лише окремі випадки. У найзагальніших випадках, рівність фігур доводиться все-таки накладенням, але це накладення в планіметрії пишномовно називають рухом.

У повсякденному житті нас з вами оточують безліч різних предметів. Частина мають однакові розміри і однакову форму. Наприклад, два однакові простирадла або два однакові шматки мила, дві однакові монети і т.д.

У геометрії фігури, що мають однакові розміри та форму, називаються рівними фігурами. На малюнку нижче зображено дві фігури А1 та А2. Щоб встановити рівність цих фігур, нам потрібно одну з них скопіювати на кальку. А потім пересувати кальку і поєднати копію однієї фігури з іншою фігурою. Якщо вони суміщаться, це означає, що ці фігури є однаковими фігурами. При цьому записують А1 = А2, використовуючи звичайний знак рівності.

Визначення рівності двох геометричних фігур

Ми можемо припустити, що на другу фігуру накладали першу фігуру, а не її копію на кальці. Тому надалі говоритимемо про накладення самої фігури, а не її копії, на іншу фігуру. З усього вищесказаного можна сформулювати визначення рівності двох геометричних фігур.

Дві геометричні фігури називаються рівними, якщо їх можна поєднати накладенням однієї фігури на іншу. У геометрії деяких геометричних фігур (наприклад, трикутники) сформульовані спеціальні ознаки, і під час яких можна говорити, що фігури рівні.

Потрібна допомога у навчанні?

Геометричні фігури вважаються рівними, якщо вони є точною копією один одного, тобто мають виконуватися такі умови:

1. фігури мають однакову форму;
2. у постатей однакові розміри;
3. існує таке накладення (рух) однієї фігури в іншу, що вони збігаються у всіх своїх точках.

Що означає однакова форма фігур

Говорячи про форму фігурі, мається на увазі в першу чергу клас геометричних фігур, а також кількість кутів, напрям опуклостей (увігнутостей) та інші візуальні деталі контуру плоскої фігури.

Наприклад, овал і прямокутник мають різну форму. А якщо взяти фігури одного класу, допустимо 2 трикутники, то потрібно порівняти елементи, що становлять контур. У разі йдеться про кутах і сторонах. Так, якщо в одного трикутника є прямий кут, а в іншого немає, то відразу помітно вони мають різну форму. Якщо довжини трьох сторін одного трикутника не сильно відрізняються один від одного, а в іншого одна сторона значно більша за дві інші, ми теж з першого погляду зауважимо, що їх форми різні.

Чому важливим є збіг розмірів фігур

Що, якщо відмінності у розмірах візуально мало помітні? Тоді необхідно зробити точні виміри обох фігур. Також рівність розмірів поділяє поняття подібних та рівних фігур. Наприклад, 2 квадрати з різною площею будуть подібними, але не рівними (мається на увазі, коли один більший за інший).

Що розуміється під «накладенням» фігур одна на одну

Іноді зробити точні виміри складно. Особливо якщо фігура утворена замкненою довільною кривою або ламаною лінією. Тоді потрібно знайти спосіб накласти одну фігуру на іншу.

Так, якщо вони намальовані на аркуші паперу, потрібно вирізати одну з них точно по контуру і покласти поверх іншої. Можна її повертати у будь-якому напрямку і навіть перевертати. Якщо знайдеться спосіб поєднати ці фігури так, щоб вони збіглися точно за контурами, то вони рівні.

Чи завжди можна довести рівність фігур

Іноді зробити це неможливо. Наприклад, якщо йдеться про прямі. Усі вони нескінченні. Те саме стосується і променів.

Рівними називаються такі фігури, які можна поєднати, скориставшись будь-яким видом руху (центральна та осьова симетрія, поворот та паралельне перенесення).

У таких постатях усі сторони та кути відповідно рівні.

Наприклад, якщо дані трикутники ABC і A₁B₁C₁, то вони рівні в тому випадку, якщо дотримується рівність сторін (AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁) і кутів (кут A = кут A₁, кут B = = кут C₁).

Також у рівних фігурах рівні та відповідні точки та лінії. Наприклад, у тих же рівних трикутниках ABC і A₁B₁C₁ дорівнюватимуть бісектриси, медіани, висоти, радіуси вписаного та описаного кіл, центроїди тощо.

Одним із основних понять у геометрії є фігура. Під цим терміном мається на увазі безліч точок на площині, обмежена кінцевим числом ліній. Деякі фігури можуть розглядатися як рівні, що пов'язано з поняттям руху. Геометричні фігури можуть розглядатися не ізольовано, а в тому чи іншому співвідношенні одна з одною – їх взаємне розташування, зіткнення та прилягання, положення «між», «всередині», співвідношення, виражене в поняттях «більше», «менше», «рівно» . Геометрія вивчає інваріантні властивості фігур, тобто. ті, що залишаються незмінними за тих чи інших геометричних перетвореннях. Таке перетворення простору, при якому залишається незмінною відстань між точками, що становлять ту чи іншу фігуру, називається рухом. .

Рух та рівні фігури

Рівновеликі та рівноскладені фігури