Куб у чотиривимірному просторі. Що таке «вимірювання»

Геометрія

Звичайний тессеракт в евклідовому чотиривимірному просторі визначається як опукла оболонка крапок (±1, ±1, ±1, ±1). Інакше кажучи, він може бути представлений у вигляді наступної множини:

Тессеракт обмежений вісьмома гіперплощинами, перетин яких із самим тесерактом задає його тривимірні грані (які є звичайними кубами). Кожна пара непаралельних тривимірних граней перетинається, утворюючи двовимірні грані (квадрати), і таке інше. Остаточно, тессеракт має 8 тривимірними гранями, 24 двовимірними, 32 ребрами та 16 вершинами.

Проекції

На двовимірний простір

Ця структура складна для уяви, але можливо спроектувати тессеракт у двовимірні або тривимірні простори. Крім того, проектування на площину дозволяє легко зрозуміти розташування вершин гіперкубу. Таким чином, можна отримати зображення, які більше не відображають просторові відносини в межах тесеракту, але які ілюструють структуру зв'язку вершин, як у таких прикладах:

Третя картинка демонструє тесеракт в ізометрії щодо точки побудови. Це уявлення представляє інтерес під час використання тесеракта як основи для топологічної мережі, щоб пов'язати багаторазові процесори у паралельних обчисленнях.

На тривимірний простір

Одна з проекцій тесеракта на тривимірний простір являє собою два вкладені тривимірні куби, відповідні вершини яких з'єднані між собою відрізками. Внутрішній та зовнішній куби мають різні розміри у тривимірному просторі, але у чотиривимірному просторі це рівні куби. Для розуміння рівності всіх кубів тессеракта була створена модель тессеракта, що обертається.

Шість усічених пірамід по краях тесеракт - це зображення рівних шести кубів. Однак ці куби для тессеракта – як квадрати (грані) для куба. Але насправді тессеракт можна розділити на нескінченну кількість кубів, як куб – на нескінченну кількість квадратів, або квадрат – на нескінченну кількість відрізків.

Ще одна цікава проекція тесеракта на тривимірне простір є ромбододекаедр з проведеними чотирма його діагоналями, що з'єднують пари протилежних вершин при великих кутах ромбів. При цьому 14 з 16 вершин тессеракта проектуються в 14 вершин ромбододекаедра, а проекції 2 збігаються в його центрі. У такій проекції тривимірне простір зберігаються рівність і паралельність всіх одновимірних, двовимірних і тривимірних сторін.

Стереопара

Стереопара тесеракт зображується як дві проекції на тривимірний простір. Таке зображення тесеракта розроблялося з метою уявити глибину, як четвертий вимір. Стереопара розглядається так, щоб кожне око бачив лише одне з цих зображень, виникає стереоскопічна картина, яка відтворює глибину тесеракту.

Розгортка тесеракту

Поверхня тесеракт може бути розгорнута у вісім кубів (аналогічно тому, як поверхня куба може бути розгорнута в шість квадратів). Існує 261 різна розгортка тесеракту. Розгортки тесеракту можуть бути підраховані нанесенням на граф з'єднаних кутів.

Тессеракт у мистецтві

У Едвін А. «Нова Рівнина Абботта», гіперкуб виступає оповідачем.
В одному епізоді "Пригод Джиммі Нейтрона" "хлопчик-геній" Джиммі винаходить чотиривимірний гіперкуб, ідентичний фолдбоксу з роману "Дорога слави" (1963) Роберта Хайнлайна.
Роберт Е. Хайнлайн згадував гіперкуби, принаймні, у трьох науково-фантастичних оповіданнях. У «Будинку чотирьох вимірів» («Будинок, який збудував Тіл», ) він описав будинок, побудований як розгортка тесеракта, а потім внаслідок землетрусу «що склався» в четвертому вимірі і став «реальним» тесерактом.
У романі «Дорога слави» Хайнлайна описано гіперрозмірну скриньку, яка була зсередини більша, ніж зовні.
Розповідь Генрі Каттнера «Всі теналі борогові» описує розвиваючу іграшку для дітей з далекого майбутнього, за будовою схожу на тессеракт.
У романі Алекса Гарленда () термін «тессеракт» використовується для тривимірної розгортки чотиривимірного гіперкуба, а не гіперкуба безпосередньо. Це метафора, покликана показати, що система, що пізнає, повинна бути ширшою за пізнавану.
Сюжет фільму "Куб 2: Гіперкуб" зосереджується на восьми незнайомцях, спійманих у пастку в "гіперкубі", або мережі пов'язаних кубів.
Телесеріал "Андромеда" використовує тессеракт-генератори як пристрій змови. Вони передусім призначені, щоб керувати простором та часом.
Картина "Розп'яття на хресті" (Corpus Hypercubus) Сальвадора Далі ().
Комікси «Nextwave comic book» зображують засіб пересування, що включає 5 зон тессеракта.
В альбомі Voivod Nothingface одна з композицій названа «У моєму гіперкубі».
У романі Ентоні Пірса «Маршрут Куба» одна з орбітальних місяців Міжнародної асоціації розвитку називається тесерактом, який був стиснутий у 3 виміри.
У серіалі «Школа „Чорна діра“» у третьому сезоні є серія «Тессеракт». Лукас натискає на секретну кнопку і школа починає «складатися як математичний тесеракт».
Термін "тессеракт" і похідний від нього термін "тесувати" зустрічається в повісті Мадлен Л'Енгл "Складка часу".
TesseracT назва британської джент групи.
У серії фільмів Кінематографічний всесвіт Marvel Тессеракт – це ключовий елемент сюжету, космічний артефакт у формі гіперкуба.
У оповіданні Роберта Шеклі «Міс Мишка і четвертий вимір» один письменник-езотерик, знайомець автора, намагається побачити тессеракт, годинами дивлячись на сконструйований ним прилад: кулю на ніжці з застромленими стрижнями, на які насаджені куби, обклеєні всіма поспіль езотеричними символами. У оповіданні згадується праця Хінтона.
У фільмах Перший месник, месники. Тессеракт-енергія всесвіту

Інші назви

Гексадекахорон (англ. Hexadecachoron)
Октохорон (англ. Octachoron)
Тетракуб
4-Куб
Гіперкуб (якщо не визначається кількість вимірювань)

Примітки

Література

Charles H. Хінтон. Fourth Dimension, 1904. ISBN 0-405-07953-2
Martin Gardner, Mathmatical Carnival, 1977. ISBN 0-394-72349-X
Ian Stewart, Concepts of Modern Mathematics, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Посилання

Російською мовою

Програма Transformator4D. Формування моделей тривимірних проекцій чотиривимірних об'єктів (зокрема і Гіперкубу).
Програма, що реалізує побудову тесеракта і його афінні перетворення, з вихідниками на С++.

Англійською мовою

Еволюція людського мозку проходила у тривимірному просторі. Тому нам складно уявити собі простору з розмірністю понад три. Фактично людський мозок не може уявити геометричні об'єкти з розмірністю більше трьох. І в той же час ми легко уявляємо собі геометричні об'єкти з розмірністю не тільки три, але і з розмірністю два і один.

Відмінність і аналогія між одновимірним і двовимірним просторами, а також відмінність і аналогія між двовимірним і тривимірним просторами дозволяють нам трохи відкрити ширму таємничості, яка відгороджує нас від просторів більшої розмірності. Щоб зрозуміти, як використовується ця аналогія, розглянемо дуже простий чотиривимірний об'єкт – гіперкуб, тобто чотиривимірний куб. Нехай для визначеності, скажімо, ми хочемо вирішити конкретне завдання, а саме, порахувати кількість квадратних граней чотиривимірного куба. Весь розгляд далі буде дуже несуворим, без усіляких доказів, суто за аналогією.

Щоб зрозуміти, як будується гіперкуб із звичайного куба, треба спочатку подивитися, як будується звичайний куб із звичайного квадрата. Для оригінальності викладу цього матеріалу будемо тут звичайний квадрат називати СубКубом (і не плутатимемо його з суккубом).

Щоб побудувати куб із субкуба, треба протягнути субкуб у напрямку перпендикулярному до площини субкуба у напрямку третього виміру. При цьому з кожної сторони первісного субкуба виросте субкуб, який є бічною двовимірною гранню куба, які обмежать з чотирьох сторін тривимірний об'єм куба, по дві перпендикулярно кожному напрямку в площині субкуба. І вздовж нової третьої осі теж є два субкуби, що обмежують тривимірний об'єм куба. Це та двовимірна грань, де спочатку знаходився наш субкуб і та двовимірна грань куба, куди субкуб прийшов наприкінці будівництва куба.

Те, що Ви зараз прочитали, викладено дуже докладно і з масою уточнень. І не просто. Зараз ми зробимо такий фокус, замінимо у попередньому тексті деякі слова формально таким чином:
куб -> гіперкуб
субкуб -> куб
площина -> обсяг
третього -> четвертого
двовимірної -> тривимірної
чотирьох -> шести
тривимірний -> чотиривимірний
дві -> три
площині -> просторі

В результаті отримуємо наступний осмислений текст, який вже не здається надто докладним.

Щоб побудувати гіперкуб із куба, треба протягнути куб у напрямку перпендикулярному об'єму куба у напрямку четвертого виміру. При цьому з кожної сторони первісного куба виросте куб, який є бічною тривимірною гранню гіперкуба, які обмежать з шести сторін чотиривимірний об'єм гіперкуба, по три перпендикулярно кожному напрямку в просторі куба. І вздовж нової четвертої осі також є два куби, що обмежують чотиривимірний обсяг гіперкуба. Це та тривимірна грань, де спочатку був наш куб і та тривимірна грань гіперкуба, куди куб прийшов під кінець будівництва гіперкуба.

Чому в нас така впевненість, що ми отримали правильний опис побудови гіперкубу? Та тому що такою ж формальною заміною слів ми отримуємо опис побудови куба з опису побудови квадрата. (Перевірте це самі.)

Ось тепер зрозуміло, що якщо з кожної сторони куба має вирости ще один тривимірний куб, значить, з кожного ребра початкового куба має вирости грань. Усього у куба ребер 12, отже, з'явиться додатково 12 нових граней (субкубів) у тих 6 кубів, які обмежують чотиривимірний об'єм по трьох осях тривимірного простору. І залишилися ще два куби, які обмежують цей чотиривимірний об'єм знизу та зверху вздовж четвертої осі. У кожному із цих кубів є по 6 граней.

Разом отримуємо, що гиперкуб має 12+6+6=24 квадратних граней.

На наступному малюнку показано логічну будову гіперкуба. Це як би проекція гіперкуба на тривимірний простір. При цьому виходить тривимірний каркас із ребер. На малюнку, звісно, Ви бачите проекцію цього каркаса ще й на площину.

На цьому каркасі внутрішній куб це як би початковий куб, з якого почалося побудова і обмежує чотиривимірний об'єм гіперкуба по четвертій осі знизу. Ми цей початковий куб простягаємо вгору вздовж четвертої осі виміру і він переходить у зовнішній куб. Отже, зовнішній і внутрішній куби з цього малюнка обмежують гіперкуб по четвертій осі вимірювання.

А між цими двома кубами видно ще 6 нових кубів, які стикаються загальними гранями з першими двома. Ці шість кубів обмежують наш гіперкуб по трьох осях тривимірного простору. Як бачите, вони стикаються не лише з першими двома кубами, які на цьому тривимірному каркасі внутрішній та зовнішній, але вони ще стикаються один з одним.

Можна прямо на малюнку порахувати і переконатися, що гіперкуб дійсно має 24 грані. Але виникає таке питання. Цей каркас гіперкуба у тривимірному просторі заповнений вісьмома тривимірними кубами без жодних просвітів. Щоб із цієї тривимірної проекції гіперкуба зробити справжній гіперкуб, треба вивернути цей каркас навиворіт так, щоб усі 8 кубів обмежували 4-мірний об'єм.

Робиться це так. Запрошуємо в гості мешканця чотиривимірного простору та просимо його допомогти нам. Він вистачає внутрішній куб цього каркаса і зрушує його у напрямку четвертого виміру, який перпендикулярний нашому тривимірному простору. Ми в нашому тривимірному просторі сприймаємо це так, начебто весь внутрішній каркас зник і залишився тільки каркас зовнішнього куба.

Далі наш чотиривимірний помічник пропонує свою допомогу в пологових будинках по безболісних пологах, але наших вагітних жінок лякає перспектива того, що немовля просто зникне з живота і опиниться в паралельному тривимірному просторі. Тому чотиримерцю ввічливо відмовляють.

А ми спантеличуємося питанням, чи не розклеїлися деякі з наших кубів при вивертанні каркасу гіперкубу навиворіт. Адже якщо якісь тривимірні куби, що оточують гіперкуб, стикаються своїми гранями з сусідами на каркасі, то вони також стикатимуться цими ж гранями, якщо чотиримерець виверне каркас навиворіт.

Знову звернемося до аналогії з просторами меншої розмірності. Порівняйте зображення каркаса гіперкуба з проекцією тривимірного куба на площину, показану на наступному малюнку.

Мешканці двовимірного простору побудували на площині каркас проекції куба на площину та запросили нас, тривимірних мешканців, вивертати цей каркас навиворіт. Ми беремо чотири вершини внутрішнього квадрата і зсуваємо їх перпендикулярно до площини. Двовимірні жителі у своїй бачать повне зникнення всього внутрішнього каркаса, і вони залишається лише каркас зовнішнього квадрата. При такій операції всі квадрати, які стикалися своїми ребрами, продовжують, як і раніше, торкатися тими самими ребрами.

Тому ми сподіваємося, що і логічна схема гіперкуба також не буде порушена при вивертанні каркаса гіперкубу навиворіт, а кількість квадратних граней гіперкуба при цьому не збільшиться і буде як і дорівнює 24. Це, звичайно ж, ніякий не доказ, а суто здогад за аналогією .

Після всього прочитаного тут, Ви вже легко зможете намалювати логічні каркаси п'ятивимірного куба і підрахувати, яке у нього число вершин, ребер, граней, кубів і гіперкубів. Це зовсім не важко.

τέσσαρες ἀκτίνες - чотири промені) - 4-мірний Гіперкуб- аналог у 4-мірному просторі.

Зображення є проекцією чотиривимірного куба на тривимірний простір.

Узагальнення куба на випадки з числом вимірів, більшим, ніж 3, називається гіперкубом або (en: measure polytopes). Формально гіперкуб визначається як чотири рівні відрізки.

Ця стаття в основному описує 4-мірний гіперкубзваний тесеракт.

Популярний опис

Спробуємо уявити собі, як виглядатиме гіперкуб, не виходячи з нашого тривимірного.

В одновимірному «просторі» - на лінії - виділимо АВ довжиною L. На двовимірній на відстані L від АВ намалюємо паралельний відрізок DC і з'єднаємо їх кінці. Вийде квадрат ABCD. Повторивши цю операцію із площиною, отримаємо тривимірний куб ABCDHEFG. А зсунувши куб у четвертому вимірі (перпендикулярно першим трьом!) на відстань L, ми отримаємо гіперкуб.

Одновимірний відрізок АВ служить гранню двовимірного квадрата ABCD, квадрат - стороною куба ABCDHEFG, який, своєю чергою, буде стороною чотиривимірного гіперкуба. Відрізок прямий має дві граничні точки, квадрат – чотири вершини, куб – вісім. У чотиривимірному гіперкубі, таким чином, виявиться 16 вершин: 8 вершин вихідного куба і 8 зрушеного в четвертому вимірі. Він має 32 ребра - по 12 дають початкове і кінцеве положення вихідного куба, і ще 8 ребер "намалюють" вісім його вершин, що перемістилися в четвертий вимір. Ті ж міркування можна виконати і для граней гіперкуба. У двовимірному просторі вона одна (сам квадрат), у куба їх 6 (по дві грані від квадрата, що перемістився, і ще чотири опишуть його сторони). Чотиривимірний гіперкуб має 24 квадратні грані - 12 квадратів вихідного куба у двох положеннях та 12 квадратів від дванадцяти його ребер.

Візьмемо дротяний куб ABCDHEFG і подивимось на нього одним оком з боку грані. Ми побачимо і можемо намалювати на площині два квадрати (ближню та далеку його грані), з'єднані чотирма лініями – бічними ребрами. Аналогічним чином чотиривимірний гіперкуб у просторі трьох вимірів буде виглядати як два кубічні «ящики», вставлені один в одного і з'єднані вісьмома ребрами. При цьому самі "ящики" - тривимірні грані - проектуватимуться на "наш" простір, а лінії, що їх з'єднують, простягнуться в четвертому вимірі. Можна спробувати уявити собі куб над проекції, а просторовому зображенні.

Подібно до того, як тривимірний куб утворюється квадратом, зрушеним на довжину грані, куб, зрушений у четвертий вимір, сформує гіперкуб. Його обмежують вісім кубів, які в перспективі виглядатимуть як досить складна фігура. Її частина, що залишилася в нашому просторі, намальована суцільними лініями, а те, що пішло в гіперпростір, пунктирними. Сам же чотиривимірний гіперкуб складається з нескінченної кількості кубів, подібно до того, як тривимірний куб можна «нарізати» на нескінченну кількість плоских квадратів.

Розрізавши вісім граней тривимірного куба, можна розкласти його на плоску фігуру - розгортку. Вона матиме по квадрату з кожного боку вихідної грані плюс ще один - грань, протилежну їй. А тривимірна розгортка чотиривимірного гіперкуба складатиметься з вихідного куба, шести кубів, що «виростають» із нього, плюс ще одного – кінцевої «гіперграні».

Властивості тессеракта являють собою продовження властивостей геометричних фігур меншої розмірності в 4-мірний простір, представлених у таблиці нижче.

Всесвіт чотирьох вимірів, або чотирьох координат, так само незадовільний, як трьох. Можна сказати, що ми не маємо всіх даних, необхідних для побудови всесвіту, оскільки ні три координати старої фізики, ні чотири координати нової не достатні для опису, всьогорізноманіття явищ у всесвіті.

Розглянемо по порядку "куби" різних розмірностей.

Одномірним кубом на прямій є відрізок. Двовимірним – квадрат. Кордон квадрата складається з чотирьох точок - вершині чотирьох відрізків - ребер.Таким чином, квадрат має на межі елементи двох типів: крапки та відрізки. Кордон тривимірного куба містить елементи трьох типів: вершини - їх 8, ребра (відрізки) -їх 12 і грані (квадрати) -їх 6. Одновимірний відрізок АВ служить гранню двовимірного квадрата ABCD, квадрат - стороною куба ABCDHEFG, який, у свою чергу, буде стороною чотиривимірного гіперкуба.

У чотиривимірному гіперкубі, таким чином, виявиться 16 вершин: 8 вершин вихідного куба і 8 зрушеного в четвертому вимірі. Він має 32 ребра - по 12 дають початкове і кінцеве положення вихідного куба, і ще 8 ребер "намалюють" вісім його вершин, що перемістилися в четвертий вимір. Ті ж міркування можна виконати і для граней гіперкуба. У двовимірному просторі вона одна (сам квадрат), у куба їх 6 (по дві грані від квадрата, що перемістився, і ще чотири опишуть його сторони). Чотиривимірний гіперкуб має 24 квадратні грані - 12 квадратів вихідного куба у двох положеннях та 12 квадратів від дванадцяти його ребер.

Розмір куба	Розмірність кордону
Розмір куба

2 квадрат

4 тесеракт

Координати учотиривимірному просторі.

Точка пряма визначається як число, точка площини як пара чисел, точка тривимірного простору як трійка чисел. Тому цілком природно побудувати геометрію чотиривимірного простору, визначивши точку цього уявного простору як четвірку чисел.

Двовимірною гранню чотиривимірного куба називається безліч точок, для яких дві якісь координати можуть набувати різноманітних значень від 0 до 1, а дві інші постійні (рівні або 0, або 1).

Тривимірною гранню Чотиривимірний куб називається безліч точок, у яких три координати приймають всі можливі значення від 0 до 1, а одна постійна (рівна або 0, або 1).

Розгортки кубів різних розмірів.

Беремо відрізок, з усіх боків помістимо по відрізку, і ще один прикріпимо до будь-якого, даному випадкудо правого відрізку.

Отримали розгортку квадрата.

Беремо квадрат, з усіх боків помістимо квадратом, ще один прикріпимо до будь-якого, в даному випадку до нижнього квадрата.

Це розгортка тривимірного куба.

Чотиривимірний куб

Беремо куб, з усіх боків помістимо по кубу, ще один прикріпимо до будь-якого, нижнього куба.

Розгортка чотиривимірного куба

Уявімо, що чотиривимірний куб зроблений з дроту і в вершині (1; 1; 1; 1) сидить мурашка, тоді з однієї вершини в іншу мураху доведеться повзти по ребрах.

Запитання: по скільки ребрах йому доведеться повзти, щоб потрапити у вершину (0; 0; 0; 0)?

По 4 ребрах, тобто вершину (0; 0; 0; 0) - вершина 4 порядку, пройшовши по 1 ребру він може потрапити у вершину, що має одну з координат 0, це вершина 1 порядку, пройшовши по 2 ребрах він може потрапити в вершини де 2 нуля, це вершини 2 порядку, таких вершин 6, пройшовши по 3 ребрах, він потрапить у вершини у яких 3 координати нуль, це вершини третього порядку.

Існують інші куби в багатовимірному просторі. Крім тесеракта можна побудувати куби з великою кількістю вимірювань. Моделью п'ятивимірного куба є пентеракт. Пентеракт має 32 вершини, 80 ребер, 80 граней, 40 кубів та 10 тесеракт.

Художники, режисери, скульптори, вчені по-різному становлять багатовимірний куб. Наведемо деякі приклади:

Багато письменників-фантастів описують у своїх творах тессеракт. Наприклад, Роберт Енсон Хайнлайн (1907–1988) згадував гіперкуби у принаймні трьох з його науково-популярних оповідань. У «Будинку чотирьох вимірів» він описав будинок, збудований як розгортка тесеракту.

Сюжет фільму «Куб-2» зосереджується на восьми незнайомцях, спійманих у пастку у гіперкубі.

« Розп'яття» Сальвадора Дали 1954 (1951) рік. Сюрреалізм Далі шукав точок дотику нашої реальності та потойбічного, зокрема, 4-мірного світу. Тому, з одного боку, разюче, а, з іншого, нічого дивного в тому, що геометрична фігура з кубиків, що утворює християнський хрест, є зображенням 3-мірної розгортки 4-мірного куба або тесеракта.

21 жовтня на математичному факультеті Університету штату Пенсільванія відбулося відкриття незвичайної скульптури під назвою "Октакуб". Вона є зображенням чотиривимірного геометричного об'єкта в тривимірному просторі. На думку автора скульптури, професора Адріана Окнеану, такої красивої фігури такого роду у світі не існувало, ні віртуально, ні фізично, хоча тривимірні проекції чотиривимірних фігур виготовлялися й раніше.

Взагалі математики легко оперують з чотири-, п'яти-і ще багатовимірнішими об'єктами, проте зобразити їх у тривимірному просторі неможливо. «Октакуб», як і всі подібні постаті, не є справді чотиривимірним. Його можна порівняти з картою – проекцією тривимірної поверхні земної кулі на плоский аркуш паперу.

Тривимірна проекція чотиривимірної фігури була одержана Окнеану методом радіальної стереографії за допомогою комп'ютера. При цьому було збережено симетрію вихідної чотиривимірної фігури. Скульптура має 24 вершини та 96 граней. У чотиривимірному просторі грані фігури прямі, але у проекції вони викривлені. Кути між гранями у тривимірної проекції і вихідної фігури однакові.

"Октакуб" був виготовлений з нержавіючої сталі в інженерних майстернях Університету штату Пенсільванія. Встановлено скульптуру у відремонтованому корпусі імені Макалістера математичного факультету.

Багатомірний простір цікавив багатьох вчених, таких як Рене Декарт, Герман Мінковський. У наші дні йде збільшення знань з цієї теми. Це допомагає математикам, дослідникам та винахідникам сучасності у досягненні їх цілей та розвитку науки. Крок у багатовимірний простір - це крок у нову більш розвинену епоху людства.

Що таке гіперкуб та чотиривимірний простір

У нашому звичному просторі три виміри. З геометричної точки зору це означає, що в ньому можна вказати три взаємно-перпендикулярні прямі. Тобто для будь-якої прямої можна знайти другу, перпендикулярну до першої, а для пари можна знайти третю пряму, перпендикулярну до двох перших. Знайти четверту пряму, перпендикулярну до трьох наявних, вже не вдасться.

Чотиривимірний простір відрізняється від нашого лише тим, що в ньому є ще один додатковий напрямок. Якщо у вас вже є три взаємно перпендикулярні прямі, то ви можете знайти четверту, таку, що вона буде перпендикуляра всім трьом.

Гіперкуб це просто куб у чотиривимірному просторі.
Чи можна уявити чотиривимірний простір та гіперкуб?

Це питання з рідні питання: «Чи можна уявити Тайну Вечерю, подивившись на однойменну картину (1495-1498) Леонардо да Вінчі (1452-1519)?»

З одного боку, ви звичайно не уявите те, що бачив Ісус (він сидить обличчям до глядача), тим більше ви не відчуєте запаху саду за вікном і смаку їжі на столі, не почуєте співу птахів... Ви не отримаєте повного уявлення про те, що відбувалося. того вечора, але не можна сказати, що ви не дізнаєтеся нічого нового і що картина не становить жодного інтересу.

Аналогічна ситуація і з питанням про гіперкуб. Цілком уявити його не можна, але можна наблизитися до розуміння, яким він є.
Побудова гіперкубу
0-мірний куб

Почнемо з початку – з 0-мірного куба. Цей куб містить 0 взаємно перпендикулярних граней, тобто це просто точка.

1-мірний куб

В одновимірному просторі ми маємо лише один напрямок. Зсуваємо точку в цьому напрямку та отримуємо відрізок.

Це одновимірний куб.
2-мірний куб

У нас з'являється другий вимір, зрушуємо наш одномірний куб (відрізок) у напрямку другого виміру та отримуємо квадрат.

Це куб у двовимірному просторі.
3-мірний куб

З появою третього виміру чинимо аналогічно: зрушуємо квадрат і отримуємо звичайний тривимірний куб.

4-мірний куб (гіперкуб)

Тепер у нас з'явився четвертий вимір. Тобто у нашому розпорядженні є напрямок, перпендикулярний всім трьом попереднім. Скористаємося ним так само. Чотиривимірний куб виглядатиме ось так.

Звичайно, тривимірний і чотиривимірний куби не можна зобразити на двовимірній площині екрану. Те, що намалював я – це проекції. Про проекції ми поговоримо трохи пізніше, а поки що трохи голих фактів і цифр.
Кількість вершин, ребер, граней
Характеристики кубів різної розмірності
1-розмірність простору
2-кількість вершин
3-кількість ребер
4-кількість граней

0 (крапка) 1 0 0
1 (відрізок) 2 1 2 (точки)
2 (квадрат) 4 4 4 (відрізки)
3 (куб) 8 12 6 (квадрати)
4 (гіперкуб) 16 32 8 (куби)
N (загальна формула) 2N N·2N-1 2·N

Зверніть увагу, що межею гіперкуба є наш звичайний тривимірний куб. Якщо уважно подивитися на малюнок гіперкуба, то можна знайти вісім кубів.
Проекції та зір мешканця чотиривимірного простору
Декілька слів про зір

Ми живемо у тривимірному світі, але бачимо його двовимірним. Це пов'язано з тим, що сітківка наших очей розташована в площині, що має лише два виміри. Саме тому ми здатні сприймати двовимірні картини та знаходити їх схожими на реальність. (Звичайно, завдяки акомодації, око може оцінити відстань до об'єкта, але це вже побічне явище, пов'язане з оптикою, вбудованою в наше око.)

Очі мешканця чотиривимірного простору повинні мати тривимірну сітківку. Така істота може відразу побачити тривимірну фігуру повністю: всі її межі та начинки. (Так само ми можемо побачити двовимірну фігуру, всі її грані і начинки.)

Таким чином, за допомогою наших органів зору ми не здатні сприйняти чотиривимірний куб так, як його сприймав би мешканець чотиривимірного простору. На жаль. Залишається тільки сподіватися на уявний погляд і фантазію, які, на щастя, не мають фізичних обмежень.

Проте, зображуючи гіперкуб на площині, я змушений робити його проекцію на двовимірний простір. Зважайте на цю обставину, при вивченні малюнків.
Перетину ребер

Звичайно, ребра гіперкуба не перетинаються. Перетини з'являються лише на малюнках. Втім, це не повинно викликати подиву, адже ребра звичайного куба на малюнках теж перетинаються.
Довжини ребер

Всі грані і ребра чотиривимірного куба рівні. На малюнку вони виходять не рівними тільки тому, що розташовані під різними кутами напряму погляду. Однак можна розгорнути гіперкуб так, що всі проекції матимуть однакову довжину.

До речі, на цьому малюнку виразно видно вісім кубів, які є гранями гіперкубу.
Гіперкуб усередині порожній

У це важко повірити, але між кубами, що обмежують гіперкуб, міститься деякий простір (фрагмент чотиривимірного простору).

Щоб це краще зрозуміти, розглянемо двовимірну проекцію звичайного тривимірного куба (я спеціально зробив її дещо схематичною).

Чи можна по ній здогадатися, що всередині куба є певний простір? Так, але тільки застосувавши уяву. Око цього простору не бачить. Це тому, що ребра, які у третьому вимірі (яке не можна зобразити на плоскому малюнку), тепер перетворилися на відрізки, що у площині малюнка. Вони більше не забезпечують обсягу.

Квадрати, що обмежують простір куба, наклалися один на одного. Але можна уявити, що у вихідній фігурі (тривимірному кубі) ці квадрати розташовувалися в різних площинах, а не один поверх іншого в одній площині, як це вийшло на малюнку.

Так само справа і з гіперкубом. Куби-грані гіперкуба насправді не накладаються, як це здається нам на проекції, а розташовуються у чотиривимірному просторі.
Розгортки

Отже, мешканець чотиривимірного простору може побачити тривимірний об'єкт одночасно з усіх боків. Чи можемо одночасно з усіх боків побачити тривимірний куб? Оком – ні. Але люди вигадали спосіб, як зобразити на плоскому малюнку всі грані тривимірного куба одночасно. Таке зображення називається розгорткою.
Розгортка тривимірного куба

Як утворюється розгортка тривимірного куба, всі напевно знають. Цей процес показано на анімації.

Для наочності краю граней куба зроблені напівпрозорими.

Слід зазначити, що ми здатні сприйняти цю двовимірну картинку лише завдяки уяві. Якщо розглянути фази розгортання з суто двомірної точки зору, то процес здаватиметься дивним і зовсім не наочним.

Він виглядає, як поступова поява спершу контурів спотворених квадратів, а потім їхнє розповзання на свої місця з одночасним прийняттям необхідної форми.

Якщо дивитися на куб, що розгортається в напрямку однієї з його граней (з цієї точки зору куб виглядає як квадрат), то процес утворення розгортки ще менш наочний. Все виглядає як виповзання квадратів із початкового квадрата (не розгорнутого куба).

Але не наочна розгортка тільки для очей. Саме завдяки уяві з неї можна отримати багато інформації.
Розгортка чотиривимірного куба

Зробити анімований процес розгортання гіперкуба хоч наочним просто неможливо. Але цей процес можна уявити. (Для цього треба подивитися на нього очима чотиривимірної істоти.)

Розгортка виглядає так.

Тут видно всі вісім кубів, що обмежують гіперкуб.

Однаковими квітами пофарбовані грані, які мають поєднатися при згортанні. Сірими залишені грані для яких парних не видно. Після згортки верхня грань верхнього куба повинна поєднатися з нижньою гранню нижнього куба. (Аналогічно згортається розгортка тривимірного куба.)

Зверніть увагу, що після згортки всі грані восьми кубиків прийдуть у дотик, замкнувши гіперкуб. І нарешті, представляючи процес згортання, не забувайте, що при згортанні відбувається не накладення кубів, а обертання ними якоїсь (гіперкубічної) чотиривимірної області.

Сальвадор Далі (1904-1989) багато разів зображував розп'яття, а хрести фігурують у багатьох його картинах. На картині "Розп'яття" (1954) використовується розгортка гіперкуба.
Простір-час та евклідовий чотиривимірний простір

Сподіваюся, що вам вдалося уявити гіперкуб. Але чи вдалося вам наблизитися до розуміння, як влаштовано чотиривимірний простір-час у якому ми живемо? На жаль, не зовсім.

Тут ми говорили про евклідове чотиривимірне простір, але простір-час має зовсім інші властивості. Зокрема, при будь-яких поворотах відрізки залишаються завжди нахилені до осі часу або під кутом менше 45 градусів або під кутом більше 45 градусів.

ДЖЕРЕЛО 2

Тессеракт – чотиривимірний гіперкуб, аналог куба у чотиривимірному просторі. Згідно з Оксфордським словником, слово "tesseract" було придумано і почало використовуватися в 1888 році Чарльзом Говардом Хінтоном (1853-1907) в його книзі "Нова ера думки". Пізніше деякі люди назвали ту саму постать «тетракубом».

Спробуємо уявити, як виглядатиме гіперкуб, не виходячи з тривимірного простору.
В одновимірному «просторі» - на лінії - виділимо відрізок АВ довжиною L. На двовимірній площині на відстані L від АВ намалюємо паралельний відрізок DC і з'єднаємо їх кінці. Вийде квадрат ABCD. Повторивши цю операцію із площиною, отримаємо тривимірний куб ABCDHEFG. А зсунувши куб у четвертому вимірі (перпендикулярно першим трьом) на відстань L, ми отримаємо гіперкуб ABCDEFGHIJKLMNOP.

Аналогічним чином можна продовжити міркування для гіперкубів більшої кількості вимірювань, але набагато цікавіше подивитися, як для нас, мешканців тривимірного простору, виглядатиме чотиривимірний гіперкуб. Скористаємося для цього вже знайомим методом аналогій.
Візьмемо дротяний куб ABCDHEFG і подивимось на нього одним оком з боку грані. Ми побачимо і можемо намалювати на площині два квадрати (ближню та далеку його грані), з'єднані чотирма лініями – бічними ребрами. Аналогічним чином чотиривимірний гіперкуб у просторі трьох вимірів буде виглядати як два кубічні «ящики», вставлені один в одного і з'єднані вісьмома ребрами. При цьому самі "ящики" - тривимірні грані - проектуватимуться на "наш" простір, а лінії, що їх з'єднують, простягнуться в четвертому вимірі. Можна спробувати уявити собі куб над проекції, а просторовому зображенні.

Подібно до того, як тривимірний куб утворюється квадратом, зрушеним на довжину грані, куб, зрушений у четвертий вимір, сформує гіперкуб. Його обмежують вісім кубів, які в перспективі виглядатимуть як досить складна фігура. Її частина, що залишилася в нашому просторі, намальована суцільними лініями, а те, що пішло в гіперпростір, пунктирними. Сам же чотиривимірний гіперкуб складається з нескінченної кількості кубів, подібно до того, як тривимірний куб можна «нарізати» на нескінченну кількість плоских квадратів.

Розрізавши шість граней тривимірного куба, можна розкласти в плоску фігуру - розгортку. Вона матиме по квадрату з кожного боку вихідної грані плюс ще один - грань, протилежну їй. А тривимірна розгортка чотиривимірного гіперкуба складатиметься з вихідного куба, шести кубів, що «виростають» із нього, плюс ще одного – кінцевої «гіперграні». Властивості тесеракта є продовженням властивостей геометричних фігур меншої розмірності в чотиривимірний простір.

Інші назви
Гексадекакхорон (Hexadecachoron)
Октохорон (Octachoron)
Тетракуб (Tetracub)
4-Куб (4-Cube)
Гіперкуб (якщо не визначається кількість вимірювань)

10-тимірний простір
там по-англійськи.хто не знає-на картинках цілком зрозуміло

http://www.skillopedia.ru/material.php?id=1338