Коли використовується формула ймовірності. Формула повної ймовірності та формули байєсу

1. Формула повної ймовірності.

Нехай подія А може наступити за умови появи однієї з несумісних подій B 1 , B 2 , B 3 ..., B n , які утворюють повну групу. Нехай відомі ймовірності цих подій та умовні ймовірностіP(A/B 1), P(A/B 2), ..., P(A/B n)події А. Потрібно знайти можливість події А.

Теорема:Імовірність події А, яка може наступити лише за умови появи однієї з несумісних подій B 1 , B 2 , B 3 , ..., B n , що утворюють повну групу, дорівнює сумі творів ймовірностей кожного з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А:

- Формула повної ймовірності.

Доведення:

За умовою, подія А може наступити, якщо настане одна з несумісних подійB 1, B 2, B 3, ..., B n. Іншими словами, поява події А означає здійснення однієї (байдуже якої) з несумісних подій:B 1 *A, B 2*A, B 3*A, ..., B n*A. Користуючись теоремою додавання, отримаємо:

За теоремою множення ймовірностей залежних подій маємо:

Приклад:Є 2 набори деталей. Імовірність того, що деталь першого набору стандартна, дорівнює 0,8, а для другого набору- 0,9. Знайдіть ймовірність того, що взята навмання деталь (з навмання взятого набору) стандартна.

Рішення:Подія А-«Витягнута деталь стандартна». Подія -«Вийняли деталь, виготовлену 1 заводом». Подія - «Вийняли деталь, виготовлену другим заводом». Р( B 1 )=Р(B 2)= 1/2.Р(А / B 1 )=0,8- ймовірність, що деталь, виготовлена ​​першому заводі, стандартна. Р(А/ B 2 )=0,9- ймовірність, що деталь, виготовлена ​​другому заводі, стандартна.

Тоді, за формулою повної ймовірності, маємо:

Приклад:Складальник отримав 3 коробки деталей, виготовлених заводами №1 та 2 коробки деталей, виготовлених заводом №2. Імовірність того, що деталь, виготовлена ​​заводом №1, стандартна 0,8. Для заводу №2 ця можливість дорівнює 0,9. Складальник навмання витягнув деталь з удачу обраної коробки. Знайдіть ймовірність того, що витягнуто стандартну деталь.

Рішення:Подія А-«Вилучена стандартна деталь». Подія B 1 - «Вилучено деталь із коробки заводу №1». Подія B 2 - «Вийнято деталь із коробки заводу № 2». Р( B 1) = 3/5. Р(B 2 )= 2/5.

Р(А/ B 1)=0,8- ймовірність, що деталь, виготовлена ​​першому заводі, стандартна. Р(А/B 2) = 0,9 - ймовірність, що деталь, виготовлена ​​на другому заводі, стандартна.

Приклад:У першій коробці лежить 20 радіоламп, з них - 18 стандартних. У другій коробці лежить 10 радіоламп, з них-9 стандартних. З другої коробки в першу удачу перекладено одну радіолампу. Знайдіть ймовірність того, що лампа, навмання витягнута з першої коробки, буде стандартною.

Рішення:Подія А-«З 1 коробки витягли стандартну лампу». ПодіяB 1 -«З другої в першу коробку переклали стандартну лампу». ПодіяB 2 -«З другої в першу коробку переклали нестандартну лампу». Р( B 1) = 9/10. Р(B 2)= 1/10.Р(А/B 1)= 19/21 - можливість витягнути з першої коробки стандартну деталь, за умови, що була перекладена в неї так само стандартна.

Р(А/B 2 )= 18/21 - можливість витягнути з першої коробки стандартну деталь, за умови, що була перекладена в неї нестандартна.

2. Формул гіпотез Томаса Байєса.

Нехай подія А може наступити за умови появи однієї з несумісних подій B 1 , B 2 , B 3 ..., B n , що утворюють повну групу. Оскільки наперед невідомо, яка з цих подій настане, їх називають гіпотезами. Імовірність появи події А визначається за такою формулою повної ймовірності, розглянутої раніше.

Припустимо, що проведено випробування, в результаті якого відбулася подія А. Поставимо своїм завданням визначити, як змінилися (у зв'язку з тим, що А вже настала) ймовірності гіпотез. Іншими словами, шукатимемо умовні ймовірностіP(B 1 /A), P(B 2 /A), ..., P(B n /A)

Знайдемо умовну ймовірність P(B 1 /A) . За теоремою множення маємо:

Звідси випливає:

Аналогічно виводяться формули, що визначають умовні ймовірності інших гіпотез, тобто. умовна ймовірність будь-якої гіпотези B k (i = 1, 2, …, n ) може бути обчислена за формулою:

Формули гіпотез Томаса Байєса.

Томас Байєс (англійський математик) опублікував формулу у 1764 році.

Дані формули дозволяють переоцінити ймовірність гіпотез після того, як стає відомим результат випробування, в результаті якого з'явилася подія А.

Приклад:Деталі, виготовлені цехом заводу, потрапляють для перевірки їх на стандартність одного з двох контролерів. Імовірність того, що деталь потрапить до першого контролера, дорівнює 0,6, до другого-0,4. Імовірність того, що придатна деталь буде визнана стандартною першим контролером, дорівнює 0,94, для другого контролера ця ймовірність дорівнює 0,98. Знайдіть ймовірність, що цю деталь перевірив перший контролер.

Рішення:Подія А-«Дільна деталь визнана стандартною». Подія B 1 - "Деталь перевіряв перший контролер". ПодіяB 2 - "Деталь перевірив другий контролер". Р( B 1) = 0,6. Р(B 2 )=0,4.

Р(А/ B 1)=0,94- ймовірність, що деталь, перевірена першим контролером, визнана стандартною.

Р(А/ B 2) = 0,98 - ймовірність, що деталь, перевірена другим контролером, визнана стандартною.

Тоді:

Приклад:Для участі у студентських відбіркових спортивних змаганнях виділено з першої групи курсу-4 особи, з другої – 6 осіб, з третьої – 5 осіб. Імовірність того, що студент першої групи потрапить до збірної, дорівнює 0,9, для студентів другої та третьої груп ці ймовірності відповідно дорівнюють 0,7 та 0,8. Навпаки обраний студент у результаті змагання потрапив до збірної До якої з груп, найімовірніше, він належить?

Рішення:Подія А-«Навдачу обраний студент, потрапив до збірної інституту». Подія B 1 - «Наудачу обрано студента з першої групи».Подія B 2 - «Наудачу обрано студента з другої групи».Подія B 3 - «Наудачу обрано студента з третьої групи». Р( B 1) = 4/15. Р(B 2) = 6/15. Р(B 3) = 5/15.

Р(А/ B 1) = 0,9 - ймовірність, що студент із першої групи потрапить до збірної.

Р(А/ B 2) = 0,7 - ймовірність, що студент з другої групи потрапить до збірної.

Р(А/B 3 )=0,8- ймовірність, що студент із третьої групи потрапить до збірної.

Тоді:

Імовірність, що до збірної потрапив студент із першої групи.

Імовірність, що до збірної потрапив студент із другої групи.

Імовірність, що до збірної потрапив студент із третьої групи.

Найімовірніше до збірної потрапить студент із другої групи.

Приклад:При відхиленні від нормального режиму роботи автомата спрацює сигналізатор 1 з ймовірністю 0,8, а сигналізатор 2 спрацює з ймовірністю 1. Імовірність того, що автомат забезпечений сигналізатором 1 або 2 відповідно рівні 0,6 і 0,4. Отримано сигнал про обробку автомата. Що вірогідніше: автомат забезпечений сигналізатором 1 або 2 ?

Рішення:Подія А-«Отримано сигнал про обробку автомата». Подія B 1 -«Автомат забезпечений сигналізатором С1. ПодіяB 2 - «Автомат має сигналізатор С2. Р( B 1) = 0,6. Р(B 2)= 0,8.

Р(А/ B 1)=0,8- ймовірність, що буде отримано сигнал, за умови, що автомат має сигналізатор С1.

Р(А/B 2 )=1- ймовірність, що буде отримано сигнал, за умови, що автомат має сигналізатор С2.

Тоді:

Імовірність, що при отриманні сигналу про обробку автомата, спрацював сигналізатор С1.

Імовірність, що при отриманні сигналу про обробку автомата спрацював сигналізатор С2.

Тобто. ймовірніше, що з обробці автомата буде отримано сигнал від сигналізатора С1.

Нехай відомі їхні ймовірності та відповідні умовні ймовірності. Тоді ймовірність настання події дорівнює:

Ця формула отримала назву формули повної ймовірності. У підручниках вона формулюється теоремою, доказ якої елементарно: згідно алгебри подій, (відбулася подія і абосталася подія іпісля нього настала подія абосталася подія іпісля нього настала подія або …. абосталася подія іпісля нього настала подія ). Оскільки гіпотези несумісні, а подія – залежно, то за теореми складання ймовірностей несумісних подій (перший крок)і теоремі множення ймовірностей залежних подій (другий крок):

Напевно, багато хто передчує зміст першого прикладу =)

Куди не плюнь – скрізь урна:

Завдання 1

Є три однакові скриньки. У першій урні знаходяться 4 білих та 7 чорних куль, у другій – лише білі та у третій – тільки чорні кулі. Навмання вибирається одна урна і з неї навмання витягається куля. Яка ймовірність того, що ця куля чорна?

Рішення: розглянемо подію – з навмання обраної урни буде вилучено чорну кулю. Ця подія може статися в результаті здійснення однієї з наступних гіпотез:
– буде обрано 1-у урну;
– буде обрано 2-у урну;
– буде обрано 3-ту урну.

Так як урна вибирається навмання, то вибір будь-якої з трьох урн рівноможливий, отже:

Зверніть увагу, що ці гіпотези утворюють повну групу подій, тобто за умовою чорна куля може з'явитися тільки з цих урн, а наприклад, не прилетіти з більярдного столу. Проведемо просту проміжну перевірку:
, ОК, їдемо далі:

У першій урні 4 білих + 7 чорних = 11 куль, класичному визначенню:
- Імовірність вилучення чорної кулі за умови, що буде обрано 1-у урну.

У другій урні тільки білі кулі, тому у разі її виборупояви чорної кулі стає неможливим: .

І, нарешті, у третій урні одні чорні кулі, а отже, відповідна умовна ймовірністьвилучення чорної кулі складе (Подія достовірна).

- Імовірність того, що з навмання обраної урни буде витягнуто чорну кулю.

Відповідь:

Розібраний приклад знову наводить на думку про те, як важливо ВНИКАТИ В УМОВУ. Візьмемо ті ж завдання з урнами та кулями – при їх зовнішній схожості способи вирішення можуть бути зовсім різними: десь потрібно застосувати тільки класичне визначення ймовірності, десь події незалежні, десь залежні, а десь мова про гіпотези. У цьому немає чіткого формального критерію вибору шляху рішення – з нього майже завжди треба думати. Як підвищити свою кваліфікацію? Вирішуємо, вирішуємо та ще раз вирішуємо!

Завдання 2

У тирі є 5 різних за точністю бою гвинтівок. Імовірності влучення в ціль для даного стрілка відповідно дорівнюють 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 та 0,4. Чому дорівнює можливість попадання в ціль, якщо стрілець робить один постріл з випадково обраної гвинтівки?

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

У більшості тематичних завдань гіпотези, звичайно ж, не є рівноймовірними:

Завдання 3

У піраміді 5 гвинтівок, три з яких забезпечені оптичним прицілом. Ймовірність те, що стрілок вразить мішень під час пострілу з гвинтівки з оптичним прицілом, дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що мета буде вражена, якщо стрілець здійснює один постріл з удачу взятої гвинтівки.

Рішення: у цьому завданні кількість гвинтівок точно така ж, як і в попередній, але гіпотези всього дві:
- стрілець вибере гвинтівку з оптичним прицілом;
– стрілець вибере рушницю без оптичного прицілу.
за класичному визначенню ймовірності: .
Контроль:

Розглянемо подію: - стрілець вразить мету з навмання взятої гвинтівки.
За умовою: .

За формулою повної ймовірності:

Відповідь: 0,85

На практиці цілком допустимо укорочений спосіб оформлення завдання, який вам теж добре знайомий:

Рішення: за класичним визначенням: - Імовірності вибору гвинтівки з оптичним і без оптичного прицілу відповідно.

За умовою, - Можливості попадання в ціль з відповідних типів гвинтівок.

За формулою повної ймовірності:
- Можливість того, що стрілець вразить мету з навмання обраної гвинтівки.

Відповідь: 0,85

Наступне завдання для самостійного вирішення:

Завдання 4

Двигун працює у трьох режимах: нормальному, форсованому та на холостому ходу. У режимі холостого ходу ймовірність його виходу з ладу дорівнює 0,05, за нормального режиму роботи – 0,1, а за форсованого – 0,7. 70% часу двигун працює у нормальному режимі, а 20% – у форсованому. Якою є ймовірність виходу з ладу двигуна під час роботи?

Про всяк випадок нагадаю – щоб отримати значення ймовірностей відсотки потрібно розділити на 100. Будьте дуже уважні! За моїми спостереженнями, умови завдань на формулу повної ймовірності часто намагаються підплутати; і я спеціально підібрав такий приклад. Скажу по секрету - сам мало не заплутався =)

Рішення наприкінці уроку (оформлено коротким способом)

Завдання на формули Байєса

Матеріал тісно пов'язаний із змістом попереднього параграфу. Нехай подія настала внаслідок здійснення однієї з гіпотез . Як визначити ймовірність того, що мала місце та чи інша гіпотеза?

За умови, що подія вже сталосяймовірності гіпотез переоцінюютьсяза формулами, які отримали прізвище англійського священика Томаса Байєса:

- Імовірність того, що мала місце гіпотеза;
- Імовірність того, що мала місце гіпотеза;
…
- Імовірність того, що мала місце гіпотеза.

На перший погляд здається повною нісенітницею – навіщо перераховувати ймовірності гіпотез, якщо вони й так відомі? Але насправді різниця є:

– це апріорні(оцінені довипробування) ймовірності.

– це апостеріорні(оцінені післявипробування) ймовірності тих же гіпотез, перераховані у зв'язку з нововиявленими обставинами - з урахуванням того факту, що подія достовірно сталося.

Розглянемо цю різницю на конкретному прикладі:

Завдання 5

На склад надійшло дві партії виробів: перша – 4000 штук, друга – 6000 штук. Середній відсоток нестандартних виробів у першій партії складає 20%, а у другій – 10%. Навмання взятий зі складу виріб виявився стандартним. Знайти ймовірність того, що воно: а) з першої партії; б) з другої партії.

Перша частина рішенняполягає у використанні формули повної ймовірності. Іншими словами, обчислення проводяться у припущенні, що випробування ще не зробленота подія «виріб виявився стандартним»поки що не настало.

Розглянемо дві гіпотези:
- навмання взятий виріб буде з 1-ї партії;
- навмання взятий виріб буде з 2-ї партії.

Усього: 4000 + 6000 = 10000 виробів на складі. За класичним визначенням:
.

Контроль:

Розглянемо залежну подію: – навмання взятий зі складу виріб будестандартним.

У першій партії 100% - 20% = 80% стандартних виробів, тому: за умови, що належить 1-ї партії.

Аналогічно, у другій партії 100% - 10% = 90% стандартних виробів та - ймовірність того, що навмання взятий на складі виріб буде стандартним за умови, що належить 2-ї партії.

За формулою повної ймовірності:
- Імовірність того, що навмання взятий на складі виріб буде стандартним.

Частина друга. Нехай навмання взятий зі складу виріб виявився стандартним. Ця фраза прямо прописана за умови, і вона констатує той факт, що подія відбулося.

За формулами Байєса:

а) – ймовірність того, що вибраний стандартний виріб належить 1-й партії;

б) – ймовірність того, що вибраний стандартний виріб належить 2-й партії.

Після переоцінкигіпотези, зрозуміло, як і раніше утворюють повну групу:
(перевірка;-))

Відповідь:

Зрозуміти сенс переоцінки гіпотез нам допоможе Іван Васильович, який знову змінив професію та став директором заводу. Він знає, що сьогодні 1-й цех відвантажив на склад 4000, а 2-й цех – 6000 виробів, і доводиться впевнитись у цьому. Припустимо, вся продукція є однотипною і знаходиться в одному контейнері. Звичайно, Іван Васильович попередньо підрахував, що виріб, який він зараз витягне для перевірки, з ймовірністю буде випущено 1-м цехом і з ймовірністю - другим. Але після того, як обраний виріб виявляється стандартним, він вигукує: «Який класний болт! - Його швидше випустив 2-й цех». Таким чином, ймовірність другої гіпотези переоцінюється на краще , а ймовірність першої гіпотези занижується: . І ця переоцінка небезпідставна - адже 2-й цех зробив не тільки більше виробів, а й працює вдвічі краще!

Ви скажете чистий суб'єктивізм? Почасти – так, більше того, сам Байєс інтерпретував апостеріорніймовірності як рівень довіри. Однак не все так просто – у байєсівському підході є об'єктивне зерно. Адже ймовірність того, що виріб буде стандартним (0,8 та 0,9 для 1-го та 2-го цехів відповідно)це попередні(апріорні) та середніоцінки. Але, висловлюючись філософськи - все тече, все змінюється, і ймовірність у тому числі. Цілком можливо, що на момент дослідженнябільш успішний 2-й цех підвищив відсоток випуску стандартних виробів (І/або 1-й цех знизив), і якщо перевірити більшу кількість або всі 10 тисяч виробів на складі, то переоцінені значення виявляться набагато ближче до істини.

До речі, якщо Іван Васильович витягне нестандартну деталь, то навпаки – він більше «підозрюватиме» 1-й цех і менше – другий. Пропоную переконатися у цьому самостійно:

Завдання 6

На склад надійшло дві партії виробів: перша – 4000 штук, друга – 6000 штук. Середній відсоток нестандартних виробів у першій партії 20%, у другій – 10%. Навмання взятий зі складу виріб виявився нестандартним. Знайти ймовірність того, що воно: а) з першої партії; б) з другої партії.

Умова відрізнятиметься двома літерами, які я виділив жирним шрифтом. Завдання можна вирішити з «чистого листа» або скористатися результатами попередніх обчислень. У зразку я провів повне рішення, але щоб не виникло формальної накладки із Завданням №5, подія «навдачу взятий зі складу виріб буде нестандартним»позначено через .

Байєсовская схема переоцінки ймовірностей зустрічається повсюдно, причому її активно експлуатують і різноманітних шахраї. Розглянемо загальне АТ на три літери, яке залучає вклади населення, нібито кудись їх інвестує, справно виплачує дивіденди і т.д. Що відбувається? Проходить день за днем, місяць за місяцем і все нові й нові факти, донесені шляхом реклами та «сарафанного радіо», тільки підвищують рівень довіри до фінансової піраміди. (Апостеріорна байєсовська переоцінка у зв'язку з подіями, що відбулися!). Тобто в очах вкладників відбувається постійне збільшення ймовірності того, що «Це серйозна контора»; при цьому ймовірність протилежної гіпотези («це чергові кидали»), само собою, зменшується та зменшується. Подальше, гадаю, зрозуміло. Цікаво, що зароблена репутація дає організаторам час успішно втекти від Івана Васильовича, який залишився не лише без партії болтів, а й без штанів.

До не менш цікавих прикладів ми повернемося трохи пізніше, а поки що на черзі, мабуть, найпоширеніший випадок із трьома гіпотезами:

Завдання 7

Електролампи виготовляються на трьох заводах. 1-й завод виробляє 30% загальної кількості ламп, 2-й – 55%, а 3-й – решту. Продукція 1-го заводу містить 1% бракованих ламп, 2-го – 1,5%, 3-го – 2%. До магазину надходить продукція всіх трьох заводів. Куплена лампа виявилася із шлюбом. Яка ймовірність того, що вона зроблена 2-м заводом?

Зауважте, що у завданнях на формули Байєса за умови обов'язковофігурує якесь те, що сталосяподія, у разі – купівля лампи.

Події побільшало, і Рішеннязручніше оформити у «швидкому» стилі.

Алгоритм такий самий: на першому кроці знаходимо ймовірність того, що куплена лампа взагалі виявитьсябракованою.

Користуючись вихідними даними, переводимо відсотки на ймовірність:
- Імовірності того, що лампа вироблена 1-м, 2-м і 3-м заводами відповідно.
Контроль:

Аналогічно: – ймовірність виготовлення бракованої лампи для відповідних заводів.

За формулою повної ймовірності:

- Імовірність того, що куплена лампа одружиться.

Крок другий. Нехай куплена лампа виявилася бракованою (подія сталася)

За формулою Байєса:
- Імовірність того, що куплена бракована лампа виготовлена ​​другим заводом

Відповідь:

Чому початкова ймовірність 2-ї гіпотези після переоцінки збільшилася? Адже другий завод виробляє середні за якістю лампи (перший – краще, третій – гірший). Так чому ж зросла апостеріорнаймовірність, що бракована лампа саме з 2-го заводу? Це вже не «репутацією», а розміром. Так як завод №2 випустив найбільшу кількість ламп, то на нього (щонайменше суб'єктивно) і нарікають: «швидше за все, ця бракована лампа саме звідти».

Цікаво зауважити, що ймовірності 1-ї та 3-ї гіпотез, переоцінилися в очікуваних напрямках і зрівнялися:

Контроль: , Що і потрібно перевірити.

До речі, про занижені та завищені оцінки:

Завдання 8

У студентській групі 3 особи мають високий рівень підготовки, 19 осіб – середній та 3 – низький. Імовірності успішного складання іспиту для даних студентів відповідно дорівнюють: 0,95; 0,7 та 0,4. Відомо, що деякий студент склав іспит. Яка ймовірність того, що:

а) він був дуже добре підготовлений;
б) було підготовлено середньо;
в) було підготовлено погано.

Проведіть обчислення та проаналізуйте результати переоцінки гіпотез.

Завдання наближене до реальності та особливо правдоподібне для групи студентів-заочників, де викладач практично не знає здібностей того чи іншого студента. При цьому результат може спричинити досить-таки несподівані наслідки. (особливо це стосується іспитів у 1-му семестрі). Якщо погано підготовленому студенту пощастило з квитком, то викладач з великою ймовірністю визнає його успішним або навіть сильним студентом, що принесе непогані дивіденди в майбутньому (Звісно, ​​потрібно «піднімати планку» і підтримувати свій імідж). Якщо ж студент 7 днів і 7 ночей вчив, зубрив, повторював, але йому просто не пощастило, то подальші події можуть розвиватися у найгіршому ключі – з численними перездаваннями та балансуванням на межі вильоту.

Що й казати, репутація - це найважливіший капітал, не випадково багато корпорацій носять імена-прізвища своїх батьків-засновників, які керували справою 100-200 років тому і прославилися своєю бездоганною репутацією.

Так, байєсівський підхід певною мірою суб'єктивний, але... так влаштоване життя!

Закріпимо матеріал заключним індустріальним прикладом, в якому я розповім про технічні тонкощі рішення, що досі не зустрічалися:

Завдання 9

Три цехи заводу виробляють однотипні деталі, які надходять на збирання до загального контейнера. Відомо, що перший цех виробляє вдвічі більше деталей, ніж другий цех, і вчетверо більше третього цеху. У першому цеху шлюб становить 12%, у другому – 8%, у третьому – 4%. Для контролю контейнера береться одна деталь. Яка ймовірність того, що вона виявиться бракованою? Яка ймовірність того, що одержану браковану деталь випустив 3-й цех?

Таки Іван Васильович знову на коні =) Має бути у фільму щасливий кінець =)

Рішення: На відміну від Задач №№5-8 тут у явному вигляді поставлене питання, яке дозволяється за допомогою формули повної ймовірності. Але з іншого боку, умова трохи «зашифрована», і розгадати цей ребус нам допоможе шкільна навичка складати найпростіші рівняння. За «ікс» зручно прийняти найменше значення:

Нехай частка деталей, що випускається третім цехом.

За умовою, перший цех виробляє вчетверо більше третього цеху, тому частка одного цеху становить .

З іншого боку, перший цех виробляє виробів удвічі більше, ніж другий цех, отже, частка останнього: .

Складемо і розв'яжемо рівняння:

Таким чином: – ймовірність того, що витягнута з контейнера деталь випущена 1-м, 2-м та 3-м цехами відповідно.

Контроль: . Крім того, буде не зайвим ще раз подивитися на фразу «Відомо, що перший цех виробляє виробів у 2 рази більше за другий цех і в 4 рази більше за третій цех»і переконатися, що отримані значення ймовірностей справді відповідають цій умові.

За «ікс» спочатку можна було прийняти частку одного або частку другого цеху - можливості вийдуть такими ж. Але, так чи інакше, найважча ділянка пройдено, і рішення входить до накатаної колії:

З умови знаходимо:
– ймовірність виготовлення бракованої деталі для відповідних цехів.

За формулою повної ймовірності:
- Імовірність того, що навмання витягнута з контейнера деталь виявиться нестандартною.

Питання друге: яка ймовірність того, що одержану браковану деталь випустив 3-й цех? Це питання припускає, що деталь вже витягнута, і вона виявилася бракованою. Переоцінюємо гіпотезу за формулою Байєса:
- Шукана ймовірність. Цілком очікувано – адже третій цех виробляє не лише найменшу частку деталей, а й лідирує за якістю!

У цьому випадку довелося спрощувати чотириповерховий дріб, що у завданнях на формули Байєса доводиться робити досить часто. Але для цього уроку я якось випадково підібрав приклади, в яких багато обчислень можна провести без звичайних дробів.

Якщо в умові немає пунктів «а» і «бе», то відповідь краще забезпечити текстовими коментарями:

Відповідь: - Імовірність того, що витягнута з контейнера деталь виявиться бракованою; - Імовірність того, що витягнуту браковану деталь випустив 3-й цех.

Як бачите, завдання на формулу повної ймовірності і формули Байєса досить прості, і, напевно, з цієї причини в них так часто намагаються ускладнити умову, про що я вже згадував на початку статті.

Додаткові приклади є у файлі з готовими рішеннями на Ф.П.В. та формули БайєсаКрім того, напевно, знайдуться охочі глибше ознайомитися з цією темою в інших джерелах. А тема дійсно дуже цікава – чого тільки стоїть один парадокс Байєса, який обґрунтовує та життєва рада, що якщо у людини діагностована рідкісна хвороба, то їй має сенс провести повторне і навіть два повторні незалежні обстеження. Здавалося б, це роблять винятково від розпачу… ​​– а ось і ні! Але не будемо про сумне.

а) - Імовірність того, що студент, який склав іспит, був підготовлений дуже добре. Об'єктивна вихідна ймовірність виявляється завищеною, оскільки майже завжди деяким «середнячкам» щастить з питаннями і вони дуже сильно відповідають, що викликає помилкове враження бездоганної підготовки.

б) - Імовірність того, що студент, який склав іспит, був підготовлений середньо. Вихідна можливість виявляється трохи завищеною, т.к. студентів із середнім рівнем підготовки зазвичай більшість, крім того, сюди викладач віднесе «відмінників», які невдало відповіли, а зрідка й погано встигаючого студента, якому пощастило з квитком.

в) - Імовірність того, що студент, який склав іспит, був підготовлений погано. Вихідна можливість переоцінилася на гірший бік. Не дивно.

Події утворюють повну групуякщо хоча б одне з них обов'язково відбудеться в результаті експерименту і попарно несумісні.

Припустимо, що подія Aможе наступити тільки разом з одним з кількох попарно несумісних подій, що утворюють повну групу. Будемо називати події ( i= 1, 2,…, n) гіпотезамидопиту (апріорі). Імовірність появи події А визначається за формулою повної ймовірності :

Приклад 16Є три урни. У першій урні знаходяться 5 білих та 3 чорних кулі, у другій – 4 білих та 4 чорні кулі, а у третій – 8 білих куль. Навмання вибирається одна з урн (це може означати, наприклад, що здійснюється вибір із допоміжної урни, де знаходяться три кулі з номерами 1, 2 та 3). З цієї урни навмання витягується куля. Яка ймовірність того, що він виявиться чорним?

Рішення.Подія A- Витягнуто чорну кулю. Якщо було б відомо, з якої урни витягається куля, то ймовірність можна було б обчислити за класичним визначенням ймовірності. Введемо припущення (гіпотези) щодо того, яка урна обрана для вилучення кулі.

Куля може бути витягнута або з першої урни (гіпотеза), або з другої (гіпотеза), або з третьої (гіпотеза). Так як є однакові шанси вибрати будь-яку з урн, то .

Звідси слідує що

Приклад 17Електролампи виготовляються на трьох заводах. Перший завод виробляє 30% загальної кількості електроламп, другий – 25%,
а третій – решту. Продукція першого заводу містить 1% бракованих електроламп, другого – 1,5%, третього – 2%. До магазину надходить продукція всіх трьох заводів. Якою є ймовірність того, що куплена в магазині лампа виявилася бракованою?

Рішення.Припущення необхідно запровадити щодо того, на якому заводі було виготовлено електролампу. Знаючи це, ми зможемо знайти можливість того, що вона бракована. Введемо позначення для подій: A– куплена електролампа виявилася бракованою, – лампа виготовлена ​​першим заводом, – лампа виготовлена ​​другим заводом,
– лампа виготовлена ​​третім заводом.

Шукану ймовірність знаходимо за формулою повної ймовірності:

Формула Байєса. Нехай - повна група попарно несумісних подій (гіпотези). А- Випадкова подія. Тоді,

Останню формулу, що дозволяє переоцінити ймовірність гіпотез після того, як стає відомим результат випробування, в результаті якого з'явилася подія А, називають формулою Байєса .

приклад 18.До спеціалізованої лікарні надходять у середньому 50 % хворих із захворюванням До, 30% - з захворюванням L, 20 % –
із захворюванням M. Ймовірність повного лікування хвороби Kдорівнює 0,7 для хвороб Lі Mці ймовірності відповідно дорівнюють 0,8 і 0,9. Хворий, який вступив до лікарні, був виписаний здоровим. Знайдіть ймовірність того, що цей хворий страждав на захворювання K.

Рішення.Введемо гіпотези: – хворий страждав на захворювання До L, – хворий страждав на захворювання M.

Тоді за умовою завдання маємо. Введемо подію А- Хворий, який вступив до лікарні, був виписаний здоровим. За умовою

За формулою повної ймовірності отримуємо:

За формулою Байєса.

Приклад 19.Нехай в урні п'ять куль та всі припущення про кількість білих куль рівноможливі. З урни навмання взято кулю, він виявився білим. Яке припущення про початковий склад урни найімовірніше?

Рішення.Нехай - гіпотеза, яка полягає в тому, що в урні білих куль , Т. е. Можливо зробити шість припущень. Тоді за умовою завдання маємо.

Введемо подію А- навмання взята куля біла. Обчислимо. Оскільки , то за формулою Байєса маємо:

Таким чином, найбільш вірогідною є гіпотеза, тому що .

Приклад 20Два із трьох незалежно працюючих елементи обчислювального пристрою відмовили. Знайдіть ймовірність того, що відмовили перший і другий елементи, якщо ймовірності відмови першого, другого та третього елементів відповідно дорівнюють 0,2; 0,4 та 0,3.

Рішення.Позначимо через Аподія – відмовили два елементи. Можна зробити такі гіпотези:

– відмовили перший та другий елементи, а третій елемент справний. Оскільки елементи працюють незалежно, застосовна теорема множення:

Мета роботи:сформувати навички розв'язання задач з теорії ймовірностей за допомогою формули повної ймовірності та формули Байєса.

Формула повної ймовірності

Ймовірність події А, яке може наступити лише за умови появи однієї з несумісних подій В х, В 2, ..., В п,утворюють повну групу, що дорівнює сумі творів ймовірностей кожного з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А:

Цю формулу називають формулою повної ймовірності

Ймовірність гіпотез. Формула Байєса

Нехай подія Аможе наступити за умови появи однієї з несумісних подій В 2 ,...,В п,утворюють повну групу. Оскільки наперед невідомо, яка з цих подій настане, їх називають гіпотезами. Ймовірність появи події Авизначається за формулою повної ймовірності:

Припустимо, що проведено випробування, внаслідок якого з'явилася подія А. Потрібно визначити, як змінилися (у зв'язку з тим, що подія Авже настало) ймовірність гіпотез. Умовні ймовірності гіпотез знаходять за формулою

У цій формулі індекс / = 1,2

Цю формулу називають формулою Байєса (на ім'я англійського математика, який її вивів; опублікована 1764 р.). Формула Байєса дозволяє переоцінити ймовірність гіпотез після того, як стає відомим результат випробування, в результаті якого з'явилася подія А.

Завдання 1.Завод виготовляє певний тип деталі, кожна деталь має дефект з ймовірністю 0,05. Деталь оглядається одним контролером; він виявляє дефект із ймовірністю 0,97, і якщо дефект не виявлено, пропускає деталь готову продукцію. Крім того, контролер може помилково забракувати деталь, яка не має дефекту; ймовірність цього дорівнює 0,01. Знайти ймовірності наступних подій: А – деталь буде забракована; В – деталь буде забракована, але помилково; С – деталь буде пропущена у готову продукцію з дефектом.

Рішення

Позначимо гіпотези:

Н= (На контроль надійде стандартна деталь);

Н= (На контроль надійде нестандартна деталь).

Подія А =(Деталь буде забракована).

З умови завдання знаходимо імовірності

РН(А) = 0,01; Pfi(A) = 0,97.

За формулою повної ймовірності отримуємо

Імовірність того, що деталь буде забракована помилково, дорівнює

Знайдемо ймовірність того, що деталь буде пропущена у готову продукцію з дефектом:

Відповідь:

Завдання 2.Виріб перевіряється на стандартність одним із трьох товарознавців. Імовірність того, що виріб потрапить до першого товарознавця, дорівнює 0,25, до другого – 0,26 та до третього – 0,49. Імовірність того, що виріб буде визнано стандартним першим товарознавцем, дорівнює 0,95, другим – 0,98, третім – 0,97. Знайти ймовірність того, що стандартний виріб перевірено другим контролером.

Рішення

Позначимо події:

Л. =(виріб для перевірки потрапить до /-го товарознавця); / = 1, 2, 3;

В =(виріб буде визнано стандартним).

За умовою завдання відомі ймовірності:

Також відомі умовні ймовірності

За формулою Байєса знаходимо ймовірність того, що стандартний виріб перевірено другим контролером:

Відповідь:«0,263.

Завдання 3. Два автомати виробляють деталі, які надходять на загальний конвеєр. Імовірність отримання нестандартної деталі першому автоматі дорівнює 0,06, але в другому - 0,09. Продуктивність другого автомата вдвічі більша, ніж першого. З конвеєра взято нестандартну деталь. Знайти ймовірність того, що ця деталь зроблена другим автоматом.

Рішення

Позначимо події:

А. =(взята з конвеєра деталь зроблена /-м автоматом); / = 1,2;

У= (взята деталь виявиться нестандартною).

Також відомі умовні ймовірності

За формулою повної ймовірності знаходимо

За формулою Байєса знаходимо ймовірність того, що взята нестандартна деталь зроблена другим автоматом:

Відповідь: 0,75.

Завдання 4.Випробовується прилад, що складається з двох вузлів, надійність яких дорівнює 08 і 09 відповідно. Вузли відмовляють незалежно один від одного. Прилад відмовив. Знайти з урахуванням цього ймовірності гіпотез:

• а) несправний лише перший вузол;
• б) несправний лише другий вузол;
• в) несправні обидва вузли.

Рішення

Позначимо події:

Д = (7-й вузол не вийде з ладу); i = 1,2;

Д – відповідні протилежні події;

А= (При випробуванні буде відмова приладу).

З умови завдання одержуємо: Р(Д) = 0,8; Р(Л 2) = 0,9.

За якістю ймовірностей протилежних подій

Подія Адорівнює сумі творів незалежних подій

Використовуючи теорему складання ймовірностей несумісних подій та теорему множення ймовірностей незалежних подій, отримуємо

Тепер знаходимо ймовірність гіпотез:

Відповідь:

Завдання 5.На заводі болти виготовляються на трьох верстатах, які виробляють відповідно 25%, 30% та 45% усієї кількості болтів. У продукції верстатів шлюб становить відповідно 4%, 3% та 2%. Яка ймовірність того, що болт, випадково взятий з продукції, що надійшла, виявиться дефектним?

Рішення

Позначимо події:

4 = (навдачу взятий болт виготовлений на /-му верстаті); i = 1, 2, 3;

У= (Взяти навмання болт виявиться дефектним).

З умови завдання за формулою класичної ймовірності знаходимо ймовірність гіпотез:

Також за формулою класичної ймовірності знаходимо умовні ймовірності:

За формулою повної ймовірності знаходимо

Відповідь: 0,028.

Завдання 6.Електронна схема належить одній з трьох партій із ймовірностями 0,25; 0,5 та 0,25. Імовірність того, що схема пропрацює понад гарантійний термін служби для кожної з партій, відповідно становить 0,1; 0,2 та 0,4. Знайти ймовірність того, що навмання взята схема пропрацює понад гарантійний термін служби.

Рішення

Позначимо події:

4 = (навгади взята схема з г-ї партії); i = 1, 2, 3;

У= (навгадки взята схема пропрацює понад гарантійний термін служби).

За умовою завдання відомі ймовірності гіпотез:

Також відомі умовні ймовірності:

За формулою повної ймовірності знаходимо

Відповідь: 0,225.

Завдання 7.Прилад містить два блоки, справність кожного з яких необхідна для роботи приладу. Імовірності безвідмовної роботи цих блоків відповідно дорівнюють 0,99 і 0,97. Прилад вийшов із ладу. Визначити ймовірність того, що відмовили обидва блоки.

Рішення

Позначимо події:

Д = (z-й блок вийде з ладу); i = 1,2;

А= (Пристрій вийде з ладу).

З умови завдання за якістю ймовірностей протилежних подій отримуємо: ДД) = 1-0,99 = 0,01; ДД) = 1-0,97 = 0,03.

Подія Анастає лише тоді, коли настає хоча б одна з подій Д або А 2 .Тому ця подія дорівнює сумі подій А= Д + А 2 .

За теоремою складання ймовірностей спільних подій отримуємо

За формулою Байєса знаходимо ймовірність того, що пристрій вийшов з ладу через відмову обох блоків.

Відповідь:

Завдання для самостійного вирішення Завдання 1.На складі телевізійного ательє є 70% кінескопів, виготовлених заводом №1; інші кінескопи виготовлені заводом № 2. Імовірність те, що кінескоп не вийде з експлуатації протягом гарантійного терміну служби, дорівнює 0,8 для кінескопів заводу № 1 і 0,7 - для кінескопів заводу № 2. Кінескоп витримав гарантійний термін служби. Знайти ймовірність, що він виготовлений заводом № 2.

Завдання 2.На складання надходять деталі з трьох автоматів. Відомо, що перший автомат дає 0,3% шлюбу, другий - 0,2%, третій - 0,4%. Знайти можливість надходження на складання бракованої деталі, якщо з 1-го автомата надійшли 1000, з 2-го - 2000, з 3-го - 2500 деталей.

Завдання 3.На двох верстатах виготовляються однакові деталі. Імовірність того, що деталь, виготовлена ​​на першому верстаті, буде стандартною, дорівнює 0,8, а на другому - 0,9. Продуктивність другого верстата втричі більша за продуктивність першого. Знайти ймовірність того, що стандартною буде деталь, взята навмання з транспортера, на який надходять деталі з обох верстатів.

Завдання 4.Керівник компанії вирішив скористатися послугами двох із трьох транспортних фірм. Ймовірності несвоєчасної доставки вантажу для першої, другої та третьої фірм рівні відповідно 0,05; 0,1 та 0,07. Зіставивши ці дані з даними про безпеку вантажних перевезень, керівник дійшов висновку про рівнозначність вибору і вирішив зробити його за жеребом. Знайти ймовірність того, що відправлений вантаж буде доставлений вчасно.

Завдання 5.Прилад містить два блоки, справність кожного з яких необхідна для роботи приладу. Імовірності безвідмовної роботи цих блоків відповідно дорівнюють 0,99 і 0,97. Прилад вийшов із ладу. Визначте можливість того, що відмовив другий блок.

Завдання 6. До складального цеху надходять деталі з трьох автоматів. Перший автомат дає 3% шлюбу, другий – 1% та третій – 2%. Визначити можливість попадання на складання небракованої деталі, якщо з кожного автомата надійшло відповідно 500, 200, 300 деталей.

Завдання 7.До складу надходить продукція трьох фірм. Причому продукція першої фірми становить 20%, другий – 46% та третьої – 34%. Відомо також, що середній відсоток нестандартних виробів для першої фірми дорівнює 5%, для другої – 2% та для третьої – 1%. Знайти ймовірність того, що навмання взятий виріб вироблено другою фірмою, якщо воно виявилося стандартним.

Завдання 8.Шлюб у продукції заводу внаслідок дефекту астановить 5%, причому серед забракованих за ознакою апродукції в 10% випадків трапляється дефект нар.А в продукції, вільній від дефекту а, дефект рзустрічається у 1% випадків. Знайти ймовірність зустрічі дефекту Ру всій продукції.

Завдання 9.У фірмі є 10 нових автомобілів та 5 старих, які раніше перебували в ремонті. Імовірність справної роботи для нового авто дорівнює 0,94, старого – 0,91. Знайти ймовірність того, що навмання обраний автомобіль буде справно працювати.

Завдання 10.Два датчики посилають сигнали в загальний канал зв'язку, причому перший посилає вдвічі більше сигналів, ніж другий. Імовірність отримати спотворений сигнал від першого датчика дорівнює 0,01 від другого - 0,03. Яка можливість отримати спотворений сигнал у загальному каналі зв'язку?

Завдання 11.Є п'ять партій виробів: три партії по 8 штук, з яких 6 стандартних та 2 нестандартних, та дві партії по 10 штук, з яких 7 стандартних та 3 нестандартних. Навмання обирають одну з партій, а з цієї партії беруть деталь. Визначити ймовірність того, що взята деталь буде стандартною.

Завдання 12.Складальник отримує в середньому 50% деталей першого заводу, 30% - другого заводу та 20% - третього заводу. Імовірність того, що деталь першого заводу відмінної якості дорівнює 0,7; для деталей другого та третього заводів відповідно 0,8 та 0,9. Наудачу взята деталь виявилася відмінної якості. Знайти ймовірність того, що деталь виготовлена ​​першим заводом.

Завдання 13.Митний огляд автомашин здійснюють два інспектори. У середньому зі 100 машин 45 проходять через першого інспектора. Імовірність того, що при огляді машина, яка відповідає митним правилам, не буде затримана, становить 0,95 у першого інспектора та 0,85 у другого. Знайти ймовірність того, що машину, яка відповідає митним правилам, не буде затримано.

Завдання 14.Деталі, необхідні для збирання приладу, надходять із двох автоматів, продуктивність яких однакова. Обчисліть можливість надходження на складання стандартної деталі, якщо один з автоматів дає в середньому 3% порушення стандарту, а другий - 2%.

Завдання 15.Тренер з важкої атлетики розрахував, що для отримання командних залікових очок у даній ваговій категорії спортсмен має штовхнути штангу 200 кг. На місце у команді претендують Іванов, Петров та Сидоров. Іванов за час тренувань намагався підняти таку вагу у 7 випадках, а підняв у 3 з них. Петров підняв у 6 випадках з 13, а Сидоров має 35%-ву можливість успішно впоратися зі штангою. Тренер випадковим жеребом вибирає одного спортсмена до команди.

• а) Знайти ймовірність, що обраний спортсмен принесе команді залікові очки.
• б) Команда не одержала залікових очок. Знайти ймовірність, що виступав Сидоров.

Завдання 16.У білій скриньці 12 червоних та 6 синіх куль. У чорному - 15 червоних та 10 синіх куль. Кидають гральний кубик. Якщо випаде кількість очок, кратна 3, то навмання беруть кулю з білого ящика. Якщо випаде будь-яка інша кількість очок, то навмання беруть кулю із чорної скриньки. Яка ймовірність появи червоної кулі?

Завдання 17.У двох ящиках є радіолампи. У першому ящику міститься 12 ламп, їх 1 нестандартна; у другому 10 ламп, їх 1 нестандартна. З першого ящика навмання взято лампу і перекладено на другий. Знайти ймовірність того, що навмання витягнута з другого ящика лампа буде нестандартною.

Завдання 18.У урну, що містить дві кулі, опущена біла куля, після чого з неї навмання вилучено одну кулю. Знайти ймовірність того, що витягнутий шар виявиться білим, якщо рівноможливі всі можливі припущення про початковий склад куль (за кольором).

Завдання 19.У ящик, що містить 3 однакові деталі, кинута стандартна деталь, а потім навмання одна деталь витягнута. Знайти ймовірність того, що вилучено стандартну деталь, якщо рівноймовірні всі можливі припущення про кількість стандартних деталей, що спочатку перебувають у ящику.

Завдання 20.Для покращення якості радіозв'язку використовуються два радіоприймачі. Можливість прийому сигналу кожним приймачем дорівнює 0,8, і ці події (прийом сигналу приймачем) незалежні. Визначити ймовірність прийому сигналу, якщо ймовірність безвідмовної роботи під час сеансу радіозв'язку кожного приймача дорівнює 0,9.

Наслідком двох основних теорем теорії ймовірностей – теореми складання та множення – є формули повної ймовірності та формули Бейєса.

На мові алгебри подій набір , , ¼, називається повною групою подій, якщо:

1. Події попарно несумісні, тобто. , , ;.

2. У сумі становлять весь імовірнісний простір .

Теорема 5 (Формула повної ймовірності).Якщо подія Аможе статися лише за умови появи однієї з подій (гіпотез) , ,¼, що утворюють повну групу, то ймовірність події Адорівнює

Доведення.Оскільки гіпотези , ,¼,– єдино можливі, а подія Aза умовою теореми може статися лише разом із однією з гіпотез, то . З несумісності гіпотез слід несумісність .

Застосовуємо теорему складання ймовірностей у вигляді (6):

По теоремі множення. Підставляючи це у формулу (13), остаточно маємо: , що потрібно було довести.

Приклад 8.Експортно-імпортна фірма збирається укласти контракт на постачання сільськогосподарського обладнання в одну з країн, що розвиваються. Якщо основний конкурент фірми стане одночасно претендувати укладання договору, то можливість отримання договору оцінюється в 0,45; в іншому випадку – 0,25. За оцінками експертів компанії, ймовірність того, що конкурент висуне свої пропозиції щодо укладання контракту, дорівнює 0,40. Чому дорівнює можливість укладання контракту?

Рішення. А -«фірма укласти контракт», - «конкурент висуне свої пропозиції», - «конкурент не висуне свої пропозиції». За умовою завдання , . Умовні ймовірності щодо укладання контракту для фірми , . За формулою повної ймовірності

Наслідком теореми множення та формули повної ймовірності є формула Бейєса.

Формула Байєсадозволяє перерахувати ймовірність кожної з гіпотез за умови, що подія сталася. (Вона застосовується, коли подія А, що може виникнути тільки з однією з гіпотез, що утворюють повну групу подій, відбулося і необхідно провести кількісну переоцінку апріорних ймовірностей цих гіпотез відомих до випробування, тобто. треба знайти апостеріорні (одержувані після проведення випробування) умовні ймовірності гіпотез) , ,…, .

Теорема 6 (Формула Бейєса).Якщо подія Асталося, то умовні ймовірності гіпотез обчислюються за формулою, яка носить назву формули Бейєса:

Доведення.Для отримання формули запишемо теорему множення ймовірностей подій Ата у двох формах:

звідки що і потрібно було довести.

Значення формули Бейєса полягає в тому, що при настанні події А,тобто. у міру отримання нової інформації, ми можемо перевіряти та коригувати висунуті до випробування гіпотези. Такий підхід, званий бейєсовським, дає можливість коригувати управлінські рішення в економіці, оцінки невідомих параметрів розподілу ознак, що вивчаються в статистичному аналізі і т.п.

Завдання 9.Група складається з 6 відмінників, 12 студентів, що добре встигають, і 22 студентів, які встигають посередньо. Відмінник відповідає на 5 і 4 з рівною ймовірністю, хорошист відповідає на 5, 4 і 3 з рівною ймовірністю, і студент, що посередньо встигає, відповідає на 4, 3 і 2 з рівною ймовірністю. Випадково обраний студент відповів на 4. Яка ймовірність того, що був викликаний студент, що посередньо встигає?

Рішення.Розглянемо три гіпотези:

Розглянута подія. З умови завдання відомо, що

, , .

Знайдемо ймовірність гіпотез. Оскільки у групі всього 40 студентів, а відмінників 6, то . Аналогічно, , . Застосовуючи формулу повної ймовірності, знаходимо

Тепер застосуємо до гіпотези формулу Байєса:

приклад 10.Економіст-аналітик умовно поділяє економічну ситуацію в країні на «хорошу», «посередню» та «погану» та оцінює їх ймовірності для даного моменту часу в 0,15; 0,70 та 0,15 відповідно. Деякий індекс економічного стану зростає із ймовірністю 0,60, коли ситуація «хороша»; з ймовірністю 0,30, коли ситуація середня, і з ймовірністю 0,10, коли ситуація "погана". Нехай зараз індекс економічного стану зріс. Чому дорівнює ймовірність того, що економіка країни на підйомі?

Рішення. А= «індекс економічного стану країни зросте», Н 1= «економічна ситуація в країні «хороша»», Н 2= «економічна ситуація у країні «посередня»», Н 3= «економічна ситуація у країні «погана»». За умовою: , , . Умовні ймовірності: ,, . Потрібно знайти ймовірність. Знаходимо її за формулою Бейєса:

Приклад 11.До торгової фірми надійшли телевізори від трьох постачальників у співвідношенні 1:4:5. Практика показала, що телевізори, що надходять від 1-го, 2-го та 3-го постачальників, не вимагатимуть ремонту протягом гарантійного терміну відповідно у 98%, 88% та 92% випадків.