Кругова швидкість планети. Висновок формули першої космічної швидкості

Підстановка в цю формулу числових даних призводить до такого результату:

Повідомити тілу таку величезну швидкість вперше вдалося лише в 1957 р., коли в СРСР під керівництвом С. П. Корольова було запущено перший у світі штучний супутник Землі(скорочено ШСЗ). Запуск цього супутника (рис. 108) - результат визначних досягнень у галузі ракетної техніки, електроніки, автоматичного управління, обчислювальної техніки та небесної механіки.

У 1958 р. на орбіту було виведено перший американський супутник «Експлорер-1», а трохи згодом, у 60-х рр., запуски ШСЗ зробили інші країни: Франція, Австралія, Японія, КНР, Великобританія та інших., причому багато супутники були запущені за допомогою американських ракет-носіїв.
В даний час запуск штучних супутників є звичною справою, і в практиці космічних досліджень вже давно набула широкого поширення міжнародне співробітництво.
Супутники, що запускаються в різних країнах, можуть бути розділені за своїм призначенням на два класи:
1. Науково-дослідні супутники. Вони призначені для вивчення Землі як планети, її верхньої атмосфери, навколоземного космічного простору, Сонця, зірок та міжзоряного середовища.
2. Прикладні супутники. Вони служать задоволенню земних потреб народного господарства. Сюди належать супутники зв'язку, супутники вивчення природних ресурсів Землі, метеорологічні супутники, навігаційні, військові та інших.
До ШСЗ, призначених для польоту людей, відносяться пілотовані кораблі-супутникиі орбітальні станції.
Крім супутників, що працюють на навколоземних орбітах, звертаються навколо Землі і так звані допоміжні об'єкти: останні ступені ракет-носіїв, головні обтічники і деякі інші деталі, що відокремлюються від ШСЗ при виведенні їх на орбіти.
Зауважимо, що через величезний опір повітря поблизу поверхні Землі супутник не може бути запущений надто низько. Наприклад, на висоті 160 км він здатний здійснити лише один оборот, після чого знижується і згоряє в щільних шарах атмосфери. Тому перший штучний супутник Землі, виведений на орбіту на висоті 228 км, проіснував лише три місяці.
Зі збільшенням висоти опір атмосфери зменшується і при h>300 км стає зневажливо малим.
Виникає питання: а що буде, якщо запустити супутник зі швидкістю, більшою за першу космічну? Розрахунки показують, що якщо перевищення незначне, то тіло залишається штучним супутником Землі, але рухається вже не по круговій, а по еліптичноїорбіті. Зі збільшенням швидкості орбіта супутника стає все більш витягнутою, доки нарешті не «розривається», перетворившись на незамкнену (параболічну) траєкторію (рис. 109).

Мінімальна швидкість, яку потрібно повідомити тілу біля поверхні Землі, щоб воно її залишило, рухаючись незамкнутою траєкторією, називається другою космічною швидкістю.
Друга космічна швидкість у √2 рази більша за першу космічну:

За такої швидкості тіло залишає область земного тяжіння і стає супутником Сонця.
Щоб подолати тяжіння Сонця і залишити Сонячну систему, потрібно розвинути ще більшу швидкість. третю космічну. Третя космічна швидкість дорівнює 167 км/с. Маючи приблизно таку швидкість, автоматична міжпланетна станція «Піонер-10» (США) у 1983 р. вперше в історії людства вийшла за межі Сонячної системи і зараз летить у напрямку зірки Барнарда.

Приклади розв'язання задач

Завдання 1. Тіло кидають вертикально нагору зі швидкістю 25 м/с. Визначте висоту підйому та час польоту.

Дано: Рішення:

; 0=0+25. t-5. t 2

; 0 = 25-10. t 1; t 1 = 2,5c; Н=0+25. 2,5-5. 2,5 2 = 31,25 (м)

t-? 5t=25; t=5c

H -? Відповідь: t=5c; Н = 31,25 (м)

Рис. 1. Вибір системи відліку

Спочатку ми маємо вибрати систему відліку. Систему відлікувибираємо пов'язану із землею, початкова точка руху позначена 0. Вертикально вгору спрямована вісь Оу. Швидкість спрямована вгору та збігається у напрямку з віссю Оу. Прискорення вільного падіння спрямоване вниз тієї ж осі.

Запишемо закон руху тіла. Не можна забувати, що швидкість і прискорення величини векторні.

Наступний крок. Зверніть увагу, що кінцева координата, в кінці, коли тіло піднялося на деяку висоту, а потім впало назад на землю, дорівнюватиме 0. Початкова координата також дорівнює 0: 0=0+25. t-5. t 2.

Якщо розв'язати це рівняння, отримаємо час: 5t=25; t=5 с.

Визначимо тепер максимальну висоту підйому. Спочатку визначимо час підйому тіла до верхньої точки. І тому ми використовуємо рівняння швидкості: .

Ми записали рівняння у загальному вигляді: 0 = 25-10. t 1,t 1 = 2,5 c.

Коли ми підставляємо відомі нам значення, отримуємо, що час підйому тіла, час t 1 становить 2,5 с.

Тут хотілося відзначити те, що весь час польоту становить 5 с, а час підйому до максимальної точки 2,5 с. Це означає, що тіло піднімається рівно стільки часу, скільки потім буде падати назад на землю. Тепер скористаємось рівнянням, яке ми вже використовували, – закон руху. І тут замість кінцевої координати ставимо Н, тобто. максимальну висоту підйому: Н=0+25. 2,5-5. 2,5 2 = 31,25 (м).

Зробивши нескладні розрахунки, отримуємо, що максимальна висота підйому тіла складе 31,25 м. Відповідь: t=5c; Н = 31,25 (м).

У разі ми скористалися практично всіма рівняннями, які вивчали щодо вільного падіння.

Завдання 2. Визначте висоту над рівнем Землі, де прискорення вільного падіннязменшується вдвічі.

Дано: Рішення:

R З = 6400 км; ;

.

Н -? Відповідь: Н ≈ 2650 км.

Для вирішення цього завдання нам знадобиться, мабуть, одне єдине дане. Це радіус Землі. Він дорівнює 6400 км.

Прискорення вільного падіннявизначається поверхні Землі наступним выражением: . Це лежить на поверхні Землі. Але варто нам тільки відійти від Землі на велику відстань, прискорення буде визначатися наступним чином: .

Якщо тепер ми розділимо ці величини одна на одну, отримаємо таке: .

Скорочуються постійні величини, тобто. гравітаційна стала і маса Землі, а залишається радіус Землі та висота, і це відношення дорівнює 2.

Перетворюючи тепер отримані рівняння, знаходимо висоту: .

Якщо підставити значення отриману формулу, отримуємо відповідь: Н ≈ 2650 км.

Завдання 3.Тіло рухається дугою радіусом 20 см зі швидкістю 10 м/с. Визначте відцентрове прискорення.

Дано: СІ Рішення:

R=20 см 0,2 м

V=10 м/с

а Ц -? Відповідь: а Ц = .

Формула для обчислення доцентрового прискореннявідома. Підставляючи сюди значення, отримуємо: . У цьому випадку доцентрове прискорення виходить величезним, подивіться на його значення. Відповідь: а Ц =.

Будь-який предмет, будучи підкинутим вгору, рано чи пізно виявляється на земній поверхні, чи це камінь, аркуш паперу чи просте пір'їнка. У той же час, супутник, запущений у космос півстоліття тому, космічна станція або Місяць продовжують обертатися своїми орбітами, ніби на них зовсім не діє нашої планети. Чому так відбувається? Чому Місяцю не загрожує впасти на Землю, а Земля не рухається назустріч Сонцю? Невже на них не діє всесвітнє тяжіння?

Зі шкільного курсу фізики ми знаємо, що всесвітнє тяжіння впливає на будь-яке матеріальне тіло. Тоді логічно буде припустити, що є сила, що нейтралізує дію гравітації. Цю силу прийнято називати відцентровою. Її дію легко відчути, прив'язавши на один кінець нитки невеликий вантаж і розкрутивши його по колу. При цьому чим більше швидкість обертання тим сильніше натяг нитки, а чим повільніше обертаємо ми вантаж тим більше ймовірність, що він впаде вниз.

Таким чином ми наблизилися до поняття «космічна швидкість». У двох словах її можна описати як швидкість, що дозволяє будь-якому об'єкту подолати тяжіння небесного тіла. Як може виступати планета, її чи інша система. Космічна швидкість має кожен об'єкт, який рухається орбітою. До речі, розмір і форма орбіти залежать від величини та напряму швидкості, яку даний об'єкт отримав на момент вимкнення двигунів, та висоти, на якій відбулася дана подія.

Космічна швидкість буває чотирьох видів. Найменша з них – це перша. Це найменша швидкість, яка повинна бути у того, щоб він вийшов на кругову орбіту. Її значення можна визначити за такою формулою:

V1=√µ/r, де

µ - геоцентрична гравітаційна стала (µ = 398603 * 10(9) м3/с2);

r – відстань від точки запуску до центру Землі.

Через те, що форма нашої планети не є ідеальною кулею (на полюсах вона як би трохи плеската), то відстань від центру до поверхні найбільше на екваторі - 6378,1 . 10 (3) м, а найменше на полюсах - 6356,8. 10 (3) м. Якщо взяти середню величину - 6371. 10 (3) м, то отримаємо V1 рівною 7,91 км/с.

Чим більше космічна швидкість перевищуватиме цю величину, тим більше витягнуту форму набуватиме орбіта, віддаляючись від Землі на більшу відстань. У якийсь момент ця орбіта розірветься, набуде форми параболи, і космічний апарат вирушить борознити космічні простори. Для того, щоб залишити планету, у корабля має бути друга космічна швидкість. Її можна розрахувати за формулою V2=√2µ/r. Для нашої планети ця величина дорівнює 112 км/с.

Астрономи давно вже визначили, чому дорівнює космічна швидкість, як перша, так і друга для кожної планети нашої рідної системи. Їх нескладно розрахувати за вищенаведеними формулами, якщо замінити константу µ на ​​твір fM, в якому M - маса небесного тіла, що цікавить, а f - постійна тяжіння (f= 6,673 х 10(-11) м3/(кг х с2).

Третя космічна швидкість дозволить будь-кому подолати тяжіння Сонця та залишити рідну Сонячну систему. Якщо розраховувати її щодо Сонця, то вийде значення 421 км/с. А щоб із Землі вийти на навколосонячну орбіту, знадобиться розігнатися до 16,6 км/с.

Ну і, нарешті, четверта космічна швидкість. З її допомогою можна подолати тяжіння безпосередньо самої галактики. Її величина варіюється в залежності від координат галактики. Для нашого ця величина становить приблизно 550 км/с (якщо розраховувати щодо Сонця).

Міністерство освіти та науки РФ

Державна освітня установа вищої професійної освіти «Санкт-Петербурзький державний університет економіки та фінансів»

Кафедра систем технологій та товарознавства

Доповідь курсу концепції сучасного природознавства на тему «Космічні швидкості»

Виконала:

Перевірив:

м. Санкт-Петербург

Космічні швидкості.

Космічна швидкість (перша v1, друга v2, третя v3 та четверта v4) - це мінімальна швидкість, при якій якесь тіло у вільному русі зможе:

v1 - стати супутником небесного тіла (тобто здатність обертатися орбітою навколо НТ і падати на поверхню НТ).

v2 – подолати гравітаційне тяжіння небесного тіла.

v3 - залишити Сонячну систему, подолавши тяжіння Сонця.

v4 - залишити галактику Чумацький Шлях.

Перша космічна швидкість або Кругова швидкість V1- швидкість, яку необхідно надати об'єкту без двигуна, нехтуючи опором атмосфери та обертанням планети, щоб вивести його на кругову орбіту з радіусом, що дорівнює радіусу планети. Іншими словами, перша космічна швидкість - це мінімальна швидкість, при якій тіло, що рухається горизонтально над поверхнею планети, не впаде на неї, а рухатиметься круговою орбітою.

Для обчислення першої космічної швидкості необхідно розглянути рівність відцентрової сили та сили тяжіння діючих об'єкт на кругової орбіті.

де m - маса об'єкта, M - маса планети, G - гравітаційна стала (6,67259·10-11 м³·кг−1·с−2), - перша космічна швидкість, R - радіус планети. Підставляючи чисельні значення (для Землі M = 5,97 · 1024 кг, R = 6378 км), знайдемо

Першу космічну швидкість можна визначити через прискорення вільного падіння - оскільки g = GM/R?

Друга космічна швидкість (параболічна швидкість, швидкість втікання)- найменша швидкість, яку необхідно надати об'єкту (наприклад, космічному апарату), маса якого зневажливо мала щодо маси небесного тіла (наприклад, планети), для подолання гравітаційного тяжіння цього небесного тіла. Передбачається, що після набуття тілом цієї швидкості воно не отримує негравітаційного прискорення (двигун вимкнений, атмосфера відсутня).

Друга космічна швидкість визначається радіусом та масою небесного тіла, тому вона своя для кожного небесного тіла (для кожної планети) та є його характеристикою. Для Землі друга космічна швидкість дорівнює 112 км/с. Тіло, що має біля Землі таку швидкість, залишає околиці Землі і стає супутником Сонця. Для Сонця друга космічна швидкість становить 6177 км/с.

Параболічною друга космічна швидкість називається тому, що тіла, що мають другу космічну швидкість, рухаються параболою.

Висновок формули:

Для отримання формули другої космічної швидкості зручно звернути завдання - запитати, яку швидкість отримає тіло на поверхні планети, якщо падатиме на неї з нескінченності. Очевидно, що це та швидкість, яку треба надати тілу на поверхні планети, щоб вивести його за межі її гравітаційного впливу.

Запишемо закон збереження енергії

де ліворуч стоять кінетична і потенційна енергії лежить на поверхні планети (потенційна енергія негативна, оскільки точку відліку взято на нескінченності), справа те саме, але у нескінченності (покинуте тіло межі гравітаційного впливу - енергія дорівнює нулю). Тут m – маса пробного тіла, M – маса планети, R – радіус планети, G – гравітаційна постійна, v2 – друга космічна швидкість.

Дозволяючи щодо v2, отримаємо

Між першою та другою космічними швидкостями існує просте співвідношення:

Третя космічна швидкість- мінімально необхідна швидкість тіла без двигуна, що дозволяє подолати тяжіння Сонця та в результаті піти за межі Сонячної системи у міжзоряний простір.

Злітаючи з Землі і найкраще використовуючи орбітальний рух планети космічний апарат може досягти третьої космічної швидкості вже за 16,6 км/с щодо Землі, а за старті із Землі у несприятливому напрямі його потрібно розігнати до 72,8 км/с. Тут для розрахунку передбачається, що космічний апарат набуває цієї швидкості відразу на поверхні Землі і після цього не отримує негравітаційного прискорення (двигуни вимкнені і опір атмосфери відсутня). При найбільш енергетично вигідному старті швидкість об'єкта має бути спрямована швидкості орбітального руху Землі навколо Сонця. Орбіта такого апарату в Сонячній системі є параболою (швидкість зменшується до нуля асимптотично).

Четверта космічна швидкість- мінімально необхідна швидкість тіла без двигуна, що дозволяє подолати тяжіння галактики Чумацький Шлях. Четверта космічна швидкість не постійна всім точок Галактики, а залежить від відстані до центральної маси (для нашої галактики такий є об'єкт Стрілець A*, надмасивна чорна діра). За грубими попередніми розрахунками в районі Сонця четверта космічна швидкість становить близько 550 км/с. Значення сильно залежить не тільки (і не стільки) від відстані до центру галактики, а від розподілу мас речовини по Галактиці, про які поки немає точних даних, зважаючи на те, що видима матерія становить лише малу частину загальної гравітуючої маси, а все інше - прихована маса .

Ми – земляни – звикли, що твердо стоїмо на землі і нікуди не відлітаємо, а якщо підкинемо якийсь предмет у повітря, то він обов'язково впаде на поверхню. Усьому виною створюване нашою планетою гравітаційне поле, яке викривляє простір-час і змушує кинуте убік, наприклад, яблуко летіти по викривленій траєкторії і перетнутися із Землею.

Гравітаційне поле створює навколо себе будь-який об'єкт, і у Землі, що має значну масу, це поле досить сильно. Саме тому будуються потужні багатоступінчасті космічні ракети, які здатні розганяти космічні кораблі до великих швидкостей, які потрібні для подолання гравітації планети. Значення цих швидкостей отримали назви перша і друга космічні швидкості.

Поняття першої космічної швидкості дуже просте - це швидкість, яку необхідно надати фізичному об'єкту, щоб він, рухаючись паралельно космічному тілу, не зміг на нього впасти, але водночас залишався б на постійній орбіті.

Формула знаходження першої космічної швидкості не відрізняється складністю: деV G M- Маса об'єкта;R- Радіус об'єкта;

Спробуйте підставити формулу необхідні значення (G – гравітаційна стала завжди дорівнює 6,67; маса Землі дорівнює 5,97·10 24 кг, та її радіус 6371 км) і знайти першу космічну швидкість нашої планети.

В результаті ми отримаємо швидкість, що дорівнює 7,9 км/с. Але чому, рухаючись саме з такою швидкістю, космічний апарат не падатиме на Землю чи відлітатиме в космічний простір? Відлітати в космос він не буде через те, що ця швидкість поки що занадто мала, щоб подолати гравітаційне поле, а ось на Землю він якраз і падатиме. Але тільки через високу швидкість він весь час «уникатиме» зіткнення із Землею, продовжуючи в той же час своє «падіння» по круговій орбіті, викликаній викривленням простору.

Це цікаво: за таким же принципом працює і Міжнародна Космічна Станція. Космонавти, що знаходяться на ній, весь час проводять у постійному і безперервному падінні, яке не закінчується трагічно внаслідок високої швидкості самої станції, через що та стабільно «промахається» повз Землю. Значення швидкості розраховується з .

Але що робити, якщо ми захочемо, щоб космічний апарат залишив межі нашої планети і не залежав від її гравітаційного поля? Розігнати його до другої космічної швидкості! Отже, друга космічна швидкість – це мінімальна швидкість, яку необхідно надати фізичному об'єкту, щоб він подолав гравітаційне тяжіння небесного тіла та залишив його замкнуту орбіту.

Значення другої космічної швидкості теж залежить від маси і радіусу небесного тіла, тому для кожного об'єкта вона буде своєю. Наприклад, щоб подолати гравітаційне тяжіння Землі, космічному апарату необхідно набрати мінімальну швидкість 11.2 км/сек, Юпітера — 61 км/сек, Сонця — 617,7 км/сек.

Другу космічну швидкість (V2) можна розрахувати, використовуючи таку формулу:

де V– перша космічна швидкість;G– гравітаційна стала;M- Маса об'єкта;R- Радіус об'єкта;

Але якщо відома перша космічна швидкість об'єкта (V1), що досліджується, то завдання полегшується в рази, і друга космічна швидкість (V2) швидко знаходиться за формулою:

Це цікаво: друга космічна формула чорної дірки більше299 792 км/cтобто більше швидкості світла. Саме тому ніщо навіть світло не може вирватися за її межі.

Крім першої та другої комічних швидкостей існують третя та четверта, досягти яких потрібно для того, щоб вийти за межі нашої Сонячної системи та галактики відповідно.

Ілюстрація: bigstockphoto | 3DSculptor

Якщо ви знайшли помилку, будь ласка, виділіть фрагмент тексту та натисніть Ctrl+Enter.

Що таке штучні супутники Землі?

Яке призначення вони мають?

Обчислимо швидкість, яку треба повідомити штучному супутнику Землі, щоб він рухався круговою орбітою на висоті h над Землею.

На великих висотах повітря сильно розріджений і чинить незначний опір тілам, що рухаються в ньому. Тому можна вважати, що на супутник масою m діє лише гравітаційна сила, спрямована до центру Землі (рис. 3.8).

Відповідно до другого закону Ньютона m цс = .

Центрошвидке прискорення супутника визначається формулою де h – висота супутника над поверхнею Землі. Сила ж, що діє на супутник, згідно із законом всесвітнього тяжіння визначається формулою де M – маса Землі.

Підставивши знайдені вирази для F і в рівняння для другого закону Ньютона, отримаємо

З отриманої формули випливає, що швидкість супутника залежить від його відстані від поверхні Землі: чим більша ця відстань, тим з меншою швидкістю він рухатиметься круговою орбітою. Примітно, що ця швидкість не залежить від маси супутника. Отже, супутником Землі може бути будь-яке тіло, якщо йому повідомити певну швидкість. Зокрема, при h = 2000 км = 2106 м швидкість υ ≈ 6900 м/с.

Підставивши у формулу (3.7) значення G та значення величин М та R для Землі, можна обчислити першу космічну швидкість для супутника Землі:

υ 1 ≈ 8 км/с.

Якщо таку швидкість повідомити тілу в горизонтальному напрямку біля поверхні Землі, то за відсутності атмосфери воно стане штучним супутником Землі, що обертається навколо неї круговою орбітою.

Таку швидкість супутникам здатні повідомляти лише досить потужні космічні ракети. Нині навколо Землі звертаються тисячі штучних супутників.

Будь-яке тіло може стати штучним супутником іншого тіла (планети), якщо повідомити необхідну швидкість.

Запитання до параграфу

1. Що визначає першу космічну швидкість?

2. Які сили діють на супутник будь-якої планети?

3. Чи можна сказати, що Земля – супутник Сонця?

4. Виведіть вираз для періоду навернення супутника планети.

5 Як змінюється швидкість космічного корабля при вході до щільних шарів атмосфери? Чи немає протиріч із формулою (3.6)?