Координати точки перетину двох прямих – приклади знаходження. Графічне відображення точки на комплексному кресленні

Завдання 1. (7 балів)

Чисельник і знаменник дробу – позитивні числа. Чисельник збільшили на 1, а знаменник - на 100. Чи може отриманий дріб виявитися більшим за вихідний?

Відповідь:так.

Рішення.Наприклад, . Є багато інших прикладів.

Критерії.Будь-який правильний приклад: 7 балів.

Відповідь без прикладу чи неправильна відповідь: 0 балів.

Завдання 2. (7 балів)

Хлопцям дали завдання перевести швидкість черепахи з сантиметрів за секунду за метри за хвилину. Маша отримала відповідь 25 м/хв, але вважала, що в метрі 60 см, а в хвилині 100 секунд. Допоможіть Маші знайти правильну відповідь.

Відповідь: 9 м/хв.

Рішення.Черепаха за одну машину «хвилину» долає відстань у 25 машин «метрів», тобто за 100 секунд проповзає 25 · 60 сантиметрів. Тоді швидкість черепахи дорівнює (25 · 60)/100 = 15 см/сек. Отже, за 60 секунд черепаха проповзе 15 · 60 сантиметрів, тобто (15 · 60) / 100 = 9 метрів.

Критерії.

Правильно знайдено швидкість в сантиметрах за секунду, а наступна частина не зроблено або зроблено з помилкою: 3 бали.

Завдання 3. (7 балів)

У деякий момент часу Аня виміряла кут між годинниковою та хвилинною стрілками свого годинника. Через одну годину вона знову виміряла кут між стрілками. Кут виявився таким самим. Яким міг бути цей кут?

(Розберіть усі випадки.)

Відповідь: 15° чи 165°.

Рішення.Через 1 годину хвилинна стрілка залишається на своєму місці. У цьому годинникова стрілка повернулася на 30°. Якщо кут не змінився, то хвилинна стрілка ділить навпіл один з кутів між положеннями годинної стрілки (або той, який 30 °, або додатковий кут в 330 °).

Значить, або годинникова стрілка була на 15 ° раніше, або на 165 ° пізніше.

Критерії.Будь-яке правильне рішення: 7 балів.

Дано обидві правильні відповіді без обґрунтування або з неправильним обґрунтуванням: 3 бали.

Дана одна з правильних відповідей: 1 бал.

Завдання 4. (7 балів)

Два пішоходи вийшли на світанку. Кожен йшов із постійною швидкістю. Один ішов із Aв B, інший - з Bв A. Вони зустрілися опівдні (тобто рівно о 12 годині) і, не припиняючи руху, прийшли: один - у Bо 4 годині вечора, а інший – о Aо 9 годині вечора. О котрій годині того дня був світанок?

Відповідь:о 6 ранку.

Рішення.Точку зустрічі позначимо за C. Нехай від світанку до полудня пройшло xгодин.

Швидкість першого пішохода дільниці ACдорівнює AC/x, на ділянці BCдорівнює BC/ 4. Його швидкість постійна, і отже AC/x= BC/ 4 , що можна переписати у вигляді AC/BC= x/ 4 .

Аналогічно для другого пішохода: рівність швидкостей на ділянках BC, ACвиллється у співвідношення BC/x = AC/9, яке ми перепишемо у формі AC/BC= 9x.

Отримуємо, що x/ 4 = 9/x і за якістю пропорції x 2 = 36, x= 6 . Світанок був на 6 годин раніше полудня, тобто о 6 ранку.

Критерії.Будь-яке правильне рішення: 7 балів.

Правильно знайдено проміжок часу від світанку до зустрічі, але час світанку не знайдено або знайдено помилково: 5 балів.

Лише відповідь без рішення: 1 бал.

Завдання 5. (7 балів)

Визначте, в якій кількості точок перетинаються 10 прямих, якщо серед них є тільки дві паралельні і три з цих прямих перетинаються в одній точці.

Відповідь: 42.

Рішення.Пронумеруємо прямі так, щоб саме прямі 1, 2 та 3 перетиналися в одній точці (цю точку позначимо за X). Випишемо різні пари прямих (1 і 2, 1 і 3, 1 і 4, . . . , 8 і 9, 8 і 10, 9 і 10) та їх точки перетину. Усього пар прямих 45 (пар виду 1 і ` рівно 9, пара виду 2 і ` рівно 8 і так далі; 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45). За умовою рівно дві прямі паралельні. Отже, всього буде виписано 44 точки перетину. При цьому всі точки перетину прямих крім Xбудуть виписані рівно по одному разу, а крапка Xз'явиться тричі: для пар прямих 1 і 2, 1 і 3, 2 і 3. Зітремо зі списку точок перетину дві зайві літери X. Залишаться рівно 42 точки, і цього разу всі точки перетину будуть пораховані по одному разу.

Критерії.Будь-яке правильне рішення: 7 балів.

Правильно пораховано число пар прямих і при цьому дано правильну відповідь: 2 бали.

Розглянуто лише окремі випадки або наведено правильну відповідь без пояснення: 1 бал.

Критичні точки– це точки у яких похідна функції дорівнює нулю чи немає. Якщо похідна дорівнює 0, то функція в цій точці приймає локальний мінімум чи максимум. На графіку у таких точках функція має горизонтальну асимптоту, тобто дотична паралельна осі Ох .

Такі точки називають стаціонарними. Якщо бачите на графіку безперервної функції "горб" або "яму" пам'ятайте, що максимум або мінімум досягається в критичній точці. Розглянемо для прикладу таке завдання.

приклад 1. Знайти критичні точки функції y=2x^3-3x^2+5.
Рішення. Алгоритм знаходження критичних точок наступний:

Отже, функція має дві критичні точки.

Далі, якщо потрібно провести дослідження функції, то визначаємо знак похідної зліва і праворуч від критичної точки. Якщо похідна під час переходу через критичну точку змінює знак з «-» на «+» , то функція приймає локальний мінімум. Якщо з «+» на «-» повинні локальний максимум.

Другий тип критичних точокце нулі знаменника дробових та ірраціональних функцій

Функції з логарифмами та тригонометричні, які не визначені в цих точках


Третій тип критичних точокмають шматково-безперервні функції та модулі.
Наприклад, будь-яка модуль-функція має мінімум або максимум у точці зламу.

Наприклад, модуль y = | x-5 | у точці x = 5 має мінімум (критичну точку).
Похідна в ній не існує, а праворуч і зліва приймає значення 1 і -1 відповідно.

Спробуйте визначити критичні точки функцій

1)
2)
3)
4)
5)

Якщо у відповіді Ви отримаєте значення
1) x = 4;
2) x = -1; x = 1;
3) x = 9;
4) x = Pi * k;
5) x = 1.
то Ви вже знаєте як знайти критичні точкиі зможете впоратися з простою контрольною чи тестами.

Показуючий зв'язок похідної знака з характером монотонності функції.

Будь ласка, будьте гранично уважні у наступному. Дивіться, графік ЧОГО вам дано! Функції чи її похідної

Якщо дано графік похідної, то цікавитимуть нас лише знаки функції та нулі. Жодні «пагорби» та «впадини» не цікавлять нас у принципі!

Завдання 1.

На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Визначте кількість цілих точок, де похідна функції негативна.

Рішення:

На малюнку виділені кольором області зменшення функції :

У ці області зменшення функції потрапляє 4 цілі значення.

Завдання 2.

На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції паралельна до прямої або збігається з нею.

Рішення:

Раз дотична до графіка функції паралельна (або збігається) прямий (або, що те саме, ), що має кутовий коефіцієнт, Що дорівнює нулю, то і дотична має кутовий коефіцієнт .

Це своє чергу означає, що дотична паралельна осі , оскільки кутовий коефіцієнт є тангенс кута нахилу дотичної до осі .

Тому ми знаходимо на графіку точки екстремуму (точки максимуму і мінімуму), - саме в них дотичні до графіка функції будуть паралельні осі.

Таких точок – 4.

Завдання 3.

На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції паралельна до прямої або збігається з нею.

Рішення:

Якщо дотична до графіку функції паралельна (або збігається) прямий, що має кутовий коефіцієнт, то і дотична має кутовий коефіцієнт.

Це своє чергу означає, що у точках торкання.

Тому дивимося, скільки точок на графіку мають ординату , що дорівнює .

Як бачимо, таких точок – чотири.

Завдання 4.

На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть кількість точок, у яких похідна функції дорівнює 0.

Рішення:

Похідна дорівнює нулю в точках екстремуму. У нас їх 4:

Завдання 5.

На малюнку зображено графік функції та одинадцять точок на осі абсцис:. У скільки з цих точок похідна функції негативна?

Рішення:

На проміжках зменшення функції її похідна набуває негативних значень. А зменшується функція в точках. Таких точок 4.

Завдання 6.

На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть суму точок екстремуму функції.

Рішення:

Крапки екстремуму- Це точки максимуму (-3, -1, 1) і точки мінімуму (-2, 0, 3).

Сума точок екстремуму: -3-1+1-2+0+3=-2.

Завдання 7.

На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть проміжки зростання функції. У відповіді вкажіть суму цілих точок, що входять до цих проміжків.

Рішення:

На малюнку виділено проміжки, у яких похідна функції неотрицательна.

На малому проміжку зростання цілих точок немає, на проміжку зростання чотири цілі значення: , , і .

Їхня сума:

Завдання 8.

На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть проміжки зростання функції. У відповіді вкажіть довжину найбільшого їх.

Рішення:

На малюнку виділені кольором всі проміжки, у яких похідна позитивна, отже сама функція зростає цих проміжках.

Довжина найбільшого їх – 6.

Завдання 9.

На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. У якій точці відрізка набуває найбільшого значення.

Рішення:

Дивимося як поводиться графік на відрізку, а саме нас цікавить тільки знак похідної .

Знак похідної на - мінус, так як графік на цьому відрізку нижче осі.

Область визначення функції, обчислити її похідну, знайти область визначення похідної функції, знайти крапкизвернення похідної в нуль, довести належність знайдених точок області визначення вихідної функції.

Приклад 1Визначте критичні крапкифункції y = (x - 3)? · (x-2).

РішенняЗнайдіть область визначення функції, в даному випадку обмежень немає: x ∈ (-∞; +∞); Обчисліть похідну y'. За правилами диференціювання твори двох є: y' = ((x - 3)²)'·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)' = 2·(x - 3)·(x - 2) + (x - 3)? ·1. Після виходить квадратне рівняння: y' = 3 x ² - 16 x + 21.

Знайдіть область визначення похідної функції: x ∈ (-∞; +∞). Розв'яжіть рівняння 3·x² – 16·x + 21 = 0 для того, щоб знайти, за яких звертається в нуль: 3·x² – 16·x + 21 = 0.

D = 256 - 252 = 4x1 = (16 + 2) / 6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3. Отже, похідна перетворюється на нуль при значеннях x, рівних 3 і 7/3.

Визначте, чи належать знайдені крапкиобласті визначення вихідної функції Оскільки x (-∞; +∞), то обидві ці крапкиє критичними.

Приклад 2Визначте критичні крапкифункції y = x² - 2/x.

РішенняОбласть визначення функції: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), оскільки x стоїть у знаменнику. Обчисліть похідну y' = 2·x + 2/x².

Область визначення похідної функції та сама, що у вихідної: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞).Рішіть рівняння 2·x + 2/x² = 0:2·x = -2/x² → x = -1.

Отже, похідна перетворюється на нуль при x = -1. Виконано необхідну, але недостатню умову критичності. Оскільки x=-1 потрапляє до інтервалу (-∞; 0) ∪ (0; +∞), то ця точка є критичною.

Джерела:

• Критичний обсяг реалізації, штПоріг

Багато жінок страждають від передменструального синдрому, який проявляється не лише хворобливими відчуттями, а й підвищеним апетитом. В результаті критичні дні можуть сповільнити процес схуднення.

Причини підвищення апетиту під час критичних днів

Причиною підвищення апетиту в період критичних днів є зміна загального гормонального тла в жіночому організмі. За кілька днів до настання менструації рівень гормону прогестерону підвищується, організм налаштовується на можливу і намагається зробити додаткові запаси енергії у вигляді жирових відкладень, навіть якщо жінка сидить. Таким чином, зміна ваги у критичні дні – це нормальне явище.

Як харчуватися під час місячних

Постарайтеся не їсти цими днями солодощі, кондитерські вироби та інші висококалорійні продукти, що містять «швидкі». Їх надлишок негайно відкладеться у жир. Багатьом жінкам у цей період дуже хочеться з'їсти шоколадку, у цьому випадку можна купити гіркий шоколад і побалувати себе кількома часточками, але не більше. У період місячних не варто вживати алкогольні напої, маринади, соління, копченості, насіння та горіхи. Солоніння та копченості взагалі варто обмежити в раціоні за 6-8 днів до початку менструації, оскільки такі продукти збільшують запаси води в організмі, а цей період характеризується підвищенням накопичення рідини. Щоб скоротити кількість солі в раціоні, додайте її в мінімальній кількості готові страви.

Рекомендується вживати нежирні молочні продукти, їжу, каші. Будуть корисні бобові, відварена картопля, рис – продукти, до складу яких входять «повільні» вуглеводи. Заповнити втрати заліза допоможуть морепродукти, печінка, риба, яловичина, птах, яйця, бобові, сухофрукти. Будуть корисні пшеничні висівки. Природною реакцією під час місячних є набряки. Коригувати стан допоможуть легкі сечогінні трави: базилік, кріп, петрушка, селера. Їх можна використовувати як приправу. У другій половині циклу рекомендується вживати білкові продукти (нежирні сорти м'яса та риби, молочні продукти), а кількість вуглеводів у раціоні слід максимально знизити.

Економічне поняття критичного обсягу продажіввідповідає становищу підприємства над ринком, у якому виручка від реалізації товару є мінімальної. Така ситуація називається точкою беззбитковості, коли попит продукції падає і прибуток ледве покриває собівартість. Щоб визначити критичний обсяг продажіввикористовують кілька методів.

Інструкція

Робочий цикл не обмежується його діяльністю – виробництвом чи послугами. Це складна праця певної структури, що включає роботу основного персоналу, управлінського апарату, менеджерського складу та ін, а також економістів, завдання яких – фінансовий аналіз підприємства.

Метою цього аналізу є розрахунок деяких величин, які тією чи іншою мірою впливають на розмір кінцевого прибутку. Це різні види обсягів виробництва та реалізації, повної та середньої, показники попиту і т.д. Основне завдання – виявити такий обсяг виробництва, при якому встановлюється стійкий взаємозв'язок між витратами та прибутком.

Мінімальний обсяг продажів, при якому дохід повністю покриває витрати, але не збільшує власний капітал компанії, називається критичним обсягом продажів. Існують три методи розрахунку способу цього показника: метод рівнянь, маржинального доходу та графічний.

Щоб визначити критичний обсяг продажівза першим методом, складіть рівняння виду: Вп - Зпер - Зпос = Пп = 0, де: Вп - виручка від продажіві ;Зпер і Зпос - витрати змінні та постійні;Пп - прибуток від продажівв.

За іншим методом перший доданок, виручка від продажів, уявіть як твори маржинального доходу від одиниці товару обсяг продажів, те саме стосується змінних витрат. Постійні витрати поширюються на всю партію товару, тому цю складову залиште загальною: МД N – Зпер1 N – Зпос = 0.

Виразіть із цього рівняння величину N, і ви отримаєте критичний обсяг продажів:N = Зпос/(МД - Зпер1), де Зпер1 - Змінні витрати на одиницю товару.

Графічний метод передбачає побудову. Нанесіть на координатну площину дві лінії: функцію виручки від продажівза вирахуванням обох витрат та функцію прибутку. На осі абсцис відкладайте обсяг продукції, а по осі ординат – дохід від кількості товару, виражений у грошових одиницях. Точка перетину цих ліній відповідає критичному об'єму продажів, положення беззбитковості

Джерела:

• як визначити критичну роботу

Критичне мислення є сукупність суджень, основі яких формуються певні висновки, і робиться оцінка об'єктів критики. Воно особливо властиве дослідникам та вченим усіх галузей науки. Критичне мислення займає вищу щабель проти звичайним.

Цінність досвіду у формуванні критичного мислення

Складно аналізувати та робити висновки щодо того, в чому погано розумієшся. Отже, щоб навчитися мислити критично, необхідно вивчати об'єкти у зв'язках і взаємовідносинах з іншими явищами. А також велике значення в даній справі має володіння інформацією про подібні об'єкти, уміння вибудовувати логічні ланцюжки суджень та робити обґрунтовані висновки.

Наприклад, будувати висновки про цінності художнього твору можна лише знаючи чимало інших плодів літературної діяльності. При цьому непогано бути знавцем історії розвитку людства, становлення літератури та літературної критики. У відриві від історичного контексту твір може втратити закладений у нього зміст. Щоб оцінка художнього твору була досить повною та обґрунтованою, необхідно також використовувати свої літературознавчі знання, які включають правила побудови художнього тексту в рамках окремих жанрів, систему різних літературних прийомів, класифікацію та аналіз існуючих стилів і напрямів у літературі тощо. При цьому важливим є вивчення внутрішньої логіки сюжету, послідовності дій, розстановки та взаємодії персонажів художнього твору.

Особливості критичного мислення

Серед інших особливостей критичного мислення можна назвати такі:
- знання про досліджуваному об'єкті є лише відправною точкою для подальшої мозкової діяльності, пов'язаної з побудовою логічних ланцюжків;
- послідовно збудовані і засновані на здоровому глузді міркування призводять до виявлення істинної та помилкової інформації про об'єкт, що вивчається;
- критичне мислення завжди пов'язане з оцінкою наявної інформації про даний об'єкт і відповідними висновками, оцінка ж, у свою чергу, пов'язана з наявними навичками.

На відміну від звичайного мислення, критичне не підпорядковане сліпій вірі. Критичне мислення дозволяє за допомогою цілої системи суджень про об'єкт критики осягнути її суть, виявити справжні знання про неї та спростувати хибні. Воно засноване на логіці, глибині та повноті вивчення, правдивості, адекватності та послідовності суджень. При цьому очевидні та давно доведені твердження приймаються як постулати та не вимагають повторного доказу та оцінки.

Почнемо з взаємного розташування точки щодо прямої, променя та відрізка.

Завдання №1

Рішення
Зрозуміло, якщо пряма задана своїм рівнянням ax + by + c = 0, то тут і вирішувати нічого. Достатньо підставити координати точки в рівняння прямої і перевірити, чому воно дорівнює. Якщо більше нуля, то точка знаходиться у верхній напівплощині, якщо дорівнює нулю, то точка знаходиться на прямій і якщо менше нуля, то точка знаходиться у нижній півплощині. Цікавішим є випадок, коли пряма задана, задана координатами двох точок назвемо їх P 1 (x 1 , y 1), P 2 (x 2 , y 2). У цьому випадку можна спокійно знайти коефіцієнти a, b та c і ​​застосувати попереднє міркування. Але треба спочатку подумати, воно нам потрібне? Звичайно, ні! Як я говорив косі твори - це просто перлина обчислювальної геометрії. Давайте застосуємо його. Відомо, що косий добуток двох векторів позитивно, якщо поворот від першого вектора до другого йде проти годинникової стрілки, дорівнює нулю, якщо вектори колінеарні і негативно, якщо поворот йде за годинниковою стрілкою. Тому нам достатньо порахувати косий добуток векторів P 1 P 2 і P 1 M і за його знаком зробити висновок.

Завдання №2

Рішення
Згадаймо, що таке промінь: промінь - це пряма, обмежена точкою з одного боку, а з іншого боку - нескінченна. Тобто промінь задається деякою початковою точкою і будь-якою точкою, що лежить на ньому. Нехай точка P 1 (x 1 , y 1) - початок променя, а P 2 (x 2 , y 2) - будь-яка точка, що належить променю. Зрозуміло, що й точка належить променю, вона належить і прямий проходить через ці точки, але з навпаки. Тому належність прямої є необхідною, але не достатньою умовою для належності променю. Тому від перевірки косового твору нам нікуди не подітися. Для достатньої умови потрібно вирахувати ще й скалярне твір тих самих векторів. Якщо воно менше нуля, то точка не належить променю, якщо воно не негативне, то точка лежить на промені. Чому так? Погляньмо на малюнок.

Отже, для того щоб точка M(x, y) лежала на промені з початковою точкою P 1 (x 1 , y 1), де P 2 (x 2 , y 2) лежить на промені необхідно і достатньо виконання двох умов:

2. (P 1 P 2 , P 1 M) ≥ 0 – скалярний добуток (точка лежить на промені)

Завдання №3

Рішення
Нехай точки P 1 (x 1 y 1), P 2 (x 2 y 2) кінці заданого відрізка. Знову-таки необхідною умовою належності точки відрізку є її належність прямої через P 1 , P 2 . Далі нам потрібно визначити, чи лежить точка між точками P1 і P2, для цього нам на допомогу приходить скалярний добуток векторів тільки цього разу інших: (MP1, MP2). Якщо воно менше або дорівнює нулю, то точка лежить на відрізку, інакше поза відрізком. Чому так? Подивимося на малюнок.

Отже, для того щоб точка M(x, y) лежала на відрізку з кінцями P 1 (x 1 , y 1), P 2 (x 2 , y 2) необхідно і достатньо виконання умов:
1. = 0 - косий твір (точка лежить на прямій)
2. (MP 1 ,MP 2) ≤ 0 – скалярний добуток (точка лежить між P 1 та P 2)

Завдання №4

Рішення
У цьому завдання необхідно визначити по одну або по різні сторони щодо прямої дві точки.

Якщо точки перебувають у різні боки щодо прямої, то косі твори мають різні знаки, отже їх твір негативно. Якщо ж точки лежать з одного боку щодо прямої, то знаки косих творів збігаються, отже, їх добуток позитивно.
Отже:
1. * < 0 – точки лежат по разные стороны.
2. * > 0 – точки лежать з одного боку.
3. * = 0 - одна (або дві) з точок лежить на прямій.

До речі, завдання про визначення наявності точки перетину у прямої і відрізка вирішується так само. Точніше, це і є це завдання: відрізок і пряма перетинаються, коли кінці відрізка знаходяться по різні сторони щодо прямої або коли кінці відрізка лежать на прямій, тобто необхідно вимагати * ≤ 0.

Завдання №5

Рішення
Вважатимемо, що прямі не збігаються. Зрозуміло, що прямі не перетинаються, якщо вони паралельні. Тому, знайшовши умову паралельності, ми можемо визначити, чи перетинаються прямі.
Допустимо прямі задані своїми рівняннями a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 і a 2 x + b 2 y + c 2 = 0. Тоді умова паралельності прямих полягає в тому, що a 1 b 2 - a 2 b 1 = 0.
Якщо ж прямі задані точками P 1 (x 1 , y 1), P 2 (x 2 , y 2), M 1 (x 3 , y 3), M 2 (x 4 , y 4), то умова їхньої паралельності полягає перевірки косого добутку векторів P 1 P 2 і M 1 M 2: якщо воно дорівнює нулю, то прямі паралельні.

Загалом, коли прямі задані своїми рівняннями ми теж перевіряємо косо твір векторів (-b 1 , a 1), (-b 2 , a 2) які називаються напрямними векторами.

Завдання №6

Рішення
Ось це завдання мені дійсно подобається. Відрізки перетинаються тоді, коли кінці кожного відрізка лежать по різні боки від іншого відрізка. Подивимося на малюнок:

Отже, потрібно перевірити, щоб кінці кожного з відрізків лежали по різні боки відносного кінців іншого відрізка. Користуємося косим твором векторів. Подивіться перший малюнок: > 0,< 0 => * < 0. Аналогично
* < 0. Вы наверно думаете, почему не меньше либо равно. А потому, что возможен следующий случай, при котором векторное произведение как раз и равно нулю, но отрезки не пересекаются:

Тому нам необхідно зробити ще одну перевірку, а саме: чи належить хоча б один кінець кожного відрізка іншому (приналежність точки відрізку). Це завдання ми вже вирішували.

Отже, для того щоб відрізки мали спільні точки, необхідно і достатньо:
1. Кінці відрізків лежать з різних боків щодо іншого відрізка.
2. Хоча б один із кінців одного відрізка належить іншому відрізку.

Завдання №7

Рішення
Нехай пряма задана двома точками P 1 (x 1 y 1) і P 2 (x 2 y 2).

У попередній статті ми говорили про те, що геометрично косий твір – це орієнтована площа паралелограма, тому S P 1 P 2 M = 0,5*. З іншого боку, кожному школяру відома формула для знаходження площі трикутника: половина основа на висоту.
S P 1 P 2 M = 0,5 * h * P 1 P 2 .
Прирівнюючи ці площі, знаходимо

За модулем взяли тому, що перша площа орієнтована.

Якщо ж пряма задана рівнянням ax + by + c = 0, то рівняння прямої перпендикулярної, що проходить через точку M, заданої прямої є: a(y - y 0) – b(x - x 0) = 0. Тепер спокійно можна вирішити систему з отриманих рівнянь, знайти їх точку перетину та обчислити відстань від вихідної точки до знайденої: вона буде рівно ρ = (ax 0 + by 0 + c)/√(a 2 + b 2).

Завдання №8

Рішення
Це завдання відрізняється від попереднього тим, що в цьому випадку може вийти, так що перпендикуляр з точки не падає на промінь, а падає на його продовження.

У випадку, коли перпендикуляр не падає на промінь, необхідно знайти відстань від точки до початку променя – це буде відповіддю на завдання.

Як визначити падає перпендикуляр на промінь чи ні? Якщо перпендикуляр не падає на промінь, то кут MP 1 P 2 – тупий або гострий (прямий). Тому за знаком скалярного твору векторів ми можемо визначити чи потрапляє перпендикуляр на промінь чи ні:
1. (P 1 M, P 1 P 2)< 0 перпендикуляр не попадает на луч
2. (P 1 M, P 1 P 2) ≥ 0 перпендикуляр потрапляє на промінь

Завдання №9

Рішення
Розмірковуємо аналогічно до попередньої задачі. Якщо перпендикуляр не падає на відрізок, то відповіддю буде мінімальна відстань від даної точки до кінців відрізка.

Щоб визначити, чи потрапляє перпендикуляр на відрізок, потрібно за аналогією з попереднім завданням використовувати скалярний добуток векторів. Якщо перпендикуляр не падає на відрізок, або кут MP 1 P 2 або кут MP 2 P 1 будуть тупими. Тому за знаком скалярних творів ми можемо визначити чи потрапляє перпендикуляр на відрізок чи ні:
Якщо (P 1 M, P 1 P 2)< 0 или (P 2 M, P 2 P 1) < 0 то перпендикуляр не падает на отрезок.

Завдання №10

Рішення
Пряме і коло може мати нуль, одну або дві точки перетину. Давайте подивимося на малюнки:

Тут із малюнків і так все зрозуміло. Ми маємо дві точки перетину, якщо відстань від центру кола до прямої менша за радіус кола. Одну точку торкання, якщо відстань від центру до прямої дорівнює радіусу. І нарешті, жодної точки перетину, якщо відстань від центру кола до прямої більша за радіус кола. Оскільки завдання знаходження відстань від точки до прямої було вже нами вирішено, те й завдання теж вирішено.

Завдання №11

Рішення
Можливі випадки розташування кіл: перетинаються, торкаються, не перетинаються.

Розглянемо випадок, коли кола перетинаються, і знайдемо площу їхнього перетину. Це завдання я дуже люблю, тому що витратив на її вирішення неабияку кількість часу (було це давно – на першому курсі).

Згадаймо тепер, що таке сектор та сегмент.

Перетин кіл складається з двох сегментів O 1 AB і O 2 AB.

Здавалося б, необхідно скласти площі цих сегментів і все. Проте все не так просто. Необхідно ще визначити, чи завжди ці формули є вірними. Виявляється, ні!

Розглянемо випадок, коли центр другого кола O 2 збігається з точкою C. У цьому випадку d 2 = 0 і значення α приймемо α = π. У цьому випадку маємо півколо з площею 1/2 πR 2 2 .

Тепер розглянемо випадок, коли центр другого кола O2 знаходиться між точками O1 і C. У цьому випадку отримаємо негативне значення величини d2. Використання негативного значення d2 призводить до негативного значення. У цьому випадку необхідно для правильної відповіді додати α 2π.

Висновок

Сподіваюсь вам сподобалось.