Математична логіка перетворення. Основи математичної логіки

Одна з назв сучасної логіки, що прийшла у друге. підлога. 19 поч. 20 ст. на зміну традиційної логіки. Як ін назви сучасного етапу у розвитку науки логіки використовується також термін символічна логіка. Визначення… … Філософська енциклопедія

математична логіка- ЛОГІКА СИМВОЛИЧНА, математична логіка, теоретична логіка, область логіки, в якій логічні висновки досліджуються за допомогою логічних обчислень на основі суворої символічної мови. Термін «Л. с.» був, мабуть, уперше… … Енциклопедія епістемології та філософії науки

МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА– Її ще називають символічною логікою. М. л. це та сама Арістотелева силогістична логіка, але тільки громіздкі словесні висновки замінені в ній математичною символікою. Цим досягається, по-перше, стислість, по-друге, ясність, ... Енциклопедія культурології

МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА- МАТЕМАТИЧНА логіка, дедуктивна логіка, що використовує математичні методи дослідження способів міркувань (висновків); математична теорія дедуктивних способів міркування … Сучасна енциклопедія

МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА- Дедуктивна логіка, що включає математичні методи дослідження способів міркувань (висновків); математична теорія дедуктивних методів міркувань. Математичною логікою називають також логіку, якою користуються в математиці. Великий Енциклопедичний словник

МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА- (Символічна логіка), аналітичний розділ логіки, результат застосування математичних методів до проблем класичної логіки. Розглядає поняття, які можуть бути істинними чи хибними, зв'язок між поняттями та оперування ними, включаючи… Науково-технічний енциклопедичний словник

МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА- один із провідних розділів сучасної логіки та математики. Сформувався у 19 20 ст. як реалізація ідеї про можливість записати всі вихідні припущення мовою знаків, аналогічних математичним і тим самим замінити міркування обчисленнями. Новий філософський словник

математична логіка- сущ., кіл у синонімів: 1 логістика (9) Словник синонімів ASIS. В.М. Тришин. 2013 … Словник синонімів

математична логіка- - Тематики електрозв'язок, основні поняття EN mathematical logic... Довідник технічного перекладача

МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА- Теоретична логіка, символічна логіка, розділ математики, присвячений вивченню математич. доказів та питань основ математики. Історичний нарис. Ідея побудови універсальної мови для всієї математики та формалізації на базі… Математична енциклопедія

Книги

• Математична логіка, Єршов Юрій Леонідович, Палютін Євген Андрійович. У книзі викладено основні класичні обчислення математичної логіки: обчислення висловлювань та обчислення предикатів; є короткий виклад основних понять теорії множин та теорії… Купити за 1447 грн (тільки Україна)
• Математична логіка, Єршов Ю.Л.. У книзі викладено основні класичні обчислення математичної логіки: обчислення висловлювань та обчислення предикатів; є короткий виклад основних понять теорії множин та теорії.

Вступ

Тема контрольної роботи "Математична логіка".

Буль або Бул, а також Буул, Джордж (1815-1864) - англійський математик, який вважається основоположником математичної логіки.

Математична логіка – це розділ математики, присвячений аналізу методів міркувань, у своїй насамперед досліджуються форми міркувань, а чи не їх зміст, тобто. досліджується формалізація міркувань.

Формалізація міркувань перегукується з Аристотелю. Сучасний вид аристотелева (формальна) логіка набула у другій половині ХІХ століття у творі Джорджа Буля “Закони думки”.

Інтенсивно математична логіка почала розвиватися в 50-х роках XX століття у зв'язку з бурхливим розвитком цифрової техніки.

1. Елементи математичної логіки

Основними розділами математичної логіки є обчислення висловлювань та обчислення предикатів.

Висловлювання – є пропозиція, яка може бути або істинною, або хибною.

Обчислення висловлювань – вступний розділ математичної логіки, у якому розглядаються логічні операції з висловлюваннями.

Предикат - логічна функція від п змінних, яка набуває значення істинності чи хибності.

Обчислення предикатів - розділ математичної логіки, об'єктом якого є подальше вивчення та узагальнення обчислення висловлювань.

Теорія булевих алгебр (булевих функцій) покладено основою точних методів аналізу та синтезу теорії перемикачів при проектуванні комп'ютерних систем.

1.1 Основні поняття алгебри логіки

Алгебра логіки – розділ математичної логіки, вивчає логічні операції над висловлюваннями.

У алгебрі логіки цікавляться лише істинним значенням висловлювань. Істиннісні значення прийнято позначати:

1 (істина) 0 (брехня).

Кожній логічній операції відповідає функція, яка набирає значення 1 або 0, аргументи якої також приймають значення 1 або 0.

Такі функції називаються логічними або булевими, або функціями логіки алгебри (ФАЛ). При цьому логічна (булева) змінна xможе приймати лише два значення:

Таким чином,

І тут алгебру логіки можна визначити, як сукупність безлічі логічних функцій із заданими у ньому всілякими логічними операціями. Таким логічним операціям, як кон'юнкція (читається І), диз'юнкція ( АБО), імплікація, еквівалентність, заперечення ( НЕ), відповідають логічні функції, для яких прийнято позначення

Це табличний спосіб завдання ФАЛ. Поряд із ними застосовується завдання функцій за допомогою формул у мові, що містить змінні x , y , …, z(можливо індексовані) та символи деяких конкретних функцій – аналітичний спосіб завдання ФАЛ.

Найбільш уживаною є мова, що містить логічні символи

1) усі змінні є формули;

2) якщо Pі Q- Формули, то

Наприклад, вираз

Кажуть що Формула реалізує функцію.Так формула

Нехай Pі Q- Формули, які реалізують функції f (x 1 , x 2 , …, x n) та g (x 1 , x 2 , …, x n). Формули рівні: P = Q, якщо функції fі gзбігаються, тобто. збігаються їх таблиці істинності. Алгебра, основним безліччю якої є безліч логічних функцій, а операціями – диз'юнкція, кон'юнкція і заперечення, називається булевою алгеброю логічних функцій.

Наведемо закони та тотожності, що визначають операції

1. Ідемопотентність кон'юнкції та диз'юнкції:

2. Комутативність кон'юнкції та диз'юнкції:

3. Асоціативність кон'юнкції та диз'юнкції:

4. Дистрибутивність кон'юнкції щодо диз'юнкції та диз'юнкції щодо кон'юнкції:

5. Подвійне заперечення:

6. Закони де Моргана:

7. Склеювання:

8. Поглинання

9. Дії з константами 0 та 1.

сучасна математична модель формальної логіки як науки про правильне міркування. За влучним висловом російського логіка Порецького, математична логіка суть логіка з предмета і математика - за методом вирішення своїх проблем. Систематична розробка математичної логіки розпочалася з робіт Больцано, Фреге, Рассела та Вітгенштейна. Суть цієї логіки та розгляд більшості логічних категорій (поняття, предикат, судження, висновок, висновок, доказ) як логічних функцій, областю значення яких є істиннісні значення. Як логічні функції тлумачаться і всі логічні оператори (терміни «Все», «Існує», «Деякі», «Один», «Ніодин», «і», «або», «якщо, то», «тотожно», «можливо », «Необхідно» і т. д. і т. п.). Усі логічні функції задаються, зрештою, табличним способом з допомогою всіляких поєднань введеного числа істиннісних значень на «вході» і «виході» цих функций. Приміром, логічне ставлення «якщо, то...» моделюється з допомогою функції =), званої матеріальної імплікацією.

Відмінне визначення

Неповне визначення ↓

МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА

логіка, що розвинулася в точну науку, що застосовує математич. методи, або, згідно з П. С. Порецьким, логіка з предмету, математика за методами. Ідея побудови М. л. висловлювалася вперше Лейбніцем. Але лише 19 в. в соч. Буля "Математичний аналіз логіки" (G. "Boole, "The mathematical analysis of logic", 1847) була розпочата систематична розробка цієї науки. Подальший розвиток М. л. в значній мірі стимулювався потребами математики, що ставила логічні проблеми, вирішення яких старі засоби класичної формальної логіки були непридатні Однією з цих проблем стала проблема недоказності 5-го постулату Евкліда в геометрії. прийнятих без доказу положень теорії, що розгортається - так званий а с і о м, з яких брало весь подальший її зміст логічно виводиться. ч е с к і м і. Класичним прототипом такої побудови математичної теорії є евклідова побудова геометрії.У зв'язку з всякою аксіоматичною теорією природно виникає ряд логічних проблем.Зокрема, виникає проблема логічної. н е з а в і с і мост і аксіом даної теорії, яка полягає у встановленні того, що жодна з аксіом теорії не може бути чисто логічно виведена з інших аксіом. Для евклідової геометрії протягом двох тисячоліть залишалося відкритим питання про логіч. незалежності 5-го постулату Евкліда Було зроблено багато марних спроб вивести його з інших аксіом евклідової геометрії, поки, нарешті, у роботах М. І. Лобачевського був уперше у явній формі висловлено переконання у неможливості здійснити такий висновок. Це переконання було підкріплене Лобачевським побудовою нової геометрії, докорінно відмінної від евклідової. У геометрії Лобачевського, ретельно розробленої її творцем, не виявлялося протиріч; це вселяло впевненість у тому, що протиріччя і взагалі не можуть виникнути, хоч би як далеко не було просунуто виведення наслідків з аксіом нової геометрії. Згодом нім. Математиком Ф. Клейном було доведено, що прот і в р о ч я не можуть виникнути в геометрії Лобачевського, якщо вони не можуть виникнути в евклідовій геометрії (див. Метод аксіоматичний). Так виникли і були частково вирішені історично перші проблеми "недоказовості" та несуперечності в аксіоматич. теоріях. Точна постановка таких проблем, їх розгляд як математичних проблем вимагають уточнення поняття доказу. Будь-який математич. доказ полягає у послідовному застосуванні тих чи інших логіч. коштів до вихідних положень. Але логіч. кошти не є чогось абсолютного, раз назавжди встановленого. Вони вироблялися багатовіковою людською практикою; "...практична діяльність людини мільярди разів повинна була приводити свідомість людини до повторення різних логічних фігур, щоб ці фігури могли отримати значення аксиом" (Ленін В. І., Соч., т. 38, стор. 181-82). Людська практика є, однак, на кожному історич. етапі обмеженою, а обсяг її постійно зростає. Логіч. засоби, що задовільно відображали людське мислення на даному етапі або в цій галузі, можуть виявитися невідповідними на слід. етапі чи ін. області. Тоді залежно від зміни змісту предмета, що розглядається, змінюється і спосіб його розгляду – змінюються логіч. засоби. Це особливо стосується математики з її далекосяжними багатоступеневими абстракціями. Тут безглуздо говорити про логіч. засобах як про щось дане у своїй сукупності, як про щось абсолютне. Натомість має сенс розгляд логіч. засобів, що застосовуються в тій же іншій конкретній обстановці, що зустрічається в математиці. Їхнє встановлення для к.-л. аксіоматич. теорії та становить шукане уточнення поняття докази цієї теорії. Важливість цього уточнення у розвиток математики виявилася особливо останнім часом. Розробляючи безліч теорію, вчені зіткнулися з низкою важких проблем, зокрема з проблемою про потужність континууму, висунутої Г. Кантором (1883), до якої до 1939 року не було знайдено задовольнить. підходи. Др. Проблеми, які так само вперто не піддавалися вирішенню, зустрілися в дескриптивній теорії множин, що розробляється сов. математики. Поступово з'ясувалося, що труднощі цих проблем є логічною, що вона пов'язана з неповною виявленістю логіч, що застосовуються. коштів та аксіом і що єдностей. шляхом до її подолання є уточнення тих та інших. З'ясувалося, що вирішення цих завдань вимагає залучення М. л., яка, отже, є наукою, необхідною для розвитку математики. У наст. час надії, що покладалися на М. л. у зв'язку з цими проблемами вже виправдали себе. Щодо проблеми континууму дуже суттєвий результат був отриманий К. Геделем (1939), що довело несуперечність узагальненої континуум-гіпотези Кантора з аксіомами теорії множин за умови, що ці останні несуперечливі. Щодо ряду важких проблем дескриптивної теорії множин важливі результати отримані П. С. Новіковим (1951). Уточнення понять докази аксіоматич. Теорія є важливим етапом її розвитку. Теорії, минулі цей етап, тобто. аксіоматич. теорії із встановленими логіч. засобами, називають д е д у к т і в н ими т е о р і ями. Тільки їм допускають точне формулювання цікавлять математиків проблеми доказовості і несуперечливості в аксіоматич. теоріях. Для вирішення цих проблем у суч. М. л. застосовується метод формалізації доказів. Ідея методу формалізації доказів належить ньому. математику Д. Гільберта. Проведення цієї ідеї стало можливим завдяки розробці М. л. Булем, Порецьким, Шредером, Фреге, Пеано та ін. В даний час метод формалізації доказів є потужним знаряддям дослідження в проблемах обґрунтування математики. Застосування методу формалізації буває зазвичай пов'язані з виділенням логіч. частини аналізованої дедуктивної теорії. Ця логіч. частина, оформлювана, як і вся теорія, як деякого обчислення, тобто. системи формалізованих аксіом і формальних правил виведення, можна розглядати як самостійне ціле. Найпростішим із логіч. обчислень є обчислення висловлювань, класичне та конструктивне. Формальна відмінність двох обчислень висловлювань відбиває глибоку різницю у тому тлумаченнях, що стосується сенсу пропозициональных змінних і логіч. зв'язок (див. Інтуїціонізм, Обчислення завдань, Логіка висловлювань). Найбільш широко використовується при побудові дедуктивних математич. теорій в наст. час класич. предикатів обчислення, що являє собою розвиток та уточнення класич. теорії суджень Аристотеля і водночас відповідне теоретико-множин. системи абстракцій. Конструктивне обчислення предикатів відноситься до класич. обчислення предикатів так само, як конструктивне обчислення висловлювань до класич. обчислення висловлювань. Найістотніше з розбіжностей між цими двома обчисленнями предикатів пов'язані з тлумаченням у яких приватних, чи екзистенційних, думок. У той час як у конструктивному обчисленні предикатів такі судження тлумачаться як твердження про можливість визначення. конструкцій і вважаються встановленими лише при зазначенні цих конструкцій, класич. обчисленні предикатів екзистенційні судження зазвичай трактуються у відриві від конструктивних можливостей як " чисті " твердження існування (див. Конструктивний напрямок). Більше задовільний тлумачення экзистен-циальных суджень класич. обчислення предикатів, що ув'язує визнач. Таким чином це обчислення з конструктивним обчисленням предикатів було відкрито А. Н. Колмогоровим в 1925. У математиці логіч. обчислення застосовуються у поєднанні зі специфіч. аксіомами дедуктивних теорій, що розгортаються. Напр., теорію натуральних чисел можна будувати, поєднуючи аксіоми Пеано для арифметики з обчисленням предикатів (класичним чи конструктивним). Застосовуване у своїй об'єднання логіч. символіки з математичної не лише дозволяє оформляти математич. теорії як обчислень, а й може бути ключем до уточнення сенсу математич. пропозицій. У наст. час сов. математиком Н. А. Шаніним розроблено точні правила конструктивного тлумачення математич. суджень, що охоплюють широкі сфери математики. Застосування цих правил стає можливим лише після того, як розглядається судження записано на належному точному логіко-математич. мовою. В результаті застосування правил тлумачення може виявитися конструктивне завдання, яке пов'язується з даним судженням. Це, однак, відбувається не завжди: не з кожним математич. пропозицією обов'язково пов'язується конструктивне завдання. З обчисленнями пов'язані такі поняття та ідеї. Про обчисленні говорять, що воно несуперечливе, якщо в ньому не виводиться жодна формула виду U разом із формулою U (де є знак заперечення). Завдання встановлення несуперечності використовуваних у математиці обчислень є одним із гол. задач М. л. У наст. час це завдання вирішено лише в дуже обмежується. обсязі. Використовуються разл. поняття по л н о ти обчислення. Маючи на увазі охоплення тієї чи іншої змістовно визначеної галузі математики, вважають обчислення повним щодо цієї галузі, якщо в ньому виводиться будь-яка формула, що виражає вірне твердження з цієї галузі. Інше поняття повноти обчислення пов'язане з вимогою доставляти або доказ, або спростування для будь-якої пропозиції, що формулюється в обчисленні. Першорядне значення у зв'язку з цими поняттями має теорема Геделя–Россера, яка стверджує несумісність вимоги повноти з вимогами несуперечності для широкого класу обчислень. Згідно з теоремою Геделя-Россера, ніяке несуперечливе обчислення з цього класу не може бути повним щодо арифметики: для будь-якого такого обчислення може бути побудовано вірне арифметич. твердження, що формалізується, але не виводиться в цьому обчисленні (див. Метатеорія). Ця теорема, не знижуючи значення М. л. як потужного організуючого засобу в науці, докорінно вбиває надії на цю дисципліну як на щось здатне здійснити загальне охоплення математики в рамках однієї дедуктивної теорії. Надії такого роду висловлювалися багато хто. вченими, зокрема Гільбертом – головним представником формалізму в математиці – напрями, який намагався звести всю математику до маніпуляцій з формулами за певними назавжди встановленими правилами. Результат Геделя і Россера завдав цьому напрямку нищівного удару. У силу їхньої теореми, навіть така порівняно елементарна частина математики, як арифметика натуральних чисел, не може бути охоплена однією дедуктивною теорією. М. л. органічно пов'язана з кібернетикою, зокрема з теорією релейно-контактних схем та автоматів, машинною математикою та лінгвістикою математичною. Програми М. л. до релейно-контактним схемам засновані на тому, що будь-яка двополюсна релейно-контактна схема в слід. сенсі модерує нек-ру формулу U класич. обчислення висловлювань. Якщо схема управляється n реле, то стільки ж різних змінних змінних містить U, і, якщо позначити через bi, судження "Реле номер i спрацювало", то ланцюг буде тоді і тільки тоді замкнена, коли буде вірний результат підстановки суджень b1, ... , bn замість відповідних логіч. змінних в U. Побудова такої моделюваної формули, що описує "умови роботи" схеми, виявляється особливо простою для т.зв. ?-з х е м, одержуваних виходячи з елементарних одноконтактних ланцюгів шляхом паралельних та послідовних з'єднань. Це з тим, що паралельне і послідовне з'єднання ланцюгів моделюють, відповідно, диз'юнкцію і кон'юнкцію суджень. Дійсно, ланцюг, отриманий шляхом паралельного (послідовного) з'єднання ланцюгів Ц1 і Ц2, тоді і тільки тоді замкнутий, коли замкнутий ланцюг Ц1 або (і) замкнутий ланцюг Ц2. Застосування обчислення висловлювань до релейно-контактних схем відкрило плідний підхід до важливих проблем суч. техніки. Разом про те цей зв'язок теорії з практикою призвела до постановки та часткового рішення мн. нових і важких проблем М. л., до яких брало в першу чергу відноситься т.зв. проблема мінімізмаці, що полягає в розшуку ефективних методів знаходження найпростішої формули, рівносильної даної формули. Релейно-контактні схеми є окремим випадком керуючих схем, що застосовуються в совр. автомати. Керуючі схеми інших типів, зокрема, схеми з електронних ламп або напівпровідникових елементів, що мають ще більше практич. значення, також можуть бути розроблені за допомогою М. л., яка доставляє адекватні засоби як для аналізу, так і для синтезу таких схем. Мова М. л. виявився також застосовним теоретично програмування, створюваної в наст. час у зв'язку з розвитком машинної математики. Нарешті, створений М. л. апарат обчислень виявився застосовним у математичній лінгвістиці, що вивчає мову математич. методами. Однією з осн. Проблем цієї науки є точне формулювання правил граматики аналізованої мови, тобто. точне визначення того, що слід розуміти під "граматично правильною фразою цієї мови". Як показав амер. вчений Хомський, є підстави шукати вирішення цього завдання у такому вигляді: будується деяке обчислення, і граматично правильними фразами оголошуються висловлювання, складені з символів алфавіту цієї мови і виведені у цьому обчисленні. Роботи у цьому напрямі продовжуються. також Алгебра логіки, Конструктивна логіка, Логіка комбінаторна, Логіка класів, Логічне обчислення, Модальна логіка та літ. за цих статтях. О. Марков. Москва.

Основна ідея математичної логіки – формалізація знань та міркувань. Відомо, що знання, що найбільш легко формалізуються, - математичні. Таким чином, математична логіка по суті - наука про математику, або метаматематика. Центральним поняттям математичної логіки є "математичний доказ"". Дійсно, "доказові" (інакше кажучи, дедуктивні) міркування - єдиний вид міркувань, що визнані в математиці. Міркування у математичній логіці вивчаються з погляду форми, а чи не сенсу. По-суті, міркування моделюються суто "механічним" процесом переписування тексту (формул). Такий процес називають висновком. Говорять ще, що математична логіка оперує лише синтаксичними поняттями. Однак зазвичай все ж таки важливо, як співвідносяться міркування з дійсністю (або нашими уявленнями). Тому, треба все ж таки мати на увазі деякий зміст формул і висновку. При цьому використовують термін семантика (синоном слова "смисл") і чітко поділяють синтаксис та семантику. Коли ж дійсно цікавляться тільки синтаксисом, часто використовують термін "формальна система". Ми будемо використовувати синонім цього терміну - "обчислення"" (використовуються ще терміни "формальна теорія"" і "аксіоматика""). Об'єктом формальних систем є рядки тексту (послідовності символів), з допомогою яких записуються формули.

Формальну систему визначено, якщо:

Задано алфавіт (безліч символів, що використовуються для побудови формул).

Виділено безліч формул, які називаються аксіомами. Це – стартові точки у висновках.

Задано безліч правил виведення, які дозволяють із деякої формули (або безлічі формул) отримувати нову формулу.

Основні засади операцій

Заперечення

Заперечення логічного висловлювання - логічне висловлювання, що набуває значення "істинно", якщо вихідне висловлювання хибне, і навпаки. Це спеціальна логічна операція. Залежно від розташування розрізняють зовнішнє і внутрішнє заперечення, властивості та ролі яких істотно різняться.

1. Зовнішнє заперечення (пропозиціональне) служить утворенню складного висловлювання з іншого (не обов'язково простого) висловлювання. У ньому стверджується відсутність стану справ, що описується у заперечуваному висловлюванні. Традиційно негативне висловлювання вважається істинним, якщо, і тільки якщо, заперечення висловлювання хибне. У природній мові заперечення зазвичай виражається оборотом «невірно, що», за яким слідує заперечення висловлювання.

У мовах формальних теорій заперечення називається особлива унарна пропозиційна зв'язка, що використовується для освіти з однієї формули іншої, складнішої. Для позначень заперечення зазвичай використовуються символи "заперечення", "-" або "--1". У класичній логіці висловлювань формула А істинна тоді і тільки тоді, коли формула А помилкова.

Однак у некласичній логіці заперечення може не мати всі властивості класичного заперечення. У зв'язку з цим постає цілком закономірне питання про мінімальний набір властивостей, якому має задовольняти деяка унарна операція, щоб її можна було вважати запереченням, а також про принципи класифікації різних заперечень у некласичних формальних теоріях (див.: Dunn J.M. і Hardegree G.M.Algebraic Methods Logic.Oxford, 2001).

Фактично зазначене вище традиційне розуміння зовнішнього (пропозиційного) заперечення може бути виражене через систему наступних вимог: (I) Якщо А - істинно (хибно), то не-А - хибно (істинно); (II) Якщо не-А - істинно (хибно), то А - хибно (істинно). Формально вимоги (I) і (II) можуть бути виражені через умову (1) А р--iB=>B (= --, А, зване «конструктивна контрапозиція»). Проте виявляється, що умову (1) можна розкласти на дві слабші умови: (2) А (= В=>-,В р-Аі(3)А(= -- 1 -- А, відомих, відповідно, як «контрапозиція» і «введення подвійного заперечення».В результаті з'являється можливість виявити підмінімальне заперечення, що задовольняє умові (2), але не задовольняє умові (3). 4) --.- А = А. Мінімальне заперечення (тобто задовольняє умові (1) або умовам (2) і (3) разом), для якого виконується умова (4), називається заперечення де Моргана. що задовольняє додаткової властивості (5): Якщо А - * В, то для будь-якого С вірно, що А р С («властивість абсурдності»), - називається інтуїціоністським запереченням. Можна сформулювати принцип (6), двоїстий принципу абсурдності: Якщо В |=Аі-S р А, то для будь-якого С вірно, що С р А. Задовольняє цьому принципу заперечення. є різновидом заперечення в паранесуперечливій логіці. Нарешті, заперечення де Моргана (властивості (2), (3), (4)), для якого виконується (5) або (6), називається орто-заперечення Якщо у відповідному обчисленні приймається аксіома дистрибутивності для кон'юнкції та диз'юнкції, то орто- заперечення називається заперечення Буля, чи класичним запереченням.

2. Внутрішнє заперечення входить до складу простого висловлювання. Розрізняють заперечення у складі зв'язки (негативна зв'язка) та термінове заперечення.

Заперечення у складі зв'язки виражається з допомогою частки «не», що стоїть перед дієсловом-зв'язкою (якщо він є) чи смисловим дієсловом. Воно служить висловлювання суджень про відсутність якихось відносин («Іван знає Петра»), чи освіти негативної предицирующей зв'язки у складі категоричних атрибутивних суджень.

Термінове заперечення використовується для утворення негативних термінів. Воно виражається через приставку «не» чи близькі їй за змістом («Всі незрілі яблука – зелені»).

Кон'юнкція

Кон'юнкція двох логічних висловлювань - логічне висловлювання, істинне лише тоді, коли вони водночас істинні (від латів. conjunctio - союз, зв'язок), у сенсі - складне висловлювання, утворене з допомогою союзу «і». У принципі можна говорити про кон'юнкцію нескінченного числа висловлювань (наприклад, про кон'юнкцію всіх дійсних речень математики). У логіці кон'юнкцією називають логічну зв'язку (операцію, функцію; позначають: &,); освічене з її допомогою складне висловлювання істинно лише за умови однакової істинності його складових. У класичній логіці висловлювань кон'юнкція разом із запереченням складають функціонально-повну систему пропозиційних зв'язок. Це означає, що через них можна визначити будь-яку іншу зв'язку. Однією з властивостей кон'юнкції є комутативність (тобто еквівалентність А&В та В&А). Однак, іноді, говорять про некомутативну, тобто впорядковану кон'юнкцію (прикладом висловлювання з такої кон'юнкції може служити: «Смітник свиснув, і коні поскакали»).

Диз'юнкція

Диз'юнкція двох логічних висловлювань - логічне висловлювання, істинне лише тоді, коли хоча б одне з них істинно

(від латів. disjunctio - роз'єднання, відокремлення), у сенсі - складне висловлювання, утворене з двох чи більше пропозицій з допомогою союзу «або», виражає альтернативність, чи вибір.

У символічній логіці диз'юнкцією називають логічну зв'язку (операцію, функцію), що утворює з пропозицій А і складне висловлювання, що позначається зазвичай як А V В, яке є істинним при істинності принаймні одного з двох диз'юнктивних членів: Аабо в.

У класичній логіці диз'юнкція разом із запереченням утворює функціонально-повну систему пропозиціональних зв'язок, що дозволяє визначити через них інші пропозиціональні зв'язки.

Традиційно прийнято відрізняти розглянуту (нестрогу) диз'юнкцію від суворої (розділювальної) диз'юнкції, для якої характерно те, що відповідне висловлювання є істинним за умови, коли дійсний один і тільки один диз'юнктивний член.

Імплікація

Імплікація двох логічних висловлювань A і B - логічне висловлювання, хибне тільки тоді, коли B хибно, а A істинно (від лат. implicatio - сплетення, від implico - тісно пов'язую) - логічна зв'язка, що відповідає граматичній конструкції «якщо. ., то...», з допомогою якої із двох простих висловлювань утворюється складне висловлювання. В імплікативному висловлюванні розрізняють антецедент (підстава) - висловлювання, що йде після слова "якщо", і консеквент (наслідок) - висловлювання, що йде за словом "то". Імплікативний вислів представляє в мові логіки умовне висловлювання звичайної мови. Останнє грає особливу роль, як у повсякденних, і у наукових міркуваннях, основний його функцією є обгрунтування одного шляхом посилання щось інше.

Висловлювану умовним висловлюванням зв'язок обосновывающего і обгрунтовуваного важко охарактеризувати у вигляді, і іноді природа її щодо зрозуміла. Цей зв'язок може бути, зокрема, зв'язком логічного слідування, що має місце між посилками та укладанням правильного висновку («Якщо всі живі багатоклітинні істоти смертні і медуза є такою істотою, то вона смертна»). Зв'язок може являти собою закон природи («Якщо тіло піддати тертю, воно почне нагріватися») або причинний зв'язок («Якщо Місяць у молодик знаходиться у вузлі своєї орбіти, настає сонячне затемнення»). Розглядається може мати також характер соціальної закономірності, правила, традиції тощо. («Якщо змінюється економіка, змінюється і політика», «Якщо обіцянка дана, вона має бути виконана»).

Зв'язок, що виражається умовним висловом, передбачає, що консеквент з певною необхідністю «випливає» з антецедента і є певний загальний закон, зумівши сформулювати який ми можемо логічно вивести консеквент з антецедента. Наприклад, умовний вислів «Якщо вісмут - метал, він пластичний» передбачає загальний закон «Всі метали пластичні», що робить консеквент цього висловлювання логічним наслідком його антецедента.

І в звичайній мові, і в мові науки умовне висловлювання, крім функції обґрунтування, може виконувати також низку інших завдань. Воно може формулювати умову, яка не пов'язана з к.-л. загальним законом або правилом («Якщо захочу, розріжу свій плащ»), фіксувати якусь послідовність («Якщо минуле літо було сухим, то цього року воно дощове»), виражати в своєрідній формі зневіру («Якщо ви вирішите завдання, я доведу велику теорему Ферма»), протиставлення («Якщо на городі росте капуста, то в саду росте яблуня») тощо. Численність та різнорідність функцій умовного висловлювання істотно ускладнює його аналіз.

У логічних системах абстрагуються від особливостей простого вживання умовного висловлювання, що веде до різних імплікацій. Найбільш відомі з них імплікація матеріальна, сувора імплікація та релевантна (доречна) імплікація.

Матеріальна імплікація - одне з основних зв'язок класичної логіки. Визначається вона в такий спосіб: імплікація хибна лише у разі істинності антецедента і хибності консеквента і істинна в інших випадках. Умовне висловлювання «Якщо А, то В» передбачає деякий реальний зв'язок між тим, про що йдеться в А та В; вираз «А матеріально імплікує» такого зв'язку не передбачає.

Сувора імплікація визначається через модальне поняття (логічної) неможливості: «А суворо імплікує» означає «Неможливо, щоб А було істинно, а помилково».

У релевантній логіці імплікація сприймається як умовний союз у його звичному значенні. У разі релевантної імплікації не можна сказати, що справжнє висловлювання може бути обґрунтоване шляхом посилання на будь-яке висловлювання і що за допомогою хибного висловлювання можна обґрунтувати будь-яке висловлювання.

Еквівалентність

Еквівалентність двох логічних висловлювань - логічне висловлювання, істинне лише тоді, що вони одночасно істинні чи хибні (від позднелат. equivalens - рівноцінний) - родове найменування різноманітних відносин типу рівності, тобто. рефлексивних, симетричних та транзитивних бінарних відносин. Приклади: еквіполентність (збіг за змістом, значенням, змістом, виразними та (або) дедуктивними можливостями між поняттями, концепціями, наук. теоріями або формальними їх формальними системами) конгруентність або подоба геометрія, фігур; ізоморфізм; рівносильність множин та інші еквівалентність будь-яких об'єктів означає їх рівність (тотожність) у будь-якому відношенні

(наприклад, ізоморфні множини невиразні за своєю "структурою", якщо під "структурою" розуміти сукупність тих їх властивостей, щодо яких ці множини ізоморфні). Будь-яке відношення еквівалентності породжує розбиття множини, на якому воно визначено, на "класи еквівалентності", що попарно не перетинаються, в один клас відносять при цьому еквівалентні один одному елементи даної множини.

Розгляд класів еквівалентності як нових об'єктів є одним із основних способів породження (введення) абстрактних понять у логіко-математичних (і взагалі природничо-наукових) теоріях. Так, вважаючи еквівалентними дроби a/b та c/d з цілими чисельниками та знаменниками, якщо ad=bc, вводять у розгляд раціональні числа як класи еквівалентних дробів; вважаючи еквівалентними множини, між якими можна встановити взаємно-однозначну відповідність, вводять поняття потужності (кардинального числа) множини (як клас еквівалентних між собою множин); вважаючи еквівалентними два шматки речовини, що вступають у рівних умовах в однакові хімічні реакції, приходять до абстрактного поняття хімічного складу і т.п.

Термін "еквівалентність" вживають часто не (тільки) як родовий, а як синонім деяких з його приватних значень ("еквівалентність теорій" замість "еквівалентність", "еквівалентність множин" замість "рівнопотужність", "еквівалентність слів" в абстрактній алгебрі " і т.п.).

Кванторний вислів

Кванторне з квантором загальності.

Кванторне логічне висловлювання з квантором загальності ( " xA ( x ) ) -- логічне висловлювання , істинне лише тоді , коли кожного об'єкта x із заданої сукупності висловлювання A ( x ) істинно .

Кванторне із квантором існування.

Кванторне логічне висловлювання з квантором існування ($xA(x)) -- логічне висловлювання, істинне лише тоді, як у заданої сукупності існує об'єкт x, такий, що висловлювання A(x) істинно.

Структура математичної логіки

Розділ «математична логіка» складається з трьох частин: за неформальним аксіоматичним методом, логікою висловлювань і логікою предикатів (першого порядку). Аксіоматичний метод побудови – перший крок на шляху до формалізації теорії. Більшість завдань, що розглядаються в математичній логіці, полягає у доказі деяких тверджень. Математична логіка має багато розгалужень. Вона застосовує табличну побудову логіки висловлювань, використовує спеціальну мову символів та формули логіки висловлювань.

Неформальний аксіоматичний метод

Аксіоматичний метод, який не фіксує жорстко застосовуваної мови і тим самим не фіксує межі змістовного розуміння предмета, але вимагає аксіоматичного визначення всіх спеціальних для даного предмета дослідження понять. Цей термін немає загальноприйнятого тлумачення.

Історія розвитку аксіоматичного методу характеризується все більшим ступенем формалізації. Неформальний аксіоматичний метод – певний ступінь у цьому процесі.

Початкова, дана Евклідом, аксіоматична побудова геометрії відрізнялася дедуктивним характером викладу, при якому в основу клалися визначення (пояснення) та аксіоми (очевидні твердження). З них, спираючись на здоровий глузд і очевидність, виводилися слідства. При цьому у висновку неявно іноді використовувалися не зафіксовані в аксіомах припущення геометрія, характеру, що особливо відносяться до руху в просторі та взаємного розташування прямих і точок. Згодом було виявлено геометрію, поняття та їх вживання аксіоми, що неявно використовуються Евклідом та його послідовниками. При цьому виникало питання: чи справді виявлено усі аксіоми. Керівний принцип для вирішення цього питання сформулював Д. Гільберт (D. Hilbert): "Слід домогтися того, щоб з рівним успіхом можна було говорити замість точок, прямих і площин про столи, стільці та пивні кружки". Якщо доказ не втрачає доказової сили після такої заміни, то всі спеціальні припущення, що використовуються в цьому доказі, зафіксовані в аксіомах. Ступінь формалізації, що досягається при такому підході, являє собою рівень формалізації, характерний для неформального аксіоматичного методу. Еталоном тут може бути класична праця Д. Гільберта "Підстави геометрії".

Неформальний аксіоматичний метод застосовується як надання певної завершеності аксіоматично викладеної конкретної теорії. Він є дієвою зброєю математичного дослідження. Оскільки щодо системи об'єктів з цього методу немає їх специфіка, чи " природа " , то доведені твердження переносяться будь-яку систему об'єктів, задовольняє аналізованим аксіомам. Відповідно до неформального аксіоматичного методу, аксіоми - це неявні визначення початкових понять (а чи не очевидні істини). Що являють собою об'єкти, що вивчаються - неважливо. Все, що потрібно про них знати, сформульовано в аксіомах. Предметом вивчення аксіоматичної теорії є будь-яка її інтерпретація.

Неформальний аксіоматичний метод, крім неодмінного аксіоматичного визначення всіх спеціальних понять, має іншу характерну особливість. Це вільне, неконтрольоване аксіомами, засноване на змістовному розумінні використання ідей та понять, які можна застосувати до будь-якої мислимої інтерпретації, незалежно від її змісту. Зокрема, широко використовуються теоретико-множинні і логічного поняття та принципи, а також поняття, пов'язані з ідеєю рахунку, та ін. на якому формулюються та доводяться властивості аксіоматично заданої системи об'єктів. Фіксування мови веде до поняття формальної аксіоматичної системи та створює матеріальну основу для виявлення та чіткого опису допустимих логічних принципів, для контрольованого вживання теоретико-множинних та інших загальних чи не спеціальних для досліджуваної галузі понять. Якщо в мові немає засобів (слів) для передачі теоретико-множинних понять, то цим відсіваються всі докази, що ґрунтуються на використанні таких засобів. Якщо в мові є засоби для вираження деяких теоретико-множинних понять, їх застосування в доказах можна обмежити певними правилами або аксіомами.

Фіксуючи по-різному мову, отримують різні теорії основного об'єкта розгляду. Наприклад, розглядаючи мову вузького обчислення предикатів для теорії груп, одержують елементарну теорію груп, у якій не можна сформулювати будь-якого твердження про підгрупи. Якщо перейти до мови обчислення предикатів другого ступеня, з'являється можливість розглядати властивості, у яких фігурує поняття підгрупи. Формалізацією неформального аксіоматичного методу в теорії груп служить перехід до мови системи Цермело - Френкеля з її аксіоматикою.

Аксіоматичний метод

Аксіоматичний метод спосіб побудови наукової теорії, при якому в її основу кладуться деякі вихідні положення (судження) - аксіоми, або постулати, з яких всі інші твердження цієї теорії повинні виводитися суто логічним шляхом, за допомогою доказів. Побудова науки на основі аксіоматичного методу зазвичай називається дедуктивним. Усі поняття дедуктивної теорії (крім фіксованого числа початкових) запроваджуються у вигляді визначень, що виражають їх через раніше введені поняття. Тією чи іншою мірою дедуктивні докази, характерні для аксіоматичного методу, застосовуються в багатьох науках, проте головна сфера його застосування - математика, логіка, а також деякі розділи фізики.

Ідея аксіоматичного методу вперше була висловлена ​​у зв'язку з побудовою геометрії в Стародавній Греції (Піфагор, Платон, Аристотель, Евклід). Для сучасної стадії розвитку аксіоматичний метод характерна висунута Гільбертом концепція формального аксіоматичного методу, яка ставить завдання точного опису логічних засобів виведення теорем з аксіом. Основна ідея Гільберта - повна формалізація мови науки, при якій її судження розглядаються як послідовності знаків (формули), що набувають сенсу лише за деякої конкретної інтерпретації. Для виведення теорем із аксіом(і взагалі одних формул з інших) формулюються спец. правила виведення. p align="justify"> Доказ у такій теорії (обчисленні, або формальної системі) - це деяка послідовність формул, кожна з яких або є аксіома, або виходить з попередніх формул послідовності за яким-небудь правилом виведення. На відміну від таких формальних доказів, властивості самої формальної системи загалом вивчаються. засобами метатеорії. Основні вимоги до аксіоматичних формальних систем - несуперечність, повнота, незалежність аксіом. Гільбертівська програма, яка передбачала можливість довести несуперечність і повноту всієї класичної математики, загалом виявилася нездійсненною. У 1931 Гёдел довів неможливість повної аксіоматизації досить розвинених наукових теорій (напр., арифметики натуральних чисел), що свідчило про обмеженість аксіоматичного методу. Основні принципи аксіоматичних методів були піддані критиці прихильниками інтуїціонізму та конструктивного спрямування.