Лінійні рівняння та способи їх вирішення. Лінійні рівняння

І т.п., логічно познайомитися з рівняннями та іншими видами. Наступними по черзі йдуть лінійні рівняння, цілеспрямоване вивчення яких починається під час уроків алгебри у 7 класі.

Зрозуміло, спочатку треба пояснити, що таке лінійне рівняння, дати визначення лінійного рівняння, його коефіцієнтів, показати його загальний вигляд. Далі можна розбиратися, скільки розв'язків має лінійне рівняння в залежності від значень коефіцієнтів, і як знаходиться коріння. Це дозволить перейти до вирішення прикладів і тим самим закріпити вивчену теорію. У цій статті ми це зробимо: детально зупинимося на всіх теоретичних та практичних моментах, що стосуються лінійних рівнянь та їх вирішення.

Відразу скажемо, що тут ми розглядатимемо лише лінійні рівняння з однією змінною, а вже в окремій статті вивчатимемо принципи вирішення лінійних рівнянь із двома змінними.

Навігація на сторінці.

Що таке лінійне рівняння?

Визначення лінійного рівняння дається у вигляді його записи. Причому різних підручниках математики і алгебри формулювання визначень лінійних рівнянь мають деякі відмінності, які впливають суть питання.

Наприклад, у підручнику алгебри для 7 класу Ю. Н. Макарічева та ін. Лінійне рівняння визначається наступним чином:

Визначення.

Рівняння виду a x = bде x – змінна, a і b – деякі числа, називається лінійним рівнянням з однією змінною.

Наведемо приклади лінійних рівнянь, які відповідають озвученому визначенню. Наприклад, 5 x = 10 - це лінійне рівняння з однією змінною x тут коефіцієнт a дорівнює 5 а число b є 10 . Інший приклад: −2,3·y=0 – це також лінійне рівняння, але із змінною y , у якому a=−2,3 та b=0 . А в лінійних рівняннях x=−2 та −x=3,33 a не присутні у явному вигляді та дорівнюють 1 та −1 відповідно, при цьому у першому рівнянні b=−2 , а у другому - b=3,33 .

А роком раніше в підручнику математики Віленкіна Н. Я. лінійними рівняннями з одним невідомим крім рівнянь виду a x = b вважали і рівняння, які можна привести до такого виду за допомогою перенесення доданків з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком, а також за допомогою приведення подібних доданків. Відповідно до цього визначення, рівняння виду 5 x = 2 x 6 і т.п. також лінійні.

У свою чергу у підручнику алгебри для 7 класів А. Г. Мордковича дається таке визначення:

Визначення.

Лінійне рівняння з однією змінною x- Це рівняння виду a x + b = 0, де a і b - деякі числа, звані коефіцієнтами лінійного рівняння.

Наприклад, лінійними рівняннями такого виду є 2·x−12=0 , тут коефіцієнт a дорівнює 2 , а b – дорівнює −12 і 0,2·y+4,6=0 з коефіцієнтами a=0,2 і b =4,6. Але в той же час там наводяться приклади лінійних рівнянь, що мають вигляд не x + b = 0, а x = b, наприклад, 3 x = 12 .

Давайте, щоб у нас надалі не було різночитань, під лінійним рівняннями з однією змінною x і коефіцієнтами a і b розумітимемо рівняння виду a x + b = 0 . Такий вид лінійного рівняння є найбільш виправданим, оскільки лінійні рівняння – це алгебраїчні рівнянняпершого ступеня. А всі інші вказані вище рівняння, а також рівняння, які за допомогою рівносильних перетворень наводяться до вигляду a x + b = 0, будемо називати рівняннями, що зводяться до лінійних рівнянь. При такому підході рівняння 2 · x + 6 = 0 - це лінійне рівняння, а 2 · x = -6 , 4 +25 · y = 6 + 24 · y, 4 · (x +5) = 12 і т.п. - Це рівняння, що зводяться до лінійних.

Як розв'язувати лінійні рівняння?

Тепер настав час розібратися, як вирішуються лінійні рівняння a x + b = 0 . Іншими словами, час дізнатися, чи має лінійне рівняння коріння, і якщо має, то скільки їх і як їх знайти.

Наявність коренів лінійного рівняння залежить від значень коефіцієнтів a і b. При цьому лінійне рівняння a x + b = 0 має

• єдиний корінь при a≠0 ,
• не має коріння при a=0 і b≠0 ,
• має нескінченно багато коренів при a = 0 і b = 0, у цьому випадку будь-яке число є коренем лінійного рівняння.

Пояснимо, як було отримано ці результати.

Ми знаємо, що для вирішення рівнянь можна переходити від вихідного рівняння до рівносильних рівнянь , тобто до рівнянь з тими ж коренями або також як і вихідне, що не має коріння. Для цього можна використовувати такі рівносильні перетворення:

• перенесення доданку з однієї частини рівняння до іншої з протилежним знаком,
• а також множення або розподіл обидві частин рівняння на те саме відмінне від нуля число.

Отже, в лінійному рівнянні з однієї змінної виду a x + b = 0 ми можемо перенести доданок b з лівої частини в праву частину з протилежним знаком. При цьому рівняння набуде вигляду a x = − b .

А далі напрошується поділ обох частин рівняння на число a. Але є одне але: число a може дорівнювати нулю, в цьому випадку такий поділ неможливий. Щоб впоратися з цією проблемою, спочатку вважатимемо, що число a відмінне від нуля, а випадок рівного нулю a розглянемо окремо трохи пізніше.

Отже, коли a не дорівнює нулю, ми можемо обидві частини рівняння a·x=−b розділити на a , після цього воно перетворюється на вигляд x=(−b):a , цей результат можна записати з використанням дробової риси як .

Таким чином, при a≠0 лінійне рівняння a x + b = 0 рівносильне рівнянню , звідки видно його корінь .

Нескладно показати, що це коріння єдине, тобто, лінійне рівняння не має іншого коріння. Це дозволяє зробити метод протилежного.

Позначимо корінь як х 1 . Припустимо, існує ще один корінь лінійного рівняння, який позначимо x 2 , причому x 2 ≠x 1 , що в силу визначення рівних чисел через різницюеквівалентно умові x 1 −x 2 ≠0. Оскільки x 1 і x 2 коріння лінійного рівняння a x + b = 0, то мають місце числові рівності a x 1 + b = 0 і a x 2 + b = 0 . Ми можемо виконати віднімання відповідних частин цих рівностей, що нам дозволяють зробити властивості числових рівностей , маємо a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , звідки a x 1 x 2)+( b−b)=0 і далі a·(x 1 −x 2)=0 . А ця рівність неможлива, тому що і a≠0 і x 1 −x 2 ≠0 . Так ми дійшли суперечності, що доводить єдиність кореня лінійного рівняння a x + b = 0 при a≠0 .

Так ми вирішили лінійне рівняння a x + b = 0 при a≠0. Перший результат, наведений на початку цього пункту, є обґрунтованим. Залишилися ще два, які відповідають умові a = 0.

При a = 0 лінійне рівняння a x + b = 0 набуває вигляду 0 x + b = 0 . З цього рівняння і властивості множення чисел на нуль випливає, що яке б число ми не взяли як x, при його підстановці рівняння 0 x + b = 0 вийде числова рівність b = 0 . Це рівність правильне, коли b=0 , а інших випадках при b≠0 це рівність неправильне.

Отже, при a = 0 і b = 0 будь-яке число є коренем лінійного рівняння a x + b = 0 , так як за цих умов підстановка замість x будь-якого числа дає правильну числову рівність 0 = 0 . А при a = 0 і b ≠ 0 лінійне рівняння a x + b = 0 не має коренів, так як за цих умов підстановка замість x будь-якого числа призводить до невірної числової рівності b = 0 .

Наведені обґрунтування дозволяють сформувати послідовність дій, що дозволяє вирішити будь-яке лінійне рівняння. Отже, алгоритм вирішення лінійного рівняннятакий:

• Спочатку по запису лінійного рівняння знаходимо значення коефіцієнтів a і b.
• Якщо a=0 і b=0 , це рівняння має нескінченно багато коренів, саме, будь-яке число є коренем цього лінійного рівняння.
• Якщо ж відмінно від нуля, то
• коефіцієнт b переноситься в праву частину з протилежним знаком, при цьому лінійне рівняння перетворюється на вигляд a x = − b ,
• після чого обидві частини отриманого рівняння діляться на відмінне від нуля число a, що дає шуканий корінь вихідного лінійного рівняння.

Записаний алгоритм є вичерпною відповіддю питанням, як вирішувати лінійні рівняння.

На закінчення цього пункту варто сказати, що схожий алгоритм застосовується для вирішення рівнянь виду a x = b. Його відмінність у тому, що з a≠0 відразу виконується розподіл обох частин рівняння цього числа, тут b вже у потрібної частини рівняння і потрібно здійснювати його перенесення.

Для вирішення рівнянь виду a x = b застосовується такий алгоритм:

• Якщо a=0 і b=0 , то рівняння має безліч коренів, якими є будь-які числа.
• Якщо a=0 і b≠0 то вихідне рівняння не має коренів.
• Якщо ж a від нуля, то обидві частини рівняння діляться на відмінне від нуля число a , звідки перебуває єдиний корінь рівняння, рівний b/a .

Приклади розв'язування лінійних рівнянь

Переходимо до практики. Розберемо, як застосовується алгоритм розв'язання лінійних рівнянь. Наведемо рішення характерних прикладів, що відповідають різним значенням коефіцієнтів лінійних рівнянь.

приклад.

Розв'яжіть лінійне рівняння 0·x−0=0 .

Рішення.

У цьому лінійному рівнянні a=0 і b=−0 , що саме, b=0 . Отже, це рівняння має безліч коренів, будь-яке число є коренем цього рівняння.

Відповідь:

x – будь-яке число.

приклад.

Чи має рішення лінійне рівняння 0 x + 2,7 = 0?

Рішення.

У разі коефіцієнт a дорівнює нулю, а коефіцієнт b цього лінійного рівняння дорівнює 2,7 , тобто, відмінний від нуля. Тому лінійне рівняння не має коріння.

Рівняння. Якщо сказати інакше, розв'язання всіх рівнянь починається з цих перетворень. При вирішенні лінійних рівнянь воно (рішення) на тотожних перетвореннях і закінчується остаточною відповіддю.

Випадок ненульового коефіцієнта за невідомої змінної.

ax+b=0, a ≠ 0

Переносимо в один бік члени з іксом, а в інший бік - числа. Обов'язково пам'ятайте, що переносячи доданки на протилежний бік рівняння, потрібно змінити знак:

ax:(a)=-b:(a)

Скорочуємо апри хі отримуємо:

x=-b:(a)

Це відповідь. Якщо потрібно перевірити, чи є число -b:(a)корінням нашого рівняння, то потрібно підставити в початкове рівняння замість хце саме число:

a(-b:(a))+b=0 (тобто. 0=0)

Т.к. це рівність вірна, то -b:(a)і справді є корінь рівняння.

Відповідь: x=-b:(a), a ≠ 0.

Перший приклад:

5x+2=7x-6

Переносимо в один бік члени з х, А в інший бік числа:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

При невідомій коефіцієнт скоротили та отримали відповідь:

Це відповідь. Якщо потрібно перевірити, чи справді число 4 коренем нашого рівняння, підставляємо у вихідне рівняння замість ікса це число:

5*4+2=7*4-6 (тобто. 22=22)

Т.к. це рівність вірна, то 4 - це корінь рівняння.

Другий приклад:

Вирішити рівняння:

5x+14=x-49

Перенісши невідомі та числа в різні боки, отримали:

Ділимо частини рівняння на коефіцієнт при x(на 4) та отримуємо:

Третій приклад:

Вирішити рівняння:

Спочатку позбавляємося ірраціональності в коефіцієнті при невідомому, домноживши всі доданки на :

Цю форму вважають спрощеною, т.к. у числі є корінь числа у знаменнику. Потрібно спростити відповідь, помноживши чисельник і знаменник на однакове число, у нас це:

Випадок відсутності рішень.

Вирішити рівняння:

2x+3=2x+7

При всіх xнаше рівняння не стане правильною рівністю. Тобто у нашого рівняння немає коренів.

Відповідь: рішень немає.

Окремий випадок — нескінченна кількість рішень.

Вирішити рівняння:

2x+3=2x+3

Перенісши ікси та числа в різні боки та навівши подібні доданки, отримуємо рівняння:

Тут також неможливо розділити обидві частини на 0, т.к. це заборонено. Однак, підставивши на місце хвсяке число, ми отримуємо правильну рівність. Тобто будь-яке число є рішення такого рівняння. Т.ч., тут нескінченна кількість рішень.

Відповідь: нескінченна кількість рішень.

Випадок рівності двох повних форм.

ax+b=cx+d

ax-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x = (d-b): (a-c)

Відповідь: x = (d-b): (a-c), якщо d≠b та a≠c, інакше нескінченно багато рішень, але якщо a=c, а d≠b, то рішень немає.

Початковий рівень

Лінійні рівняння. Повне керівництво (2019)

Що таке «лінійні рівняння»

або в усній формі - трьом друзям дали по яблуках з розрахунку, що всього є у Васі яблук.

І ось ти вже вирішив лінійне рівняння
Тепер дамо цьому терміну математичне визначення.

Лінійне рівняння - це рівняння алгебри, у якого повний ступінь складових його багаточленів дорівнює. Воно виглядає так:

Де і - будь-які числа та

Для нашого випадку з Васею та яблуками ми запишемо:

- «Якщо Вася роздасть усім трьом друзям однакову кількість яблук, у нього яблук не залишиться»

«Приховані» лінійні рівняння, або важливість тотожних перетворень

Незважаючи на те, що на перший погляд все гранично просто, при вирішенні рівнянь необхідно бути уважним, тому що лінійними рівняннями називаються не тільки рівняння виду, а й будь-які рівняння, які перетвореннями та спрощеннями зводяться до цього виду. Наприклад:

Ми бачимо, що справа стоїть, що, за ідеєю, вже говорить про те, що рівняння не є лінійним. Мало того, якщо ми розкриємо дужки, то отримаємо ще два доданки, в яких буде, але не треба поспішати з висновками! Перш ніж судити, чи є рівняння лінійним, необхідно зробити всі перетворення і таким чином спростити вихідний приклад. При цьому перетворення можуть змінювати зовнішній вигляд, але не саму суть рівняння.

Іншими словами дані перетворення мають бути тотожнимиабо рівносильними. Таких перетворень всього два, але вони грають дуже, дуже важливу роль при вирішенні завдань. Розглянемо обидва перетворення на конкретних прикладах.

Перенесення вліво – вправо.

Допустимо, нам необхідно вирішити таке рівняння:

Ще у початковій школі нам казали: «з іксами – вліво, без іксів – вправо». Який вираз із іксом стоїть праворуч? Правильно, а не як не. І це важливо, оскільки при неправильному розумінні цього, начебто простого питання, виходить невірна відповідь. А який вираз із іксом стоїть зліва? Правильно, .

Тепер, коли ми з цим розібралися, переносимо всі доданки з невідомими в ліву сторону, а все, що відомо - в праву, пам'ятаючи, що якщо перед числом немає ніякого знака, наприклад, то число позитивно, тобто перед ним стоїть знак. ».

Переніс? Що в тебе вийшло?

Все, що залишилося зробити - навести подібні доданки. Наводимо:

Отже, перше тотожне перетворення ми успішно розібрали, хоч впевнена, що ти і без мене його знав і активно використовував. Головне - не забувай про знаки при числах та змінюй їх на протилежні при перенесенні через знак рівності!

Множення-поділ.

Почнемо відразу ж із прикладу

Дивимось і розуміємо: що нам не подобається у цьому прикладі? Невідоме все в одній частині, відомі – в іншій, але щось нам заважає… І це щось – четвірка, бо якби її не було, все було б ідеально – ікс дорівнює числу – саме так, як нам і потрібно !

Як можна її позбутися? Перенести праворуч ми не можемо, тому що тоді нам потрібно переносити весь множник (ми ж не можемо її взяти і відірвати від), а переносити весь множник теж немає сенсу.

Настав час згадати про поділ, у зв'язку з чим розділимо все якраз на! Все це означає і ліву, і праву частину. Так тільки так! Що в нас виходить?

Ось і відповідь.

Подивимося тепер інший приклад:

Чи здогадуєшся, що потрібно зробити в цьому випадку? Правильно, помножити ліву та праву частини на! Яка ти отримала відповідь? Правильно. .

Напевно, все про тотожні перетворення ти й так уже знав. Вважай, що ми просто освіжили ці знання у твоїй пам'яті і настав час для чогось більшого - Наприклад, для вирішення нашого великого прикладу:

Як ми вже говорили раніше, дивлячись на нього, не скажеш, що дане рівняння є лінійним, але нам необхідно розкрити дужки та здійснити тотожні перетворення. Тож почнемо!

Для початку згадуємо формули скороченого множення, зокрема, квадрат суми та квадрат різниці. Якщо ти не пам'ятаєш, що це таке і як розкриваються дужки, настійно рекомендую почитати тему, тому що ці навички стануть у нагоді тобі при вирішенні практично всіх прикладів, що зустрічаються на іспиті.
Розкрив? Порівнюємо:

Тепер настав час навести подібні доданки. Пам'ятаєш, як нам у тих самих початкових класах казали «не складаємо мухи з котлетами»? Ось нагадую про це. Складаємо все окремо - множники, які мають, множники, які мають й інші множники, у яких немає невідомих. Як приведеш подібні доданки, перенеси всі невідомі вліво, а все, що відомо праворуч. Що в тебе вийшло?

Як ти бачиш, ікси у квадраті зникли, і ми бачимо цілком звичайне лінійне рівняння. Залишилося лише знайти!

І насамкінець скажу ще одну дуже важливу річ про тотожні перетворення - тотожні перетворення застосовні не тільки для лінійних рівнянь, але і для квадратних, дробових раціональних та інших. Просто потрібно запам'ятати, що при перенесенні множників через знак рівності ми змінюємо знак на протилежний, а при розподілі або множенні на якесь число ми множимо/ділимо обидві частини рівняння на ОДНО і те ж число.

Що ще ти виніс із цього прикладу? Що дивлячись на рівняння не завжди можна прямо і точно визначити, чи воно є лінійним чи ні. Необхідно спочатку повністю спростити вираз, і потім судити, яким воно є.

Лінійні рівняння. приклади.

Ось тобі ще кілька прикладів для самостійного тренування - визнач, чи є рівняння лінійним і якщо так, знайди його коріння:

Відповіді:

1. Є.

2. Не є.

Розкриємо дужки і наведемо такі складові:

Зробимо тотожне перетворення - розділимо ліву та праву частину на:

Ми бачимо, що рівняння не є лінійним, тому шукати його коріння не потрібно.

3. Є.

Зробимо тотожне перетворення - помножимо ліву і праву частину, щоб позбутися знаменника.

Подумай, чому так важливо, щоб? Якщо ти знаєш відповідь на це питання, переходимо до подальшого вирішення рівняння, якщо ні – обов'язково заглянь у тему, щоб не наробити помилок у складніших прикладах. До речі, як бачиш, ситуація, коли неможлива. Чому?
Отже, продовжуємо та перетворюємо рівняння:

Якщо ти легко з усім упорався, поговоримо про лінійні рівняння з двома змінними.

Лінійні рівняння із двома змінними

Тепер перейдемо до більш складного - лінійних рівнянь із двома змінними.

Лінійні рівнянняз двома змінними мають вигляд:

Де, і – будь-які числа в.

Як ти бачиш, вся різниця лише в тому, що до рівняння додається ще одна змінна. А так все те саме - тут немає іксів у квадраті, немає поділу на змінну тощо. і т.п.

Який би навести тобі приклад життя... Візьмемо того ж Васю. Припустимо, він вирішив, що кожному з трьох друзів він дасть однакову кількість яблук, а яблука залишить собі. Скільки яблук потрібно купити Васі, якщо кожному другові він дасть по яблуку? А по? А якщо по?

Залежність кількості яблук, яку отримає кожна людина до загальної кількості яблук, яку необхідно придбати, буде виражена рівнянням:

• - кількість яблук, яку отримає людина (або, або);
• - кількість яблук, що Вася візьме собі;
• - скільки всього яблук потрібно купити Васі з урахуванням кількості яблук на людину.

Вирішуючи це завдання, ми отримаємо, що якщо одному другу Вася дасть яблуко, йому необхідно купувати штук, якщо дасть яблука - і т.д.

І взагалі. У нас дві змінні. Чому б не збудувати цю залежність на графіку? Будуємо та відзначаємо значення наших, тобто точки, з координатами, і!

Як ти бачиш, і залежать один від одного лінійно, звідси і назва рівнянь - лінійні».

Абстрагуємось від яблук і розглянемо графічно різні рівняння. Подивися уважно на два побудовані графіки - прямий та параболи, заданими довільними функціями:

Знайди і познач на обох малюнках точки, відповідні.
Що в тебе вийшло?

Ти бачиш, що на графіку першої функції одномувідповідає один, Тобто і лінійно залежать один від одного, що не скажеш про другу функцію. Звичайно, ти можеш заперечити, що на другому графіку так само відповідає ікс - , але це тільки одна точка, тобто окремий випадок, тому що ти все одно можеш знайти такий, якому відповідає не тільки один. Та й збудований графік ніяк не нагадує лінію, а є параболою.

Повторюся, ще раз: графіком лінійного рівняння має бути ПРЯМА лінія.

З тим, що рівняння не буде лінійним, якщо у нас йде якоюсь мірою – це зрозуміло на прикладі параболи, хоча для себе ти можеш побудувати ще кілька простих графіків, наприклад, або. Але я тебе запевняю - жоден з них не являтиме собою ПРЯМУ ЛІНІЮ.

Не віриш? Побудуй, а потім порівняй з тим, що вийшло у мене:

А що буде, якщо ми розділимо щось на, наприклад, якесь число? Чи буде лінійна залежність та? Не будемо міркувати, а будуватимемо! Наприклад, збудуємо графік функції.

Якось не виглядає збудоване прямою лінією… відповідно, рівняння не лінійне.
Підведемо підсумки:

1. Лінійне рівняння -це рівняння алгебри, у якого повна ступінь складових його багаточленів дорівнює.
2. Лінійне рівнянняз однією змінною має вигляд:
   , де і - будь-які числа;
   Лінійне рівнянняз двома змінними:
   , Де, і - будь-які числа.
3. Не завжди одразу можна визначити, чи є рівняння лінійним чи ні. Іноді, щоб зрозуміти це, необхідно зробити тотожні перетворення перенести вліво/вправо подібні члени, не забувши змінити знак, або помножити/розділити обидві частини рівняння на те саме число.

ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

1. Лінійне рівняння

Це рівняння алгебри, у якого повний ступінь складових його багаточленів дорівнює.

2. Лінійне рівняння з однією змінноюмає вигляд:

Де і – будь-які числа;

3. Лінійне рівняння із двома зміннимимає вигляд:

Де, і – будь-які числа.

4. Тотожні перетворення

Щоб визначити чи є рівняння лінійним чи ні, необхідно зробити тотожні перетворення:

• перенести ліворуч/праворуч такі члени, не забувши змінити знак;
• помножити/розділити обидві частини рівняння на те саме число.

Лінійне рівняння - це рівняння алгебри, повна ступінь багаточленів якого дорівнює одиниці. Рішення лінійних рівнянь - частина шкільної програми, причому не найскладніша. Однак деякі все ж таки відчувають труднощі при проходженні цієї теми. Сподіваємося, прочитавши цей матеріал, всі труднощі вам залишаться в минулому. Отже, розбираймося. як розв'язувати лінійні рівняння.

Загальний вигляд

Лінійне рівняння подається у вигляді:

• ax + b = 0, де a і b – будь-які числа.

Незважаючи на те, що a та b можуть бути будь-якими числами, їх значення впливають на кількість рішень рівняння. Виділяють кілька окремих випадків рішення:

• Якщо a = b = 0, рівняння має безліч рішень;
• Якщо a=0, b≠0, рівняння немає рішення;
• Якщо a≠0, b=0, рівняння має розв'язок: x = 0.

У тому випадку, якщо обидва числа мають не нульові значення, рівняння має бути вирішене, щоб вивести кінцевий вираз для змінної.

Як вирішувати?

Вирішити лінійне рівняння - отже, знайти, чому дорівнює змінна. Як це зробити? Так дуже просто - використовуючи прості алгебраїчні операції і дотримуючись правил перенесення. Якщо рівняння постало перед вами у загальному вигляді, вам пощастило все, що необхідно зробити:

1. Перенести b у праву сторону рівняння, не забувши змінити знак (правило перенесення!), таким чином, з виразу виду ax + b = 0 має вийти вираз виду: ax = -b.
2. Застосувати правило: щоб знайти один із множників (x – у нашому випадку), потрібно твір (-b у нашому випадку) поділити на інший множник (a – у нашому випадку). Таким чином, має бути вираз виду: x = -b/а.

Ось і все – рішення знайдено!

Тепер давайте розберемо на конкретному прикладі:

1. 2x + 4 = 0 - переносимо b, рівне в даному випадку 4, праворуч
2. 2x = -4 - ділимо b на a (не забуваємо про знак мінус)
3. x = -4/2 = -2

От і все! Наше рішення: x = -2.

Як бачите, рішення лінійного рівняння з однією змінною знайти досить просто, проте так просто все, якщо нам пощастило зустріти рівняння у загальному вигляді. У більшості випадків, перш ніж вирішувати рівняння в описані вище два ступені, потрібно ще привести існуючий вираз до загального вигляду. Втім, це теж не складне завдання. Давайте розберемо деякі окремі випадки на прикладах.

Рішення окремих випадків

По-перше, давайте розберемо випадки, які ми описали на початку статті, і пояснимо, що ж означає безліч рішень і відсутність рішення.

• Якщо a = b = 0, рівняння матиме вигляд: 0x + 0 = 0. Виконуючи перший крок, отримуємо: 0x = 0. Що означає це безглуздя, вигукніть ви! Адже яке число на нуль не помножуй, завжди вийде нуль! Правильно! Тому і кажуть, що рівняння має безліч рішень - яке число не візьми, рівність буде вірною, 0x = 0 або 0 = 0.
• Якщо a=0, b≠0, рівняння матиме вигляд: 0x + 3 = 0. Виконуємо перший крок, отримуємо 0x = -3. Знову нісенітниця! Очевидно ж, що ця рівність ніколи не буде вірною! Тому й кажуть – рівняння не має рішень.
• Якщо a≠0, b=0, рівняння матиме вигляд: 3x + 0 = 0. Виконуючи перший крок, отримуємо: 3x = 0. Яке рішення? Це просто, x = 0.

Складнощі перекладу

Описані окремі випадки - це не все, чим нас можуть здивувати лінійні рівняння. Іноді рівняння взагалі з першого погляду важко ідентифікувати. Розберемо приклад:

• 12x - 14 = 2x + 6

Хіба це лінійне рівняння? А як же нуль у правій частині? Поспішати з висновками не будемо, діятимемо - перенесемо всі складові нашого рівняння в ліву сторону. Отримаємо:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Тепер віднімемо подібне з подібного, отримаємо:

• 10x - 20 = 0

Впізнали? Найкраще лінійне рівняння! Рішення якого: x = 20/10 = 2.

А якщо перед нами такий приклад:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Так, це теж лінійне рівняння, тільки перетворень потрібно провести якомога більше. Спочатку розкриємо дужки:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - тепер виконуємо перенесення:
4. 25x – 4 = 0 – залишилося знайти рішення за вже відомою схемою:
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0.16

Як бачите, все вирішуване, головне – не переживати, а діяти. Запам'ятайте, якщо у вашому рівнянні тільки змінні першого ступеня та числа, перед вами лінійне рівняння, яке, хоч би як воно виглядало спочатку, можна привести до загального вигляду і вирішити. Сподіваємось, у вас все вийде! Успіхів!