Який геометричний зміст має перша похідна функції. Геометричний зміст похідної

Цілі уроку:

Учні повинні знати:

• що називається кутовим коефіцієнтом прямої;
• кутом між прямою та віссю Ох;
• у чому полягає геометричний зміст похідної;
• рівняння щодо графіку функції;
• спосіб побудови дотичної до параболи;
• вміти застосовувати теоретичні знання практично.

Завдання уроку:

Освітні: створити умови для оволодіння учнями системи знань, умінь та навичок з поняттями механічний та геометричний зміст похідної.

Виховні: формувати в учнів науковий світогляд.

Розвиваючі: розвивати в учнів пізнавальний інтерес, творчі здібності, волю, пам'ять, мова, увага, уява, сприйняття.

Методи організації навчально-пізнавальної діяльності:

• наочні;
• практичні;
• з розумової діяльності: індуктивний;
• із засвоєння матеріалу: частково-пошуковий, репродуктивний;
• за рівнем самостійності: лабораторна робота;
• стимулюючі: заохочення;
• контролю: усне фронтальне опитування.

План уроку

1. Усні вправи (знайти похідну)
2. Повідомлення учня на тему "Причини появи математичного аналізу".
3. Вивчення нового матеріалу
4. Фіз. Хвилинка.
5. Розв'язання завдань.
6. Лабораторна робота.
7. Підбиття підсумків уроку.
8. Коментування домашнього завдання.

Обладнання: мультимедійний проектор (презентація), картки (лабораторна робота).

"Людина лише там чогось - то домагається, де він вірить у свої сили"

Л. Фейєрбах

Організація класу протягом усього уроку, готовність учнів до уроку, порядок та дисципліна.

Постановка цілей вчення перед учнями, як у весь урок, і деякі його етапи.

Визначити значущість досліджуваного матеріалу як у цій темі, і у курсі.

Усний рахунок

1. Знайдіть похідні:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Логічний тест.

а) Вставити пропущений вираз.

Загальний напрямок розвитку науки, зрештою, обумовлено вимогами практики людської діяльності. Існування стародавніх держав зі складною ієрархічною системою управління було б неможливо без достатнього розвитку арифметики та алгебри, бо збирання податків, організація постачання армії, будівництво палаців і пірамід, створення зрошувальних систем вимагали виконання складних розрахунків. В епоху Відродження розширюються зв'язки між різними частинами середньовічного світу, розвиваються торгівля та ремесла. Починається швидке піднесення технічного рівня виробництва, промислове застосування одержують нові джерела енергії, не пов'язані з м'язовими зусиллями людини чи тварин. У XI-XII столітті з'являються сукнувальні та ткацькі верстати, а в середині XV - друкарський верстат. У зв'язку з потребою у швидкому розвитку громадського виробництва, у цей період змінюється сутність природничих наук, які з часів давнини описовий характер. Метою природознавства стає поглиблене вивчення природних процесів, а чи не предметів. Описовому природознавству давнини відповідала математика, що оперувала незмінними величинами. Потрібно було створити математичний апарат, який давав би опис не результату процесу, а характеру його течії та властивих йому закономірностей. У результаті до кінця XII століття Ньютон в Англії і Лейбніц в Німеччині завершили перший етап створення математичного аналізу. Що таке “математичний аналіз”? Як можна охарактеризувати, передбачити особливості перебігу будь-якого процесу? Чи використовувати ці особливості? Глибоко проникати у сутність того чи іншого явища?

Підемо шляхом Ньютона і Лейбніца і подивимося, як можна аналізувати процес, розглядаючи його як функцію часу.

Введемо кілька понять, які допоможуть нам надалі.

Графіком лінійної функції y=kx+ b є пряма, число k називають кутовим коефіцієнтом прямої. k=tg, де – кут прямої, тобто кут між цією прямою і позитивним напрямом осі Ох.

Малюнок 1

Розглянемо графік функції у = f (x). Проведемо січу через будь-які дві точки, наприклад, січу АМ. (Мал.2)

Кутовий коефіцієнт січної k=tg. У прямокутному трикутнику АМС<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Малюнок 2

Малюнок 3

Сам термін "швидкість" характеризує залежність зміни однієї величини від зміни іншої, і остання необов'язково має бути часом.

Отже, тангенс кута нахилу секущою tg = .

Нас цікавить залежність зміни величин у коротший проміжок часу. Спрямуємо збільшення аргументу до нуля. Тоді права частина формули – похідна функції у точці А (поясніть чому). Якщо х –> 0, то точка М рухається за графіком до точки А, отже пряма АМ наближається до деякої прямої АВ, яка є дотичної до графіка функції у = f(х) у точці А. (Мал.3)

Кут нахилу січної прагне до куту нахилу дотичної.

Геометричний зміст похідної у тому, що значення похідної у точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіку функції у точці.

Механічний сенс похідної.

Тангенс кута нахилу дотичної є величина, що показує миттєву швидкість зміни функції у цій точці, тобто нова характеристика процесу, що вивчається. Цю величину Лейбніц назвав похідний, а Ньютон говорив, що похідною називається сама миттєва швидкість.

№91(1) стор 91 – показати на дошці.

Кутовий коефіцієнт дотичної до кривої f(х) = х 3 у точці х 0 - 1 є значення похідної цієї функції при х = 1. f '(1) = 3х2; f'(1) = 3.

№91 (3,5) – під диктовку.

№92(1) – на дошці за бажанням.

№ 92 (3) - самостійно з усною перевіркою.

№92 (5) – за дошкою.

Відповіді: 45 0 , 135 0 , 1,5 е 2 .

Мета: відпрацювання поняття "механічний зміст похідної".

Програми похідної до механіки.

Встановлено закон прямолінійного руху точки х = х(t), t.

1. Середню швидкість руху на вказаному відрізку часу;
2. Швидкість та прискорення у момент часу t 04
3. Моменти зупинки; продовжує точка після моменту зупинки рухатися в тому ж напрямку або починає рухатися в протилежному напрямку;
4. Найбільшу швидкість руху на вказаному відрізку часу.

Робота виконується за 12 варіантами, завдання диференційовані за рівнем складності (перший варіант – найменший рівень складності).

Перед початком роботи розмова з питань:

1. Який фізичний зміст похідної переміщення? (Швидкість).
2. Чи можна знайти похідну швидкість? Чи використовується ця величина у фізиці? Як вона називається? (Прискорення).
3. Миттєва швидкість дорівнює нулю. Що можна сказати про рух тіла у цей момент? (Це момент зупинки).
4. Який фізичний зміст наступних висловлювань: похідна рухи дорівнює нулю в точці t 0; при переході через точку t 0 похідна змінює знак? (Тіло зупиняється; змінюється напрямок руху на протилежне).

Приклад виконання роботи учням.

х (t) = t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2.

Малюнок 4

У протилежному напрямі.

Накреслимо схематично графік швидкості. Найбільша швидкість досягається у точці

t = 10, v (10) = 3 · 10 2 -4 · 10 = 300-40 = 260

Малюнок 5

1) У чому полягає геометричний зміст похідної?
2) У чому полягає механічний зміст похідної?
3) Зробіть висновок про свою роботу.

стор.90. №91(2,4,6), №92(2,4,6,), стор 92 №112.

Використовувана література

• Підручник Алгебра та початку аналізу.
  Автори: Ю.М. Колягін, М.В. Ткачова, Н.Є. Федорова, М.І. Шабуніна.
  За редакцією А. Б. Жижченко.
• Алгебра 11 клас. Поурочні плани за підручником Ш. А. Алімова, Ю. М. Колягіна, Ю. В. Сидорова. Частина 1.
• Інтернет ресурси: http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg

Тема. Похідна. Геометричний та механічний зміст похідної

Якщо ця межа існує, то функція називається точкою, що диференціюється. Похідна функція позначається (формула 2).

1. Геометричний зміст похідної. Розглянемо графік функції. З рис.1 видно, що з будь-яких двох точок A і B графіка функції можна записати формула 3). У ній - кут нахилу AB.

Таким чином, різницеве ​​відношення дорівнює кутовому коефіцієнту січної. Якщо зафіксувати точку A і рухати до неї точку B, то необмежено зменшується і наближається до 0, а січна АВ наближається до дотичної АС. Отже, межа різницевого відношення дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної в точці A. Звідси випливає висновок.

Похідна функції в точці є кутовий коефіцієнт, що стосується графіка цієї функції в цій точці. У цьому полягає геометричний сенс похідної.

1. Рівняння дотичної . Виведемо рівняння щодо графіку функції в точці. У випадку рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом має вид: . Щоб знайти b, скористаємося тим, що дотична проходить через точку A: . Звідси випливає: . Підставляючи цей вираз замість b, одержуємо рівняння дотичної (формула 4).

Виробнича(функції у точці) - основне поняття диференціального обчислення, Що характеризує швидкість зміни функції (у цій точці). Визначається як межавідносини збільшення функції до збільшення її аргументупри прагненні збільшення аргументу до нулюякщо така межа існує. Функцію, що має кінцеву похідну (у деякій точці), називають диференційованою (у даній точці).

Процес обчислення похідної називається диференціюванням. Зворотний процес – знаходження первісної - інтегрування.

Якщо функція задана графіком, її похідна у кожній точці дорівнює тангенсу кута нахилу щодо графіку функції. А якщо функція задана формулою – вам допоможуть таблиця похідних та правила диференціювання, тобто правила знаходження похідної.

4.Виробна складної та зворотної функції.

Нехай тепер поставлено складна функція , тобто. змінна є функція змінної , а змінна є, своєю чергою, функція від незалежної змінної .

Теорема . Якщо і  диференційовані функції своїх аргументів, то складна функція є диференційованою функцією і її похідна дорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом і похідною проміжного аргументу за незалежною змінною:

.

Твердження легко виходить із очевидної рівності (справедливого при і) граничним переходом при (що через безперервність функції, що диференціюється, тягне ).

Перейдемо до розгляду похідної зворотної функції.

Нехай на безлічі функція, що диференціюється, має безліч значень і на безлічі існує зворотна функція .

Теорема . Якщо у точці похідна , то похідна зворотної функції у точці існує і дорівнює зворотній величині похідної цієї функції: , або

Ця формула легко виходить із геометричних міркувань.

Т як є тангенс кута нахилу дотичної лінії до осі, тобто тангенс кута нахилу тієї ж дотичної (ту ж лінії) в тій же точці до осі.

Якщо і гострі, то, а якщо тупі, то .

В обох випадках . Цій рівності і рівносильна рівність

5.Геометричний та фізичний зміст похідної.

1) Фізичний зміст похідної.

Якщо функція y = f(x) та її аргумент x є фізичними величинами, то похідна – швидкість зміни змінної y щодо змінної x у точці. Наприклад, якщо S = S(t) – відстань, що проходить точкою за час t, то її похідна швидкість у момент часу. Якщо q = q(t) - кількість електрики, що протікає через поперечний переріз провідника в момент часу t, то швидкість зміни кількості електрики в момент часу, тобто. сила струму на момент часу.

2) Геометричний зміст похідної.

Нехай – деяка крива, – точка на кривій.

Будь-яка пряма, що перетинає щонайменше ніж у двох точках називається січною.

Стосовною до кривої в точці називається граничне положення сіючої, якщо точка прагне, рухаючись по кривій.

З визначення очевидно, що якщо до кривої в точці існує, то вона єдина

Розглянемо криву y = f(x) (тобто графік функції y = f(x)). Нехай у точці він має невертикальну дотичну. Її рівняння: (рівняння прямої, що проходить через точку та має кутовий коефіцієнт k).

За визначенням кутового коефіцієнта , де - кут нахилу прямої до осі.

Нехай - кут нахилу січущої осі, де. Так як - дотична, то при

Отже,

Таким чином, отримали, що кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції y = f(x) у точці (Геометричний зміст похідної функції в точці). Тому рівняння дотичної до кривої y = f(x) у точці можна записати у вигляді

Розглянемо довільну пряму, що проходить через точку графіка функції - точку А(x0, f (х 0)) і перетинає графік у певній точці B (x; f (x )). Така пряма (АВ) називається січною. З ∆АВС: АС = ∆ x; НД =∆у; tgβ =∆y /∆x.

Оскільки АС || Ox , то Ð ALO = Ð BAC = β (Як відповідні при паралельних). АлеÐ ALO - це кут нахилу січної АВ до позитивного напрямку осі Ох. Значить, tgβ = k - Кутовий коефіцієнт прямої АВ.

Тепер зменшуватимемо ∆х, тобто. ∆х→ 0. При цьому точка В наближатиметься до точки А за графіком, а січна АВ повертатиметься. Граничним положенням АВ при ∆х→ 0 буде пряма ( a ), звана дотичною до графіка функції у = f(х) у точці А.

Якщо перейти до межі при ∆х → 0 у рівності tg β =∆ y /∆ x , то отримаємо

або tg a = f "(x 0 ), оскільки
a -кут нахилу дотичної до позитивного напрямку осі Ох

, за визначенням похідної. Але tg a = k - кутовий коефіцієнт дотичної, отже, k = tg a = f "(x 0).

Отже, геометричний зміст похідної полягає в наступному:

Похідна функції у точці x 0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції, проведеної у точці з абсцисою x 0 .

Фізичний зміст похідної.

Розглянемо рух точки прямою. Нехай задана координата точки у будь-який момент часу x (t ). Відомо (з курсу фізики), що середня швидкість за проміжок часу [ t 0; t 0 + ∆ t ] дорівнює відношенню відстані, пройденого цей проміжок часу, тимчасово, тобто.

V ср = ∆ x /∆ t . Перейдемо до межі в останній рівності при ∆ t → 0.

lim V ср (t) = n (t 0 ) - миттєва швидкість у момент часу t 0 , ∆ t → 0.

а lim = ∆ x /∆ t = x "(t 0 ) (за визначенням похідної).

Отже, n(t) = x"(t).

Фізичний зміст похідної полягає в наступному: похідна функції y = f( x) у точціx 0 - це швидкість зміни функції f(х) у точціx 0

Похідна застосовується у фізиці для знаходження швидкості за відомою функцією координати від часу, прискорення за відомою функцією швидкості від часу.

u (t) = x "(t) - швидкість,

a (f) = n "(t ) - прискорення, або

a (t) = x "(t).

Якщо відомий закон руху матеріальної точки по колу, то можна знайти кутову швидкість та кутове прискорення при обертальному русі:

φ = φ (t ) - Зміна кута від часу,

ω = φ "(t ) - кутова швидкість,

ε = φ "(t ) - кутове прискорення, абоε = φ "(t).

Якщо відомий закон розподілу маси неоднорідного стрижня, можна знайти лінійну щільність неоднорідного стрижня:

m = m(х) - маса,

x Î, l - довжина стрижня,

р = m (х) - лінійна щільність.

За допомогою похідної вирішуються завдання з теорії пружності та гармонійних коливань. Так, згідно із законом Гука

F = - kx, x - Змінна координата, k - Коефіцієнт пружності пружини. Поклавшиω 2 = k/m , Отримаємо диференціальне рівняння пружинного маятника х "( t) + ω 2 x(t) = 0,

де ω = √ k /√ m частота коливань ( l/c ), k - жорсткість пружини ( H/m).

Рівняння виду у "+ω 2 y = 0 називається рівнянням гармонійних коливань (механічних, електричних, електромагнітних). Розв'язанням таких рівнянь є функція

у = Asin (ωt + φ 0 ) або у = Acos (ωt + φ 0 ), де

А - амплітуда коливань,ω - циклічна частота,

φ 0 - Початкова фаза.