Якою формулою виражається об'єм конуса. Усі формули обсягів геометричних тіл

1. Розрахунок обсягу куба

a- Сторона куба

Формула об'єму куба, ( V ):

2. Знайти за формулою, обсяг прямокутного паралелепіпеда

a, b, c- Сторони паралелепіпеда

Ще іноді бік паралелепіпеда називають ребром.

Формула обсягу паралелепіпеда, ( V):

3. Формула для обчислення об'єму кулі, сфери

R — радіус кулі

За формулою, якщо дано радіус, можна знайти об'єм кулі, ( V):

4. Як обчислити об'єм циліндра?

h- Висота циліндра

r- Радіус основи

За формулою знайти об'єм циліндра, коли відомі - його радіус основи і висота, ( V):

5. Як знайти об'єм конуса?

R -радіус основи

H -висота конуса

Формула об'єму конуса, якщо відомі радіус і висота ( V):

7. Формула обсягу зрізаного конуса

r -радіус верхньої основи

R -радіус нижньої основи

h -висота конуса

Формула обсягу зрізаного конуса, якщо відомі - радіус нижньої основи, радіус верхньої основи і висота конуса ( V):

8. Об'єм правильного тетраедра

Правильний тетраедр — піраміда, у якої всі грані, рівносторонні трикутники.

а- ребро тетраедра

Формула для розрахунку об'єму правильного тетраедра ( V):

9. Об'єм правильної чотирикутної піраміди

Піраміда, у якої основа квадрат і грані рівні, рівнобедрені трикутники, називається правильною чотирикутною пірамідою.

a- сторона основи

h- Висота піраміди

Формула для обчислення об'єму правильної чотирикутної піраміди ( V):

10. Об'єм правильної трикутної піраміди

Піраміда, у якої основа рівносторонній трикутник і грані рівні, рівнобедрені трикутники, називається правильною трикутною пірамідою.

a- сторона основи

h- Висота піраміди

Формула об'єму правильної трикутної піраміди, якщо дані — висота та сторона основи ( V):

11. Знайти об'єм правильної піраміди

Піраміда в основі, якою лежить правильний багатокутник та грані рівні трикутники, називається правильною.

h- Висота піраміди

a- сторона основи піраміди

n— кількість сторін багатокутника на підставі

Формула об'єму правильної піраміди, знаючи висоту, бік основи та кількість цих сторін ( V):

Усі формули обсягів геометричних тіл
Геометрія, Алгебра, Фізика

Формули обсягу

Обсяг геометричної фігури- Кількісна характеристика простору, що займається тілом або речовиною. У найпростіших випадках обсяг вимірюється числом одиничних кубів, що вміщаються в тілі, тобто кубів з ребром, рівним одиниці довжини. Обсяг тіла чи місткість судини визначається його формою та лінійними розмірами.

Формула об'єму куба

1) Об'єм куба дорівнює кубу його ребра.

V- Об'єм куба

H- Висота ребра куба

Формула об'єму піраміди

1) Об'єм піраміди дорівнює одній третині твору площі основи S (ABCD) на висоту h (OS).

V- Об'єм піраміди

S- Площа основи піраміди

h- Висота піраміди

Формули об'єму конуса

1) Обсяг конуса дорівнює однієї третини добутку площі основи на висоту.

2) Обсяг конуса дорівнює одній третині добутку числа пі (3.1415) на квадрат радіусу основи на висоту.

V- Обсяг конуса

S- Площа основи конуса

h- Висота конуса

π - Число пі (3.1415)

r- Радіус конуса

Формули об'єму циліндра

1) Об'єм циліндра дорівнює добутку площі основи на висоту.

2) Об'єм циліндра дорівнює добутку числа пі (3.1415) на квадрат радіусу основи на висоту.

V- Об'єм циліндра

S- Площа основи циліндра

h- Висота циліндра

π - Число пі (3.1415)

r- Радіус циліндра

Формула об'єму кулі

1) Об'єм кулі обчислюється за наведеною нижче формулою.

V- Об'єм кулі

π - Число пі (3.1415)

R- Радіус кулі

Формула обсягу тетраедра

1) Обсяг тетраедра дорівнює дробу в чисельнику якого корінь квадратний із двох помножений на куб довжини ребра тетраедра, а в знаменнику дванадцять.

Формули обсягу
Формули обсягу та онлайн програми для обчислення обсягу

Формула обсягу.

Формула обсягунеобхідна для обчислення параметрів та характеристик геометричної фігури.

Об'єм фігури- це кількісна характеристика простору, який займає тіло або речовина. У найпростіших випадках обсяг вимірюється числом одиничних кубів, що вміщаються в тілі, тобто кубів з ребром, рівним одиниці довжини. Обсяг тіла чи місткість судини визначається його формою та лінійними розмірами.

Паралелепіпед.

Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи на висоту.

Циліндр.

Об'єм циліндра дорівнює добутку площі основи на висоту.

Об'єм циліндра дорівнює добутку числа пі (3.1415) на квадрат радіусу основи на висоту.

Піраміда.

Об'єм піраміди дорівнює одній третині твору площі основи S (ABCDE) на висоту h (OS).

Правильна піраміда- це піраміда, в основі якої лежить правильний багатокутник, а висота проходить через центр вписаного кола в основу.

Правильна трикутна піраміда- це піраміда, у якої основою є рівносторонній трикутник та грані рівні рівнобедрені трикутники.

Правильна чотирикутна піраміда- це піраміда, у якої основою є квадрат і грані рівні рівнобедрені трикутники.

Тетраедр- це піраміда, у якої всі грані – рівносторонні трикутники.

Усічена піраміда.

Обсяг усіченої піраміди дорівнює одній третині твору висоти h (OS) на суму площ верхньої основи S 1 (abcde), нижньої основи усіченої піраміди S 2 (ABCDE) та середньої пропорційної між ними.

Обчислити об'єм куба легко – потрібно перемножити довжину, ширину та висоту. Так як у куба довжина дорівнює ширині і дорівнює висоті, обсяг куба дорівнює s 3 .

Конус- це тіло в евклідовому просторі, отримане поєднанням усіх променів, що виходять з однієї точки (вершини конуса) і проходять через плоску поверхню.

Усічений конусвийде, якщо в конусі провести перетин, паралельний підставі.

V = 1/3 πh (R 2 + Rr + r 2)

Об'єм кулі в півтора рази менший, ніж об'єм описаного навколо нього циліндра.

Призма.

Обсяг призми дорівнює добутку площі підстави призми на висоту.

Сектор кулі.

Об'єм кульового сектора дорівнює об'єму піраміди, основа якої має ту ж площу, що і частина кульової поверхні, що вирізується сектором, а висота дорівнює радіусу кулі.

Кульовий шар- це частина кулі, укладена між двома січними паралельними площинами.

Сегмент кулі- це частина кулі, що осікається від неї якоюсь площиною, називається кульовим або сферичним сегментом

Формула обсягу
Формула об'єму куба, кулі, піраміди, паралелограма, циліндра, тетраедра, конуса, призми та обсяги інших геометричних фігур.

У курсі стереометрії одне з головних питань – як розрахувати обсяг того чи іншого геометричного тіла. Все починається з простого паралелепіпеда і закінчується кулею.

У житті також часто доводиться стикатися з подібними завданнями. Наприклад, щоб розрахувати обсяг води, що міститься у відро або бочку.

Властивості, справедливі для обсягу кожного тіла

1. Це значення завжди позитивне число.
2. Якщо тіло вдається розділити на частини так, щоб не було перетинів, загальний обсяг виявляється рівним сумі обсягів частин.
3. У рівних тіл однакові обсяги.
4. Якщо менше тіло повністю міститься у більшому, то обсяг першого менший, ніж другого.

Загальні позначення для всіх тіл

У кожному є ребра і підстави, у яких будуються висоти. Тому такі елементи їм однаково позначені. Саме так вони записані у формулах. Як розрахувати обсяг кожного з тіл - дізнаємося далі і застосуємо на практиці нові вміння.

У деяких формулах є інші величини. Про їхнє позначення буде сказано при появі такої необхідності.

Призма, паралелепіпед (прямий та похилий) та куб

Ці тіла об'єднані, тому що зовні дуже схожі, і формули того, як розрахувати обсяг, ідентичні:

V = S * h.

Розрізнятися буде лише S. У випадку з паралелепіпедом вона розраховується як для прямокутника або квадрата. У призмі основою може бути трикутник, паралелограм, довільний чотирикутник або інший багатокутник.

Для куба формула істотно спрощується, тому що всі його виміри дорівнюють:

V = а3.

Піраміда, тетраедр, усічена піраміда

Для першого із зазначених тіл існує така формула, щоб обчислити обсяг:

V = 1/3 * S * н.

Тетраедр є окремим випадком трикутної піраміди. У ньому всі ребра рівні. Тому знову виходить спрощена формула:

V = (а 3 * √2) / 12, або V = 1 / 3 S h

Усіченою піраміда стає тоді, коли в неї зрізана верхня частина. Тому її обсяг дорівнює різниці двох пірамід: тієї, яка була б цілою, та віддаленої верхівки. Якщо є можливість дізнатися обидві підстави такої піраміди (S 1 - більша і S 2 - менша), то зручно користуватися такою формулою для розрахунку обсягу:

Циліндр, конус та усічений конус

V = π * r 2 * h.

Дещо складніше ситуація з конусом. Для нього існує формула:

V = 1/3 π * r 2 * h.Вона дуже схожа на ту, що вказана для циліндра, лише значення зменшено втричі.

Так само, як з усіченою пірамідою, справа непроста з конусом, який має дві підстави. Формула для обчислення обсягу зрізаного конуса виглядає так:

V = 1/3 π * h * (r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2).Тут r 1 - радіус нижньої основи, r 2 - верхньої (меншої).

Куля, кульові сегменти та сектор

Це найскладніші для запам'ятовування формули. Для об'єму кулі вона виглядає так:

V = 4/3 π *r 3 .

У завданнях часто є питання про те, як розрахувати обсяг кульового сегмента - частини сфери, яка ніби зрізана паралельно діаметру. У цьому випадку на допомогу прийде така формула:

V = π h 2 * (r - h / 3).У ній за h взята висота сегмента, тобто та частина, яка йде радіусом кулі.

Сектор ділиться на дві частини: конус та кульовий сегмент. Тому його обсяг визначається як сума цих тіл. Формула після перетворень виглядає так:

V = 2/3 πr 2 * h.Тут h також висота сегмента.

Приклади завдань

Про обсяги циліндра, кулі та конуса

Умова:діаметр циліндра (1 тіло) дорівнює його висоті, діаметру кулі (2 тіло) і висоті конуса (3 тіло), перевірити пропорційність обсягів V 1: V 2: V 3 = 3:2:1

Рішення.Спочатку потрібно записати три формули для обсягів. Потім врахувати, що радіус – це половина діаметра. Тобто висота дорівнюватиме двом радіусам: h = 2r. Зробивши просту заміну виходить, що формули для обсягів матимуть такий вигляд:

V 1 = 2 π r 3 , V 3 = 2/3 π r 3 . Формула для об'єму кулі не змінюється, тому що не фігурує висота.

Тепер залишилося записати відносини обсягів і скоротити 2π і r 3 . Виходить, що V1: V2: V3 = 1: 2/3: 1/3. Ці цифри легко призвести до запису 3: 2: 1.

Про об'єм кулі

Умова:є два кавуни радіусами 15 і 20 см, як їх вигідніше з'їсти: перший вчотирьох чи другий у вісім?

Рішення.Щоб відповісти на це питання, знадобиться відношення обсягів частин, які дістануться від кожного кавуна. Зважаючи на те, що вони - кулі, потрібно записати дві формули для обсягів. Потім зважити, що від першого кожному дістанеться лише четверта частина, а від другого — восьма.

Залишилось записати відношення обсягів частин. Воно буде виглядати так:

(V 1: 4) / (V 2: 8) = (1/3 π r 1 3) / (1/6 π r 2 3). Після перетворення залишається лише дріб: (2 r 1 3) / r 2 3 . Після підстановки значень та обчислення виходить дріб 6750/8000. З неї ясно, що частина від першого кавуна буде меншою, ніж від другого.

Відповідь.Найвигідніше з'їсти восьму частину від кавуна з радіусом 20 см.

Про обсяги піраміди та куба

Умова:є піраміда з глини з прямокутною основою 8Х9 см і висотою 9 см, з цього ж шматка глини зробили куб, чому його ребро?

Рішення.Якщо позначити сторони прямокутника літерами в і с, то площа основи піраміди обчислюється як їх добуток. Тоді формула для її обсягу:

Формула для обсягу куба написана у статті вище. Ці два значення дорівнюють: V 1 = V 2 . Залишилося прирівняти праві частини формул і зробити необхідні обчислення. Виходить, що ребро куба дорівнюватиме 6 см.

Про обсяг паралелепіпеда

Умова:потрібно зробити ящик місткістю 0,96 м 3 , відомі його ширина і довжина - 1,2 і 0,8 метра, якою має бути його висота?

Рішення.Оскільки основа паралелепіпеда - прямокутник, його площа визначається як добуток довжини (а) на ширину (в). Тому формула для обсягу виглядає так:

З неї легко визначити висоту, розділивши об'єм на площу. Вийде, що висота повинна дорівнювати 1 м.

Відповідь.Висота скриньки дорівнює одному метру.

Як розрахувати обсяг різних геометричних тіл?
У курсі стереометрії одне з головних завдань – як розрахувати обсяг того чи іншого геометричного тіла. Все починається з простого паралелепіпеда і закінчується кулею.

Геометрія наука складна, але корисна. Усі ми у школі проходили обчислення обсягів тривимірних тіл, але не всі добре пам'ятають формули цих обчислень. Ця стаття допоможе вам освіжити у пам'яті знання про те, як знайти об'єм конуса. Ця тривимірна фігура утворена круговим обертанням прямокутного трикутника. Обчислити його обсяг можна у різний спосіб, залежно від цього, якими вихідними даними ви володієте.

Інструкція:

• У більшості випадків для обчислення використовується радіус кола основи та висота. Формула обсягу конуса у такому разі має вигляд: V= πRh, де π=3.14, R– радіус основи, h- Висота фігури. Простіше кажучи, цією формулою ми обчислюємо площу основи і множимо її на висоту. Однак обчислення об'єму конуса може мати інший вигляд у тому випадку, якщо вам відомі інші параметри вашої фігури.
• Якщо ви пізнаєте довжину бокової сторони конуса і радіус основи, для знаходження об'єму фігури вам знадобиться з'ясувати, яка її висота. У цьому нам допоможе теорема Піфагора , тому що радіус основи в даному випадку є катетомпрямокутного трикутника, а бічна сторона, відповідно, гіпотенузою. Для того, щоб знайти довжину другого катета, який є висотою конуса, скористаємося добре всім знайомою формулою a^2+b^2=c^2 .
• Але як знайти об'єм конуса, якщо ні довжина бокової сторони, ні радіус підстави невідомі? У такому разі вам необхідно знати градус кута при вершині конуса та його висоту. Володіючи цими даними, ви можете обчислити радіус основи. Не забуваємо про те, що конус – фігура, утворена обертанням прямокутного трикутника навколо одного з його катетів. Якщо кут при вершині розділити надвоє, ви отримаєте градус одного із двох гострих кутів цього трикутника. Використовуючи визначення тригонометричних функцій, ми можемо з'ясувати довжину сторони, протилежної цьому кутку, тобто, у нашому випадку, радіуса основи. Він, у цьому випадку дорівнюватиме l*sin(α), де l– довжина від вершини конуса вщент, висота, відповідно, дорівнюватиме l*cos(α), використовуючи ці значення, виводимо наступну формулу радіуса основи R= h/cos(α)*sin(α)або, рівнозначно, R = h * tg (α).

Геометрія як наука сформувалася у Стародавньому Єгипті і досягла високого рівня розвитку. Відомий філософ Платон заснував Академію, де пильна увага приділялася систематизації наявних знань. Конус як одна з геометричних фігур уперше згадується у відомому трактаті Евкліда "Початку". Евклід був знайомий з працями Платона. Зараз мало хто знає, що слово "конус" у перекладі з грецької означає "соснова шишка". Грецький математик Евклід, який у Олександрії, по праву вважається основоположником геометричної алгебри. Стародавні греки як стали наступниками знань єгиптян, а й значно розширили теорію.

Історія визначення конуса

Геометрія як наука виникла з практичних вимог будівництва та спостережень за природою. Поступово досвідчені знання узагальнювалися, а властивості одних тіл доводилися через інші. Стародавні греки запровадили поняття аксіом та доказів. Аксіомою називається твердження, отримане практичним шляхом і не потребує доказів.

У своїй книзі Евклід навів визначення конуса як фігури, яка виходить обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів. Також належить основна теорема, визначальна обсяг конуса. А довів цю теорему давньогрецький математик Євдокс Кнідський.

Інший математик стародавньої Греції, Аполлоній Пергський, який був учнем Евкліда, розвинув та виклав теорію конічних поверхонь у своїх книгах. Йому належить визначення конічної поверхні та січеної до неї. Школярі наших днів вивчають Евклідову геометрію, яка зберегла основні теореми та визначення з давніх часів.

Основні визначення

Прямий круговий конус утворений обертанням прямокутного трикутника довкола одного катета. Очевидно, поняття конуса не змінилося з часів Евкліда.

Гіпотенуза AS прямокутного трикутника AOS при обертанні навколо катета OS утворює бічну поверхню конуса, тому називається твірною. Катет OS трикутника перетворюється одночасно на висоту конуса та його вісь. Крапка S стає вершиною конуса. Катет AO, описавши коло (підстава), перетворився на радіус конуса.

Якщо зверху провести площину через вершину і вісь конуса, то можна побачити, що отриманий осьовий переріз є рівнобедреним трикутником, в якому вісь є висотою трикутника.

де C- Довжина кола основи, l- Довжина утворює конуса, R- Радіус основи.

Формула розрахунку обсягу конуса

Для розрахунку обсягу конуса використовується така формула:

де S є площею основи конуса. Оскільки основа — коло, його площа розраховується так:

Звідси випливає:

де V - обсяг конуса;

n - число, що дорівнює 3,14;

R - радіус основи, що відповідає відрізку AO на малюнку 1;

H - висота, що дорівнює відрізку OS.

Усічений конус, об'єм

Є прямий круговий конус. Якщо площиною, перпендикулярною до висоті, відсікти верхню частину, то вийде зрізаний конус. Дві його основи мають форму кола з радіусами R 1 і R 2 .

Якщо прямий конус утворюється обертанням прямокутного трикутника, то зрізаний конус — обертанням прямокутної трапеції навколо прямої сторони.

Обсяг усіченого конуса розраховується за такою формулою:

V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Конус та його переріз площиною

Перу давньогрецького математика Аполлонія Пергського належить теоретична праця «Конічні перетини». Завдяки його роботам у геометрії з'явилися визначення кривих: параболи, еліпси, гіперболи. Розглянемо, до чого тут конус.

Візьмемо прямий круговий конус. Якщо площина перетинає його перпендикулярно до осі, то в розрізі утворюється коло. Коли січна перетинає конус під кутом до осі, то в розрізі виходить еліпс.

Сікуча площина, перпендикулярна до основи і паралельна осі конуса, утворює на поверхні гіперболу. Площина, що розрізає конус під кутом до основи і паралельна дотичній до конуса, створює на поверхні криву, яку назвали параболою.

Рішення завдання

Навіть просте завдання про те, як виготовити відро певного обсягу, потребує знань. Наприклад, необхідно розрахувати розміри відра, щоб воно мало об'єм 10 літрів.

V = 10 л = 10 дм 3;

Розгортка конуса має вигляд, схематично наведений малюнку 3.

L - утворює конуса.

Щоб дізнатися площу поверхні відра, яка обчислюється за такою формулою:

S=n*(R 1 +R 2)*L,

необхідно обчислити твірну. Її знаходимо з величини обсягу V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Звідси H=3V/n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2).

Усічений конус утворюється обертанням прямокутної трапеції, в якій бічна сторона є конуса, що утворює.

L 2 = (R 2-R 1) 2 + H 2 .

Тепер ми маємо всі дані, щоб побудувати креслення відра.

Чому пожежні відра мають форму конуса?

Хто думав, чому пожежні відра мають, здавалося б, дивну конічну форму? А це не так. Виявляється, конічне відро при гасінні пожежі має багато переваг перед звичайним, що має форму зрізаного конуса.

По-перше, як виявляється, пожежне відро швидше наповнюється водою і при перенесенні вона не розплющується. Конус, об'єм якого більший від звичайного відра, за один раз дозволяє перенести більше води.

По-друге, воду з нього можна виплеснути на більшу відстань, ніж зі звичайного відра.

По-третє, якщо конічне відро зірветься з рук і впаде у вогонь, вся вода виливається на вогнище загоряння.

Усі перелічені фактори дозволяють заощадити час – головний фактор під час гасіння пожежі.

Практичне застосування

У школярів часто виникає питання, навіщо вчити, як розраховувати обсяг різних геометричних тіл, зокрема конуса.

А інженери-конструктори постійно стикаються із необхідністю розрахувати обсяг конічних частин деталей механізмів. Це наконечники свердлів, частини токарних та фрезерних верстатів. Форма конуса дозволять свердлам легко входити в матеріал, не вимагаючи початкового намітки спеціальним інструментом.

Обсяг конуса має купа піску чи землі, висипана землі. За потреби, провівши нескладні вимірювання, можна розрахувати її обсяг. У деяких викличе скруту питання про те, як дізнатися радіус і висоту купи піску. Озброївшись рулеткою, вимірюємо коло горбка C. За формулою R=C/2n дізнаємося радіус. Перекинувши мотузку (рулетку) через вершину, знаходимо довжину твірної. А обчислити висоту за теоремою Піфагора і обсяг не складе труднощів. Звичайно, такий розрахунок приблизний, але дозволяє визначити, чи не обдурили вас, привезши тонну піску замість куба.

Деякі будівлі мають форму зрізаного конуса. Наприклад, Останкінська телевежа наближається до форми конуса. Її можна уявити, що складається з двох конусів, поставлених один на одного. Куполи старовинних замків і соборів є конусом, об'єм якого древні зодчі розраховували з дивовижною точністю.

Якщо уважно придивитися до навколишніх предметів, багато з них є конусами:

• воронки-лійки для наливання рідин;
• рупор-гучномовець;
• паркувальні конуси;
• абажур для торшера;
• звична новорічна ялинка;
• духові музичні інструменти

Як видно з наведених прикладів, вміння розрахувати обсяг конуса, площа його поверхні необхідна у професійному та повсякденному житті. Сподіваємось, що стаття прийде вам на допомогу.

Куля, обсяг якої дорівнює 8π, вписаний у куб. Знайдіть об'єм куба.

Рішення

Нехай a – це сторона куба. Тоді обсяг куба дорівнює V = a3.

Оскільки куля вписаний куб, то радіус кулі дорівнює половині ребра куба, тобто R = a/2 (див. рис.).

Об'єм кулі дорівнює V ш = (4/3)πR 3 і дорівнює 8π, тому

(4/3)πR 3 = 8π,

А об'єм куба дорівнює V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8 * 6 = 48.

Завдання B9 (Типові варіанти 2015)

Об'єм конуса дорівнює 32. Через середину висоти паралельно підставі конуса проведено переріз, який є підставою меншого конуса з тією самою вершиною. Знайдіть об'єм меншого конуса.

Рішення

Розглянемо завдання:

72353. Об'єм конуса дорівнює 10. Через середину висоти паралельно підставі конуса проведено переріз, який є підставою меншого конуса з тією самою вершиною. Знайдіть об'єм меншого конуса.

Відразу відзначимо, що вихідний і відтятий конус подібні і якщо розглядати відтятий конус щодо вихідного, то можна сказати так: менший конус подібний до більшого з коефіцієнтом рівним однієї другої або 0,5. Можемо записати:

Можна було записати:

Можна було так розсудити!

Розглянемо вихідний конус щодо відсіченого. Можна сказати – більший конус подібний до відсіченого з коефіцієнтом рівним двом, запишемо:

Тепер перегляньте рішення без використання властивостей подібності.

Обсяг конуса дорівнює одній третині твору площі його основи та висоти:

Розглянемо бічну проекцію (вид збоку) із зазначеним перетином:

Нехай радіус більшого конуса дорівнює R, висота дорівнює Н. Перетин (основа меншого конуса) проходить через середину висоти, значить його висота дорівнюватиме Н/2. А радіус основи дорівнює R/2, це випливає з подоби трикутників.

Запишемо обсяг вихідного конуса:

Об'єм відсіченого конуса дорівнюватиме:

Настільки докладні рішення представлені для того, щоб ви бачили як можна вибудувати міркування. Дійте будь-яким способом – головне, щоб ви розуміли суть рішення. Нехай шлях, який ви обрали буде не раціональний, важливий результат (правильний результат).

Відповідь: 1,25

318145. У посудині, що має форму конуса, рівень рідини досягає половини висоти. Об'єм рідини дорівнює 70 мл. Скільки мілілітрів рідини потрібно долити, щоб повністю наповнити посудину?

Це завдання схоже на попередню. Хоч мова тут і йде про рідину, принцип рішення той самий.

Маємо два конуси - це сама судина і "малий" конус (наповнений рідиною), вони є подібними. Відомо, що обсяги подібних тіл співвідносяться таким чином:

Вихідний конус (посудина) подібний до конуса наповненого рідиною з коефіцієнтом рівним 2, так як сказано, що рівень рідини досягає половину висоти. Можна записати докладніше:

Обчислюємо:

Таким чином, долити потрібно:

Інші завдання із рідинами.

74257. Знайдіть об'єм V конуса, що утворює якого дорівнює 44 і нахилена до площини основи під кутом 30 0 . У відповіді вкажіть V/Пі.

Об'єм конуса:

Висоту конуса знайдемо за якістю прямокутного трикутника.

Катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи. Гіпотенуза, у разі, є утворює конуса. Отже, висота конуса дорівнює 22.

Квадрат радіуса основи знайдемо за теоремою Піфагора:

*Нам потрібен квадрат радіусу, а не сам радіус.