Лінійна функція та її графік. Лінійна функція та її графік

Визначення лінійної функції

Введемо визначення лінійної функції

Визначення

Функція виду $y=kx+b$, де $k$ на відміну від нуля називається лінійної функцією.

Графік лінійної функції – пряма. Число $k$ називається кутовим коефіцієнтом прямої.

При $b=0$ лінійна функція називається функцією прямої пропорційності $y=kx$.

Розглянемо рисунок 1.

Рис. 1. Геометричний зміст кутового коефіцієнта прямої

Розглянемо трикутник АВС. Бачимо, що $ВС=kx_0+b$. Знайдемо точку перетину прямої $y=kx+b$ з віссю $Ox$:

\ \

Значить $AC=x_0+frac(b)(k)$. Знайдемо ставлення цих сторін:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

З іншого боку $ frac (BC) (AC) = tg angle A $.

Таким чином, можна зробити наступний висновок:

Висновок

Геометричний зміст коефіцієнта $k$. Кутовий коефіцієнт прямої $k$ дорівнює тангенсу кута нахилу цієї прямої до осі $Ox$.

Дослідження лінійної функції $f\left(x\right)=kx+b$ та її графік

Спочатку розглянемо функцію $f\left(x\right)=kx+b$, де $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Отже, дана функція зростає по всій області визначення. Точок екстремуму немає.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Графік (рис. 2).

Рис. 2. Графіки функції $y=kx+b$, за $k > 0$.

Тепер розглянемо функцію $f\left(x\right)=kx$, де $k

1. Область визначення - усі числа.
2. Область значення - усі числа.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функція не є ні парною, ні непарною.
4. При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b, x=-frac(b)(k)$.

Точки перетину з осями координат: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ і $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Отже, функція не має точок перегину.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Графік (рис. 3).

>>Математика: Лінійна функція та її графік

Лінійна функція та її графік

Алгоритм побудови графіка рівняння ах + by + с = 0, який ми сформулювали в § 28, за всієї його чіткості та визначеності математикам не дуже подобається. Зазвичай вони висувають претензії до перших двох кроків алгоритму. Навіщо, кажуть вони, двічі розв'язувати рівняння щодо змінної у: спочатку ах1 + Ьу + с = О, потім ахг + Ьу + с = О? Чи не краще відразу виразити з рівняння ах + by + с = 0, тоді легше буде проводити обчислення (і, головне, швидше)? Давайте перевіримо. Розглянемо спочатку рівняння 3x - 2у + 6 = 0 (див. приклад 2 § 28).

Надаючи х конкретні значення, легко обчислити відповідні значення у. Наприклад, за х = 0 отримуємо у = 3; при х = -2 маємо у = 0; при х = 2 маємо у = 6; при х = 4 одержуємо: у = 9.

Бачите, як легко і швидко знайдені точки (0; 3), (-2; 0), (2; 6) та (4; 9), які були виділені в прикладі 2 з § 28.

Так само рівняння Ьх - 2у = 0 (див. приклад 4 з § 28) можна було перетворити на вигляд 2у = 16 -3x. далі у = 2,5 x; неважко знайти точки (0; 0) та (2; 5), які задовольняють цьому рівнянню.

Нарешті, рівняння 3x + 2у - 16 = 0 з того ж прикладу можна перетворити на вигляд 2y = 16 -3x і далі неважко знайти точки (0; 0) та (2; 5), які йому задовольняють.

Розглянемо тепер зазначені перетворення у загальному вигляді.

Таким чином, лінійне рівняння (1) з двома змінними х і у завжди можна перетворити на вигляд
y = kx + m,(2) де k,m - числа (коефіцієнти), причому .

Цей окремий вид лінійного рівняння називатимемо лінійною функцією.

За допомогою рівності (2) легко, вказавши конкретне значення х, обчислити відповідне значення у. Нехай, наприклад,

у = 2х + 3. Тоді:
якщо х = 0, то у = 3;
якщо х = 1, то у = 5;
якщо х = -1, то у = 1;
якщо х = 3, то у = 9 тощо.

Зазвичай ці результати оформляють як таблиці:

Значення у другого рядка таблиці називають значеннями лінійної функції у = 2х + 3, відповідно, в точках х = 0, х = 1, х = -1, х = -3.

У рівнянні (1) змінні хну рівноправні, а рівнянні (2) - немає: конкретні значення ми надаємо однієї з них - змінної х, тоді як значення змінної у залежить від обраного значення змінної х. Тому зазвичай кажуть, що х – незалежна змінна (або аргумент), у – залежна змінна.

Зверніть увагу: лінійна функція – це спеціальний вид лінійного рівняння із двома змінними. Графіком рівнянняу - kx + т, як і будь-якого лінійного рівняння з двома змінними, є пряма - її називають також графком лінійної функції y = kx + тп. Отже, справедлива наступна теорема.

приклад 1.Побудувати графік лінійної функції у = 2х+3.

Рішення. Складемо таблицю:

У другій ситуації незалежна змінна х, що позначає, як і в першій ситуації, число днів, може набувати лише значень 1, 2, 3, ..., 16. Дійсно, якщо х = 16, то за формулою у = 500 - З0x знаходимо : у = 500 - 30 16 = 20. Отже, вже на 17-й день вивезти зі складу 30 т вугілля не вдасться, оскільки на складі до цього дня залишиться всього 20 т і процес вивезення вугілля доведеться припинити. Отже, уточнена математична модель другої ситуації виглядає так:

у = 500 - ЗОд: де х = 1, 2, 3, .... 16.

У третій ситуації незалежна зміннах теоретично може прийняти будь-яке невід'ємне значення (напр., значення х = 0, значення х = 2, значення х = 3,5 і т. д.), але практично турист не може крокувати з постійною швидкістю без сну та відпочинку скільки завгодно часу . Отже, нам потрібно було зробити розумні обмеження на х, скажімо, 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Нагадаємо, що геометричною моделлю нестрогої подвійної нерівності 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Умовимося замість фрази «х належить множині X» писати (читають: «елемент х належить множині X», е – знак приналежності). Як бачите, наше знайомство з математичною мовою постійно продовжується.

Якщо лінійну функцію у = kx + m треба розглядати не за всіх значень х, а лише для значень х з деякого числового проміжку X, то пишуть:

Приклад 2. Побудувати графік лінійної функції:

Рішення, а) Складемо таблицю для лінійної функції y = 2x + 1

Побудуємо на координатній площині хОу точки (-3; 7) та (2; -3) і проведемо через них пряму лінію. Це графік рівняння у = -2x: + 1. Далі, виділимо відрізок, що з'єднує побудовані точки (рис. 38). Цей відрізок є графік лінійної функції у = -2х+1, дехе [-3, 2].

Зазвичай кажуть так: ми збудували графік лінійної функції у = - 2х + 1 на відрізку [- 3, 2].

б) Чим відрізняється цей приклад від попереднього? Лінійна функція та сама (у = -2х + 1), отже, і її графіком служить та ж пряма. Але – будьте уважні! - цього разу х е (-3, 2), тобто значення х = -3 і х = 2 не розглядаються, вони не належать інтервалу (- 3, 2). Як ми відзначали кінці інтервалу на координатній прямій? Світлими кружальцями (рис. 39), про це ми говорили в § 26. Так само і точки (-3; 7) і B; - 3) доведеться відзначити на кресленні світлими кружальцями. Це буде нагадувати нам про те, що беруться лише ті точки прямої у = - 2х + 1, які лежать між точками, позначеними кружальцями (рис. 40). Втім, іноді у таких випадках використовують не світлі кружечки, а стрілки (рис. 41). Це неважливо, головне, розуміти, про що йдеться.

приклад 3.Знайти найбільше та найменше значення лінійної функції на відрізку.
Рішення. Складемо таблицю для лінійної функції

Побудуємо на координатній площині хОу точки (0; 4) та (6; 7) і проведемо через них пряму - графік лінійної х функції (рис. 42).

Нам потрібно розглянути цю лінійну функцію не повністю, а на відрізку, тобто для хе.

Відповідний відрізок графіка виділено на кресленні. Помічаємо, що найбільша ордината у точок, що належать виділеній частині, дорівнює 7 - і є найбільше значення лінійної функції на відрізку . Зазвичай використовують такий запис: у най =7.

Зазначаємо, що найменша ордината у точок, що належать виділеній малюнку 42 частини прямої, дорівнює 4 - це і є найменше значення лінійної функції на відрізку .
Зазвичай використовують такий запис: y найм. = 4.

приклад 4.Знайти у наиб і y найм. для лінійної функції y = -1,5x + 3,5

а) на відрізку; б) на інтервалі (1,5);
в) на напівінтервалі.

Рішення. Складемо таблицю для лінійної функції у = -l,5x + 3,5:

Побудуємо на координатній площині хОу точки (1; 2) та (5; - 4) і проведемо через них пряму (рис. 43-47). Виділимо на побудованій прямій частину, що відповідає значенням х із відрізка (рис. 43), з інтервалу A, 5) (рис. 44), з напівінтервалу (рис. 47).

а) За допомогою малюнка 43 неважко дійти невтішного висновку, що у наиб = 2 (цього значення лінійна функція досягає при х = 1), а у найм. = - 4 (цього значення лінійна функція досягає при х = 5).

б) Використовуючи малюнок 44, робимо висновок: ні найбільшого, ні найменшого значень на заданому інтервалі даної лінійної функції немає. Чому? Справа в тому, що, на відміну від попереднього випадку, обидва кінці відрізка, в яких і досягалися найбільше і найменше значення, з розгляду виключені.

в) За допомогою малюнка 45 укладаємо, що y наб. = 2 (як і першому випадку), а найменшого значення лінійної функції немає (як і другий випадок).

г) Використовуючи малюнок 46, робимо висновок: у най = 3,5 (цього значення лінійна функція досягає при х = 0), а у найм. не існує.

д) За допомогою малюнка 47 робимо висновок: y най = -1 (цього значення лінійна функція досягає при х = 3), а у наиб., не існує.

Приклад 5. Побудувати графік лінійної функції

у = 2х - 6. За допомогою графіка відповісти на такі питання:

а) за якого значення х буде у = 0?
б) за яких значень х буде у > 0?
в) при яких значеннях х буде у< 0?

Рішення. Складемо таблицю для лінійної функції у = 2х-6:

Через точки (0; - 6) та (3; 0) проведемо пряму - графік функції у = 2х - 6 (рис. 48).

а) у = 0 при х = 3. Графік перетинає вісь х у точці х = 3, і є точка з ординатою у = 0.
б) у > 0 при х > 3. Справді якщо х > 3, то пряма розташована вище за осі ж, отже, ординати відповідних точок прямої позитивні.

в) у< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Зауважте, що в цьому прикладі ми за допомогою графіка вирішили:

а) рівняння 2х – 6 = 0 (отримали х = 3);
б) нерівність 2х - 6> 0 (отримали х> 3);
в) нерівність 2x – 6< 0 (получили х < 3).

Зауваження. У російській мові часто той самий об'єкт називають по-різному, наприклад: «будинок», «будівля», «споруди», «котедж», «особняк», «барак», «хибара», «хатинка». У математичній мові ситуація приблизно та сама. Скажімо, рівність із двома змінними у = кх + m, де до, m - конкретні числа, можна назвати лінійною функцією, можна назвати лінійним рівнянням із двома змінними х і у (або з двома невідомими х і у), можна назвати формулою, можна назвати співвідношенням, що зв'язує х і у, можна назвати залежністю між х і у. Це неважливо, головне, розуміти, що у всіх випадках йдеться про математичну модель у = кх + m

.

Розглянемо графік лінійної функції, зображений малюнку 49, а. Якщо рухатися за цим графіком зліва направо, то ординати точок графіка постійно збільшуються, ми хіба що «піднімаємося в гору». У разі математики вживають термін зростання і кажуть так: якщо k>0, то лінійна функція у = kx + m зростає.

Розглянемо графік лінійної функції, зображений малюнку 49, б. Якщо рухатися за цим графіком зліва направо, то ординати точок графіка постійно зменшуються, ми хіба що «спускаємося з гірки». У таких випадках математики вживають термін спадання і говорять так: якщо k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Лінійна функція у житті

А тепер давайте підіб'ємо підсумок цієї теми. Ми з вами вже познайомилися з таким поняттям, як лінійна функція, знаємо її властивості та навчилися будувати графіки. Так само, ви розглядали окремі випадки лінійної функції і дізналися від чого залежить взаємне розташування графіків лінійних функцій. Але, виявляється, у нашому повсякденному житті ми також постійно перетинаємось із цією математичною моделлю.

Давайте ми з вами подумаємо, які справжні життєві ситуації пов'язані з таким поняттям, як лінійні функції? А також між якими величинами чи життєвими ситуаціями, можливо, встановлювати лінійну залежність?

Багато хто з вас, напевно, не зовсім уявляє, навіщо їм потрібно вивчати лінійні функції, адже це навряд чи стане в нагоді в подальшому житті. Але тут ви глибоко помиляєтеся, тому що з функціями ми стикаємося постійно та всюди. Оскільки навіть звичайна щомісячна квартплата також є функцією, яка залежить від багатьох змінних. А до цих змінних належать метраж площі, кількість мешканців, тарифів, використання електроенергії тощо.

Звичайно, найпоширенішими прикладами функцій лінійної залежності, з якими ми з вами стикалися – це уроки математики.

Ми з вами вирішували завдання, де знаходили відстані, які проїжджали машини, поїзди або проходили пішоходи за певної швидкості руху. Це і є лінійні функції часу руху. Але ці приклади можна застосувати не тільки в математиці, вони присутні в нашому повсякденному житті.

Калорійність молочних продуктів залежить від жирності, а така залежність, як правило, є лінійною функцією. Так, наприклад, зі збільшенням сметані відсотка жирності, збільшується і калорійність продукту.

Тепер давайте зробимо підрахунки та знайдемо значення k і b, розв'язавши систему рівнянь:

Тепер давайте виведемо формулу залежності:

У результаті ми отримали лінійну залежність.

Щоб знати швидкість розповсюдження звуку в залежності від температури, можливо, дізнатися, застосувавши формулу: v = 331 +0,6t де v - швидкість (в м / с), t - температура. Якщо ми накреслимо графік цієї залежності, побачимо, що він буде лінійним, тобто представляти пряму лінію.

І таких практичних використань знань у застосуванні лінійної функціональної залежності можна перераховувати довго. Починаючи від плати за телефон, довжини та зростання волосся і навіть прислів'їв у літературі. І цей список можна продовжувати до нескінченності.

Календарно-тематичне планування з математики, відеоз математики онлайн , Математика в школі

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Поняття числової функції. Способи завдання функції. Властивості функцій.

Числова функція - функція, що діє з одного числового простору (множини) до іншого числового простору (множина).

Три основні методи завдання функції: аналітичний, табличний і графічний.

1. Аналітичний.

Спосіб завдання функції за допомогою формули називається аналітичним. Цей спосіб є основним у мат. аналізі, але практично не зручний.

2. Табличний метод завдання функції.

Функцію можна встановити за допомогою таблиці, що містить значення аргументу і відповідні їм значення функції.

3. Графічний метод завдання функції.

Функція у=f(х) називається заданою графічно, якщо побудовано її графік. Такий спосіб завдання функції дає можливість визначати значення функції лише приблизно, оскільки побудова графіка та знаходження на ньому значень функції пов'язане з похибками.

Властивості функції, які необхідно враховувати під час побудови її графіка:

1) Область визначення функції.

Область визначення функції,тобто ті значення, які може набувати аргументу х функції F = y (x).

2) Проміжки зростання та зменшення функції.

Функція називається зростаючоюна аналізованому проміжку, якщо більшого значення аргументу відповідає більше значення функції у(х). Це означає, що з проміжку взяті два довільних аргументи х 1 і х 2 , причому х 1 > х 2 , то у(х 1) > у(х 2).

Функція називається спадноюна аналізованому проміжку, якщо більшого значення аргументу відповідає менше значення функції у(х). Це означає, що якщо з проміжку, що розглядається, взяті два довільні аргументи х 1 і х 2 , причому х 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Нулі функції.

Точки, у яких функція F = y (x) перетинає вісь абсцис (вони виходять, якщо розв'язати рівняння у (х) = 0) і називаються нулями функції.

4)Парність та непарність функції.

Функція називається парною,якщо для всіх значень аргументу в галузі визначення

у(-х) = у(х).

Графік парної функції симетричний щодо осі ординат.

Функція називається непарною, якщо для всіх значень аргументу в області визначення

у(-х) = -у(х).

Графік парної функції симетричний щодо початку координат.

Багато функцій не є ні парними, ні непарними.

5) Періодичність функції.

Функція називається періодичною,якщо існує така кількість Р, що для всіх значень аргументу з області визначення

у(х + Р) = у(х).

Лінійна функція, її властивості та графік.

Лінійною функцією називається функція виду y = kx + b, Задана на безлічі всіх дійсних чисел.

k- Кутовий коефіцієнт (дійсне число)

b– вільний член (дійсне число)

x- Незалежна змінна.

· В окремому випадку, якщо k = 0, отримаємо постійну функцію y = b, графік якої є пряма, паралельна осі Ox, що проходить через точку з координатами (0; b).

· Якщо b = 0, то отримаємо функцію y = kx, яка є прямою пропорційністю.

o Геометричний сенс коефіцієнта b – довжина відрізка, який відсікає пряма по осі Oy, рахуючи від початку координат.

o Геометричний сенс коефіцієнта k – кут нахилу прямий до позитивного напрямку осі Ox вважається проти годинникової стрілки.

Властивості лінійної функції:

1) Область визначення лінійної функції є вся речова вісь;

2) Якщо k ≠ 0, то область значень лінійної функції є вся речова вісь.

Якщо k = 0, то область значень лінійної функції складається з b;

3) парність і непарність лінійної функції залежить від значень коефіцієнтів k і b.

a) b ≠ 0, k = 0, отже, y = b – парна;

b) b = 0, k ≠ 0, отже y = kx – непарна;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, отже y = kx + b – функція загального виду;

d) b = 0, k = 0, отже y = 0 як парна, так і непарна функція.

4) Властивістю періодичності лінійна функція не має;

5) Точки перетину з осями координат:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, отже (-b/k; 0) - точка перетину з віссю абсцис.

Oy: y = 0k + b = b, отже (0; b) - точка перетину з віссю ординат.

Зауваження. Якщо b = 0 і k = 0, то функція y = 0 звертається в нуль за будь-якого значення змінної х. Якщо b ≠ 0 і k = 0, то функція y = b не звертається в нуль за жодних значень змінної х.

6) Проміжки знаковості залежать від коефіцієнта k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – позитивна при x з (-b/k; +∞),

y = kx + b – негативна при x із (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – позитивна при x з (-∞; -b/k),

y = kx + b – негативна при x із (-b/k; +∞).

c) k = 0, b> 0; y = kx + b позитивна по всій області визначення,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Проміжки монотонності лінійної функції залежить від коефіцієнта k.

k > 0, отже y = kx + b зростає по всій області визначення,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Функція у = ах 2 + bх + с, її властивості та графік.

Функція у = ах 2 + bх + с (а, b, с – постійні величини, а ≠ 0) називається квадратичні.У найпростішому випадку у = ах 2 (b = с = 0) графік є кривою лінією, що проходить через початок координат. Крива, що служить графіком функції у = ах 2 є парабола. Кожна парабола має вісь симетрії, яка називається віссю параболи.Крапка Про перетин параболи з її віссю називається вершиною параболи.

Графік можна будувати за такою схемою: 1) Знаходимо координати вершини параболи х0 = -b/2a; у 0 = у (x 0). 2) Будуємо ще кілька точок, що належать параболі, при побудові можна використовувати симетрії параболи щодо прямої х = -b/2a. 3) З'єднуємо позначені точки плавною лінією. приклад. Побудувати графік функції = х 2 + 2х - 3.Рішення. Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані нагору. Абсцис вершини параболи х 0 = 2/(2 ∙1) = -1, її ординати y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Отже, вершина параболи – точка (-1; -4). Складемо таблицю значень для кількох точок, розміщених праворуч від осі симетрії параболи - прямий х = -1. Властивості функції.