Кореляційний аналіз спірмена. Застосування кореляції Спірмена та Пірсона

Кореляційний аналіз є методом, що дозволяє виявляти залежність між певною кількістю випадкових величин. Мета кореляційного аналізу, зводиться до виявлення оцінки сили зв'язків між такими випадковими величинами чи ознаками, що характеризують певні реальні процеси.

Сьогодні ми пропонуємо розглянути, як застосовується кореляційний аналіз Спірмена, для наочного відображення форм зв'язку в практичному трейдингу.

Кореляція за Спірменом чи основа кореляційного аналізу

Щоб зрозуміти, що таке кореляційний аналіз, спочатку слід усвідомити поняття кореляції.

При цьому, якщо ціна почне рухатися в потрібному напрямку, необхідно вчасно розлокувати позиції.

Для цієї стратегії основою якої покладено кореляційний аналіз, найкраще підходять торгові інструменти мають високий рівень кореляції (EUR/USD і GBP/USD, EUR/AUD і EUR/NZD, AUD/USD і NZD/USD, контракти CFD тощо) .

Відео: Застосування кореляції Спирмена на ринку Форекс

Насправді визначення тісноти зв'язку двох ознак часто застосовується коефіцієнт рангової кореляції Спірмена (Р). Значення кожної ознаки ранжуються за ступенем зростання (від 1 до n), потім визначається різниця (d) між рангами, які відповідають одному спостереженню.

Приклад №1. Залежність між обсягом промислової продукції та інвестиціями в основний капітал по 10 областях одного з федеральних округів РФ у 2003 році характеризується такими даними.
Обчисліть рангові коефіцієнти кореляції Спірменаі Кендела. Перевірити їх значення при α=0,05. Сформулюйте висновок про залежність між обсягом промислової продукції та інвестиціями в основний капітал за аналізованими областями РФ.

Надамо ранги ознакою Y і фактору X . Знайдемо суму різниці квадратів d 2 .
Використовуючи калькулятор, обчислимо коефіцієнт рангової кореляції Спірмена:

Оцінка коефіцієнта рангової кореляції Спірмена

Інтервальна оцінка для коефіцієнта рангової кореляції (довірчий інтервал)
Довірчий інтервалдля коефіцієнта рангової кореляції Спірмена: p (0.5431; 0.9095).

Приклад №2. Вихідні дані.

У випадках, якщо вимірювання досліджуваних ознак проводяться в шкалі порядку, або форма взаємозв'язку відрізняється від лінійної, дослідження взаємозв'язку між двома випадковими величинами здійснюється за допомогою рангових коефіцієнтів кореляції. Розглянемо коефіцієнт рангової кореляції Спірмена. За його обчисленні необхідно ранжувати (упорядкувати) варіанти вибірки. Ранжуванням називається угруповання експериментальних даних у певному порядку, або за зростанням, або за зменшенням.

Проведення операції ранжирування здійснюється за таким алгоритмом:

1. Найменшому значенню нараховується менший ранг. Найбільшому значенню нараховується ранг, відповідний кількості значень, що ранжуються. Найменшому значенню нараховується ранг рівний 1. Наприклад, якщо n=7, найбільше значення отримає ранг під номером 7, крім випадків, передбачених другим правилом.

2. Якщо кілька значень рівні, то їм нараховується ранг, що є середнім значенням з тих рангів, які вони отримали б, якби не були рівні. Як приклад розглянемо впорядковану за зростанням вибірку, що складається з 7 елементів: 22, 23, 25, 25, 25, 28, 30. Значення 22 і 23 зустрічаються по одному разу, тому їх ранги відповідно дорівнюють R22=1, а R23=2 . Значення 25 трапляється 3 рази. Якби ці значення не повторювалися, їх ранги були б рівними 3, 4, 5. Тому їх ранг R25 дорівнює середньому арифметичному 3, 4 і 5: . Значення 28 та 30 не повторюються, тому їх ранги відповідно дорівнюють R28=6, а R30=7. Остаточно маємо таку відповідність:

3. Загальна сума рангів повинна співпадати з розрахунковою, яка визначається за такою формулою:

де n - загальна кількість значень, що ранжуються.

Розбіжність реальної та розрахункової сум рангів свідчить про помилку, допущену при нарахуванні рангів або їх підсумовування. У цьому випадку необхідно знайти та виправити помилку.

Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена є методом, що дозволяє визначити силу та спрямованість взаємозв'язку між двома ознаками або двома ієрархіями ознак. Застосування коефіцієнта рангової кореляції має низку обмежень:

• а) Передбачувана кореляційна залежність повинна мати монотонний характер.
• б) Обсяг кожної з вибірок має бути більшим або дорівнює 5. Для визначення верхньої межі вибірки користуються таблицями критичних значень (Таблиця 3 Додатка). Максимальне значення n таблиці - 40.
• в) Під час проведення аналізу можлива можливість появи великої кількості однакових рангов. У цьому випадку необхідно вносити поправку. Найбільш сприятливим є випадок коли обидві досліджувані вибірки являють собою дві послідовності несупадних значень.

Для проведення кореляційного аналізу дослідник повинен мати дві вибірки, які можуть бути ранжовані, наприклад:

• - Дві ознаки, виміряні в одній і тій же групі піддослідних;
• - дві індивідуальні ієрархії ознак, виявлені у двох піддослідних по одному й тому набору ознак;
• - Дві групові ієрархії ознак;
• - індивідуальна та групова ієрархії ознак.

Розрахунок починаємо з ранжування показників, що вивчаються окремо за кожною з ознак.

Проведемо аналіз випадку з двома ознаками, виміряними в одній і тій же групі випробуваних. Спочатку ранжують індивідуальні значення за першою ознакою, отримані різними випробуваними, а потім індивідуальні значення за другою ознакою. Якщо меншим рангам одного показника відповідають менші ранги іншого показника, а більшим рангам одного показника відповідають більші ранги іншого показника, дві ознаки пов'язані позитивно. Якщо ж більшим рангам одного показника відповідають менші ранги іншого показника, дві ознаки пов'язані негативно. Для знаходження rs визначаємо різниці між рангами (d) по кожному випробуваному. Що менше різниці між рангами, то ближче коефіцієнт рангової кореляції rs буде до «+1». Якщо взаємозв'язок відсутня, то між ними не буде жодної відповідності, отже, rs виявиться близьким до нуля. Чим більше різниці між рангами випробуваних за двома змінними, тим ближче до «-1» буде значення коефіцієнта rs. Таким чином, коефіцієнт рангової кореляції Спірмена є мірою будь-якої монотонної залежності між двома ознаками, що досліджуються.

Розглянемо випадок з двома індивідуальними ієрархіями ознак, виявленими у двох піддослідних по одному й тому набору ознак. У цій ситуації ранжують індивідуальні значення, отримані кожним із двох випробуваних за певною сукупністю ознак. Ознаку з найнижчим значенням необхідно надати перший ранг; ознакою з вищим значенням - другий ранг тощо. Слід звернути особливу увагу на те, щоб усі ознаки були виміряні в тих самих одиницях. Наприклад, неможливо ранжувати показники, якщо вони виражені в різних за «ціною» балах, оскільки неможливо визначити, який із факторів займатиме перше місце за виразністю, доки всі значення не будуть приведені до єдиної шкали. Якщо ознаки, мають низькі ранги в однієї з піддослідних як і мають низькі ранги в іншого, і навпаки, то індивідуальні ієрархії пов'язані позитивно.

У випадку з двома груповими ієрархіями ознак ранжують середньо-групові значення, отримані в двох групах випробуваних за однаковим для досліджуваних груп, набору ознак. Далі слід дотримуватись алгоритму, наведеного у попередніх випадках.

Проведемо аналіз випадку з індивідуальною та груповою ієрархією ознак. Починають з того, що ранжують окремо індивідуальні значення випробуваного та середньо-групові значення за тим же набором ознак, які отримані, за винятком того випробуваного, який не бере участі в середньо-груповій ієрархії, оскільки з нею буде зіставлятися його індивідуальна ієрархія. Рангова кореляція дозволяє оцінити ступінь узгодженості індивідуальної та групової ієрархії ознак.

Розглянемо, як визначається значимість коефіцієнта кореляції у випадках. У разі двох ознак вона визначатиметься обсягом вибірки. Що стосується двома індивідуальними ієрархіями ознак значимість залежить кількості ознак, які входять у ієрархію. У двох останніх випадках значимість обумовлюється числом ознак, що вивчаються, а не чисельністю груп. Таким чином, значимість rs у всіх випадках визначається числом ранжованих значень n.

При перевірці статистичної значущості rs користуються таблицями критичних значень коефіцієнта рангової кореляції, складених різних кількостей ранжируемых значень і різних рівнів значимості. Якщо абсолютна величина rs досягає критичного значення або перевищує його, то кореляція достовірна.

При розгляді першого варіанта (випадок із двома ознаками, виміряними в одній і тій же групі піддослідних) можливі наступні гіпотези.

Н0: Кореляція між змінними x та y не відрізняється від нуля.

Н1: Кореляція між змінними x та y достовірно відрізняється від нуля.

Якщо ми працюємо з будь-яким із трьох випадків, то необхідно висунути іншу пару гіпотез:

Н0: Кореляція між ієрархіями x та y не відрізняється від нуля.

Н1: Кореляція між ієрархіями x та y достовірно відрізняється від нуля.

Послідовність дій під час обчислення коефіцієнта рангової кореляції Спірмена rs така.

• - Визначити, які дві ознаки або дві ієрархії ознак братимуть участь у зіставленні як змінні x та y.
• - Ранжувати значення змінної x, нараховуючи ранг 1 найменшого значення, відповідно до правил ранжування. Помістити ранги у першу колонку таблиці по порядку номерів випробуваних чи ознак.
• - Ранжувати значення змінної y. Помістити ранги у другу колонку таблиці за порядком номерів випробуваних чи ознак.
• - Обчислити різниці d між рангами x та y по кожному рядку таблиці. Результати помістити до наступної колонки таблиці.
• - Обчислити квадрати різниць (d2). Отримані значення помістити до четвертої колонки таблиці.
• – Обчислити суму квадратів різниць? d2.
• - при виникненні однакових рангів обчислити поправки:

де tx – обсяг кожної групи однакових рангів у вибірці x;

ty - обсяг кожної групи однакових рангів у вибірці y.

Обчислити коефіцієнт рангової кореляції залежно від наявності чи відсутності однакових рангів. За відсутності однакових рангів коефіцієнт рангової кореляції rs розрахувати за такою формулою:

За наявності однакових рангів коефіцієнт рангової кореляції rs розрахувати за такою формулою:

де? d2 – сума квадратів різниць між рангами;

Tx і Ty – поправки на однакові ранги;

n - кількість випробуваних чи ознак, що брали участь у ранжируванні.

Визначити за таблицею 3 Додатки критичні значення rs для даної кількості піддослідних n. Достовірна відмінність від нуля коефіцієнта кореляції спостерігатиметься за умови, якщо rs не менше критичного значення.

Призначення рангового коефіцієнта кореляції

Метод рангової кореляції Спірмена дозволяє визначити тісноту (силу) та напрямок кореляційного зв'язку між двома ознакамиабо двома профілями (ієрархіями)ознак.

Опис методу

Для підрахунку рангової кореляції необхідно розташовувати двома рядами значень, які можна проранжированы. Такими рядами значень можуть бути:

1) дві ознаки,виміряні в одній і тій же групі випробуваних;

2) дві індивідуальні ієрархії ознак,виявлені у двох піддослідних за одним і тим же набором ознак (наприклад, особистісні профілі за 16-факторним опитувальником Р. Б. Кеттелла, ієрархії цінностей за методикою Р. Рокіча, послідовності переваг у виборі з кількох альтернатив та ін.);

3) дві групові ієрархії ознак;

4) індивідуальна та груповаієрархії ознак.

Спочатку показники ранжуються окремо за кожною ознакою. Як правило, меншим значенням ознаки нараховується менший ранг.

Розглянемо випадок 1 (дві ознаки).Тут ранжуються індивідуальні значення за першою ознакою, отримані різними випробуваними, а потім індивідуальні значення за другою ознакою.

Якщо дві ознаки пов'язані позитивно, то випробувані, що мають низькі ранги по одному з них, матимуть низькі ранги та по іншому, а випробувані, що мають високі ранги за однією з ознак, матимуть за іншою ознакою також високі ранги. Для підрахунку r s необхідно визначити різниці (d) між рангами, отриманими даним випробуваним за обома ознаками. Потім ці показники d певним чином перетворюються і віднімаються з 1. Чим менше різниці між рангами, тим більше буде r s тим ближче він буде до +1.

Якщо кореляція відсутня, то всі ранги будуть перемішані і між ними не буде відповідності. Формула складена так, що в цьому випадку r s, Виявиться близьким до 0.

У разі негативної кореляції низьким рангам випробуваних за однією ознакою відповідатимуть високі ранги за іншою ознакою, і навпаки.

Чим більший розбіжність між рангами випробуваних за двома змінними, тим ближче r s до -1.

Розглянемо випадок 2 (два індивідуальні профілі).Тут ранжуються індивідуальні значення, отримані кожним із 2-х випробуваним за певним (однаковим їм обох) набору ознак. Перший ранг отримає ознаку з найнижчим значенням; другий ранг - ознака з вищим значенням тощо. Очевидно, що всі ознаки повинні бути виміряні в тих самих одиницях, інакше ранжування неможливо. Наприклад, неможливо проранжувати показники по опитувальнику Кеттелла (16) PF), якщо вони виражені в "сирих" балах, оскільки за різними факторами діапазони значень різні: від 0 до 13, від 0 до 20 і від 0 до 26. Ми не можемо сказати, який з факторів займатиме перше місце за виразністю, поки не наведемо всі значення до єдиної шкали (найчастіше це шкала стін).

Якщо індивідуальні ієрархії двох піддослідних пов'язані позитивно, то ознаки, що мають низькі ранги в одного з них, матимуть низькі ранги і в іншого, і навпаки. Наприклад, якщо в одного випробуваного фактор Е (домінантність) має найнижчий ранг, то в іншого випробуваного він повинен мати низький ранг, якщо в одного випробуваного фактор С (емоційна стійкість) має вищий ранг, то й інший випробуваний повинен мати за цим фактором високий ранг і т.д.

Розглянемо випадок 3 (два групові профілі).Тут ранжуються середньогрупові значення, отримані в 2-х групах випробуваних за певним, однаковим для двох груп, набором ознак. Надалі лінія міркувань така сама, як і в попередніх двох випадках.

Розглянемо випадок 4 (індивідуальний та груповий профілі).Тут ранжуються окремо індивідуальні значення випробуваного і среднегрупповые значення з тієї ж набору ознак, які отримані, зазвичай, крім цього окремого випробуваного - він бере участь у среднегрупповом профілі, з яким зіставлятиметься його індивідуальний профіль. Рангова кореляція дозволить перевірити, наскільки узгоджено індивідуальний та груповий профілі.

У всіх чотирьох випадках значимість отриманого коефіцієнта кореляції визначається за кількістю ранжованих значень N.У першому випадку ця кількість співпадатиме з обсягом вибірки п. У другому випадку кількістю спостережень буде кількість ознак, що становлять ієрархію. У третьому та четвертому випадку N -це також кількість зіставних ознак, а не кількість випробуваних у групах. Детальні пояснення наведено в прикладах.

Якщо абсолютна величина r s досягає критичного значення або перевищує його, кореляція є достовірною.

Гіпотези

Можливі два варіанти гіпотез. Перший відноситься до випадку 1, другий - до трьох інших випадків.

Перший варіант гіпотез

H 0: Кореляція між змінними А та Б не відрізняється від нуля.

H 1: Кореляція між змінними А та Б достовірно відрізняється від нуля.

Другий варіант гіпотез

H 0: Кореляція між ієрархіями А та Б не відрізняється від нуля.

H 1: Кореляція між ієрархіями А та Б достовірно відрізняється від нуля.

Графічне подання методу рангової кореляції

Найчастіше кореляційний зв'язок представляють графічно як хмари точок чи вигляді ліній, що відбивають загальну тенденцію розміщення точок у просторі двох осей: осі ознаки і ознаки Б (див. рис. 6.2).

Спробуємо зобразити рангову кореляцію як двох рядів ранжованих значень, які попарно з'єднані лініями (Рис. 6.3). Якщо ранги за ознакою А і за ознакою Б збігаються, між ними виявляється горизонтальна лінія, якщо ранги не збігаються, то лінія стає похилою. Чим більше розбіжність рангів, тим похилішою стає лінія. Ліворуч на Мал. 6.3 відображена максимально висока позитивна кореляція (r = +1,0) - практично це "сходи". У центрі відображено нульову кореляцію - плетінку з неправильними переплетеннями. Усі ранги тут переплутані. Праворуч відображено максимально високу негативну кореляцію (r s =-1,0) - павутина з правильним переплетенням ліній.

Мал. 6.3. Графічне подання рангової кореляції:

а) висока позитивна кореляція;

б) нульова кореляція;

в) висока негативна кореляція

Обмеженнякоефіцієнта ранговоїкореляції

1. По кожній змінній має бути представлено не менше 5 спостережень. Верхня межа вибірки визначається наявними таблицями критичних значень (табл. XVI додатка 1), а саме N≤40.

2. Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена r s при великій кількості однакових рангів по одній або обох змінних, що зіставляються, дає огрублені значення. В ідеалі обидва корелювані ряди повинні являти собою дві послідовності значень, що не збігаються. У разі, якщо цієї умови не дотримується, необхідно вносити поправку на однакові ранги. Відповідна формула наведена в прикладі 4.

Приклад 1 – кореляціяміж двомаознаками

У дослідженні, що моделює діяльність авіадиспетчера (Одеришев Б.С., Шамова Є.П., Сидоренко Є.В., Ларченко Н.М., 1978), група піддослідних, студентів фізичного факультету ЛДУ проходила підготовку перед початком роботи на тренажері. Випробувані повинні були вирішувати завдання щодо вибору оптимального типу злітно-посадкової смуги для заданого типу літака. Чи пов'язана кількість помилок, допущених випробуваними у тренувальній сесії, з показниками вербального та невербального інтелекту, виміряними за методикою Д. Векслера?

Таблиця 6.1

Показники кількості помилок у тренувальній сесії та показники рівня вербального та невербального інтелекту у студентів-фізиків (N=10)

Спочатку спробуємо відповісти на питання, чи пов'язані між собою показники кількості помилок та вербального інтелекту.

Сформулюємо гіпотези.

H 0: Кореляція між показником кількості помилок у тренувальній сесії та рівнем вербального інтелекту не відрізняється від нуля.

H 1 : Кореляція між показником кількості помилок у тренувальній сесії та рівнем вербального інтелекту статистично значуще відрізняється від нуля.

Далі нам необхідно проранжувати обидва показники, приписуючи меншому значенню менший ранг, потім підрахувати різниці між рангами, які отримав кожен випробуваний за двома змінними (ознаками), і звести ці різниці у квадрат. Зробимо всі необхідні розрахунки у таблиці.

У Табл. 6.2 у першій колонці зліва представлені значення за показником кількості помилок; у наступній колонці – їх ранги. У третій колонці зліва представлені значення за показником вербального інтелекту; у наступному стовпці – їх ранги. У п'ятому зліва представлені різниці d між рангом за змінною А (кількість помилок) та змінною Б (вербальний інтелект). В останньому стовпці представлені квадрати різниць d 2 .

Таблиця 6.2

Розрахунок d 2 для рангового коефіцієнта кореляції Спірмена r s при зіставленні показників кількості помилок та вербального інтелекту у студентів-фізиків (N=10)

Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена підраховується за такою формулою:

де d - різницю між рангами за двома змінними для кожного випробуваного;

N -кількість ранжованих значень, ст. даному випадку кількість випробуваних.

Розрахуємо емпіричне значення r s:

Отримане емпіричне значення г s близько до 0. І все ж визначимо критичні значення r s при N = 10 Табл. XVI Додатки 1:

Відповідь: H0 приймається. Кореляція між показником кількості помилок у тренувальній сесії та рівнем вербального інтелекту не відрізняється від нуля.

Тепер спробуємо відповісти на питання, чи пов'язані між собою показники кількості помилок та невербального інтелекту.

Сформулюємо гіпотези.

H 0: Кореляція між показником кількості помилок у тренувальній сесії та рівнем невербального інтелекту не відрізняється від 0.

H 1: Кореляція між показником кількості помилок у тренувальній сесії та рівнем невербального інтелекту статистично значуще відрізняється від 0.

Результати ранжування та зіставлення рангів представлені в Табл. 6.3.

Таблиця 6.3

Розрахунок d 2 для рангового коефіцієнта кореляції Спірмена r s при зіставленні показників кількості помилок та невербального інтелекту у студентів-фізиків (N=10)

Ми пам'ятаємо, що для визначення значущості r s не має значення, чи є він позитивним чи негативним, важлива лише його абсолютна величина. В даному випадку:

r s емп

Відповідь: H0 приймається. Кореляція між показником кількості помилок у тренувальній сесії та рівнем невербального інтелекту випадкова, r s не відрізняється від 0.

Разом з тим ми можемо звернути увагу на певну тенденцію негативноюзв'язки між цими двома змінними. Можливо, ми змогли б підтвердити її на статистично значущому рівні, якби збільшили обсяг вибірки.

Приклад 2 – кореляція між індивідуальними профілями

У дослідженні, присвяченому проблемам ціннісної реорієнтації, виявлялися ієрархії термінальних цінностей за методикою М. Рокіча у батьків та їх дорослих дітей (Сидоренко Є.В., 1996). Ранги термінальних цінностей, отримані під час обстеження пари мати-дочка (матері – 66 років, дочки – 42 роки) представлені в Табл. 6.4. Спробуємо визначити, як ці ціннісні ієрархії корелюють одна з одною.

Таблиця 6.4

Ранги термінальних цінностей за списком М.Рокича в індивідуальних ієрархіях матері та дочки

Сформулюємо гіпотези.

H 0: Кореляція між ієрархіями термінальних цінностей матері та дочки не відрізняється від нуля.

H 1: Кореляція між ієрархіями термінальних цінностей матері та дочки статистично значно відрізняється від нуля.

Оскільки ранжування цінностей передбачається процедурою дослідження, нам залишається лише підрахувати різниці між рангами 18 цінностей у двох ієрархіях. У 3-му та 4-му стовпцях Табл. 6.4 представлені різниці d і квадрати цих різниць d 2 .

Визначаємо емпіричне значення r s за такою формулою:

де d - різниці між рангами по кожній із змінних, у даному випадку щодо кожної з термінальних цінностей;

N- кількість змінних, які утворюють ієрархію, у разі кількість цінностей.

Для цього прикладу:

По Табл. XVI Додатки 1 визначаємо критичні значення:

Відповідь: H0 відкидається. Приймається H1. Кореляція між ієрархіями термінальних цінностей матері та дочки статистично значуща (р<0,01) и является положительной.

За даними Табл. 6.4 ми можемо визначити, що основні розбіжності припадають на цінності "Щасливе сімейне життя", "Громадське визнання" та "Здоров'я", ранги інших цінностей досить близькі.

Приклад 3 – кореляція між двома груповими ієрархіями

Джозеф Вольпе в книзі, написаній спільно з сином (Wolpe J., Wolpe D., 1981) наводить впорядкований перелік з найбільш часто зустрічаються у сучасної людини "некорисних", за його позначенням, страхів, які не несуть сигнального значення і лише заважають повноцінно жити та діяти. У вітчизняному дослідженні, проведеному М.Е. Раховий (1994) 32 піддослідних мали за 10-бальною шкалою оцінити, наскільки актуальним їм є той чи інший вид страху з переліку Вольпе 3 . Обстежена вибірка складалася зі студентів Гідрометеорологічного та Педагогічного інститутів Санкт-Петербурга: 15 юнаків та 17 дівчат віком від 17 до 28 років, середній вік 23 роки.

Дані, отримані за 10-бальною шкалою, були усереднені за 32 випробуваними, і середні проранжовані. У Табл. 6.5 представлені рангові показники, отримані Дж. Вольпе та М. Е. Рахової. Чи збігаються рангові послідовності 20 видів страху?

Сформулюємо гіпотези.

H 0: Кореляція між упорядкованими переліками видів страху в американській та вітчизняних вибірках не відрізняється від нуля.

H 1: Кореляція між упорядкованими переліками видів страху в американській та вітчизняній вибірках статистично значно відрізняється від нуля.

Всі розрахунки, пов'язані з обчисленням та зведенням у квадрат різниць між рангами різних видів страху у двох вибірках, представлені в Табл. 6.5.

Таблиця 6.5

Розрахунок d для рангового коефіцієнта кореляції Спірмена при зіставленні впорядкованих переліків видів страху в американській та вітчизняній вибірках

Визначаємо емпіричне значення r s:

По Табл. XVI Додатка 1 визначаємо критичні значення г s при N=20:

Відповідь: H0 приймається. Кореляція між упорядкованими переліками видів страху в американській та вітчизняній вибірках не досягає рівня статистичної значущості, тобто значуще не відрізняється від нуля.

Приклад 4 - кореляція між індивідуальним та середньогруповим профілями

Вибірці петербуржців віком від 20 до 78 років (31 чоловік, 46 жінок), врівноваженою за віком таким чином, що особи віком від 55 років становили в ній 50% 4 , пропонувалося відповісти на запитання: "Який рівень розвитку кожного з наведених нижче якостей необхідний для депутата Міських зборів Санкт-Петербурга? (Сидоренко Є.В., Дерманова І.Б., Анісімова О.М., Вітенберг Є.В., Шульга А.П., 1994). Оцінка проводилася за 10-бальною шкалою. Паралельно з цим обстежувалася вибірка з депутатів та кандидатів у депутати до Міських зборів Санкт-Петербурга (n=14). Індивідуальна діагностика політичних діячів і претендентів проводилася за допомогою Оксфордської системи експрес-відеодіагностики за тим же набором особистісних якостей, які вибирали виборці.

У Табл. 6.6 представлені середні значення, отримані для кожного з якостей ввибірці виборців ("еталонний ряд") та індивідуальні значення одного з депутатів Міських зборів.

Спробуємо визначити, наскільки індивідуальний профіль депутата К-ва корелює з еталонним профілем.

Таблиця 6.6

Усереднені еталонні оцінки виборців (п=77) та індивідуальні показники депутата К-ва за 18 особистісними якостями експрес-відеодіагностики

Таблиця 6.7

Розрахунок d 2 для рангового коефіцієнта кореляції Спірмена між еталонним та індивідуальним профілями особистісних якостей депутата

Як видно з табл. 6.6, оцінки виборців та індивідуальні показники депутата варіюють у різних діапазонах. Дійсно оцінки виборців були отримані за 10-бальною шкалою, а індивідуальні показники з експрес-відеодіагностики вимірюються за 20-бальною шкалою. Ранжування дозволяє нам перевести обидві шкали виміру в єдину шкалу, де одиницею виміру буде 1 ранг, а максимальне значення становитиме 18 рангів.

Ранжування, як ми пам'ятаємо, необхідно зробити окремо по кожному ряду значень. В даному випадку доцільно нараховувати більшому значенню менший ранг, щоб одразу можна було побачити, на якому місці за значимістю (для виборців) або за виразністю (у депутата) є та чи інша якість.

Результати ранжирування представлені в Табл. 6.7. Якості перераховані у послідовності, що відображає еталонний профіль.

Сформулюємо гіпотези.

H 0: Кореляція між індивідуальним профілем депутата К-ва та еталонним профілем, побудованим за оцінками виборців, не відрізняється від нуля.

H 1: Кореляція між індивідуальним профілем депутата К-ва та еталонним профілем, побудованим за оцінками виборців, статистично значно відрізняється від нуля. Оскільки в обох порівнюваних рангових рядах присутні

групи однакових рангів, перед підрахунком коефіцієнта рангової

кореляції необхідно внести поправки на однакові ранги Та і Т b :

де а -обсяг кожної групи однакових рангів у ранговому ряду А,

b - обсяг кожної групи однакових рангів у ранговому ряду Ст.

В даному випадку, в ряду А (еталонний профіль) присутня одна група однакових рангів - якості "навчування" і "гуманізм" мають один і той же ранг 12,5; отже, а=2.

T а = (23-2) / 12 = 0,50.

У ряду В (індивідуальний профіль) є дві групи однакових рангів, при цьому b 1 =2 і b 2 =2.

Ta =[(2 3 -2)+(2 3 -2)]/12=1,00

Для підрахунку емпіричного значення rs використовуємо формулу

В даному випадку:

Зауважимо, що якби поправка на однакові ранги нами не вносилася, то величина r s була б лише (на 0,0002) вище:

При великих кількостях однакових рангів зміни г 5 можуть виявитися значно суттєвішими. Наявність однакових рангів означає менший ступінь диференційованого упорядкованих змінних і, отже, меншу можливість оцінити ступінь зв'язку між ними (Суходольський Г.В., 1972, с.76).

По Табл. XVI Додатка 1 визначаємо критичні значення г, при N=18:

Відповідь: Hq відкидається. Кореляція між індивідуальним профілем депутата К-ва та еталонним профілем, що відповідає вимогам виборців, статистично значуща (р<0,05) и является положи­тельной.

З Табл. 6.7 видно, що депутат К-в має нижчий ранг за шкалами Вміння спілкуватися з людьми і більш високі ранги за шкалами Цілеспрямованості та Стійкості, ніж це передбачається виборним зразком. Цими розбіжностями, головним чином, пояснюється деяке зниження отриманого r s .

Сформулюємо загальний алгоритм підрахунку rs.

Коефіцієнт кореляції рангів, запропонований К. Спірменом, відноситься до непараметричних показників зв'язку між змінними, виміряними в ранговій шкалі. При розрахунку цього коефіцієнта не потрібно ніяких припущень про характер розподілу ознак у генеральній сукупності. Цей коефіцієнт визначає ступінь тісноти зв'язку порядкових ознак, які у разі є ранги порівнюваних величин.

Величина коефіцієнта кореляції Спірмена лежить в інтервалі +1 і -1. Він, як і коефіцієнт Пірсона, може бути позитивним та негативним, характеризуючи спрямованість зв'язку між двома ознаками, виміряними у ранговій шкалі.

У принципі число ранжируемых ознак (якостей, чорт тощо.) може бути будь-яким, але процес ранжирування більшого, ніж 20 числа ознак - скрутний. Можливо, що саме тому таблиця критичних значень рангового коефіцієнта кореляції розрахована лише сорока ранжируемых ознак (n< 40, табл. 20 приложения 6).

Ранговий коефіцієнт кореляції Спірмена підраховується за такою формулою:

де n - кількість ранжованих ознак (показників, випробуваних);

D - різниця між рангами по двох змінних для кожного випробуваного;

Сума квадратів різниць рангів.

Використовуючи ранговий коефіцієнт кореляції, розглянемо такий приклад.

приклад: Психолог з'ясовує, як пов'язані між собою індивідуальні показники готовності до школи, отримані до початку навчання у школі у 11 першокласників та їхня середня успішність наприкінці навчального року.

Для вирішення цього завдання було проранжовано, по-перше, значення показників шкільної готовності, отримані під час вступу до школи, і, по-друге, підсумкові показники успішності наприкінці року в тих учнів у середньому. Результати представимо в табл. 13.

Таблиця 13

Підставляємо отримані дані у формулу та проводимо розрахунок. Отримуємо:

Для знаходження рівня значущості звертаємось до табл. 20 додатка 6, в якій наведено критичні значення коефіцієнтів рангової кореляції.

Підкреслимо, що у табл. 20 додатка 6, як і таблиці для лінійної кореляції Пірсона, всі величини коефіцієнтів кореляції дані по абсолютній величині. Тому, знак коефіцієнта кореляції враховується лише за його інтерпретації.

Знаходження рівнів значимості у цій таблиці здійснюється за кількістю n, т. е. за кількістю піддослідних. У нашому випадку n = 11. Для цього числа знаходимо:

0,61 для P 0,05

0,76 для P 0,01

Будуємо відповідну ``вісь значущості'':

Отриманий коефіцієнт кореляції збігся з критичним значенням рівня значимості в 1%. Отже, можна стверджувати, що показники шкільної готовності та підсумкові оцінки першокласників пов'язані позитивною кореляційною залежністю - інакше кажучи, чим вищий показник шкільної готовності, тим краще навчається першокласник. У термінах статистичних гіпотез психолог повинен відхилити нульову (Нгіпотезу про подібність і прийняти альтернативну (Але наявності відмінностей, яка говорить про те, що зв'язок між показниками шкільної готовності та середньою успішністю відрізняється від нуля).

Випадок однакових (рівних) рангів

За наявності однакових рангів формула розрахунку коефіцієнта лінійної кореляції Спірмена буде дещо іншою. У цьому випадку до формули обчислення коефіцієнтів кореляції додаються два нових члени, що враховують однакові ранги. Вони називаються поправками на однакові ранги і додаються до чисельника розрахункової формули.

де n - число однакових рангів у першому стовпці,

k – число однакових рангів у другому стовпці.

Якщо є дві групи однакових рангів, у якомусь стовпці то формула поправки дещо ускладнюється:

де n - число однакових рангів у першій групі стовпця, що ранжується,

k - число однакових рангів у другій групі стовпця, що ранжується. Модифікація формули у випадку така:

приклад: Психолог, використовуючи тест розумового розвитку (ШТУР) проводить дослідження інтелекту у 12 учнів 9 класу. Поруч із, але вимагає вчителів літератури і математики провести ранжування цих учнів за показниками розумового розвитку. Завдання полягає в тому, щоб визначити, як пов'язані між собою об'єктивні показники розумового розвитку (дані ШТУРу) та експертні оцінки вчителів.

Експериментальні дані цієї задачі та додаткові стовпці, необхідні для розрахунку коефіцієнта кореляції Спірмена, представимо у вигляді табл. 14.

Таблиця 14

Оскільки при ранжируванні використовувалися однакові ранги, необхідно перевірити правильність ранжирування у другому, третьому і четвертому стовпцях таблиці. Підсумовування у кожному з цих стовпців дає однакову суму - 78.

Перевіряємо за розрахунковою формулою. Перевірка дає:

У п'ятому та шостому стовпцях таблиці наведено величини різниці рангів між експертними оцінками психолога за тестом ШТУР для кожного учня та величинами експертних оцінок вчителів, відповідно до математики та літератури. Сума величин різниць рангів повинна дорівнювати нулю. Підсумовування величин D в п'ятому і шостому стовпцях дало результат. Отже, віднімання рангів проведено правильно. Подібну перевірку необхідно робити щоразу під час проведення складних видів ранжування.

Перш ніж розпочати розрахунок за формулою, необхідно розрахувати поправки на однакові ранги для другого, третього і четвертого стовпців таблиці.

У нашому випадку у другому стовпці таблиці два однакові ранги, отже, за формулою величина поправки D1 ​​буде:

У третьому стовпці три однакові ранги, отже, за формулою величина поправки D2 буде:

У четвертому стовпці таблиці дві групи по три однакові ранги, отже, за формулою величина поправки D3 буде:

Перш, ніж почати вирішення завдання, нагадаємо, що психолог з'ясовує два питання - як пов'язані величини рангів за тестом ШТУР з експертними оцінками з математики та літератури. Саме тому розрахунок проводиться двічі.

Вважаємо перший ранговий коефіцієнт з урахуванням добавок за формулою. Отримуємо:

Підрахуємо без урахування добавки:

Як бачимо, різниця у величинах коефіцієнтів кореляції виявилася дуже незначною.

Вважаємо другий ранговий коефіцієнт з урахуванням добавок за формулою. Отримуємо:

Підрахуємо без урахування добавки:

І знову, відмінності виявилися дуже незначними. Оскільки кількість учнів у обох випадках однаково, по табл. 20 додатка 6 знаходимо критичні значення при n = 12 одночасно для обох коефіцієнтів кореляції.

0,58 для P 0,05

0,73 для P 0,01

Відкладаємо перше значення на "осі значущості"":

У першому випадку отриманий коефіцієнт рангової кореляції перебуває у зоні значимості. Тому психолог повинен відхилити нульову Нгіпотезу про схожість коефіцієнта кореляції з нулем і прийняти альтернативну Але значну відмінність коефіцієнта кореляції від нуля. Іншими словами, отриманий результат говорить про те, що чим вищі експертні оцінки учнів з тесту ШТУР, тим вищі їх експертні оцінки з математики.

Відкладаємо друге значення на "осі значущості"":

У другому випадку коефіцієнт рангової кореляції знаходиться у зоні невизначеності. Тому психолог може прийняти нульову Нгіпотезу про схожість коефіцієнта кореляції з нулем і відхилити альтернативну Але значну відмінність коефіцієнта кореляції від нуля. У цьому випадку отриманий результат свідчить, що експертні оцінки учнів з тесту ШТУР не пов'язані з експертними оцінками з літератури.

Для застосування коефіцієнта кореляції Спірмена, необхідно дотримуватись наступних умов:

1. Змінні змінні повинні бути отримані в порядковій (ранговій) шкалі, але можуть бути виміряні також у шкалі інтервалів та відносин.

2. Характер розподілу корелюваних величин не має значення.

3. Число змін, що варіюють, в порівнюваних змінних X і Y повинно бути однаковим.

Таблиці визначення критичних значень коефіцієнта кореляції Спірмена (табл. 20 додаток 6) розраховані від числа ознак рівних n = 5 до n = 40 і за більшому числі порівнюваних змінних слід використовувати таблицю для пірсоновского коефіцієнта кореляції (табл. 19 додаток 6). Знаходження критичних значень здійснюється за k = n.